整数的因子分解

带余除法和整除性
整数的表示
最大公因子与辗转相除法
整数的惟一分解定理
素数
多项式的整除性

.
.
.
整数的因子分解

.
.. .

广州大学信息安全研究所课件制作：张晓磊

March 12, 2010

. . . . . .

广州大学信息安全研究所课件制作：张晓磊裴定一、徐详《信息安全数学基础》

带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

.
.
1.1 带余除法和整除法
.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

带余除法
. 定理证明

.
定理 .
..
设 a 和 b 为整数，b > 0，则存在惟一的整数 q 和 r 使得

. a = qb + r, 0 r<b

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

带余除法
. 定理证明

.
定理 .
..

. a = qb + r, 0 r<b

.
.. .
.
证明 .
. .
.
1 考虑形如 a − nb 形式的数.

.

.
.. .
. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

带余除法
. 定理证明

.
定理 .
..

. a = qb + r, 0 r<b

.
.. .
.
证明 .
. .
.

. .
. r 应该是这些数中最小的非负数.
2

.

.
.. .
. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

带余除法
. 定理证明

.
定理 .
..

. a = qb + r, 0 r<b

.
.. .
.
证明 .
..
.

..
. r 应该是这些数中最小的非负数.
2

. . 利用反证法说明 q, r
3 .
. 是惟一的.

.
.. .
. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

带余除法
. 不完全商和余数

.
定理 .
..

. a = qb + r, 0 r<b

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

带余除法

.
定理 .
..

. a = qb + r, 0 r<b

.
.. .
. 上式称为带余除法.
.
. 1

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

带余除法

.
定理 .
..

. a = qb + r, 0 r<b

.
.. .
.
. 1

. q 称为不完全商.
.
. 2

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

带余除法

.
定理 .
..

. a = qb + r, 0 r<b

.
.. .
.
. 1

. q 称为不完全商.
.
. 2

. r 称为余数.
.
. 3

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

. floor 函数
.
定义 .
..
设 x ∈ R，小于或等于 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记
为 [x].
.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

. floor 函数
.
定义 .
..
为 [x].
.

.
.. .
. .
. [x] x < [x] + 1.
1

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

. floor 函数
.
定义 .
..
为 [x].
.

.
.. .
. .
. [x] x < [x] + 1.
1

. 带余除法中的 q
.
.
2 实际上就是 [ a ].
b

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

. floor 函数
.
定义 .
..
为 [x].
.

.
.. .
. .
. [x] x < [x] + 1.
1

.
.
b

a = bq + r

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

. floor 函数
.
定义 .
..
为 [x].
.

.
.. .
. .
. [x] x < [x] + 1.
1

.
.
b

a r
a = bq + r ⇒ =q+
b b

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

. floor 函数
.
定义 .
..
为 [x].
.

.
.. .
. .
. [x] x < [x] + 1.
1

.
.
b

a r a
a = bq + r ⇒ =q+ ⇒q <q+1
b b b

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

. 带余除法的例子

.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ]
5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4]
5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21,
5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2,
5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2,
5
107 = 21 × 5 + 2.

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2,
5
107 = 21 × 5 + 2.
. a = −107, b = 5
.
. 2

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2,
5
107 = 21 × 5 + 2.
. a = −107, b = 5
.
. 2

q = [ −107 ]
5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2,
5
107 = 21 × 5 + 2.
. a = −107, b = 5
.
. 2

q = [ −107 ] = [−21.4]
5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2,
5
107 = 21 × 5 + 2.
. a = −107, b = 5
.
. 2

q = [ −107 ] = [−21.4] = −22,
5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2,
5
107 = 21 × 5 + 2.
. a = −107, b = 5
.
. 2

q = [ −107 ] = [−21.4] = −22, r = −107 − (−22) × 5 = 3,
5

.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
例子 .
..
..
.
1 a = 107, b = 5

q = [ 107 ] = [21.4] = 21, r = 107 − 21 × 5 = 2,
5
107 = 21 × 5 + 2.
. a = −107, b = 5
.
. 2

q = [ −107 ] = [−21.4] = −22, r = −107 − (−22) × 5 = 3,
5

. −107 = −22 × 5 + 3.

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

.
a = bq + r，当 r = 0 时，
. .

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

.
a = bq + r，当 r = 0 时，
. .

.
.. .
. .
. b 能整除 a.
1

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

.
a = bq + r，当 r = 0 时，
. .

.
.. .
. .
. b 能整除 a.
1

. b 是 a 的因子.
.
.
2

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

.
a = bq + r，当 r = 0 时，
. .

.
.. .
. .
. b 能整除 a.
1

.
.
2

. a 是 b 的倍数.
.
.
3

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

.
a = bq + r，当 r = 0 时，
. .

.
.. .
. .
. b 能整除 a.
1

.
.
2

.
.
3

. a, b 的这种关系记为 b | a.
.
.
4

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

.
a = bq + r，当 r = 0 时，
. .

.
.. .
. .
. b 能整除 a.
1

.
.
2

.
.
3

.
.
4

. 若 b = 1, b = a 则称 b 为 a 的真因子.
.
.
5

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

.
a = bq + r，当 r = 0 时，
. .

.
.. .
. .
. b 能整除 a.
1

.
.
2

.
.
3

.
.
4

. 若 b = 1, b = a 则称 b 为 a 的真因子.
.
.
5

.
注意 .
..
当 b | a 时，显然 −b | a. 为了简便，当我们提到整数的因子
时，总假定是正的.
.

.
.. .
. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质

. 整除的简单性质

.
设
. b > 0, c > 0, 整除有如下性质 .

.
.. .

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
设
. b > 0, c > 0, 整除有如下性质 .

.
.. .
. .
. 若 c | b, b | a,
1

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
设
. b > 0, c > 0, 整除有如下性质 .

.
.. .
. .
. 若 c | b, b | a, 则 c | a;
1

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
设
. b > 0, c > 0, 整除有如下性质 .

