يتناول المستند موضوع الديناميكا وعلاقة الإحداثيات بالحركة، حيث يقوم باستعراض قوانين نيوتن وكيفية تطبيقها على أشكال مختلفة من الإحداثيات. كما يناقش مفهوم درجات الحرية وكيفية تحديد عددها ضمن نظام معين من الجسيمات، بالإضافة إلى شرح كيفية استخدام الإحداثيات العامة في وصف الحركة. يتضمن أيضًا معادلات التحويل التي تربط بين الإحداثيات المختلفة وكيفية تأثير هذه التحويلات على وصف الديناميكا الجامدة.

2. ‫معادالت‬‫انج‬‫ر‬‫الج‬
‫و‬‫املطر‬ ‫الديناميكية‬ ‫املسألة‬ ‫كانت‬ ‫للديناميكا‬ ‫السابقة‬ ‫استنا‬‫ر‬‫د‬‫في‬‫ذات‬‫حة‬‫صيغات‬
‫اإلحداثيات‬ ‫كانت‬ ‫سواء‬ ‫املستخدمة‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫خاصة‬‫ت‬‫ر‬‫الكا‬‫يزية‬‫أو‬
‫الذاتية‬ ‫أو‬ ‫القطبية‬.‫تصاغ‬ ‫وكانت‬‫بمعلومية‬‫للحركة‬ ‫نيوتن‬ ‫قوانين‬.‫ث‬‫هذا‬ ‫ر‬‫تطو‬ ‫م‬
‫الدي‬ ‫املجموعات‬ ‫أوضاع‬ ‫تحكم‬ ‫التي‬ ‫الهندسية‬ ‫للعالقات‬ ‫باللجوء‬ ‫اء‬‫ر‬‫اإلج‬‫ناميكية‬
‫اسة‬‫ر‬‫الد‬ ‫موضع‬.
‫أي‬ ‫العامة‬ ‫الحاالت‬ ‫في‬ ‫سنأخذها‬ ‫التالية‬ ‫استنا‬‫ر‬‫د‬ ‫في‬‫فإنه‬ ‫وبذلك‬‫ئ‬ ‫بش‬‫من‬‫التعميم‬
‫في‬ ‫وضعها‬ ‫ويتحدد‬ ‫عامة‬ ‫صيغة‬ ‫ذات‬ ‫ديناميكية‬ ‫مجموعة‬ ‫نعتبر‬ ‫بأن‬ ‫وذلك‬‫اغ‬‫ر‬‫الف‬
‫لنق‬ ‫إحداثيات‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫كأن‬ ‫الهندسية‬ ‫املعلومات‬ ‫من‬ ‫بمجموعة‬ ‫كامل‬ ‫تحديد‬‫ط‬
‫متميزة‬‫خاصة‬‫بها‬‫ايا‬‫و‬‫ز‬ ‫أو‬ ‫املجموعة‬ ‫هذه‬ ‫مركز‬ ‫ل‬‫حو‬ ‫ر‬‫تدو‬ ‫ر‬‫محاو‬ ‫عن‬ ‫أبعاد‬ ‫أو‬
‫املجموعة‬ ‫لهذه‬ ‫متميزة‬‫خاصة‬ ‫لخطوط‬ ‫ميل‬.
‫املعلومات‬ ‫لهذه‬ ‫ادني‬ ‫حد‬ ‫عادة‬ ‫يوجد‬ ‫عامة‬ ‫ديناميكية‬ ‫مجموعة‬ ‫ألي‬ ‫وبالنسبة‬
‫تس‬ ‫املعلومات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫في‬ ‫املجموعة‬ ‫وضع‬ ‫تحدد‬ ‫التي‬ ‫الهندسية‬‫عادة‬ ‫مى‬
‫املجموعة‬ ‫لهذه‬ ‫املعممة‬ ‫اإلحداثيات‬Generalized Coordinates
.

