该文档讨论了多种几何变换，如平移、反射和旋转。它深入探讨了这些变换在不同上下文中的应用和影响。文档内容丰富，包含了相关理论和实践的详细信息。

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µ—«™’È«—¥·≈– “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ·°π°≈“ß °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å 57

61. ‡¡◊ËÕµâÕß°“√À“ª√‘¡“µ√·≈–æ◊Èπ∑’˺‘«¢Õߪ√‘´÷¡„π√Ÿª ° ∂â“ “¡“√∂„™â°“√π÷°¿“扥â«à“ª√‘´÷¡¥—ß°≈à“«
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°“√ª√–¡“≥ (approximation)
°“√ª√–¡“≥‡ªìπ°“√À“§à“´÷Ë߉¡à„™à§à“∑’Ë·∑â®√‘ß ·µà‡ªìπ°“√À“§à“∑’Ë¡’§«“¡≈–‡Õ’¬¥‡æ’¬ßæÕ
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°“√ª√–¡“≥§à“ (estimation)
°“√ª√–¡“≥§à“‡ªìπ°“√§”π«≥À“º≈≈—æ∏å‚¥¬ª√–¡“≥ ¥â«¬°“√ª√–¡“≥·µà≈–®”π«π
∑’ˇ°’ˬ«¢âÕß°àÕπ·≈â«®÷ßπ”¡“§”π«≥À“º≈≈—æ∏å °“√ª√–¡“≥·µà≈–®”π«π∑’Ë®–π”¡“§”π«≥Õ“®„™â
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°“√·ª≈ß∑“߇√¢“§≥‘µ (geometric transformation)
°“√·ª≈ß∑“߇√¢“§≥‘µ„π∑’Ëπ’ȇπâπ‡©æ“–°“√‡ª≈’Ë¬πµ”·ÀπàߢÕß√Ÿª‡√¢“§≥‘µ∑’Ë≈—°…≥–·≈–
¢π“¥¢Õß√Ÿª¬—ߧ߇¥‘¡ ´÷Ë߇ªìπº≈®“°°“√‡≈◊ËÕπ¢π“π (translation) °“√ –∑âÕπ (reflection) À√◊Õ°“√À¡ÿπ
(rotation) ‚¥¬‰¡à°≈à“«∂÷ß ¡°“√À√◊Õ Ÿµ√∑’Ë· ¥ß§«“¡ —¡æ—π∏å„π°“√·ª≈ßπ—Èπ
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°“√ ◊∫‡ “– —߇°µ ·≈–§“¥°“√≥凪ìπ°√–∫«π°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë à߇ √‘¡„ÀâºâŸ‡√’¬π √â“ßÕߧ姫“¡√Ÿâ
¢÷Èπ¡“¥â«¬µπ‡Õß „π∑’Ëπ’È„™â ¡∫—µ‘∑“߇√¢“§≥‘µ‡ªìπ ◊ËÕ„π°“√‡√’¬π√Ÿâ ºŸâ Õπ§«√°”Àπ¥°‘®°√√¡∑“ß
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æ‘®“√≥“‰¥â®“°°“√∑”°‘®°√√¡¢ÕߺŸâ‡√’¬π
58 µ—«™’È«—¥·≈– “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ·°π°≈“ß °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å

62. §«“¡√Ÿâ ÷°‡™‘ß®”π«π (number sense)
§«“¡√Ÿ °‡™‘ß®”π«π‡ªìπ “¡—≠ ”π÷°·≈–§«“¡‡¢â“„®‡°’¬«°—∫®”π«π∑’Õ“®æ‘®“√≥“„π¥â“πµà“ß Ê
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(‡™àπ «‘Ë߇¢â“‡ âπ™—¬‡ªìπ∑’Ë ı)
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§«√¡“°°«à“ Ò ‡æ√“–«à“ ˆı > ˆ, ÙÚ > Ù ·≈– ˆ + Ù = Ò
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§«“¡√Ÿâ ÷°‡™‘ß®”π«π “¡“√∂æ—≤π“·≈– à߇ √‘¡„À⇰‘¥¢÷Èπ°—∫ºŸâ‡√’¬π‰¥â ‚¥¬®—¥ª√– ∫°“√≥å
°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’ˇÀ¡“– ¡´÷Ëß√«¡‰ª∂÷ß°“√§‘¥„π„®·≈–°“√ª√–¡“≥§à“ ºŸâ‡√’¬π∑’Ë¡’§«“¡√Ÿâ ÷°‡™‘ß®”π«π¥’
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µ—«·∫∫‡™‘ߧ≥‘µ»“ µ√å (mathematical model)
µ—«·∫∫‡™‘ߧ≥‘µ»“ µ√å ‰¥â·°à µ“√“ß °√“ø π‘æ®πå ¡°“√ Õ ¡°“√ øíß°å™π À√◊ÕÕ◊π Ê ∑’‡À¡“– ¡
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∑—°…–·≈–°√–∫«π°“√∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å (mathematical skill and process)
∑— ° …–·≈–°√–∫«π°“√∑“ߧ≥‘ µ »“ µ√å ‡ ªì 𠧫“¡ “¡“√∂∑’Ë ® –𔧫“¡√Ÿâ ‰ ªª√–¬ÿ ° µå „ ™â
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·≈–°√–∫«π°“√∑“ߧ≥‘ µ »“ µ√å „ π∑’Ë π’È ‡πâ π ∑’Ë ∑— ° …–·≈–°√–∫«π°“√∑“ߧ≥‘ µ »“ µ√å ∑’Ë ®”‡ªì π
·≈–µâÕß°“√æ—≤π“„À⇰‘¥¢÷π°—∫ºŸ‡√’¬π ‰¥â·°à §«“¡ “¡“√∂„π°“√·°âª≠À“ §«“¡ “¡“√∂„π°“√„Àâ‡Àµÿº≈
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§«“¡ “¡“√∂„π°“√ ◊Õ “√ ◊Õ§«“¡À¡“¬∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å ·≈–𔇠πÕ §«“¡ “¡“√∂„π°“√‡™◊Õ¡‚¬ß§«“¡√Ÿâ
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µ—«™’È«—¥·≈– “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ·°π°≈“ß °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å 59