.
.. .
. .
. 若 c | b, b | a, 则 c | a;
1

. 若 b | a,
.
.
2

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
设
. b > 0, c > 0, 整除有如下性质 .

.
.. .
. .
. 若 c | b, b | a, 则 c | a;
1

. 若 b | a, 则 bc | ac;
.
.
2

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
设
. b > 0, c > 0, 整除有如下性质 .

.
.. .
. .
. 若 c | b, b | a, 则 c | a;
1

. 若 b | a, 则 bc | ac;
.
.
2

. 若 c | a, c | b,
.
.
3

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
设
. b > 0, c > 0, 整除有如下性质 .

.
.. .
. .
. 若 c | b, b | a, 则 c | a;
1

. 若 b | a, 则 bc | ac;
.
.
2

. 若 c | a, c | b, 则对任意整数 m, n
.
.
3

. . . . . .


带余除法
整数的表示
取整函数
例子
整除和因子
素数
整除性质


.
设
. b > 0, c > 0, 整除有如下性质 .

.
.. .
. .
. 若 c | b, b | a, 则 c | a;
1

. 若 b | a, 则 bc | ac;
.
.
2

. 若 c | a, c | b, 则对任意整数 m, n 有 c | ma + nb.
.
.
3

. . . . . .


带余除法和整除性各种进制
整数的表示 b 进制表示
最大公因子与辗转相除法求 b 进表示
整数的惟一分解定理例子
素数二、十、十六进制转换表
多项式的整除性例子

.
.
1.2 整数的表示
.

.
.. .

. . . . . .



. 各种进制

.
整数可以有很多不同的表示方法：
. .

.
.. .

. . . . . .



. 各种进制

.
. .

.
.. .
. .
. 我们日常使用 10 进制去表示整数，
1

. . . . . .



. 各种进制

.
. .

.
.. .
. .
. 我们日常使用 10 进制去表示整数，比如今年是 2007 年.
1

. . . . . .



. 各种进制

.
. .

.
.. .
. .
1

. .
.
2 有时我们也用一点 60 进制，

. . . . . .



. 各种进制

.
. .

.
.. .
. .
1

. .
.
2 有时我们也用一点 60 进制，比如 1 分 50 秒.

. . . . . .



. 各种进制

.
. .

.
.. .
. .
1

. .
.

. .
. 计算机科学里经常使用的有 2 进制、8 进制和 16 进制.
3

. . . . . .



. 各种进制

.
. .

.
.. .
. .
1

. .
.

. .
. 计算机科学里经常使用的有 2 进制、8 进制和 16 进制.
3

我们准备抽象地讨论一下这个问题，考虑一般的 b 进制。

. . . . . .



. b 进制表示

.
设 b 是大于 1 的整数，则任一整数 n 可表成 .

.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0

.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0

其中 t 0, 0 ri < b，

.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0

其中 t 0, 0 ri < b，这称为 n 的 b 进制表示, 常记为

. (rt · · · r1 r0 )b .

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0


. (rt · · · r1 r0 )b .

.
.. .
.
例子 .
..
(10)10
.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0


. (rt · · · r1 r0 )b .

.
.. .
.
例子 .
..
(10)10 = (12)8
.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0


. (rt · · · r1 r0 )b .

.
.. .
.
例子 .
..
(10)10 = (12)8 = (22)4
.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0


. (rt · · · r1 r0 )b .

.
.. .
.
例子 .
..
(10)10 = (12)8 = (22)4 = (1010)2
.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0


. (rt · · · r1 r0 )b .

.
.. .
.
例子 .
..
(10)10 = (12)8 = (22)4 = (1010)2 = (101)3
.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0


. (rt · · · r1 r0 )b .

.
.. .
.
例子 .
..
(10)10 = (12)8 = (22)4 = (1010)2 = (101)3 = (20)5
.

.
.. .

. . . . . .



. b 进制表示

.

n = rt bt + rt−1 bt−1 + · · · + r1 b + r0


. (rt · · · r1 r0 )b .

.
.. .
.
例子 .
..
(10)10 = (12)8 = (22)4 = (1010)2 = (101)3 = (20)5 = (A)16
.

.
.. .

. . . . . .



. 用带余除法求 b 进表示

.
通过带余除法，我们可以求出一个整数的 b 进表示。 .

.

.
.. .

. . . . . .




.
若 a = bq + r：
.

.
.. .

. . . . . .




.
若 a = bq + r：
.

.
.. .
. .
. 设 a = (ar · · · a0 )b ，
1

. . . . . .




.
若 a = bq + r：
.

.
.. .
. .
. 设 a = (ar · · · a0 )b ，则 a0 = r
1

. . . . . .




.
若 a = bq + r：
.

.
.. .
. .
. 设 a = (ar · · · a0 )b ，则 a0 = r = a − [ a ]b.
1
b

. . . . . .




.
若 a = bq + r：
.

.
.. .
. .
. 设 a = (ar · · · a0 )b ，则 a0 = r = a − [ a ]b.
1
b
. .
.
2 设 a = (a · · · a ) ，
r 0 b

. . . . . .




.
若 a = bq + r：
.

.
.. .
. .
. 设 a = (ar · · · a0 )b ，则 a0 = r = a − [ a ]b.
1
b
. .
.
2 设 a = (a · · · a ) ，则 (a · · · a ) = q
r 0 b r 1 b

. . . . . .




.
若 a = bq + r：
.

.
.. .
. .
. 设 a = (ar · · · a0 )b ，则 a0 = r = a − [ a ]b.
1
b
. .
.
2 设 a = (a · · · a ) ，则 (a · · · a ) = q = [ a ]
r 0 b r 1 b b

. . . . . .




.
若 a = bq + r：
.