3. ‫الطالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬Degrees of Freedom
‫من‬ ‫مكونة‬‫مجموعة‬ ‫موضع‬ ‫لتحديد‬‫مة‬‫ز‬‫الال‬ ‫اإلحداثيات‬‫عدد‬
‫للمجموعة‬ ‫الطالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬‫عدد‬ ‫يسمى‬ ‫أكثر‬‫أو‬ ‫جسيم‬.
-‫الطالقة‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عرف‬
- Define Degrees of Freedom

4. ‫مثال‬:
‫ويلزم‬ ‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫في‬ ‫بحرية‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬3‫مثل‬ ‫إحداثيات‬
(x,y,z)‫الطالق‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬‫عدد‬ ‫ن‬‫يكو‬ ‫بذلك‬ ‫موضعه‬ ‫لتحديد‬‫ة‬
3
‫الحل‬:
‫باملعادالت‬‫املنحنى‬ ‫وصف‬ ‫يمكن‬‫امترية‬‫ر‬‫البا‬x=x(s) ,
y=y(s) , z=z(s)‫حيث‬s‫هو‬‫امتر‬‫ر‬‫البا‬.‫يحدد‬ ‫عندئذ‬
‫معين‬‫واحد‬ ‫إحداثي‬‫بواسطة‬ ‫املنحنى‬ ‫على‬‫الجسيم‬ ‫موضع‬
‫واحدة‬ ‫طالقة‬ ‫جة‬‫ر‬‫د‬‫توجد‬ ‫وبذلك‬.

5. ‫مثال‬:
‫من‬ ‫ن‬‫تتكو‬‫مجموعة‬n‫في‬ ‫بحرية‬ ‫تتحرك‬ ‫الجسيمات‬ ‫من‬
‫يلزمنا‬ ‫اغ‬‫ر‬‫الف‬3n‫ن‬‫يكو‬ ‫وبذلك‬ ‫موضعها‬ ‫لتحديد‬ ‫إحداثيات‬
‫هو‬ ‫الطالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬‫عدد‬3n.
‫الحل‬:
‫يتطلب‬ ‫جسيم‬ ‫كل‬‫إحداثيان‬‫املستو‬ ‫في‬ ‫موضعه‬ ‫لتحديد‬‫وبذلك‬ ‫ى‬
‫يلزم‬5 x 2 = 10‫الجسيمات‬‫مواضع‬ ‫لتحديد‬‫إحداثي‬
‫لها‬‫املجموعة‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ‫الخمسة‬10‫طالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬.

6. ‫مثال‬:
‫م‬ ‫على‬ ‫يتحرك‬ ‫جسيم‬ ‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الطالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عدد‬ ‫حدد‬‫نحنى‬
‫معين‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬–‫ى‬‫مستو‬‫في‬ ‫بحرية‬ ‫تتحرك‬ ‫جسيمات‬ ‫خمسة‬–‫جسيم‬ ‫خمسة‬‫ات‬
‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫في‬ ‫بحرية‬ ‫تتحرك‬–‫قضيب‬ ‫بواسطة‬ ‫متصالن‬ ‫جسيمان‬‫ئ‬ ‫جاس‬‫ي‬‫تحرك‬
‫ى‬‫مستو‬‫في‬ ‫بحرية‬.
‫الحل‬:
‫بواسطة‬ ‫جسمين‬ ‫إحداثيات‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬(x1,y1) , (x2,y2)‫بعة‬‫ر‬‫أ‬ ‫أي‬
‫ثابتة‬ ‫النقطتين‬ ‫هاتين‬ ‫بين‬ ‫املسافة‬ ‫أن‬ ‫وحيث‬ ‫إحداثيات‬
(‫القضيب‬ ‫ل‬‫طو‬(x1-x2)2 + (y1-y2)2 = a2)
‫ذل‬ ‫على‬ ‫وبناء‬ ‫ى‬‫األخر‬ ‫بداللة‬ ‫طالقته‬ ‫جة‬‫ر‬‫د‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬ ‫انه‬ ‫وينتج‬‫يوجد‬ ‫ك‬
4-1 = 3‫جات‬‫ر‬‫د‬‫طالقة‬

