矩阵及其运算

1. 矩阵及其运算
.
.
.
1.1 矩阵及其运算
.
.. .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊
2010-07-22
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

2. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
定义 .
..
由 m × n 个数 aij (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n), 排成的 m 行 n 列
的矩形
.
.
.. .
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
. .
. .
.
. . .
am1 am2 · · · amn
.
称为一个 m × n 矩阵。 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

3. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
定义 .
..
由 m × n 个数 aij (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n), 排成的 m 行 n 列
的矩形
.
.
.. .
 
a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 
 . . . 
 .. .
. . 
.
am1 am2 · · · amn
.
称为一个 m × n 矩阵。 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

4. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
定义 .
..
由 m × n 个数 aij (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n), 排成的 m 行 n 列
的矩形
.
.
.. .
 
a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 
Amn = (aij ) =  .
 . .
. . 
. 
. . .
am1 am2 · · · amn
.
称为一个 m × n 矩阵。 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

5. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
.
记号 .
..
Amn = (aij ), 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m;
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

6. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
.
记号 .
..
Amn = (aij ), 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m;
. Amn = (aij ), 1 ≤ i, j ≤ n;
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

7. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

8. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源一: 线性方程组 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

9. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源一: 线性方程组 .
.
.
.. .

 a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 ,


 a21 x1 + · · · + a2n xn = b2 ,
 .
.

 .

am1 x1 + · · · + amn xn = bm .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

10. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源一: 线性方程组 .
.
.
.. .
  
 a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 , a11 a12 ··· a1n

  a21 
 a21 x1 + · · · + a2n xn = b2 ,  a22 ··· a2n 
.  . . . 

 .
.  .. .
. .
. 


am1 x1 + · · · + amn xn = bm . am1 am2 · · · amn
. . . . . .
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11. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

12. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源一: 线性方程组 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

13. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源一: 线性方程组 .
.
.
.. .
  
 a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 ,
 a11 a12 · · · a1n b1

 a21 x1 + · · · + a2n xn = b2 ,  a21 a22 · · · a2n b2 
 
.
.  . . . .

 .  .. .
. .
. .
.


am1 x1 + · · · + amn xn = bm . am1 am2 · · · amn bm
. . . . . .
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14. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源二: 线性变换 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

15. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源二: 线性变换 .
.
.
.. .

 y1 = a11 x1 + a12 x2 · · · + a1n xn


 y2 = a21 x1 + a22 x2 · · · + a2n xn ,
 .
.

 .

ym = am1 x1 + am2 x2 · · · + amn xn .
. . . . . .
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16. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源二: 线性变换 .
.
.
.. .
y1 = a11 x1 + · · · + a1n xn
y2 = a21 x1 + · · · + a2n xn ,
.
.
.
ym = am1 x1 + · · · + amn xn .
. . . . . .
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17. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 为何要引入矩阵？
.
来源二: 线性变换 .
.
.
.. .
y1 = a11 x1 + · · · + a1n xn   a 
· · · a1n  x1 
y1 11
y2 = a21 x1 + · · · + a2n xn ,  y2   a21 · · · a2n   x2 
 = .  
.
. · · ·  .
 .
 
 ···
.
ym = am1 x1 + · · · + amn xn . ym am1 · · · amn xm
. . . . . .
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18. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 加法运算
     
a11 ··· a1n b11 ··· b1n a11 + b11 ··· a12 + b1n
 . . + . . = . . 
 .
. .   .
. . .  
. .
. .
. 
am1 ··· anm bm1 ··· bnm am1 + bm1 ··· anm + bnm
. . . . . .
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19. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 加法运算
     
a11 ··· a1n b11 ··· b1n a11 + b11 ··· a12 + b1n
 . . + . . = . . 
 .
. .   .
. . .  
. .
. .
. 
am1 ··· anm bm1 ··· bnm am1 + bm1 ··· anm + bnm
.
加法运算 .
..
Amn = (aij ), Bmn = (bij ), 则 (aij ) + (bij ) = (cij )
.
.
.. .
. . . . . .
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20. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 数乘运算
 