.
.. .
. .
. 设 a = (ar · · · a0 )b ，则 a0 = r = a − [ a ]b.
1
b
. .
.
2 设 a = (a · · · a ) ，则 (a · · · a ) = q = [ a ]
r 0 b
b r 1 b

. 递归地使用上面两个步骤，直到第二步求出的结果为 0，可
.
.3

以得到 a 的 b 进表示.

. . . . . .



. 进制转换的例子
.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010
36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010
36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010
18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010
36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010
18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010
9=2·4+1 −→ 10000010

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010
36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010
18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010
9=2·4+1 −→ 10000010
4=2·2+0 −→ 010000010

.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010
36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010
18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010
9=2·4+1 −→ 10000010
4=2·2+0 −→ 010000010
2=2·1+0 −→ 0010000010
.

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010
36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010
18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010
9=2·4+1 −→ 10000010
4=2·2+0 −→ 010000010
2=2·1+0 −→ 0010000010
.1 = 2 · 0 + 1 −→ 10010000010

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 . 若是偶数，则输出 0，
.
1.
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 然后除以 2;
36 = 2 · 18 + 0 −→ 000010
18 = 2 · 9 + 0 −→ 0000010
9=2·4+1 −→ 10000010
4=2·2+0 −→ 010000010
2=2·1+0 −→ 0010000010
.1 = 2 · 0 + 1 −→ 10010000010

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 . 若是偶数，则输出 0，
.
1.
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 然后除以 2;
36 = 2 · 18 + 0 −→
18 = 2 · 9 + 0 −→
000010
0000010 .
.
.
2 若是奇数，则输出 1，

然后减 1 除 2;
9=2·4+1 −→ 10000010
4=2·2+0 −→ 010000010
2=2·1+0 −→ 0010000010
.1 = 2 · 0 + 1 −→ 10010000010

.
.. . . . . .
. .



.
例子 .
..
[(1154)10 的二进制表示为]
1154 = 2 · 577 + 0 −→ 0
577 = 2 · 288 + 1 −→ 10
288 = 2 · 144 + 0 −→ 010
144 = 2 · 72 + 0 −→ 0010 . 若是偶数，则输出 0，
.
1.
72 = 2 · 36 + 0 −→ 00010 然后除以 2;
36 = 2 · 18 + 0 −→
18 = 2 · 9 + 0 −→
000010
0000010 .
.
.
2 若是奇数，则输出 1，

然后减 1 除 2;
9=2·4+1 −→ 10000010
4=2·2+0 −→ 010000010 . 直到变为 0.
.
3.
2=2·1+0 −→ 0010000010
.1 = 2 · 0 + 1 −→ 10010000010

.
.. . . . . .
. .



. 二、十、十六进制转换表

十进制十六进制二进制十进制十六进制二进制
0 0 0000 8 8 1000
1 1 0001 9 9 1001
2 2 0010 10 A 1010
3 3 0011 11 B 1011
4 4 0100 12 C 1100
5 5 0101 13 D 1101
6 6 0110 14 E 1110
7 7 0111 15 F 1111

. . . . . .



. 基转换的例子

.
例子 .
..
计算 4618 的十六进制表示。
.

.
.. .

. . . . . .




.
例子 .
..
.

.
.. .
.
(解) .
..
4618 = (1001000001010)2 2 进表示

.

.
.. .

. . . . . .




.
例子 .
..
.

.
.. .
.
(解) .
..
4618 = (1001000001010)2 2 进表示
= (1, 0010, 0000, 1010)2 4 位一段

.

.
.. .

. . . . . .




.
例子 .
..
.

.
.. .
.
(解) .
..
4618 = (1001000001010)2 2 进表示
= (1, 0010, 0000, 1010)2 4 位一段
( )
= (1)2 (0010)2 (0000)2 (1010)2 16 各自转换
.

.
.. .

. . . . . .




.
例子 .
..
.

.
.. .
.
(解) .
..
4618 = (1001000001010)2 2 进表示
= (1, 0010, 0000, 1010)2 4 位一段
( )
= (1)2 (0010)2 (0000)2 (1010)2 16 各自转换
. = (120A)16

.
.. .

. . . . . .


公因子和最大公因子
预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
多个数的最大公因子
素数
定理
例子

.
.
1.3 最大公因子与辗转相除法.
.

.
..

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定义 (公因子) .
..
设 a, b 为两个非零整数，d 为正整数，若 d | a, d | b, 则 d 称
为 a 和 b 的公因子.
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
..
.

.
.. .
.
定义 (最大公因子) .
..
. b 公因子中最大者称为 a 和 b 的最大公因子，记为 (a, b).
a,

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
..
.

.
.. .
.
..
a,

.
.. .
.
讨论 .
..
. . 若 a > 0，则 a 与 0 的最大公因子为？
.
1

.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
..
.

.
.. .
.
..
a,

.
.. .
.
讨论 .
..
.
1

. .
.
. 2 0 和 0 的最大公因子呢？

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
..
.

.
.. .
.
..
a,

.
.. .
.
讨论 .
..
.
1

. .
.
. 2 0 和 0 的最大公因子呢？(把它定义为 0.)

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
设 a, b, c 为三个正整数，且 a = bq + c, 其中 q 为整数，
则 (a, b) = (b, c).
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
则 (a, b) = (b, c).
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 a, b 的公因子是 b, c 的公因子；

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
则 (a, b) = (b, c).
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 a, b 的公因子是 b, c 的公因子；

. .
. . b, c 的公因子是 a, b 的公因子.
2

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
(求 a, b 的最大公因子) .
..
a = bq0 + r0

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
..
a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0 )

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
..
a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0 )
b = r0 q 1 + r1 → (b, r0 ) = (r0 , r1 )

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
..
a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0 )
b = r0 q 1 + r1 → (b, r0 ) = (r0 , r1 )
r 0 = r 1 q 2 + r2 → (r0 , r1 ) = (r1 , r2 )

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
..
a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0 )
b = r0 q 1 + r1 → (b, r0 ) = (r0 , r1 )
r 0 = r 1 q 2 + r2 → (r0 , r1 ) = (r1 , r2 )
.
. .
. .
.
. . .