7. ‫مثال‬:
‫لجسم‬ ‫الطالقة‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عدد‬ ‫اوجد‬‫ئ‬ ‫جاس‬
‫األبعاد‬ ‫ثالثي‬‫اغ‬‫ر‬‫ف‬‫في‬ ‫بحرية‬ ‫يتحرك‬ ‫أن‬ ‫يمكنه‬
‫اغ‬‫ر‬‫الف‬‫في‬ ‫حولها‬ ‫ر‬‫يدو‬‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫ولكن‬ ‫مثبته‬ ‫نقطة‬ ‫لديه‬
‫الحل‬:
1-‫الجسم‬‫في‬ ‫نقط‬ ‫ثالث‬ ‫هناك‬ ‫كانت‬‫إذا‬‫ئ‬ ‫الجاس‬‫اس‬ ‫على‬ ‫تقع‬‫وال‬‫اغ‬‫ر‬‫الف‬ ‫في‬ ‫مثبته‬‫واحدة‬‫تقامة‬
‫على‬ ‫هي‬ ‫النقط‬‫هذه‬‫اعتبر‬‫اغ‬‫ر‬‫الف‬‫في‬ ‫مثبت‬
ً
‫أيضا‬ ‫ن‬‫يكو‬‫الجسم‬ ‫فإن‬ ‫واحد‬ ‫ى‬‫مستو‬ ‫وفى‬‫التوالي‬(
x1,y1,z1) , (x2,y2,z2) , (x3,y3,z3)
‫الجسم‬‫أن‬ ‫وحيث‬ ‫تسعة‬ ‫ن‬‫يكو‬‫عددها‬ ‫أي‬‫ئ‬ ‫جاس‬‫ن‬‫يكو‬ ‫فإنه‬
(x1-x2)2 + (y1-y2)2 + (z1-z2)2 = cont.
(x1-x3)2 + (y1-y3)2 + (z1-z3)2 = cont.
(x2-x3)2 + (y2-y3)2 + (z2-z3)2 = cont.
‫الباقية‬ ‫الستة‬ ‫بداللة‬ ‫إحداثيات‬ ‫ثالثة‬‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬‫انه‬ ‫أي‬.
‫يلزم‬ ‫وبذلك‬9-3=6‫طالق‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫ست‬ ‫توجد‬ ‫انه‬‫أي‬‫الحركة‬ ‫توصف‬ ‫لكي‬ ‫مستقلة‬ ‫إحداثيات‬‫ة‬.

8. 2-‫الف‬‫في‬ ‫حولها‬ ‫ر‬‫يدو‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫ولكن‬ ‫مثبته‬ ‫نقطة‬ ‫لديه‬‫اغ‬‫ر‬
‫الحل‬:
‫مث‬ ‫نقطتين‬ ‫إحداثيات‬ ‫علمنا‬ ‫إذا‬
ً
‫تماما‬ ‫الحركة‬ ‫وصف‬ ‫يمكن‬
ً
‫ال‬(
x1,y1,z1) , (x2,y2,z2)‫الثابتة‬ ‫النقطة‬ ‫تؤخذ‬ ‫حيث‬
‫الجسم‬ ‫أن‬ ‫وحيث‬ ‫اإلحداثيات‬‫ملجموعة‬ ‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬
‫ن‬‫يكو‬ ‫أن‬‫يجب‬‫متماسك‬
‫الباقي‬ ‫الثالثة‬ ‫بداللة‬ ‫إحداثيات‬ ‫ثالثة‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬ ‫ومنها‬‫وبذلك‬ ، ‫ة‬
‫طالقة‬ ‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫ثالثة‬ ‫هناك‬ ‫ن‬‫يكو‬.

