ميكانيكا- معادلات لاجرانج

2. ‫معادالت‬‫انج‬‫ر‬‫الج‬
‫و‬‫املطر‬ ‫الديناميكية‬ ‫املسألة‬ ‫كانت‬ ‫للديناميكا‬ ‫السابقة‬ ‫استنا‬‫ر‬‫د‬‫في‬‫ذات‬‫حة‬‫صيغات‬
‫اإلحداثيات‬ ‫كانت‬ ‫سواء‬ ‫املستخدمة‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫خاصة‬‫ت‬‫ر‬‫الكا‬‫يزية‬‫أو‬
‫الذاتية‬ ‫أو‬ ‫القطبية‬.‫تصاغ‬ ‫وكانت‬‫بمعلومية‬‫للحركة‬ ‫نيوتن‬ ‫قوانين‬.‫ث‬‫هذا‬ ‫ر‬‫تطو‬ ‫م‬
‫الدي‬ ‫املجموعات‬ ‫أوضاع‬ ‫تحكم‬ ‫التي‬ ‫الهندسية‬ ‫للعالقات‬ ‫باللجوء‬ ‫اء‬‫ر‬‫اإلج‬‫ناميكية‬
‫اسة‬‫ر‬‫الد‬ ‫موضع‬.
‫أي‬ ‫العامة‬ ‫الحاالت‬ ‫في‬ ‫سنأخذها‬ ‫التالية‬ ‫استنا‬‫ر‬‫د‬ ‫في‬‫فإنه‬ ‫وبذلك‬‫ئ‬ ‫بش‬‫من‬‫التعميم‬
‫في‬ ‫وضعها‬ ‫ويتحدد‬ ‫عامة‬ ‫صيغة‬ ‫ذات‬ ‫ديناميكية‬ ‫مجموعة‬ ‫نعتبر‬ ‫بأن‬ ‫وذلك‬‫اغ‬‫ر‬‫الف‬
‫لنق‬ ‫إحداثيات‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫كأن‬ ‫الهندسية‬ ‫املعلومات‬ ‫من‬ ‫بمجموعة‬ ‫كامل‬ ‫تحديد‬‫ط‬
‫متميزة‬‫خاصة‬‫بها‬‫ايا‬‫و‬‫ز‬ ‫أو‬ ‫املجموعة‬ ‫هذه‬ ‫مركز‬ ‫ل‬‫حو‬ ‫ر‬‫تدو‬ ‫ر‬‫محاو‬ ‫عن‬ ‫أبعاد‬ ‫أو‬
‫املجموعة‬ ‫لهذه‬ ‫متميزة‬‫خاصة‬ ‫لخطوط‬ ‫ميل‬.
‫املعلومات‬ ‫لهذه‬ ‫ادني‬ ‫حد‬ ‫عادة‬ ‫يوجد‬ ‫عامة‬ ‫ديناميكية‬ ‫مجموعة‬ ‫ألي‬ ‫وبالنسبة‬
‫تس‬ ‫املعلومات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫في‬ ‫املجموعة‬ ‫وضع‬ ‫تحدد‬ ‫التي‬ ‫الهندسية‬‫عادة‬ ‫مى‬
‫املجموعة‬ ‫لهذه‬ ‫املعممة‬ ‫اإلحداثيات‬Generalized Coordinates
.

3. ‫الطالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬Degrees of Freedom
‫من‬ ‫مكونة‬‫مجموعة‬ ‫موضع‬ ‫لتحديد‬‫مة‬‫ز‬‫الال‬ ‫اإلحداثيات‬‫عدد‬
‫للمجموعة‬ ‫الطالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬‫عدد‬ ‫يسمى‬ ‫أكثر‬‫أو‬ ‫جسيم‬.
-‫الطالقة‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عرف‬
- Define Degrees of Freedom

4. ‫مثال‬:
‫ويلزم‬ ‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫في‬ ‫بحرية‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬3‫مثل‬ ‫إحداثيات‬
(x,y,z)‫الطالق‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬‫عدد‬ ‫ن‬‫يكو‬ ‫بذلك‬ ‫موضعه‬ ‫لتحديد‬‫ة‬
3
‫الحل‬:
‫باملعادالت‬‫املنحنى‬ ‫وصف‬ ‫يمكن‬‫امترية‬‫ر‬‫البا‬x=x(s) ,
y=y(s) , z=z(s)‫حيث‬s‫هو‬‫امتر‬‫ر‬‫البا‬.‫يحدد‬ ‫عندئذ‬
‫معين‬‫واحد‬ ‫إحداثي‬‫بواسطة‬ ‫املنحنى‬ ‫على‬‫الجسيم‬ ‫موضع‬
‫واحدة‬ ‫طالقة‬ ‫جة‬‫ر‬‫د‬‫توجد‬ ‫وبذلك‬.