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
..
a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0 )
b = r0 q 1 + r1 → (b, r0 ) = (r0 , r1 )
r 0 = r 1 q 2 + r2 → (r0 , r1 ) = (r1 , r2 )
.
. .
. .
.
. . .
ri−2 = ri−1 qi + ri → (ri−2 , ri−1 ) = (ri−1 , ri )

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
..
a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0 )
b = r0 q 1 + r1 → (b, r0 ) = (r0 , r1 )
r 0 = r 1 q 2 + r2 → (r0 , r1 ) = (r1 , r2 )
.
. .
. .
.
. . .
.
. .
. .
.
. . .
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
..
a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0 )
b = r0 q 1 + r1 → (b, r0 ) = (r0 , r1 )
r 0 = r 1 q 2 + r2 → (r0 , r1 ) = (r1 , r2 )
.
. .
. .
.
. . .
.
. .
. .
.
. . .
. rn−1 = rn qn+1 → (rn−1 , rn ) = rn

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 辗转相除法
.
..
a = bq0 + r0 → (a, b) = (b, r0 )
b = r0 q 1 + r1 → (b, r0 ) = (r0 , r1 )
r 0 = r 1 q 2 + r2 → (r0 , r1 ) = (r1 , r2 )
.
. .
. .
.
. . .
.
. .
. .
.
. . .
. rn−1 = rn qn+1 → (rn−1 , rn ) = rn

.
.. .
.
a → b → r0 → r1 → · · · → rn−1 → rn → 0
. .

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 一些观察
.
(关键步骤) .
..
(ri−2 , ri−1 ) −→ (ri−1 , ri )
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 一些观察
.
(关键步骤) .
..
(ri−2 , ri−1 ) −→ (ri−1 , ri )
ri−2 = ri−1 qi + ri
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 一些观察
.
(关键步骤) .
..
(ri−2 , ri−1 ) −→ (ri−1 , ri )
.

.
.. .
.
(矩阵表示) .
.(
. )( ) ( )
0 1 ri−2 ri−1
=
1 −qi ri−1 ri

.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 一些观察
.
(关键步骤) .
..
(ri−2 , ri−1 ) −→ (ri−1 , ri )
.

.
.. .
.
(矩阵表示) .
.(
. )( ) ( )
0 1 ri−2 ri−1
=
1 −qi ri−1 ri
( ) ( )
0 1 ri−1
令 Qi = ， Ri = ，
. 1 −qi ri

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 一些观察
.
(关键步骤) .
..
(ri−2 , ri−1 ) −→ (ri−1 , ri )
.

.
.. .
.
(矩阵表示) .
.(
. )( ) ( )
0 1 ri−2 ri−1
=
1 −qi ri−1 ri
( ) ( )
0 1 ri−1
令 Qi = ， Ri = ，有 Qi Ri−1 = Ri .
. 1 −qi ri

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 更多观察

. ( ) ( )
b a .
令 R0 = , R−1 = .
r0 b

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 更多观察

. ( ) ( )
b a .
令 R0 = , R−1 = . 有
r0 b

Q0 R−1 = R0

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 更多观察

. ( ) ( )
b a .
令 R0 = , R−1 = . 有
r0 b

Q0 R−1 = R0
Q 1 R0 = R1

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 更多观察

. ( ) ( )
b a .
令 R0 = , R−1 = . 有
r0 b

Q0 R−1 = R0
Q 1 R0 = R1
.
.
.

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 更多观察

. ( ) ( )
b a .
令 R0 = , R−1 = . 有
r0 b

Q0 R−1 = R0
Q 1 R0 = R1
.
.
.
Qn Rn−1 = Rn

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 更多观察

. ( ) ( )
b a .
令 R0 = , R−1 = . 有
r0 b

Q0 R−1 = R0
Q 1 R0 = R1
.
.
.
Qn Rn−1 = Rn

依次代入后有 Qn · · · Q0 R−1 = Rn
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
对任意两个正整数 a, b，存在整数 x 和 y，使 (a, b) = xa + yb.
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. . Qn · · · Q0 R−1 = Rn
.
1

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. . Qn · · · Q0 R−1 = Rn
.
1
( )( ) ( )
. .
.
2
u v
x y
a
b
=
rn−1
rn
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. . Qn · · · Q0 R−1 = Rn
.
1
( )( ) ( )
. .
.
2
u v
x y
a
b
=
rn−1
rn
.

.
.. .
.
Corollary .
..
设 d 是 a 和 b 的任一公因子，则 d | (a, b).
.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 求最大公因子举例
.
例子 .
..
求
. (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
例子 .
..
求
. (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y.

.
.. .
.
. .
.
1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471).

.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
例子 .
..
求
. (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y.

.
.. .
.
. .
.
1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471).
. .
.
2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式

.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
例子 .
..
求
. (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y.

.
.. .
.
. .
.
1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471).
. .
.
2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式
. 2176 = −1 · α + 1 · β
.
. 3 2 式减 3 式

.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
例子 .
..
求
. (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y.

.
.. .
.
. .
.
1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471).
. .
.
2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式
. 2176 = −1 · α + 1 · β
.
. 3 2 式减 3 式
. 119 = 2 · α + (−1) · β
.
. 4 3 式减 4 式乘 18

.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
例子 .
..
求
. (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y.

.
.. .
.
. .
.
1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471).
. .
.
2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式
. 2176 = −1 · α + 1 · β
.
. 3 2 式减 3 式
. 119 = 2 · α + (−1) · β
.
. 4 3 式减 4 式乘 18
. 34 = −37 · α + 19 · β
.
. 5 4 式减 5 式乘 3
.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
例子 .
..
求
. (2295, 4471) 及整数 x, y，使 (2295, 4471) = 2295x + 4471y.