9. ‫املعممة‬‫اإلحداثيات‬:Generalized Coordinates
‫نظام‬ ‫يوجد‬ ‫أنه‬ ‫نفرض‬‫به‬n‫الحركة‬ ‫محكم‬ ‫جزء‬(‫مقيد‬)‫جزء‬ ‫مثل‬
‫سلك‬ ‫على‬‫يتحرك‬‫ى‬‫دائر‬‫ى‬‫مستو‬‫في‬‫يتحرك‬‫متماسك‬ ‫جسم‬‫أو‬.
‫هي‬‫الحركة‬ ‫لوصف‬‫مة‬‫ز‬‫الال‬‫املستقلة‬‫اإلحداثيات‬‫من‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬‫فإنه‬
q1,q2,…….qn(‫حيث‬n‫الجسيمات‬ ‫عدد‬)‫هذه‬ ‫تسمى‬
‫املعممة‬‫باإلحداثيات‬‫اإلحداثيات‬.
‫م‬‫االثنين‬‫أو‬‫ايا‬‫و‬‫ز‬‫أو‬‫مسافات‬‫عن‬‫ة‬‫ر‬‫عبا‬‫اإلحداثيات‬ ‫هذه‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫قد‬
ً
‫عا‬
‫وهكذا‬.‫الحرية‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عدد‬‫هو‬ ‫املعممة‬‫اإلحداثيات‬ ‫عدد‬.

10. ‫التحويل‬ ‫معادالت‬:Transformation
Equations
‫قم‬‫ر‬‫الجسيم‬‫موضع‬ ‫متجه‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬(2)‫إلى‬ ‫بالنسبة‬
‫اإلحداثيات‬x,y,z‫هو‬
‫اإلحداثيات‬ ‫بين‬ ‫العالقات‬ ‫فان‬‫و‬‫تعطى‬ ‫املوضع‬ ‫إحداثيات‬‫من‬:-
‫االتجاهية‬ ‫ة‬‫ر‬‫الصو‬ ‫وفى‬
‫حيث‬t‫في‬ ‫الدوال‬ ‫أن‬ ‫بفرض‬ ‫وذلك‬ ‫الزمن‬ ‫هو‬(2)،(3)‫دوال‬
‫متصلة‬ ‫مشتقات‬ ‫ولها‬ ‫متصلة‬.

11. -‫ى‬‫مستو‬ ‫في‬ ‫يتحرك‬ ‫مزدوج‬ ‫ل‬‫لبندو‬ ‫التحويل‬‫معادالت‬ ‫اكتب‬.
- Write the transformation
equations for the two masses in a
double pendulum constrained to move
in a plane.
‫الجسمين‬‫موضع‬
ً
‫تماما‬‫تحددان‬ ‫اإلحداثيات‬m1,m2‫ان‬‫ر‬‫يعتب‬ ‫وبذلك‬
‫الطالقة‬‫جات‬‫ر‬‫د‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ،‫املعممة‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫هما‬2.‫أن‬ ‫نفرض‬
(x2,y2)،(x1,y1)‫الجسيمين‬ ‫إحداثيات‬ ‫هما‬m1,m2.
‫وهذه‬‫هى‬‫التحويل‬‫معادالت‬.