5. ‫مثال‬:
‫من‬ ‫ن‬‫تتكو‬‫مجموعة‬n‫في‬ ‫بحرية‬ ‫تتحرك‬ ‫الجسيمات‬ ‫من‬
‫يلزمنا‬ ‫اغ‬‫ر‬‫الف‬3n‫ن‬‫يكو‬ ‫وبذلك‬ ‫موضعها‬ ‫لتحديد‬ ‫إحداثيات‬
‫هو‬ ‫الطالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬‫عدد‬3n.
‫الحل‬:
‫يتطلب‬ ‫جسيم‬ ‫كل‬‫إحداثيان‬‫املستو‬ ‫في‬ ‫موضعه‬ ‫لتحديد‬‫وبذلك‬ ‫ى‬
‫يلزم‬5 x 2 = 10‫الجسيمات‬‫مواضع‬ ‫لتحديد‬‫إحداثي‬
‫لها‬‫املجموعة‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ‫الخمسة‬10‫طالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬.

6. ‫مثال‬:
‫م‬ ‫على‬ ‫يتحرك‬ ‫جسيم‬ ‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الطالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عدد‬ ‫حدد‬‫نحنى‬
‫معين‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬–‫ى‬‫مستو‬‫في‬ ‫بحرية‬ ‫تتحرك‬ ‫جسيمات‬ ‫خمسة‬–‫جسيم‬ ‫خمسة‬‫ات‬
‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫في‬ ‫بحرية‬ ‫تتحرك‬–‫قضيب‬ ‫بواسطة‬ ‫متصالن‬ ‫جسيمان‬‫ئ‬ ‫جاس‬‫ي‬‫تحرك‬
‫ى‬‫مستو‬‫في‬ ‫بحرية‬.
‫الحل‬:
‫بواسطة‬ ‫جسمين‬ ‫إحداثيات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬(x1,y1) , (x2,y2)‫بعة‬‫ر‬‫أ‬ ‫أي‬
‫ثابتة‬ ‫النقطتين‬ ‫هاتين‬ ‫بين‬ ‫املسافة‬ ‫أن‬ ‫وحيث‬ ‫إحداثيات‬
(‫القضيب‬ ‫ل‬‫طو‬(x1-x2)2 + (y1-y2)2 = a2)
‫ذل‬ ‫على‬ ‫وبناء‬ ‫ى‬‫األخر‬ ‫بداللة‬ ‫طالقته‬ ‫جة‬‫ر‬‫د‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬ ‫انه‬ ‫وينتج‬‫يوجد‬ ‫ك‬
4-1 = 3‫جات‬‫ر‬‫د‬‫طالقة‬

7. ‫مثال‬:
‫لجسم‬ ‫الطالقة‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عدد‬ ‫اوجد‬‫ئ‬ ‫جاس‬
‫األبعاد‬ ‫ثالثي‬‫اغ‬‫ر‬‫ف‬‫في‬ ‫بحرية‬ ‫يتحرك‬ ‫أن‬ ‫يمكنه‬
‫اغ‬‫ر‬‫الف‬‫في‬ ‫حولها‬ ‫ر‬‫يدو‬‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫ولكن‬ ‫مثبته‬ ‫نقطة‬ ‫لديه‬
‫الحل‬:
1-‫الجسم‬‫في‬ ‫نقط‬ ‫ثالث‬ ‫هناك‬ ‫كانت‬‫إذا‬‫ئ‬ ‫الجاس‬‫اس‬ ‫على‬ ‫تقع‬‫وال‬‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫في‬ ‫مثبته‬‫واحدة‬‫تقامة‬
‫على‬ ‫هي‬ ‫النقط‬‫هذه‬‫اعتبر‬‫اغ‬‫ر‬‫الف‬‫في‬ ‫مثبت‬
ً
‫أيضا‬ ‫ن‬‫يكو‬‫الجسم‬ ‫فإن‬ ‫واحد‬ ‫ى‬‫مستو‬ ‫وفى‬‫التوالي‬(
x1,y1,z1) , (x2,y2,z2) , (x3,y3,z3)
‫الجسم‬‫أن‬ ‫وحيث‬ ‫تسعة‬ ‫ن‬‫يكو‬‫عددها‬ ‫أي‬‫ئ‬ ‫جاس‬‫ن‬‫يكو‬ ‫فإنه‬
(x1-x2)2 + (y1-y2)2 + (z1-z2)2 = cont.
(x1-x3)2 + (y1-y3)2 + (z1-z3)2 = cont.
(x2-x3)2 + (y2-y3)2 + (z2-z3)2 = cont.
‫الباقية‬ ‫الستة‬ ‫بداللة‬ ‫إحداثيات‬ ‫ثالثة‬‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬‫انه‬ ‫أي‬.
‫يلزم‬ ‫وبذلك‬9-3=6‫طالق‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫ست‬ ‫توجد‬ ‫انه‬‫أي‬‫الحركة‬ ‫توصف‬ ‫لكي‬ ‫مستقلة‬ ‫إحداثيات‬‫ة‬.