.
.. .
.
..
.
1 4471 = 0 · α + 1 · β (α, β) = (2295, 4471).
..
.
2 2295 = 1 · α + 0 · β 1 式减 2 式
. 2176 = −1 · α + 1 · β
3.
. 2 式减 3 式
. 119 = 2 · α + (−1) · β
4.
. 3 式减 4 式乘 18
. 34 = −37 · α + 19 · β
5.
. 4 式减 5 式乘 3
. . 17 = 113 · α + (−58·)β
6.
. (x, y) = (113, −58)

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. n 个数的最大公因子

.
定义 (n 个数的最大公因子) .
..

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
..
设 a1 , a2 , . . . , an 是整数，若正整数 d 满足：

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
..
. .
.
1 d | a ,1
i i n;

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
..
. .
.
1 d | a ,1
i i n;
. 对任一正整数 c，若 c | ai, 1
.
. 2 i n，则 c | d.

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
..
. .
.
1 d | a ,1
i i n;
.
. 2 i n，则 c | d.
则 d 称为 a1 , a2 , . . . , an 的最大公因子，

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
..
. .
.
1 d | a ,1
i i n;
.
. 2 i n，则 c | d.
则 d 称为 a1 , a2 , . . . , an 的最大公因子，记为

. d = (a1 , a2 , . . . , an ).

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
设 a1 , a2 , . . . , an 是 n 个整数，令

(a1 , a2 ) = d2 , (d2 , a3 ) = d3 , . . . , (dn−1 , an ) = dn ,

则 (a1 , a2 , . . . , an ) = dn 。且存在整数 u1 , u2 , . . . , un ，满足：

. a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = (a1 , a2 , . . . , an ).

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
设 a1 , a2 , . . . , an 是 n 个整数，令

(a1 , a2 ) = d2 , (d2 , a3 ) = d3 , . . . , (dn−1 , an ) = dn ,


. a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = (a1 , a2 , . . . , an ).

.
.. .
.
证明： .

.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
设 a1 , a2 , . . . , an 是 n 个整数，令

(a1 , a2 ) = d2 , (d2 , a3 ) = d3 , . . . , (dn−1 , an ) = dn ,


. a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = (a1 , a2 , . . . , an ).

.
.. .
.
证明： .
..
. n 是 a1 , a2 , · · · , an 的公因子.
1 d

.

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

.
定理 .
..
设 a1 , a2 , . . . , an 是 n 个整数，令

(a1 , a2 ) = d2 , (d2 , a3 ) = d3 , . . . , (dn−1 , an ) = dn ,


. a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = (a1 , a2 , . . . , an ).

.
.. .
.
证明： .
..
. n 是 a1 , a2 , · · · , an 的公因子.
1 d

..
. . a1 , a2 , · · · , an 的任何公因子都整除 dn .
2

.
.. .
. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子

. 计算公因子举例

.
例子 .
..
计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子.
.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
例子 .
..
计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子.
.

.
.. .
.
(4389, 5313, 399, 105) .

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
例子 .
..
计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子.
.

.
.. .
. ( )
(4389, 5313, 399, 105) = (4389, 5213), 399, 105 .

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
例子 .
..
计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子.
.

.
.. .
. ( )
(4389, 5313, 399, 105) = (4389, 5213), 399, 105 .

= (231, 399, 105)

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
例子 .
..
计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子.
.

.
.. .
. ( )
(4389, 5313, 399, 105) = (4389, 5213), 399, 105 .

= (231, 399, 105)
( )
= (231, 399), 105

.

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
例子 .
..
计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子.
.

.
.. .
. ( )
(4389, 5313, 399, 105) = (4389, 5213), 399, 105 .

= (231, 399, 105)
( )
= (231, 399), 105

. = (21, 105)

.
.. .

. . . . . .


预备定理
整数的表示
辗转相除法
例子
素数
定理
例子


.
例子 .
..
计算 4389, 5313, 399, 105 的最大公因子.
.

.
.. .
. ( )
(4389, 5313, 399, 105) = (4389, 5213), 399, 105 .

= (231, 399, 105)
( )
= (231, 399), 105

. = (21, 105) = 21.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
.
1.4 整数的惟一分解定理
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 若干定义

.
定义 .
..

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 若干定义

.
定义 .
..
..
.
1 一个大于 1 的正整数 p，如果没有真因子，则称 p 为素

数。

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 若干定义

.
定义 .
..
..
.

数。
.. 一个大于 1 的非素数称为复合数，简称合数。
.
2

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 若干定义

.
定义 .
..
. .
.

数。
. . 一个大于 1 的非素数称为复合数，简称合数。
.
2

. .
. . 若两个整数 a, b 的最大公因子为 1，则称 a, b 互素。
3

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
设 p 为素数，a, b 为整数，若 p | ab，则 p | a 或 p | b.
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定 p a, p b，

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1.

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1.
. . (p, ab)
.
2

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1.
( )
. . (p, ab) = (p, pa), ab
.
2

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1.
( ) ( )
. . (p, ab) = (p, pa), ab = p, (pa, ab)
.
2

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1.
( ) ( ) ( )
. . (p, ab) = (p, pa), ab = p, (pa, ab) = p, (p, b)a
.
2

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1.
( ) ( ) ( )
. . (p, ab) = (p, pa), ab = p, (pa, ab) = p, (p, b)a = (p, a)
.
2

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

. 素性定理

.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
..
.
1 假定 p a, p b，则必有 (p, a) = (p, b) = 1.
( ) ( ) ( )
.. (p, ab) = (p, pa), ab = p, (pa, ab) = p, (p, b)a = (p, a).
.
2

. . 由于 (p, a) = 1，所以 (p, ab) = 1，即 p
3 .
. ab.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
定理 (惟一分解定理) .
..
任意不为 1 的正整数 n 均可惟一表示为

n = pa1 pa2 · · · pak ,
1 2 k

这里 p1 < p2 < · · · < pk 为素数，a1 , a2 , · · · , ak 为自然数。上
式称为 n 的标准分解式.
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..

n = pa1 pa2 · · · pak ,
1 2 k

.