63. „π°“√®— ¥ °“√‡√’ ¬ π°“√ Õπ§≥‘ µ »“ µ√å ºŸâ Õπµâ Õ ß Õ¥·∑√°∑— ° …–·≈–°√–∫«π°“√
∑“ߧ≥‘µ»“ µ√凢⓰—∫°“√‡√’¬π°“√ Õπ¥â“π‡π◊ÈÕÀ“¥â«¬°“√„Àâπ—°‡√’¬π∑”°‘®°√√¡À√◊Õµ—Èߧ”∂“¡∑’Ë°√–µÿâπ
„Àâπ—°‡√’¬π§‘¥ Õ∏‘∫“¬ ·≈–„Àâ‡Àµÿº≈ ‡™àπ „Àâπ—°‡√’¬π·°âªí≠À“‚¥¬„™â§«“¡√Ÿâ∑’ˇ√’¬π¡“·≈â«À√◊Õ„Àâπ—°‡√’¬π
‡√’¬π√Ÿâºà“π°“√·°âªí≠À“ „Àâπ—°‡√’¬π„™â§«“¡√Ÿâ∑“ßæ’™§≥‘µ„π°“√·°âªí≠À“À√◊ÕÕ∏‘∫“¬‡Àµÿº≈∑“߇√¢“§≥‘µ
„Àâ π— ° ‡√’ ¬ π„™â § «“¡√Ÿâ ∑ “ߧ≥‘ µ »“ µ√å „ π°“√Õ∏‘ ∫ “¬‡°’Ë ¬ «°— ∫ ∂“π°“√≥å µà “ ß Ê „π™’ «‘ µ ª√–®”«— π
À√◊Õ°√–µÿπ„Àâπ°‡√’¬π„™â§«“¡√Ÿ∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å„π°“√ √â“ß √√§åº≈ß“π∑’À≈“°À≈“¬·≈–·µ°µà“ß®“°§πÕ◊π
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√«¡∑—Èß°“√·°âªí≠À“∑’Ë·µ°µà“ß®“°§πÕ◊Ëπ¥â«¬
°“√ª√–‡¡‘πº≈¥â“π∑—°…–·≈–°√–∫«π°“√∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å “¡“√∂ª√–‡¡‘π‰¥â®“°°‘®°√√¡
∑’Ëπ—°‡√’¬π∑” ®“°·∫∫Ωñ°À—¥ ®“°°“√‡¢’¬πÕπÿ∑‘π À√◊Õ¢âÕ Õ∫∑’ˇªìπ§”∂“¡ª≈“¬‡ªî¥∑’Ë„Àâ‚Õ°“ π—°‡√’¬π
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·∫∫®”≈Õß∑“߇√¢“§≥‘µ (geometric model)
·∫∫®”≈Õß∑“߇√¢“§≥‘µ ‰¥â·°à √Ÿª‡√¢“§≥‘µ´÷Ëß„™â„π°“√· ¥ß °“√Õ∏‘∫“¬§«“¡ —¡æ—π∏å
À√◊ՙ૬·°âªí≠À“∑’Ë°”Àπ¥„Àâ
·∫∫√Ÿª (pattern)
·∫∫√Ÿª‡ªì𧫓¡ —¡æ—π∏å∑’Ë· ¥ß≈—°…≥– ”§—≠√à«¡°—π¢Õß™ÿ¥ ¢Õß®”π«π√Ÿª‡√¢“§≥‘µ À√◊ÕÕ◊Ëπ Ê
°“√„À⺟â‡√’¬π‰¥âΩñ° —߇°µ·≈–«‘‡§√“–Àå·∫∫√Ÿª‡ªìπ à«πÀπ÷Ëß∑’Ë®–™à«¬ à߇ √‘¡„À⇰‘¥°√–∫«π°“√ √â“ß
Õߧ姫“¡√Ÿâ∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å °≈à“«§◊Õ —߇°µ ”√«® §“¥°“√≥å ·≈–„Àâ‡Àµÿº≈ π—∫ πÿπÀ√◊Õ§â“π
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µ—«Õ¬à“߇™àπ „π√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“ ‡¡◊ËÕ°”Àπ¥™ÿ¥¢Õß√Ÿª‡√¢“§≥‘µ ·≈–
∂ⓧ«“¡ —¡æ—π∏凪ìπ‡™àππ’ȇ√◊ËÕ¬‰ª ºŸâ‡√’¬ππà“®–§“¥°“√≥剥⫓√ŸªµàÕ‰ª„π·∫∫√Ÿªπ’ȧ«√‡ªìπ
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∑’Ë«à“¡’°“√‡¢’¬π√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡·≈–√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡ ≈—∫°—π§√—Èß≈–Àπ÷Ëß√Ÿª
60 µ—«™’È«—¥·≈– “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ·°π°≈“ß °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å