8. 2-‫الف‬‫في‬ ‫حولها‬ ‫ر‬‫يدو‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫ولكن‬ ‫مثبته‬ ‫نقطة‬ ‫لديه‬‫اغ‬‫ر‬
‫الحل‬:
‫مث‬ ‫نقطتين‬ ‫إحداثيات‬ ‫علمنا‬ ‫إذا‬
ً
‫تماما‬ ‫الحركة‬ ‫وصف‬ ‫يمكن‬
ً
‫ال‬(
x1,y1,z1) , (x2,y2,z2)‫الثابتة‬ ‫النقطة‬ ‫تؤخذ‬ ‫حيث‬
‫الجسم‬ ‫أن‬ ‫وحيث‬ ‫اإلحداثيات‬‫ملجموعة‬ ‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬
‫ن‬‫يكو‬ ‫أن‬‫يجب‬‫متماسك‬
‫الباقي‬ ‫الثالثة‬ ‫بداللة‬ ‫إحداثيات‬ ‫ثالثة‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬ ‫ومنها‬‫وبذلك‬ ، ‫ة‬
‫طالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫ثالثة‬ ‫هناك‬ ‫ن‬‫يكو‬.

9. ‫املعممة‬‫اإلحداثيات‬:Generalized Coordinates
‫نظام‬ ‫يوجد‬ ‫أنه‬ ‫نفرض‬‫به‬n‫الحركة‬ ‫محكم‬ ‫جزء‬(‫مقيد‬)‫جزء‬ ‫مثل‬
‫سلك‬ ‫على‬‫يتحرك‬‫ى‬‫دائر‬‫ى‬‫مستو‬‫في‬‫يتحرك‬‫متماسك‬ ‫جسم‬‫أو‬.
‫هي‬‫الحركة‬ ‫لوصف‬‫مة‬‫ز‬‫الال‬‫املستقلة‬‫اإلحداثيات‬‫من‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬‫فإنه‬
q1,q2,…….qn(‫حيث‬n‫الجسيمات‬ ‫عدد‬)‫هذه‬ ‫تسمى‬
‫املعممة‬‫باإلحداثيات‬‫اإلحداثيات‬.
‫م‬‫االثنين‬‫أو‬‫ايا‬‫و‬‫ز‬‫أو‬‫مسافات‬‫عن‬‫ة‬‫ر‬‫عبا‬‫اإلحداثيات‬ ‫هذه‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫قد‬
ً
‫عا‬
‫وهكذا‬.‫الحرية‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عدد‬‫هو‬ ‫املعممة‬‫اإلحداثيات‬ ‫عدد‬.

10. ‫التحويل‬ ‫معادالت‬:Transformation
Equations
‫قم‬‫ر‬‫الجسيم‬‫موضع‬ ‫متجه‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬(2)‫إلى‬ ‫بالنسبة‬
‫اإلحداثيات‬x,y,z‫هو‬
‫اإلحداثيات‬ ‫بين‬ ‫العالقات‬ ‫فان‬‫و‬‫تعطى‬ ‫املوضع‬ ‫إحداثيات‬‫من‬:-
‫االتجاهية‬ ‫ة‬‫ر‬‫الصو‬ ‫وفى‬
‫حيث‬t‫في‬ ‫الدوال‬ ‫أن‬ ‫بفرض‬ ‫وذلك‬ ‫الزمن‬ ‫هو‬(2)،(3)‫دوال‬
‫متصلة‬ ‫مشتقات‬ ‫ولها‬ ‫متصلة‬.