.
.. .
.
(存在性) .
..

.

.
.. .
. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..

n = pa1 pa2 · · · pak ,
1 2 k

.

.
.. .
.
(存在性) .
..
. .
.
1 若 n 为素数，命题显然成立.

.

.
.. .
. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..

n = pa1 pa2 · · · pak ,
1 2 k

.

.
.. .
.
(存在性) .
..
. .
.

. .
.
2 令 p
1 为 n 的最小正因子，则 p1 是素数.

.

.
.. .
. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..

n = pa1 pa2 · · · pak ,
1 2 k

.

.
.. .
.
(存在性) .
..
. .
.

. .
.
2 令 p
1 为 n 的最小正因子，则 p1 是素数.

. . n = p1 n1 ，再对 n1
3.
. 进行讨论.

.
.. .
. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
(惟一性) .
..
..
. a
1 设 n = p a1 · · · p k = q b1 · · · q bl .
1 k 1 l

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
(惟一性) .
..
..
. a
1 设 n = p a1 · · · p k = q b1 · · · q bl .
1 k 1 l

..
. 设第一个不同的幂项是 pai 和 q bi .
2
i i

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
(惟一性) .
..
..
. a
1 设 n = p a1 · · · p k = q b1 · · · q bl .
1 k 1 l

..
2
i i

若 pi = qi ，

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
(惟一性) .
..
..
. a
1 设 n = p a1 · · · p k = q b1 · · · q bl .
1 k 1 l

..
2
i i

若 pi = qi ，不失一般性，设置 pi < qi ，

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
(惟一性) .
..
..
. a
1 设 n = p a1 · · · p k = q b1 · · · q bl .
1 k 1 l

..
2
i i

若 pi = qi ，不失一般性，设置 pi < qi ，则 pi 整除式子的
左边，不整除式子的右边，矛盾。

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
(惟一性) .
..
..
. a
1 设 n = p a1 · · · p k = q b1 · · · q bl .
1 k 1 l

..
2
i i

pi = qi 但 ai = bi ，
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
(惟一性) .
..
..
. a
1 设 n = p a1 · · · p k = q b1 · · · q bl .
1 k 1 l

..
2
i i

pi = qi 但 ai = bi ，不失一般性，设 ai < bi ，
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
(惟一性) .
..
..
. a
1 设 n = p a1 · · · p k = q b1 · · · q bl .
1 k 1 l

..
2
i i

pi = qi 但 ai = bi ，不失一般性，设 ai < bi ，有 pi bi 整除
. 式子的右边，但不整除式子的左边，矛盾。

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
大数分解的困难 .
..
当 n 很大时，例如一百多位的十进制数，要将
它因子分解，是非常困难的事情。1990 年几百
名研究员利用互联网的一千多台计算机，运行六
9
个星期，将 n = 22 + 1 分解成三个素数之积，
分别有 7 位，49 位,和 99 位。n 有 155 位，
此成果被列为 1990 年世界十大科技成果之一。
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
RSA 数 .
..
RSA-factoring Challenge.

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
RSA 数 .
..
RSA-Numbers:

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
RSA 数 .
..
RSA-Numbers: RSA-155, RSA-160, · · · · · ·

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
RSA 数 .
..
RSA 为这些数支付的单次最高金额为 $14527
USD. 此活动现已取消。

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
RSA 数 .
..
RSA 为这些数支付的单次最高金额为 $14527
USD. 此活动现已取消。
2009-12-12, RSA-768 被分解，它有 232
. 个十进制位。

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

RSA-768 = 1230186684530117755130494958384962720772853
5695953347921973224521517264005072636575187
4520219978646938995647494277406384592519255
7326303453731548268507917026122142913461670
4292143116022212404792747377940806653514195
97459856902143413
= 3347807169895689878604416984821269081770479
4983713768568912431388982883793878002287614
711652531743087737814467999489
× 36746043666799590428244633799627952632279
15816434308764267603228381573966651127923
3373417143396810270092798736308917

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
定义 (n 个数的最小公倍数) .
..

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..
设 a1 , a2 , . . . , an 是非零整数，m 为正整数，若
ai | m, 1 i n;

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..
ai | m, 1 i n;
对任一正数 u，若 ai | u, 1 i n，则 m | u.
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..
ai | m, 1 i n;
则称 m 为 a1 , a2 , . . . , an 的最小公倍数，
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..
ai | m, 1 i n;
则称 m 为 a1 , a2 , . . . , an 的最小公倍数，记为 [a1 , a2 , . . . , an ].
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..
ai | m, 1 i n;
.

.
.. .
. [ ]
显然 [a1 , a2 , . . . , an ] = |a1 |, |a2 |, . . . , |an | ， .

.

.
.. .
. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..
ai | m, 1 i n;
.

.
.. .
. [ ]
显然 [a1 , a2 , . . . , an ] = |a1 |, |a2 |, . . . , |an | ， .
所以只需对正整数讨论最小公倍数。

.

.
.. .
. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
..
ai | m, 1 i n;
.

.
.. .
. [ ]
显然 [a1 , a2 , . . . , an ] = |a1 |, |a2 |, . . . , |an | ， .
所以只需对正整数讨论最小公倍数。
计算 n 个数的最小公倍数可以转化成计算一系列的两个整
. 数的最小公倍数。

.
.. .
. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
定理 .
..
设 a = p1 a1 · · · pk ak , b = p1 b1 · · · pk bk ，其中 pi 为素数，则

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
定理 .
..

(a, b) = p1 min(a1 ,b1 ) · · · pk min(ak ,bk )

[a, b] = p1 max(a1 ,b1 ) · · · pk max(ak ,bk )

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
定理 .
..

