SlideShare a Scribd company logo
1
3n
1

n

Στα επόμενα θα υπολογίσουμε το άθροισμα:
S
n

(1)

1
n
13

Έχουμε:
S
n

1
n
13

1 1
3 9

1
27

(2)

1
...
81

Αμέσως βλέπουμε ότι:
S
n

1
n
13

1 1
3 9

1
27

1
1
1 1
...
(1
81
3
3 9

S

1
...)
27

ή
(3)

1
(1 S )
3

Από την (3) λοιπόν προκύπτει:
S

1
(1 S )
3

ή

3S 1 S

S

ή

1
2

ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

2S 1

ή

More Related Content

Viewers also liked

презентация юраш
презентация юрашпрезентация юраш
презентация юраш
Vadim Yurash
 
Bd s.martinho
Bd s.martinhoBd s.martinho
Bd s.martinho
Elisabete Andrade
 
the problem with Unions
the problem with Unionsthe problem with Unions
the problem with Unions
The Solar Biz
 
Stampa tr severinofeb_2104
Stampa tr severinofeb_2104Stampa tr severinofeb_2104
Stampa tr severinofeb_2104
Paolonocco
 
Irfan kaplan 125532-cv
Irfan kaplan 125532-cvIrfan kaplan 125532-cv
Irfan kaplan 125532-cvIrfan Kaplan
 
Stb tepl izol
Stb tepl izolStb tepl izol
Stb tepl izol
Archie Parker
 
Acsa presentation november 2013
Acsa presentation november 2013Acsa presentation november 2013
Acsa presentation november 2013
ACSASummit
 
Indian standards on earthquake engineerin gkk
Indian standards on earthquake engineerin gkkIndian standards on earthquake engineerin gkk
Indian standards on earthquake engineerin gkk
ਤਨ੍ਹਾ ਮਾਯੂਸ
 
O que é história - vavy pacheco borges
O que é história -  vavy pacheco borgesO que é história -  vavy pacheco borges
O que é história - vavy pacheco borges
Lucas Guimarães
 
Consejo
ConsejoConsejo
Marketing of Services
Marketing of Services Marketing of Services
1
11
Stb 15225
Stb 15225Stb 15225
Stb 15225
Archie Parker
 
Construcción civil
Construcción civilConstrucción civil
Construcción civil
Soledad Arcos
 
Data flow in the data center
Data flow in the data centerData flow in the data center
Data flow in the data center
Adam Cataldo
 

Viewers also liked (16)

презентация юраш
презентация юрашпрезентация юраш
презентация юраш
 
Bd s.martinho
Bd s.martinhoBd s.martinho
Bd s.martinho
 
the problem with Unions
the problem with Unionsthe problem with Unions
the problem with Unions
 
Stampa tr severinofeb_2104
Stampa tr severinofeb_2104Stampa tr severinofeb_2104
Stampa tr severinofeb_2104
 
Irfan kaplan 125532-cv
Irfan kaplan 125532-cvIrfan kaplan 125532-cv
Irfan kaplan 125532-cv
 
Stb tepl izol
Stb tepl izolStb tepl izol
Stb tepl izol
 
Acsa presentation november 2013
Acsa presentation november 2013Acsa presentation november 2013
Acsa presentation november 2013
 
Indian standards on earthquake engineerin gkk
Indian standards on earthquake engineerin gkkIndian standards on earthquake engineerin gkk
Indian standards on earthquake engineerin gkk
 
O que é história - vavy pacheco borges
O que é história -  vavy pacheco borgesO que é história -  vavy pacheco borges
O que é história - vavy pacheco borges
 
Consejo
ConsejoConsejo
Consejo
 
Marketing of Services
Marketing of Services Marketing of Services
Marketing of Services
 
1
11
1
 
Stb 15225
Stb 15225Stb 15225
Stb 15225
 
Construcción civil
Construcción civilConstrucción civil
Construcción civil
 
Data flow in the data center
Data flow in the data centerData flow in the data center
Data flow in the data center
 
lenny w logo
lenny w logolenny w logo
lenny w logo
 

More from John Fiorentinos

ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣ
John Fiorentinos
 
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμης
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμηςΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμης
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμης
John Fiorentinos
 
ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ
ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ
ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ
John Fiorentinos
 
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
John Fiorentinos
 
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
John Fiorentinos
 
ΠΙΕΣΗ
ΠΙΕΣΗΠΙΕΣΗ
ΠΙΕΣΗ
John Fiorentinos
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ
ΔΥΝΑΜΕΙΣΔΥΝΑΜΕΙΣ
ΔΥΝΑΜΕΙΣ
John Fiorentinos
 
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)
John Fiorentinos
 
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)
John Fiorentinos
 
ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)
ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)
ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)
John Fiorentinos
 
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)
John Fiorentinos
 
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)
John Fiorentinos
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)
John Fiorentinos
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
John Fiorentinos
 
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
John Fiorentinos
 
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
John Fiorentinos
 
ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.
 ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ. ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.
ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.
John Fiorentinos
 
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMBΟ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
John Fiorentinos
 
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
John Fiorentinos
 
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)
John Fiorentinos
 

More from John Fiorentinos (20)

ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΕΡΓΟ-ΙΣΧΥΣ
 
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμης
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμηςΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμης
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Η απλή περίπτωση της σταθερής δύναμης
 
ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ
ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ
ΜΙΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΟΤΗΤΑ
 
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
 
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
 
ΠΙΕΣΗ
ΠΙΕΣΗΠΙΕΣΗ
ΠΙΕΣΗ
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ
ΔΥΝΑΜΕΙΣΔΥΝΑΜΕΙΣ
ΔΥΝΑΜΕΙΣ
 
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΝΕΟ)
 
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)
ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΙΚΡΗ ΣΥΝΟΨΗ (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΟ)
 
ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)
ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)
ΚΥΜΑΤΑ (ΝΕΟ)
 
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Α)
 
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΠΙΕΣΗ (ΜΕΡΟΣ Β)
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Α)
 
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
 
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ
 
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ
 
ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.
 ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ. ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.
ΗΛΕΚΤΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.
 
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMBΟ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
 
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
 
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ)
 

Άθροισμα σειράς

  • 1. 1 3n 1 n Στα επόμενα θα υπολογίσουμε το άθροισμα: S n (1) 1 n 13 Έχουμε: S n 1 n 13 1 1 3 9 1 27 (2) 1 ... 81 Αμέσως βλέπουμε ότι: S n 1 n 13 1 1 3 9 1 27 1 1 1 1 ... (1 81 3 3 9 S 1 ...) 27 ή (3) 1 (1 S ) 3 Από την (3) λοιπόν προκύπτει: S 1 (1 S ) 3 ή 3S 1 S S ή 1 2 ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 2S 1 ή