12. ‫الديناميكية‬ ‫املجموعة‬:Dynamical system
‫منف‬ ‫ن‬‫تكو‬‫قد‬‫الجسيمات‬ ‫وهذه‬ ‫ى‬‫القو‬‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫تتحرك‬‫الجسيمات‬‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬‫صلة‬
‫متصلة‬ ‫أو‬ ‫البعض‬ ‫بعضها‬ ‫عن‬.‫ال‬‫من‬
ً
‫ا‬‫ز‬‫حي‬ ‫تشغل‬ ‫املتصلة‬‫الجسيمات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬‫الجسم‬‫إذا‬ ‫اغ‬‫ر‬‫ف‬
ً
‫مرنا‬
ً
‫جسما‬ ‫يسمى‬ ‫تتغير‬‫الجسيمات‬ ‫بين‬‫املسافات‬ ‫كانت‬.‫ال‬ ‫بين‬‫املسافات‬ ‫كانت‬‫إذا‬‫أما‬‫ثابتة‬‫جسيمات‬
‫الجسم‬ ‫يسمى‬
ً
‫جاسئا‬
ً
‫متماسكا‬ ‫أو‬.‫الجسم‬‫ئ‬ ‫الجاس‬(‫املتماسك‬ ‫أو‬)‫م‬ ‫خط‬‫شكل‬‫على‬ ‫ن‬‫يكو‬‫قد‬‫مثل‬ ‫ستقيم‬
‫و‬ ‫ذلك‬‫غير‬ ‫أو‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫أو‬‫دائرة‬‫شكل‬‫على‬ ‫سلك‬ ‫مثل‬ ‫منحنى‬‫شكل‬ ‫على‬ ‫أو‬‫مستقيم‬ ‫قضيب‬‫له‬ ‫ن‬‫يكو‬
‫طولية‬ ‫كثافة‬(‫األطوال‬ ‫وحدة‬ ‫كتلة‬)‫الك‬ ‫منتظم‬‫غير‬‫الجسم‬ ‫كان‬‫إذا‬ ‫املوضع‬‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫وهى‬‫إذا‬‫أما‬ ‫ثافة‬
‫شك‬ ‫على‬ ‫منتظم‬ ‫سلك‬
ً
‫فمثال‬، ‫ثابتة‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫الطولية‬‫كثافته‬ ‫فإن‬
ً
‫منتظما‬‫الجسم‬ ‫كان‬‫نصف‬‫دائرة‬‫ل‬
‫ى‬‫تساو‬ ‫كتلته‬ ‫فان‬ ‫وكثافته‬ ‫قطرها‬.ً‫مستويا‬
ً
‫سطحا‬‫الجسم‬ ‫كان‬‫إذا‬‫على‬ ‫صفيحة‬ ‫مثل‬‫أو‬ ‫مثلث‬ ‫شكل‬
‫س‬ ‫كثافة‬ ‫له‬‫ن‬‫فيكو‬ ‫مجوفة‬‫كرة‬ ‫أو‬ ‫مجوفة‬ ‫اسطوانة‬ ‫سطح‬ ‫مثل‬
ً
‫منحنيا‬
ً
‫سطحا‬ ‫كان‬ ‫أو‬‫دائرة‬‫طحية‬
‫منتظمة‬‫غير‬ ‫أو‬ ‫منتظمة‬.‫فم‬ ‫ثابتة‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫السطحية‬‫كثافته‬‫فإن‬
ً
‫منتظما‬ ‫السطح‬ ‫كان‬‫إذا‬‫على‬ ‫صفيحة‬
ً
‫ثال‬
‫بعداه‬ ‫مستطيل‬‫شكل‬a,b‫وك‬ ‫هي‬ ‫املستطيلة‬ ‫الصفيحة‬ ‫كتلة‬ ‫فإن‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬‫كره‬‫سطح‬ ‫أو‬‫تلة‬
‫السطحية‬ ‫للكثافة‬
ً
‫ا‬‫ر‬‫اختصا‬ ‫الكثافة‬‫هي‬ ‫حيث‬‫هي‬ ‫ية‬‫و‬‫الكر‬ ‫الصفيحة‬.‫ي‬‫أن‬ ‫العامة‬‫الحالة‬‫الجسم‬ ‫ن‬‫كو‬
‫كثافة‬ ‫له‬ ‫أي‬‫األبعاد‬ ‫ثالثي‬‫حجمية‬‫منتظم‬‫الجسم‬ ‫كان‬‫إذا‬ ‫منتظمة‬‫غير‬ ‫أو‬‫منتظمة‬ ‫ن‬‫تكو‬‫قد‬‫فإن‬
ً
‫ا‬
‫كثافته‬‫الحجمية‬‫حرفه‬ ‫ل‬‫طو‬ ‫مكعب‬‫شكل‬ ‫على‬ ‫جسم‬
ً
‫فمثال‬ ‫ثابتة‬ ‫ن‬‫تكو‬a‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫مصمتة‬‫كره‬ ‫أو‬
b‫للكثاف‬
ً
‫ا‬‫ر‬‫اختصا‬ ‫الكثافة‬ ‫هي‬ ‫حيث‬ ‫هي‬ ‫املصمتة‬‫الكرة‬ ‫وكتلة‬ ‫هي‬ ‫املكعب‬ ‫كتلة‬ ‫فإن‬‫ة‬‫الحجمية‬.