11. -‫ى‬‫مستو‬ ‫في‬ ‫يتحرك‬ ‫مزدوج‬ ‫ل‬‫لبندو‬ ‫التحويل‬‫معادالت‬ ‫اكتب‬.
- Write the transformation
equations for the two masses in a
double pendulum constrained to move
in a plane.
‫الجسمين‬‫موضع‬
ً
‫تماما‬‫تحددان‬ ‫اإلحداثيات‬m1,m2‫ان‬‫ر‬‫يعتب‬ ‫وبذلك‬
‫الطالقة‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ،‫املعممة‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫هما‬2.‫أن‬ ‫نفرض‬
(x2,y2)،(x1,y1)‫الجسيمين‬ ‫إحداثيات‬ ‫هما‬m1,m2.
‫وهذه‬‫هى‬‫التحويل‬‫معادالت‬.

12. ‫الديناميكية‬ ‫املجموعة‬:Dynamical system
‫منف‬ ‫ن‬‫تكو‬‫قد‬‫الجسيمات‬ ‫وهذه‬ ‫ى‬‫القو‬‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫تتحرك‬‫الجسيمات‬‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬‫صلة‬
‫متصلة‬ ‫أو‬ ‫البعض‬ ‫بعضها‬ ‫عن‬.‫ال‬‫من‬
ً
‫ا‬‫ز‬‫حي‬ ‫تشغل‬ ‫املتصلة‬‫الجسيمات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬‫الجسم‬‫إذا‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬
ً
‫مرنا‬
ً
‫جسما‬ ‫يسمى‬ ‫تتغير‬‫الجسيمات‬ ‫بين‬‫املسافات‬ ‫كانت‬.‫ال‬ ‫بين‬‫املسافات‬ ‫كانت‬‫إذا‬‫أما‬‫ثابتة‬‫جسيمات‬
‫الجسم‬ ‫يسمى‬
ً
‫جاسئا‬
ً
‫متماسكا‬ ‫أو‬.‫الجسم‬‫ئ‬ ‫الجاس‬(‫املتماسك‬ ‫أو‬)‫م‬ ‫خط‬‫شكل‬‫على‬ ‫ن‬‫يكو‬‫قد‬‫مثل‬ ‫ستقيم‬
‫و‬ ‫ذلك‬‫غير‬ ‫أو‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫أو‬‫دائرة‬‫شكل‬‫على‬ ‫سلك‬ ‫مثل‬ ‫منحنى‬‫شكل‬ ‫على‬ ‫أو‬‫مستقيم‬ ‫قضيب‬‫له‬ ‫ن‬‫يكو‬
‫طولية‬ ‫كثافة‬(‫األطوال‬ ‫وحدة‬ ‫كتلة‬)‫الك‬ ‫منتظم‬‫غير‬‫الجسم‬ ‫كان‬‫إذا‬ ‫املوضع‬‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫وهى‬‫إذا‬‫أما‬ ‫ثافة‬
‫شك‬ ‫على‬ ‫منتظم‬ ‫سلك‬
ً
‫فمثال‬، ‫ثابتة‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫الطولية‬‫كثافته‬ ‫فإن‬
ً
‫منتظما‬‫الجسم‬ ‫كان‬‫نصف‬‫دائرة‬‫ل‬
‫ى‬‫تساو‬ ‫كتلته‬ ‫فان‬ ‫وكثافته‬ ‫قطرها‬.ً‫مستويا‬
ً
‫سطحا‬‫الجسم‬ ‫كان‬‫إذا‬‫على‬ ‫صفيحة‬ ‫مثل‬‫أو‬ ‫مثلث‬ ‫شكل‬
‫س‬ ‫كثافة‬ ‫له‬‫ن‬‫فيكو‬ ‫مجوفة‬‫كرة‬ ‫أو‬ ‫مجوفة‬ ‫اسطوانة‬ ‫سطح‬ ‫مثل‬
ً
‫منحنيا‬
ً
‫سطحا‬ ‫كان‬ ‫أو‬‫دائرة‬‫طحية‬
‫منتظمة‬‫غير‬ ‫أو‬ ‫منتظمة‬.‫فم‬ ‫ثابتة‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫السطحية‬‫كثافته‬‫فإن‬
ً
‫منتظما‬ ‫السطح‬ ‫كان‬‫إذا‬‫على‬ ‫صفيحة‬
ً
‫ثال‬
‫بعداه‬ ‫مستطيل‬‫شكل‬a,b‫وك‬ ‫هي‬ ‫املستطيلة‬ ‫الصفيحة‬ ‫كتلة‬ ‫فإن‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬‫كره‬‫سطح‬ ‫أو‬‫تلة‬
‫السطحية‬ ‫للكثافة‬
ً
‫ا‬‫ر‬‫اختصا‬ ‫الكثافة‬‫هي‬ ‫حيث‬‫هي‬ ‫ية‬‫و‬‫الكر‬ ‫الصفيحة‬.‫ي‬‫أن‬ ‫العامة‬‫الحالة‬‫الجسم‬ ‫ن‬‫كو‬
‫كثافة‬ ‫له‬ ‫أي‬‫األبعاد‬ ‫ثالثي‬‫حجمية‬‫منتظم‬‫الجسم‬ ‫كان‬‫إذا‬ ‫منتظمة‬‫غير‬ ‫أو‬‫منتظمة‬ ‫ن‬‫تكو‬‫قد‬‫فإن‬
ً
‫ا‬
‫كثافته‬‫الحجمية‬‫حرفه‬ ‫ل‬‫طو‬ ‫مكعب‬‫شكل‬ ‫على‬ ‫جسم‬
ً
‫فمثال‬ ‫ثابتة‬ ‫ن‬‫تكو‬a‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫مصمتة‬‫كره‬ ‫أو‬
b‫للكثاف‬
ً
‫ا‬‫ر‬‫اختصا‬ ‫الكثافة‬ ‫هي‬ ‫حيث‬ ‫هي‬ ‫املصمتة‬‫الكرة‬ ‫وكتلة‬ ‫هي‬ ‫املكعب‬ ‫كتلة‬ ‫فإن‬‫ة‬‫الحجمية‬.