64. ‡™à 𠇥’ ¬ «°— π ‡¡◊Ë Õ ¡’ · ∫∫√Ÿ ª ™ÿ ¥ ¢Õß®”π«π ÒÒ ÒÒ ÒÒ ÒÒ ·≈–∂â “
§«“¡ —¡æ—π∏凪ìπ‡™àππ’ȇ√◊ËÕ¬‰ª ºŸâ‡√’¬ππà“®–§“¥°“√≥剥â«à“®”π«π∂—¥‰ª§«√‡ªìπ ÒÒ ¥â«¬‡Àµÿº≈
∑’Ë«à“µ—«‡≈¢∑’Ë· ¥ß®”π«π∂—¥‰ª‰¥â¡“®“°°“√‡µ‘¡  ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ¡“Àπ÷Ëßµ—«„π√–À«à“߇≈¢‚¥¥ Ò ∑’ËÕ¬ŸàÀ—«∑⓬
„π√–¥—∫™—Èπ∑’Ë Ÿß¢÷Èπ ·∫∫√Ÿª∑’Ë°”Àπ¥„À⺟â‡√’¬π —߇°µ·≈–«‘‡§√“–À姫√‡ªìπ·∫∫√Ÿª∑’Ë “¡“√∂
𔉪 Ÿà°“√‡¢’¬π√Ÿª∑—Ë«‰ª‚¥¬„™âµ—«·ª√„π≈—°…≥–‡ªìπøíß°å™—πÀ√◊Õ§«“¡ —¡æ—π∏åÕ◊Ëπ Ê ‡™‘ߧ≥‘µ»“ µ√å ‡™àπ
‡¡◊ËÕ°”Àπ¥·∫∫√Ÿª Ò Û ı ˜ ˘ ÒÒ ¡“„Àâ·≈–∂ⓧ«“¡ —¡æ—π∏凪ìπ‡™àππ’ȇ√◊ËÕ¬‰ª ºŸâ‡√’¬π§«√‡¢’¬π
√Ÿª∑—Ë«‰ª¢Õß®”π«π„π·∫∫√Ÿª‰¥â‡ªìπ Ún › Ò ‡¡◊ËÕ n = Ò, Ú, Û, Ç
√Ÿª‡√¢“§≥‘µ (geometric figure)
√Ÿª‡√¢“§≥‘µ‡ªìπ√Ÿª∑’˪√–°Õ∫¥â«¬ ®ÿ¥ ‡ âπµ√ß ‡ âπ‚§âß √–π“∫ œ≈œ Õ¬à“ßπâÕ¬Àπ÷ËßÕ¬à“ß
✧ µ—«Õ¬à“ߢÕß√Ÿª‡√¢“§≥‘µÀπ÷Ëß¡‘µ‘ ‰¥â·°à ‡ âπµ√ß à«π¢Õ߇ âπµ√ß ·≈–√—ß ’
✧ µ—«Õ¬à“ߢÕß√Ÿª‡√¢“§≥‘µ Õß¡‘µ‘ ‰¥â·°à ¡ÿ¡ «ß°≈¡ √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ·≈–√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡
✧ µ—«Õ¬à“ߢÕß√Ÿª‡√¢“§≥‘µ “¡¡‘µ‘ ‰¥â·°à ∑√ß°≈¡ ≈Ÿ°∫“»°å ª√‘´÷¡ ·≈–æ’√–¡‘¥
—πµ√ß (straightedge)
—πµ√߇ªìπ‡§√◊ËÕß¡◊ÕÀ√◊ÕÕÿª°√≥å∑’Ë„™â„π°“√‡¢’¬π‡ âπ„π·π«µ√ß ‡™àπ „™â‡¢’¬π à«π¢Õ߇ âπµ√ß
·≈–√—ß ’ ª°µ‘∫π —πµ√ß®–‰¡à¡’¡“µ√“«—¥ (measure) °”°—∫‰«â Õ¬à“߉√°Áµ“¡„π°“√‡√’¬π°“√ ÕπÕπÿ‚≈¡
„Àℙ≡â∫√√∑—¥·∑π —πµ√߉¥â‚¥¬∂◊Õ‡ ¡◊Õπ«à“‰¡à¡’¡“µ√“«—¥
‡Àµÿº≈‡°’ˬ«°—∫ª√‘¿Ÿ¡‘ (spatial reasoning)
‡Àµÿ º ≈‡°’Ë ¬ «°— ∫ ª√‘ ¿Ÿ ¡‘ „ π∑’Ë π’È ‡ ªì π °“√„™â § «“¡√Ÿâ § «“¡‡¢â “ „®‡°’Ë ¬ «°— ∫ ¡∫— µ‘ µà “ ß Ê ¢Õß
√Ÿª‡√¢“§≥‘µ·≈–§«“¡ —¡æ—π∏å√–À«à“ß√Ÿª‡√¢“§≥‘µ ¡“„Àâ‡Àµÿº≈À√◊ÕÕ∏‘∫“¬ª√“°Ø°“√≥åÀ√◊Õ·°âªí≠À“
∑“߇√¢“§≥‘µ
µ—«™’È«—¥·≈– “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ·°π°≈“ß °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å 61