13. ‫القيود‬ ‫أنواع‬:Kinds of constraints
‫عليه‬ ‫ليس‬‫حرة‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫أن‬ ‫إما‬‫حركتها‬ ‫أثناء‬ ‫الديناميكية‬‫املجموعة‬‫أو‬ ‫قيود‬ ‫ا‬
‫من‬‫مجموعة‬ ‫هناك‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫الحالة‬‫هذه‬ ‫وفى‬ ‫القيود‬‫من‬‫عدد‬ ‫عليها‬ ‫أن‬
‫املجموعة‬‫جسيمات‬ ‫وسرعات‬ ‫مواضع‬ ‫على‬‫ط‬‫و‬‫الشر‬.‫كانت‬ ‫إذا‬
‫من‬ ‫ن‬‫تتكو‬ ‫الديناميكية‬‫املجموعة‬N‫وكانت‬ ‫جسيم‬
q1,q2,…….,qn‫عند‬‫الحركة‬ ‫تصف‬ ‫التي‬‫معممة‬ ‫إحداثيات‬
‫الزمن‬t‫ـ‬‫ل‬n‫الحرك‬ ‫قيود‬‫جميع‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬‫املعممة‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫عدد‬‫ة‬
‫باملعادالت‬ ‫عنها‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬ ‫للمجموعة‬
‫وتحق‬ ‫تتفق‬‫معينة‬
ً
‫قيما‬‫تأخذ‬ ‫الجسيمات‬ ‫وسرعات‬ ‫مواضع‬ ‫أن‬ ‫أي‬‫هذه‬‫ق‬
‫املجموعات‬ ‫تقسيم‬ ‫يمكن‬‫األخيرة‬ ‫العالقة‬(‫األنظمة‬)‫الديناميك‬‫ية‬
‫اآلتية‬ ‫األنواع‬ ‫إلى‬‫املقيدة‬:-

14. 1-
ً
‫منيا‬‫ز‬ ‫املستقر‬‫القيد‬:‫م‬ ‫في‬ ‫احة‬‫ر‬‫ص‬‫الزمن‬ ‫يظهر‬ ‫لم‬ ‫إذا‬‫عادلة‬
‫الديناميكية‬‫املجموعة‬ ‫وتسمى‬ ‫القيد‬‫فى‬‫با‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬‫ملجموعة‬
‫االسكليرونوميه‬Scleronomic
2-
ً
‫منيا‬‫ز‬‫مستقر‬ ‫الغير‬ ‫القيد‬:‫الزمن‬ ‫كان‬ ‫إذا‬t‫احة‬‫ر‬‫ص‬ ‫يظهر‬‫فى‬
‫باملجموعة‬ ‫الديناميكية‬‫املجموعة‬ ‫وتسمى‬ ‫القيد‬ ‫معادلة‬
‫الريهونومية‬Rehonomic.
3-‫ي‬ ‫الهندس‬ ‫القيد‬:‫معادل‬ ‫في‬ ‫احة‬‫ر‬‫ص‬ ‫السرعات‬ ‫تظهر‬ ‫لم‬ ‫إذا‬‫ة‬
‫باملجموعة‬‫املجموعة‬ ‫وتسمى‬ ‫القيد‬‫الهولونوميه‬
Holonomic.

