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信頼度解析の基礎
- 2. 信頼度解析の基礎 -信頼度解析を行う上で使用する変数の定義及び、関係を示す。 ・確率密度関数f(t)：ある時間tで事故が起こる確率を表す。 ・累積分布関数F(t)：ある時間tまでの間に事故が起こる確率を表す。 𝐹 𝑡 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑡𝑖 ∆𝑡 → 0 𝑡 𝑓 𝑠 𝑑𝑠 時間t 事故が起こる確率f(t) O ・・・ 𝑡1 𝑡2 ∆𝑡 𝑡 𝑁 = 𝑡 0からtまでの総和𝐹 𝑡 ・信頼度R(t)：ある時間tまでの間に事故が起こらない確率を表す。 𝑅 𝑡 = 1 − 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑡𝑖 ∆𝑡 → 1 − 𝐹(𝑡) tから∞までの総和𝑅 𝑡
- 3. 信頼度解析の基礎 -信頼度解析を行う上で使用する変数の定義及び、関係を示す。 ・事故率λ(t)：ある時間tで残っている正常な製品が事故品に変わる割合。 Δtでの事故率変化はないとして、事故率を計算すると、以下式を得る。 λ 𝑡 ∆𝑡 = （𝑡 − Δ𝑡から𝑡で故障する製品数） (時間𝑡で正常に稼働している製品数) = 𝑁0 𝐹 𝑡 − 𝑁0 𝐹 𝑡 − ∆𝑡 𝑁0 𝑅(𝑡) = 1 𝑅(𝑡) 𝑑𝐹 𝑡 𝑑𝑡 ∆𝑡 𝑁0：総生産台数 よって以下式を得る。 λ 𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑅(𝑡) ・累積ハザード値H(t)：ある時間tまでの事故率の総和。 𝐻 𝑡 = 𝑖=1 𝑁 λ 𝑡𝑖 ∆𝑡 → 0 𝑡 λ 𝑠 𝑑𝑠 時間t 事故率λ(t) O ・・・ 𝑡1 𝑡2 ∆𝑡 𝑡 𝑁 = 𝑡 0からtまでの総和𝐻 𝑡 t-Δt秒時 t秒時 故障𝑁0 𝐹(𝑡 − ∆𝑡) 正常𝑁0 𝑅(𝑡 − ∆𝑡) 故障𝑁0 𝐹(𝑡) 正常𝑁0 𝑅(𝑡)
- 4. 信頼度解析の基礎 -信頼度解析を行う上で使用する変数の定義及び、関係を示す。 ・λ(t)とR(ｔ)の関係。 𝑑𝑅 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑(1 − 𝐹 𝑡 ) 𝑑𝑡 = −𝑓 𝑡 より、 λ 𝑡 = − 1 𝑅(𝑡) 𝑑𝑅 𝑡 𝑑𝑡 両辺時間tで積分する。 0 𝑡 λ 𝑠 𝑑𝑠 = − 0 𝑡 1 𝑅 𝑠 𝑑𝑅 𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 = −log(R(t)) 𝑅 𝑡 = 𝑒− 0 𝑡 λ 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑒−𝐻(𝑡) ★ ・H(t)<<1の時の関係 𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒−𝐻 𝑡 H(t)<<1の時以下式のような近似が成り立つ。 𝐹 𝑡 ~1 − 1 − 𝐻 𝑡 = 𝐻(𝑡) 𝐻 𝑡 ≪ 1の時 𝐹 𝑡 ~𝐻(𝑡)
- 5. 指数分布 -信頼度解析の基礎より。 ・事故率λ(𝑡) = λ0(𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡. )とする。 ★式より、 よって、事故が起こる確率分布f(t)は以下式のようになる。 𝑅 𝑡 = 𝑒− 0 𝑡 λ 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑒−λ0 𝑡 時間t 事故率λ(t) O ・・・ 𝑡1 𝑡2 ∆𝑡 𝑡 𝑁 = 𝑡 λ0 𝑓 𝑡 = − 𝑑𝑅 𝑡 𝑑𝑡 = λ0 𝑒−λ0 𝑡 以上から、確率分布f(t)は指数分布に従うことが分かる。