65. 62 µ—«™’È«—¥·≈– “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ·°π°≈“ß °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å

66. §≥–ºŸâ®—¥∑”
§≥–∑’˪√÷°…“
Ò. §ÿ≥À≠‘ß°…¡“ «√«√√≥ ≥ Õ¬ÿ∏¬“ ‡≈¢“∏‘°“√§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π
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Û. 𓬠ÿ™“µ‘ «ß»å ÿ«√√≥ ∑’˪√÷°…“¥â“πæ—≤π“°√–∫«π°“√‡√’¬π√Ÿâ
Ù. π“߇∫≠®≈—°…≥å πÈ”øÑ“ ºŸâÕ”π«¬°“√ ”π—°«‘™“°“√·≈–¡“µ√∞“π°“√»÷°…“
ı. π“ß¿“«π’ ∏”√߇≈‘»ƒ∑∏‘Ï √ÕߺŸâÕ”π«¬°“√ ”π—°«‘™“°“√·≈–¡“µ√∞“π°“√»÷°…“
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Û. √Õß»“ µ√“®“√¬å ‘√‘æ√ ∑‘æ¬å§ß §≥–∑”ß“π
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Ù. ºŸâ™à«¬»“ µ√“®“√¬åÕ—¡æ√ ¡â“§–πÕß §≥–∑”ß“π
®ÿÓ≈ß°√≥å¡À“«‘∑¬“≈—¬
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∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’
ˆ. π“ß “«®“√ÿ«√√≥ · ß∑Õß §≥–∑”ß“π
∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’
˜. π“߇™Õ√’Ë Õ¬Ÿà¥’ §≥–∑”ß“π
∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’
¯. π“ß™ÿ≈’æ√ ÿ¿∏’√– §≥–∑”ß“π
∂“∫—π à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’
µ—«™’È«—¥·≈– “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ·°π°≈“ß °≈ÿà¡ “√–°“√‡√’¬π√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å 63

67. ˘. π“ß “«π«≈πâÕ¬ ‡®√‘≠º≈ §≥–∑”ß“π
”π—°ß“π‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“°√ÿ߇∑æ¡À“π§√ ‡¢µ Ú
Ò. π“¬¡πµ√’ ‡¡¶«‘‰≈ §≥–∑”ß“π
”π—°ß“π‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“√“™∫ÿ√’ ‡¢µ Ú
ÒÒ. π“ß ¡∫Ÿ√≥å ∑¬“æ—™√ §≥–∑”ß“π
”π—°ß“π‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“π§√ª∞¡ ‡¢µ Ú
ÒÚ. π“ßæ√√≥’ ‡∑æ Ÿµ√ §≥–∑”ß“π
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ÒÛ. π“ß “«¥«ß„® ª«’≥Õ¿‘™“µ §≥–∑”ß“π
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