15. 4-‫القيد‬‫الكينماتيكى‬:‫الق‬‫معادلة‬ ‫في‬ ‫احة‬‫ر‬‫ص‬ ‫السرعات‬ ‫ظهرت‬ ‫إذا‬‫يد‬
‫نوعين‬ ‫إلى‬ ‫تنقسم‬ ‫الحالة‬‫وهذه‬:
‫أ‬-‫القيد‬‫معادلة‬ ‫تكامل‬ ‫أمكن‬ ‫إذا‬‫و‬‫تحويلة‬‫هند‬ ‫قيد‬‫إلى‬ ‫بالتالي‬‫ي‬ ‫س‬
‫الديناميكية‬‫املجموعة‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫ولذلك‬‫هولونوميه‬
‫ب‬-‫الديناميكي‬‫املجموعة‬ ‫فإن‬ ‫القيد‬‫معادلة‬ ‫تكامل‬ ‫يمكن‬ ‫لم‬ ‫إذا‬‫ة‬
‫غير‬ ‫مجموعة‬ ‫تسمى‬‫هولونومية‬Non – holonomic
5-‫محافظة‬‫الغير‬‫واملجموعات‬‫املحافظة‬ ‫املجموعات‬:
Conservative and non-conservative
‫اشتقا‬‫يمكن‬ ‫جسيمات‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬‫املؤثرة‬ ‫ى‬‫القو‬ ‫جميع‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬‫قها‬
‫الجهد‬ ‫دالة‬ ‫من‬(‫الجهد‬ ‫طاقة‬ ‫أو‬)‫محافظ‬‫املجموعة‬ ‫تسمى‬ ‫فعندئذ‬‫ة‬
‫محافظة‬ ‫غير‬ ‫ن‬‫تكو‬ ‫فإنها‬ ‫وإال‬.

16. ‫مثال‬:
‫معادلته‬ ‫سطح‬ ‫على‬‫يتحرك‬ ‫جسيم‬F(x,y,z) = o‫القيد‬ ‫نوع‬ ‫بين‬
‫الحل‬:
‫السطح‬‫معادلة‬ ‫هي‬ ‫القيد‬‫معادلة‬F(x,y,z) = o‫مستقر‬ ‫قيد‬‫وهو‬
‫املج‬ ‫ن‬‫وتكو‬ ‫القيد‬‫معادلة‬ ‫في‬ ‫احة‬‫ر‬‫ص‬ ‫يظهر‬ ‫ال‬ ‫الزمن‬ ‫الن‬
ً
‫منيا‬‫ز‬‫موعة‬
‫سكليرونومية‬.‫ف‬ ‫السرعات‬ ‫فيها‬ ‫تظهر‬ ‫ال‬ ‫القيد‬‫معادلة‬ ‫أن‬ ‫حيث‬‫ان‬
‫املجموعة‬ ‫ن‬‫وتكو‬ ‫ي‬ ‫هندس‬ ‫القيد‬‫هولونوميه‬.‫املجموعة‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫هولونوميه‬‫سكليرونومية‬
ً
‫منيا‬‫ز‬ ‫مستقر‬ ‫ي‬ ‫هندس‬ ‫والقيد‬.

17. ‫مالحظة‬:‫اإلحداثيات‬ ‫من‬ ‫عديدة‬ ‫فئات‬‫اختيار‬ ‫يمكن‬
‫ه‬ ‫ما‬‫في‬ ‫ة‬‫ر‬‫املها‬ ‫ولكن‬ ‫معينة‬ ‫مسألة‬ ‫ملعالجة‬‫املعممة‬‫ي‬
‫تبس‬‫أن‬ ‫ويمكن‬ ‫مة‬‫ز‬‫الال‬ ‫املعممة‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫مجموعة‬‫ط‬
‫عظيمة‬ ‫جة‬‫ر‬‫د‬ ‫إلى‬ ‫التحليل‬.