- 6. ワイブル分布 -信頼度解析の基礎より。 ・事故率λ(𝑡) = 𝛼𝑡 𝛽 とする。 ★式より、 ここでパラメータを以下の様に書き直す。 𝑚 = 𝛽 + 1 μ = 𝛼 𝛽 + 1 − 1 𝛽+1 よって、事故が起こる確率分布f(t)は以下式のようになる。 𝑅 𝑡 = 𝑒− 0 𝑡 λ 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑒 − 𝛼 𝛽+1 𝑡 𝛽+1 時間t 事故率λ(t) O ・・・ 𝑡1 𝑡2 ∆𝑡 𝑡 𝑁 = 𝑡 λ0 𝑓 𝑡 = − 𝑑𝑅 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑚 μ 𝑡 μ 𝑚−1 𝑒 − 𝑡 μ 𝑚 以上から確率分布f(t)はワイブル分布に従うことが分かる。 β=0、つまりm=1の時、ｆ（t）は以下式の様になる。 𝑓 𝑡 = − 𝑑𝑅 𝑡 𝑑𝑡 = 1 μ 𝑒 − 𝑡 μ これは、λ0 = 1 μ の指数分布である。 以上からワイブル分布は指数分布を含んでいる ことが分かる。ちなみにλ(t)は以下式の様にも書ける。 λ 𝑡 = 𝑚 μ 𝑚 𝑡 𝑚−1 = 𝑚 μ 𝑡 μ 𝑚−1
- 7. 事故率λ(t) -事故率λ(t)の挙動を見ることで、この事故がどのような事故が判断できる。大きく見るとλ(t)は以下に示すバスタブ型を 示すと考えられている。これは、λ(t)の関数形状から、形状パラメータmの値で分類できる。 log t[hr] logλ(t) 0 ≤ 𝑚 < 1 𝑚 ≈ 1 1 < 𝑚 初期故障(0 ≤ 𝑚 < 1) log t[hr] 偶発故障(𝑚 ≈ 1) 事故率計算式 λ 𝑡 = 𝑚 μ 𝑡 μ 𝑚−1 m:形状パラメータ μ：尺度パラメータ t:時間[hr] ※位置パラメータγ=0としている。 𝑙𝑜𝑔 𝑚 μ 摩耗劣化故障(1 < 𝑚) 故障モードを分類して対策すべきかどうか判断できる。 logλ(t) logλ(t) logλ(t) log t[hr] log t[hr]
- 8. 事故データから寿命を推定する方法 -累積ハザード法- -実際の製品稼働データおよび、事故データから事故が起こる寿命を計算する方法を以下に示す。 寿命計算方法の一例として累積ハザード法を解説する。 ➁抽出したデータから逆順位を計算する。これを事故率λに近似できると考える。 （故障時間tが起きるまで機体は、(順位)個だけ稼働している。ここからt立った時 に事故が起こる割合λは、大体1/(順位)だと近似できる。） 事故率の和を取って累積ハザード値Hを計算する。 ①対象事故が起きると考えられる製品の稼働時間及び事故の 有無が示されたデータを用意する。その後、『累積ハザード法』 に従い、データを昇順に並び替えて順位をつける。 その後、破損データのみを抽出する。 