a11 ··· a1n
 . . =
k .
. . 
.
am1 · · · anm
. . . . . .
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21. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 数乘运算
   
a11 ··· a1n k · c11 ··· k · c1n
 . .  = . . 
k .
. .   .
. . . 
.
am1 · · · anm k · cm1 · · · k · cnm
. . . . . .
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22. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 数乘运算
   
a11 ··· a1n k · c11 ··· k · c1n
 . .  = . . 
k .
. .   .
. . . 
.
am1 · · · anm k · cm1 · · · k · cnm
.
数乘运算 .
..
Amn = (aij ), 则 kA = (k · aij )
.
.
.. .
. . . . . .
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23. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 零矩阵和负矩阵
.
零矩阵, .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

24. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 零矩阵和负矩阵
.
零矩阵, 记做 O; .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

25. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 零矩阵和负矩阵
.
零矩阵, 记做 O; .
负矩阵;
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

26. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 零矩阵和负矩阵
.
零矩阵, 记做 O; .
负矩阵;
. 我们把 A 的负矩阵记作 −A, 实际上它就是 (−1) · A;
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

27. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 零矩阵和负矩阵
.
零矩阵, 记做 O; .
负矩阵;
. 我们把 A 的负矩阵记作 −A, 实际上它就是 (−1) · A;
.
.. .
0 · A = k · O = O,
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

28. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 零矩阵和负矩阵
.
零矩阵, 记做 O; .
负矩阵;
. 我们把 A 的负矩阵记作 −A, 实际上它就是 (−1) · A;
.
.. .
0 · A = k · O = O,
A + (−A) = −A + A = O.
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

29. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 零矩阵和负矩阵
.
零矩阵, 记做 O; .
负矩阵;
. 我们把 A 的负矩阵记作 −A, 实际上它就是 (−1) · A;
.
.. .
0 · A = k · O = O,
A + (−A) = −A + A = O.
A + O = O + A = A.
. . . . . .
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30. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵运算律
.
. A+B =B+A
.
.
1 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

31. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵运算律
.
. A+B =B+A
.
.
1 (交换律).
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

32. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵运算律
.
. A+B =B+A
.
.
1 (交换律).
. k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + lA
.
.
2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

33. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵运算律
.
. A+B =B+A
.
.
1 (交换律).
. k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + lA
.
.
2 (分配律)
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

34. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵运算律
.
. A+B =B+A
..1 (交换律).
. k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + lA (分配律)
..2
.. (A + B) + C = A + (B + C); (kl)A = k(lA);
..3
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

35. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵运算律
.
. A+B =B+A
..1 (交换律).
. k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + lA (分配律)
..2
.. (A + B) + C = A + (B + C); (kl)A = k(lA); (结合律)
..3
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

36. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵运算律
.
. A+B =B+A
..1 (交换律).
. k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + lA (分配律)
..2
.. (A + B) + C = A + (B + C); (kl)A = k(lA); (结合律)
..3
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

37. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 线性变换的复合
z1 = a11 y1 + a12 y2 ,
z2 = a22 y1 + a22 y2 ,
y1 = b11 x1 + b12 x2 ,
y2 = b22 x1 + b22 x2 ,
. . . . . .
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38. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 线性变换的复合
z1 = a11 y1 + a12 y2 , a11 a12
z2 = a22 y1 + a22 y2 , a21 a22
y1 = b11 x1 + b12 x2 , b11 b12
y2 = b22 x1 + b22 x2 , b21 b22
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

39. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 线性变换的复合
z1 = a11 y1 + a12 y2 , a11 a12
z2 = a22 y1 + a22 y2 , a21 a22
y1 = b11 x1 + b12 x2 , b11 b12
y2 = b22 x1 + b22 x2 , b21 b22
z1 = (a11 b11 + a12 b21 )x1 + (a11 b12 + a12 b22 )x2 ,
z2 = (a21 b11 + a22 b21 )x1 + (a21 b12 + a22 b22 )x2 .
. . . . . .
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40. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 线性变换的复合
z1 = a11 y1 + a12 y2 , a11 a12
z2 = a22 y1 + a22 y2 , a21 a22
y1 = b11 x1 + b12 x2 , b11 b12
y2 = b22 x1 + b22 x2 , b21 b22
z1 = (a11 b11 + a12 b21 )x1 + (a11 b12 + a12 b22 )x2 ,
z2 = (a21 b11 + a22 b21 )x1 + (a21 b12 + a22 b22 )x2 .
a11 a12 b b a b + a12 b21 a11 b12 + a12 b22
, 11 12 −→ 11 11
a21 a22 b21 b22 a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22
. . . . . .
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41. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵乘法定义
.
定义：矩阵乘法 .
..
设 Aml = (aik ), Bln = (bkj ), 则 A, B 的乘积 AB 为矩
阵 Cmn = (cij ), 其中
. cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ail blj , (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ 1 ≤ n).
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

42. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵乘法定义
.
定义：矩阵乘法 .
..
设 Aml = (aik ), Bln = (bkj ), 则 A, B 的乘积 AB 为矩
阵 Cmn = (cij ), 其中
. cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ail blj , (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ 1 ≤ n).
.
.. .
.
思考 .
..
线性变换能用矩阵乘法表示吗?
.
.
.. .
. . . . . .
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43. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵乘法定义
.
定义：矩阵乘法 .
..
设 Aml = (aik ), Bln = (bkj ), 则 A, B 的乘积 AB 为矩
阵 Cmn = (cij ), 其中
. cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ail blj , (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ 1 ≤ n).
.
.. .
.
思考 .
..
线性变换能用矩阵乘法表示吗?
怎么样的线性变换才能复合?
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

44. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵乘法定义
.
定义：矩阵乘法 .
..
设 Aml = (aik ), Bln = (bkj ), 则 A, B 的乘积 AB 为矩
阵 Cmn = (cij ), 其中
. cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ail blj , (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ 1 ≤ n).
.
.. .
.
思考 .
..
线性变换能用矩阵乘法表示吗?
怎么样的线性变换才能复合?
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

45. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 矩阵乘法定义
.
定义：矩阵乘法 .
..
设 Aml = (aik ), Bln = (bkj ), 则 A, B 的乘积 AB 为矩
阵 Cmn = (cij ), 其中
. cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ail blj , (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ 1 ≤ n).
.
.. .
.
思考 .
..
线性变换能用矩阵乘法表示吗?
怎么样的线性变换才能复合?
. 怎么样的矩阵才能相乘?
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

46. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 书本上的例题
.
引理 .
..
书本上的例子.
. p4-1,2.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

47. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. Suprise!
 
b1
b2 
a1 a2 a3 a4  =
b3 
b4
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

48. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. Suprise!
 
b1
b2 
a1 a2 a3 a4   = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 )
b3 
b4
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

49. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. Suprise!
 
b1
b2 
a1 a2 a3 a4   = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 )
b3 
b4
 
a1
a2 
  b 1 b2 b3 b 4 =
a3 
a4
. . . . . .
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50. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. Suprise!
 
b1
b2 
a1 a2 a3 a4   = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 )
b3 
b4
   