13. ‫القيود‬ ‫أنواع‬:Kinds of constraints
‫عليه‬ ‫ليس‬‫حرة‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫أن‬ ‫إما‬‫حركتها‬ ‫أثناء‬ ‫الديناميكية‬‫املجموعة‬‫أو‬ ‫قيود‬ ‫ا‬
‫من‬‫مجموعة‬ ‫هناك‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫الحالة‬‫هذه‬ ‫وفى‬ ‫القيود‬‫من‬‫عدد‬ ‫عليها‬ ‫أن‬
‫املجموعة‬‫جسيمات‬ ‫وسرعات‬ ‫مواضع‬ ‫على‬‫ط‬‫و‬‫الشر‬.‫كانت‬ ‫إذا‬
‫من‬ ‫ن‬‫تتكو‬ ‫الديناميكية‬‫املجموعة‬N‫وكانت‬ ‫جسيم‬
q1,q2,…….,qn‫عند‬‫الحركة‬ ‫تصف‬ ‫التي‬‫معممة‬ ‫إحداثيات‬
‫الزمن‬t‫ـ‬‫ل‬n‫الحرك‬ ‫قيود‬‫جميع‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬‫املعممة‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫عدد‬‫ة‬
‫باملعادالت‬ ‫عنها‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬ ‫للمجموعة‬
‫وتحق‬ ‫تتفق‬‫معينة‬
ً
‫قيما‬‫تأخذ‬ ‫الجسيمات‬ ‫وسرعات‬ ‫مواضع‬ ‫أن‬ ‫أي‬‫هذه‬‫ق‬
‫املجموعات‬ ‫تقسيم‬ ‫يمكن‬‫األخيرة‬ ‫العالقة‬(‫األنظمة‬)‫الديناميك‬‫ية‬
‫اآلتية‬ ‫األنواع‬ ‫إلى‬‫املقيدة‬:-

14. 1-
ً
‫منيا‬‫ز‬ ‫املستقر‬‫القيد‬:‫م‬ ‫في‬ ‫احة‬‫ر‬‫ص‬‫الزمن‬ ‫يظهر‬ ‫لم‬ ‫إذا‬‫عادلة‬
‫الديناميكية‬‫املجموعة‬ ‫وتسمى‬ ‫القيد‬‫فى‬‫با‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬‫ملجموعة‬
‫االسكليرونوميه‬Scleronomic
2-
ً
‫منيا‬‫ز‬‫مستقر‬ ‫الغير‬ ‫القيد‬:‫الزمن‬ ‫كان‬ ‫إذا‬t‫احة‬‫ر‬‫ص‬ ‫يظهر‬‫فى‬
‫باملجموعة‬ ‫الديناميكية‬‫املجموعة‬ ‫وتسمى‬ ‫القيد‬ ‫معادلة‬
‫الريهونومية‬Rehonomic.
3-‫ي‬ ‫الهندس‬ ‫القيد‬:‫معادل‬ ‫في‬ ‫احة‬‫ر‬‫ص‬ ‫السرعات‬ ‫تظهر‬ ‫لم‬ ‫إذا‬‫ة‬
‫باملجموعة‬‫املجموعة‬ ‫وتسمى‬ ‫القيد‬‫الهولونوميه‬
Holonomic.