(a, b) = p1 min(a1 ,b1 ) · · · pk min(ak ,bk )

[a, b] = p1 max(a1 ,b1 ) · · · pk max(ak ,bk )

. ab = (a, b)[a, b]

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
定理 .
..
设 a1 , a2 , . . . , an 为 n 个非零整数，令

[a1 , a2 ] = m1 , [m1 , a3 ] = m2 , . . . , [mn−2 , an ] = mn−1 ,

则 [a1 , a2 , . . . , an ] = mn−1 .
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
定理 .
..
设 a1 , a2 , . . . , an 为 n 个非零整数，令

[a1 , a2 ] = m1 , [m1 , a3 ] = m2 , . . . , [mn−2 , an ] = mn−1 ,

则 [a1 , a2 , . . . , an ] = mn−1 .
.

.
.. .
.
证明： .
. .
. n−1 是 a1 , a2 , · · · , an 的公倍数.
1 m

.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
定理 .
..
设 a1 , a2 , . . . , an 为 n 个非零整数，令

[a1 , a2 ] = m1 , [m1 , a3 ] = m2 , . . . , [mn−2 , an ] = mn−1 ,

则 [a1 , a2 , . . . , an ] = mn−1 .
.

.
.. .
.
证明： .
. .
. n−1 是 a1 , a2 , · · · , an 的公倍数.
1 m

. .
.
. 2 mn−1 是 a1 , a2 , · · · , an 的任意公倍数的因子.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
例子 .
..
计算 [2295, 4471].
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
例子 .
..
计算 [2295, 4471].
.

.
.. .
.
.
解： (2295, 4471) = 17,
.

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
例子 .
..
计算 [2295, 4471].
.

.
.. .
.
2295 × 4471 .
解： (2295, 4471) = 17, [2295, 4471] =
. 17

.
.. .

. . . . . .


若干定义
整数的表示
素性定理
惟一分解定理
最小公倍数
素数
例子

.
例子 .
..
计算 [2295, 4471].
.

.
.. .
.
2295 × 4471 .
解： (2295, 4471) = 17, [2295, 4471] = = 603585
. 17

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
素数有无穷多个
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
.
1.5 素数
.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. Euclid 的证明，无尽的素数

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数


.
定理 .
..
素数有无穷多个.
.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数


.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定全部的素数为 p , p , · · · , p
1 2 n

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数


.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定全部的素数为 p , p , · · · , p
1 2 n

.
.
.
.
2 考虑 1 + p p · · · p ，
1 2 n

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数


.
定理 .
..
.

.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 假定全部的素数为 p , p , · · · , p
1 2 n

.
.
.
.
2 考虑 1 + p p · · · p ，它没有素因子！
1 2 n

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 素数有无穷多个，但分布很不规律。容易证明存在任意长的
.
.
1

连续整数序列，其中不包含素数：

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
.
1


n! + 2, n! + 3, · · · , n! + n.

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
.
1


n! + 2, n! + 3, · · · , n! + n.

. 用 π(x) 表示区间 [1, x] 中素数个数，可以证明
.
.
2

π(x)
lim =0
x→+∞ x

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
.
1


n! + 2, n! + 3, · · · , n! + n.

.
.
2

π(x)
lim =0
x→+∞ x

. Euclid 孪生素数猜想：有无穷多个素数 P
.
.
3 使得 p + 2 也
是素数.

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
.
1


n! + 2, n! + 3, · · · , n! + n.

.
.
2

π(x)
lim =0
x→+∞ x

. Euclid 孪生素数猜想：有无穷多个素数 P
.
.
3 使得 p + 2 也
是素数.
.
.
. Goldbach 猜想：每个充分大的偶数可以表为两个素数之和.
4

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
设 n > 1，若 an − 1 为素数，则 a = 2，且 n
为素数.
.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
设 n > 1，若 an − 1 为素数，则 a = 2，且 n
为素数.
.

.
.. .
.
.a
.
. 1 n
− 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 · · · + a + 1) .

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
设 n > 1，若 an − 1 为素数，则 a = 2，且 n
为素数.
.

.
.. .
.
.a
.. 1 n
− 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 · · · + a + 1) .

.. 2
.. 2 st
− 1 = (2s − 1)((2s )t−1 + · · · + 2s + 1)

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定义 .
..
整数 Mn = 2 − 1 称为第 n 个 Mersenne 数，当 Mn 是
n

素时，Mn 称为 Mersenne 素数.
.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定义 .
..
n

.

.
.. .
.
目前已经知道的 Mersenne 素数共有 47 个，最近的一个 .
发现于 2009 年 4 月 12 日，它是

M42,643,801 = 242,643,801 − 1,

共 12, 837, 064 个 10 进位.
.

.
.. .
. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定义 .
..
n

.

.
.. .
.
目前已经知道的 Mersenne 素数共有 47 个，最近的一个 .
发现于 2009 年 4 月 12 日，它是

M42,643,801 = 242,643,801 − 1,

共 12, 837, 064 个 10 进位.但已知最大的 Mersenne 数却
是 2008 年 8 月 23 日发现的 M43,112,609 .
.

.
.. .
. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
若 m
. 2 + 1 为素数，则 m 一定是 2 的方幂.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
若 m

.
.. .
.
证明： .
若 m 含有一个奇数因子 k，且 m = nk，

.

.
.. .
. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
若 m

.
.. .
.
证明： .
若 m 含有一个奇数因子 k，且 m = nk，则
2m + 1 = 2nk + 1

.

.
.. .
. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
若 m

.
.. .
.
证明： .
2m + 1 = 2nk + 1
= (2n )k + 1

.

.
.. .
. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
若 m

.
.. .
.
证明： .
2m + 1 = 2nk + 1
= (2n )k + 1
(
= (2n + 1) (2n )k−1 − (2n )k−1 + · · · + 1)

.