a1 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4
a2  a2 b1 a2 b2 a2 b3 a2 b4 
  b 1 b2 b3 b 4 =  
a3  a3 b1 a3 b2 a3 b3 a3 b4 
a4 a4 b1 a4 b2 a4 b3 a4 b4
. . . . . .
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51. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
思考 .
..
从线性变换复合的角度来理解刚才的两个矩阵乘法。
.
.
.. .
. . . . . .
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52. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
思考 .
..
O 对于加法而言, 是很特殊的. 那么对于乘法而言, 是否有
类似的特殊元素呢？
.
.
.. .
. . . . . .
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53. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
思考 .
..
O 对于加法而言, 是很特殊的. 那么对于乘法而言, 是否有
类似的特殊元素呢？
.
.
.. .
A+O =O+A=A
. . . . . .
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54. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
思考 .
..
O 对于加法而言, 是很特殊的. 那么对于乘法而言, 是否有
类似的特殊元素呢？
.
.
.. .
A+O =O+A=A
A·I =A
. . . . . .
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55. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
思考 .
..
O 对于加法而言, 是很特殊的. 那么对于乘法而言, 是否有
类似的特殊元素呢？
.
.
.. .
A+O =O+A=A
A·I =A
.
? .
..
I 的形状？
.
.
.. .
. . . . . .
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56. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
.
思考 .
..
O 对于加法而言, 是很特殊的. 那么对于乘法而言, 是否有
类似的特殊元素呢？
.
.
.. .
A+O =O+A=A
A·I =A
.
? .
..
I 的形状？I · A?.
.
.
.. .
. . . . . .
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57. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 单位矩阵
.
定义 .
..  
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
In = .
. .
. .
.
. . .
. 0 0 ··· 1
.
.. .
. . . . . .
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58. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 单位矩阵
.
定义 .
..  
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
In = .
. .
. .
.
. . .
. 0 0 ··· 1
.
.. .
Im Amn = Amn , Amn In = Amn
. . . . . .
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59. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 常见乘法法则
.
乘法运算规律 .
..
(AB)C = A(BC);
.
.
.. .
. . . . . .
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60. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 常见乘法法则
.
乘法运算规律 .
..
(AB)C = A(BC);
A(B + C) = AB + AC;
.
.
.. .
. . . . . .
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61. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 常见乘法法则
.
乘法运算规律 .
..
(AB)C = A(BC);
A(B + C) = AB + AC;
k(AB) = (kA)B = A(kB);
.
.
.. .
. . . . . .
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62. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 常见乘法法则
.
乘法运算规律 .
..
(AB)C = A(BC);
A(B + C) = AB + AC;
k(AB) = (kA)B = A(kB);
Olm Amn =
.
.
.. .
. . . . . .
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63. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 常见乘法法则
.
乘法运算规律 .
..
(AB)C = A(BC);
A(B + C) = AB + AC;
k(AB) = (kA)B = A(kB);
Olm Amn = Olm ,
.
.
.. .
. . . . . .
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64. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 常见乘法法则
.
乘法运算规律 .
..
(AB)C = A(BC);
A(B + C) = AB + AC;
k(AB) = (kA)B = A(kB);
Olm Amn = Olm , Bmn Onl = Oml ;
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

65. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 常见乘法法则
.
乘法运算规律 .
..
(AB)C = A(BC);
A(B + C) = AB + AC;
k(AB) = (kA)B = A(kB);
Olm Amn = Olm , Bmn Onl = Oml ;
. 当 A 为方阵 An 时, In An = An In = An .
.
.. .
. . . . . .
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66. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 乘幂
.
定义 .
..
.
.
. An = A · A · · · A
1
n
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

67. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 乘幂
.
定义 .
..
.
.
. An = A · A · · · A
1
n
. .
. . A0 = I.
2
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

68. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 乘幂
.
定义 .
..
.
.
. An = A · A · · · A
1
n
. .
. . A0 = I.
2
.
.. .
.
性质 .
..
.AA
.
.
1 k l
= Ak+l ;
.
.
.. .
. . . . . .
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69. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 乘幂
.
定义 .
..
.
.
. An = A · A · · · A
1
n
. .
. . A0 = I.
2
.
.. .
.
性质 .
..
. A A =A
1.. k l k+l
;
.. (A ) = A
2.. k l kl
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

70. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 例子
.
.
书本 p-6, 例 4,5,6,7
.
.
.. .
. . . . . .
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71. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 转置矩阵
.
定义 .
..
把矩阵的各行依次变为相同序号的列, 形成一个新的矩
阵,
. 称为矩阵 A 的转置矩阵, 记作 A .
T
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

72. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 转置矩阵
.
定义 .
..
把矩阵的各行依次变为相同序号的列, 形成一个新的矩
阵,
. 称为矩阵 A 的转置矩阵, 记作 A .
T
.
.. .
 