15. 4-‫القيد‬‫الكينماتيكى‬:‫الق‬‫معادلة‬ ‫في‬ ‫احة‬‫ر‬‫ص‬ ‫السرعات‬ ‫ظهرت‬ ‫إذا‬‫يد‬
‫نوعين‬ ‫إلى‬ ‫تنقسم‬ ‫الحالة‬‫وهذه‬:
‫أ‬-‫القيد‬‫معادلة‬ ‫تكامل‬ ‫أمكن‬ ‫إذا‬‫و‬‫تحويلة‬‫هند‬ ‫قيد‬‫إلى‬ ‫بالتالي‬‫ي‬ ‫س‬
‫الديناميكية‬‫املجموعة‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫ولذلك‬‫هولونوميه‬
‫ب‬-‫الديناميكي‬‫املجموعة‬ ‫فإن‬ ‫القيد‬‫معادلة‬ ‫تكامل‬ ‫يمكن‬ ‫لم‬ ‫إذا‬‫ة‬
‫غير‬ ‫مجموعة‬ ‫تسمى‬‫هولونومية‬Non – holonomic
5-‫محافظة‬‫الغير‬‫واملجموعات‬‫املحافظة‬ ‫املجموعات‬:
Conservative and non-conservative
‫اشتقا‬‫يمكن‬ ‫جسيمات‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬‫املؤثرة‬ ‫ى‬‫القو‬ ‫جميع‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬‫قها‬
‫الجهد‬ ‫دالة‬ ‫من‬(‫الجهد‬ ‫طاقة‬ ‫أو‬)‫محافظ‬‫املجموعة‬ ‫تسمى‬ ‫فعندئذ‬‫ة‬
‫محافظة‬ ‫غير‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫فإنها‬ ‫وإال‬.

16. ‫مثال‬:
‫معادلته‬ ‫سطح‬ ‫على‬‫يتحرك‬ ‫جسيم‬F(x,y,z) = o‫القيد‬ ‫نوع‬ ‫بين‬
‫الحل‬:
‫السطح‬‫معادلة‬ ‫هي‬ ‫القيد‬‫معادلة‬F(x,y,z) = o‫مستقر‬ ‫قيد‬‫وهو‬
‫املج‬ ‫ن‬‫وتكو‬ ‫القيد‬‫معادلة‬ ‫في‬ ‫احة‬‫ر‬‫ص‬ ‫يظهر‬ ‫ال‬ ‫الزمن‬ ‫الن‬
ً
‫منيا‬‫ز‬‫موعة‬
‫سكليرونومية‬.‫ف‬ ‫السرعات‬ ‫فيها‬ ‫تظهر‬ ‫ال‬ ‫القيد‬‫معادلة‬ ‫أن‬ ‫حيث‬‫ان‬
‫املجموعة‬ ‫ن‬‫وتكو‬ ‫ي‬ ‫هندس‬ ‫القيد‬‫هولونوميه‬.‫املجموعة‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫هولونوميه‬‫سكليرونومية‬
ً
‫منيا‬‫ز‬ ‫مستقر‬ ‫ي‬ ‫هندس‬ ‫والقيد‬.

17. ‫مالحظة‬:‫اإلحداثيات‬ ‫من‬ ‫عديدة‬ ‫فئات‬‫اختيار‬ ‫يمكن‬
‫ه‬ ‫ما‬‫في‬ ‫ة‬‫ر‬‫املها‬ ‫ولكن‬ ‫معينة‬ ‫مسألة‬ ‫ملعالجة‬‫املعممة‬‫ي‬
‫تبس‬‫أن‬ ‫ويمكن‬ ‫مة‬‫ز‬‫الال‬ ‫املعممة‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫مجموعة‬‫ط‬
‫عظيمة‬ ‫جة‬‫ر‬‫د‬ ‫إلى‬ ‫التحليل‬.