i番目の事故率λ𝑖の近似 λ𝑖~ 1 𝑖番目の順位 機体識別番号 故障(稼働)時間 故障かどうか A 1200 正常 B 4500 破損 C 3600 正常 D 3500 正常 E 4800 正常 F 7000 破損 G 6000 正常 H 5000 破損 I 8000 正常 J 3335 正常 K 200 正常 L 2045 正常 機体識別番号 故障(稼働)時間 故障かどうか 順位 K 200 正常 1 A 1200 正常 2 L 2045 正常 3 J 3335 正常 4 D 3500 正常 5 C 3600 正常 6 B 4500 破損 7 E 4800 正常 8 H 5000 破損 9 G 6000 正常 10 F 7000 破損 11 I 8000 正常 12 データ 調整 (故障)機体識別番号 累積ハザード値Hi 時間t B 0.142857143 4500 H 0.342857143 5000 F 0.676190476 7000 計 算 番号m 機体識別番号 故障(稼働)時間 近似事故率λi 1 4500 破損 0.142857143 2 5000 破損 0.111111111 3 7000 破損 0.090909091 累積ハザード値𝐻𝑖 𝐻𝑖~ 𝑗=1 𝑖 λ𝑗
- 9. 事故データから寿命を推定する方法➁ -累積ハザード法- -実際の製品稼働データおよび、事故データから事故が起こる寿命を計算する方法を以下に示す。 寿命計算方法の一例として累積ハザード法を解説する。 ④先ほど➁で求めたH及び稼働時間tの対数を取った値を計算する。その後、 データをプロットし、最小二乗法で計算すると以下図を得る。 ハザード値Hと稼働時間tの関係 log 𝐻 ~Alog t + B (2) ③事故率λが多項式的に変化すると仮定すると、事故が 起こる確率f(t)は時間の関数となり、ワイブル分布に従う。 この時事故率λ(t)及び累積ハザード値H(t)は以下式で書ける。 事故率λ t λ 𝑡 = 𝑚 μ 𝑚 𝑡 𝑚−1 = 𝑚 μ 𝑡 μ 𝑚−1 累積ハザード値H t H t = 0 𝑡 λ 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑡 μ 𝑚 𝑚：形状パラメータ μ：尺度パラメータ 𝑡：稼働時間 ※位置パラメータγ=0として計算される。 ここからμ 、𝑚を決定することを考える。累積ハザード値の両辺 に自然対数を取ると以下式を得る。 ハザード値H(t)と稼働時間tの関係 log 𝐻 ~mlog t − mlog μ (1)
- 10. 事故データから寿命を推定する方法③ -累積ハザード法- -実際の製品稼働データおよび、事故データから事故が起こる寿命を計算する方法を以下に示す。 寿命計算方法の一例として累積ハザード法を解説する。 ⑤（１）、（２）を比較することにより、パラメータμ 、𝑚を 決定することが出来る。 パラメータ推定値 𝑚 = 𝐴 𝜇 = 𝑒− 𝐵 𝐴 ⑥以上より寿命𝐿 𝑛を決定する。ここで寿命𝐿 𝑛とは、 『考えている事故がn%起こるまでの時間』である。 以上より、以下式が成り立つ。 推定寿命𝐿 𝑛 𝐿 𝑛 = 1 𝑚 𝑙𝑜𝑔 100 100−𝑛 +𝑙𝑜𝑔 𝜇 𝐹 𝐿 𝑛 = 𝑛 100 𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒 − 𝑡 μ 𝑚 より𝐿 𝑛は、以下式の様に計算できる。 （注意）以下式の様に寿命𝐿 𝑛を計算する場合もある。 𝐻 𝐿 𝑛 = 𝑛 100 これは、𝐻 𝐿 𝑛 ≪ 1の時、𝐻 𝐿 𝑛 ~𝐹 𝐿 𝑛 となるためである。 以上から寿命𝐿 𝑛は以下式の様に計算できる。 𝐻 𝐿 𝑛 ≪ 1の時成り立つ推定寿命𝐿 𝑛 𝐿 𝑛 = 𝜇 𝑛 100 1 𝑚 しかし、特別な理由がない限り、⑥の方法で計算するのが 無難である。（大体事故率は、1%でも十分大きいため、この 条件を満たさない場合は少ないとは考えられる。）