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公理的集合論と独立性証明
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- 2. 今日お話しすること • モチベーション • 無矛盾であること，独立であること •について（AC+CHの無矛盾性を示してみる） • これから
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- 6. 無矛盾であること，独立であること • ある言明 が無矛盾であるとは，公理にを付け加 えてもそこから矛盾が証明できないということ． • ある言明 が独立であるとは， も も無矛盾で あるということ． しかし，ゲーデルの不完全性定理より，無矛盾 性 の証明はできないことが知られている．
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- 8. 相対化とモデル • の への相対化とは， の言及の範囲を に制限したもの． • がSのモデルであるとは，Sの公理を に相対化 したものの全てが成立すること．
- 9. 無矛盾性証明の根拠 定理．SとTを公理の集合とする．あるクラス につい て， がSのモデルであることをTで証明できたとする ．このときCon(T)Con(S)である． たとえば，Con(ZF) Con(ZFC+CH)のように使う 証明．Sが矛盾を含んでいたとすると，ある について， をSで証明できる．そこでTで議論すれば におい てSが真であって となる．従ってTも矛盾を含む .
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- 12. 順序数とは ・順序数とは，整列集合の同値類のある代表元のこと． 例えば，自然数や は後続型順序数． や は極限順序数である． ・が順序数であるとき， も順序数となる． この形で表せるものを後続型順序数という． そうでないものを極限順序数という．
- 13. をつくる ・ が極限順序数のとき， ・ ・ に相対化された式によって の有限個の要素 から定義できるようなの部分集合たち 順序数 に関する超限帰納法で を定義する． “定義の仕方”をうまく数え上げることで， には整列順序が入る． ：順序数 ・
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- 15. CHが で成り立つ “ の中では”，のあらゆる部分集合が, ある可算の段階で構成される． つまり， となり，実は なので となる. さらに，連続体仮説を一般化した 一般連続体仮説も で成立する．
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