a11 a12 ··· a1n
 a21 a22 ··· a2n 
 
 . . . 
 .. .
. .
. 
am1 am2 · · · amn
. . . . . .
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73. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 转置矩阵
.
定义 .
..
把矩阵的各行依次变为相同序号的列, 形成一个新的矩
阵,
. 称为矩阵 A 的转置矩阵, 记作 A .
T
.
.. .
   
a11 a12 ··· a1n a11 a21 · · · am1
 a21 a22 ··· a2n   a12 a22 · · · am2 
   
 . . .  −→  . . . 
 .. .
. .
.   .. .
. .
. 
am1 am2 · · · amn a1n am2 · · · amn
. . . . . .
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74. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 转置矩阵的性质
.
. (A
.
.
1 T T
) = A; .
.
.
.. .
. . . . . .
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75. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 转置矩阵的性质
.
. (A ) = A;
.
.
1 T T .
. (A + B) = A
.
.
2 T T
+ BT ;
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学信息安全研究所 课件制作：张晓磊 袁文俊, 邓小成, 尚亚东 《简明线性代数》

76. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 转置矩阵的性质
.
. (A ) = A;
.
.
1 T T .
. (A + B) = A
.
.
2 T T
+ BT ;
. k(A) = kA ;
.
.
3 T T
.
.
.. .
. . . . . .
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77. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 转置矩阵的性质
.
. (A ) = A;
..1 T T .
. (A + B) = A
..2 T T
+ BT ;
. k(A) = kA ;
..3 T T
.. (AB) = B A
..4 T T T
.
.. .
. . . . . .
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78. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 证明性质 (AB) = B A
T T T
设 Aml = (aij ), Bln = (bjk );
. . . . . .
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79. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 证明性质 (AB) = B A
T T T
设 Aml = (aij ), Bln = (bjk );
设 AB = Cmn = (cst ), Bnl AT = (dst );
T
lm
. . . . . .
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80. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 证明性质 (AB) = B A
T T T
设 Aml = (aij ), Bln = (bjk );
设 AB = Cmn = (cst ), Bnl AT = (dst );
T
lm
dst = bs1 a1t + bs2 a + 2t + · · · + bsl alt
. . . . . .
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81. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 证明性质 (AB) = B A
T T T
设 Aml = (aij ), Bln = (bjk );
设 AB = Cmn = (cst ), Bnl AT = (dst );
T
lm
dst = bs1 a1t + bs2 a + 2t + · · · + bsl alt
= b1s at1 + b2s at2 + · · · + bls atl
. . . . . .
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82. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 证明性质 (AB) = B A
T T T
设 Aml = (aij ), Bln = (bjk );
设 AB = Cmn = (cst ), Bnl AT = (dst );
T
lm
dst = bs1 a1t + bs2 a + 2t + · · · + bsl alt
= b1s at1 + b2s at2 + · · · + bls atl
= at1 b1s + at2 b2s + · · · + alt bls
. . . . . .
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83. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 证明性质 (AB) = B A
T T T
设 Aml = (aij ), Bln = (bjk );
设 AB = Cmn = (cst ), Bnl AT = (dst );
T
lm
dst = bs1 a1t + bs2 a + 2t + · · · + bsl alt
= b1s at1 + b2s at2 + · · · + bls atl
= at1 b1s + at2 b2s + · · · + alt bls
= cts
. . . . . .
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84. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
. 证明性质 (AB) = B A
T T T
设 Aml = (aij ), Bln = (bjk );
设 AB = Cmn = (cst ), Bnl AT = (dst );
T
lm
dst = bs1 a1t + bs2 a + 2t + · · · + bsl alt
= b1s at1 + b2s at2 + · · · + bls atl
= at1 b1s + at2 b2s + · · · + alt bls
= cts = cst .
. . . . . .
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85. 矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵及其运算
矩阵的乘法
转置
本节完，谢谢！
磊张
印晓
. . . . . .
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