.
.. .
. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
若 m

.
.. .
.
证明： .
2m + 1 = 2nk + 1
= (2n )k + 1
(
= (2n + 1) (2n )k−1 − (2n )k−1 + · · · + 1)

由于 1 < 2n + 1 < 2m + 1，所以 2n + 1 是 2m + 1 的一个真因
子，
.

.
.. .
. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定理 .
..
若 m

.
.. .
.
证明： .
2m + 1 = 2nk + 1
= (2n )k + 1
(
= (2n + 1) (2n )k−1 − (2n )k−1 + · · · + 1)

由于 1 < 2n + 1 < 2m + 1，所以 2n + 1 是 2m + 1 的一个真因
子，2m + 1 不是素数。这是一个矛盾。
.

.
.. .
. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定义 .
.. n
形如 Fn = 22 + 1 的数称为 Fermat 数，若 Fn 是素数，则称
其为 Fermat 素数.
.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定义 .
.. n
.

.
.. .
.
.

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定义 .
.. n
.

.
.. .
.
. .
. n
1 Fermat 称形如 F = 22 + 1, n ∈ N 的数总是素数
n
.
(1630 ∼ 1640)，容易验证 F0 , F1 , F2 , F3 , F4 都是素数.

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定义 .
.. n
.

.
.. .
.
. .
. n
n
.
(1630 ∼ 1640)，容易验证 F0 , F1 , F2 , F3 , F4 都是素数.
. .
.
2 1732 年，Euler 把 F = 4294967297 分解
5
为 641 × 6700417.

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

.
定义 .
.. n
.

.
.. .
.
. .
. n
n
.
(1630 ∼ 1640)，容易验证 F0 , F1 , F2 , F3 , F4 都是素数.
. .
.
2 1732 年，Euler 把 F = 4294967297 分解
5
为 641 × 6700417.
. . 1750 年，Euler 发表了 “THEOREMATA CIRCA DIVISORSES
.
3

. NVMERORVM”, 一文，文中公开了分解 F5 的方法.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 欧拉的方法
.
(素因子的形式) .
..
如果 (a, b) = 1，则

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 欧拉的方法
.
..
如果 (a, b) = 1，则
..
.
1 a2 + b2 的素因子具有形式 4k + 1

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 欧拉的方法
.
..
如果 (a, b) = 1，则
..
.

..
.

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 欧拉的方法
.
..
如果 (a, b) = 1，则
..
.

..
.

. a8 + b8
.
. 3 的素因子具有形式 16k + 1

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 欧拉的方法
.
..
如果 (a, b) = 1，则
..
.

..
.

. a8 + b8 的素因子具有形式 16k + 1
.
. 3

. a16 + b16 的素因子具有形式 32k + 1
.
. 4

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 欧拉的方法
.
..
如果 (a, b) = 1，则
.
.
.

.
.
.

3
.
.
4
. a16 + b16 的素因子具有形式 32k + 1
.
.
. . a + b 的素因子具有形式 64k + 1
5 .
. 32 32

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 欧拉的方法
.
..
如果 (a, b) = 1，则
.
.
.

.
.
.

3
.
.
4
. a16 + b16 的素因子具有形式 32k + 1
.
.
. . a + b 的素因子具有形式 64k + 1
5 .
. 32 32

.
.. .
.
(穷举) .
..
测试 64 × 1 + 1, 64 × 2 + 1, · · · ，不久就能发现 641.
.

.
.. . . . . .
. .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 一个验证

.
例子 .
..
[验证] 54 + 24 = 641

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 一个验证

.
例子 .
..
[验证] 54 + 24 = 641
232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641)

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 一个验证

.
例子 .
..
[验证] 54 + 24 = 641
232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641)
= −54 × 228 + 1 (mod 641)

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 一个验证

.
例子 .
..
[验证] 54 + 24 = 641
232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641)
= −54 × 228 + 1 (mod 641)
= −(5 × 27 )4 + 1 (mod 641)

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 一个验证

.
例子 .
..
[验证] 54 + 24 = 641
232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641)
= −54 × 228 + 1 (mod 641)
= −(5 × 27 )4 + 1 (mod 641)
= −6404 + 1 (mod 641)

.

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

. 一个验证

.
例子 .
..
[验证] 54 + 24 = 641
232 + 1 (mod 641) = 24 × 228 + 1 (mod 641)
= −54 × 228 + 1 (mod 641)
= −(5 × 27 )4 + 1 (mod 641)
= −6404 + 1 (mod 641)

. = −(−1)4 + 1 (mod 641) = 0

.
.. .

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

Fermat 猜想是错的，但 Fermat 其实比较倒霉。

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

Fermat 猜想是错的，但 Fermat 其实比较倒霉。他并非不
够谨慎，事实上他验证了前 5 个 Fermat
数，F0 , F1 , F2 , F3 , F4 ，它们都是素的。而其它的 Fermat
数，个头实在有点大，难以验证。

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

数，个头实在有点大，难以验证。更倒霉的
是，F0 , F1 , F2 , F3 , F4 实际上是全部已知的 Fermat 素数，
现在倾向于认为几乎全部 Fermat 数都不是素的，
而 Fermat 选的样本刚好就覆盖了全部已知的素的情
形！

. . . . . .


整数的表示
Mersenne 素数
Fermat 素数
素数

数，个头实在有点大，难以验证。更倒霉的
是，F0 , F1 , F2 , F3 , F4 实际上是全部已知的 Fermat 素数，
现在倾向于认为几乎全部 Fermat 数都不是素的，
而 Fermat 选的样本刚好就覆盖了全部已知的素的情
形！但是，Fermat 的霉运实在不仅这些，将来我们会学习
著名的 Fermat 小定理，用这个 Fermat 自己提出来的定
理，只要花上一点耐心和体力，就可以计算出 F5 其实是
个合数！

. . . . . .


整数的表示多项式带余除法
最大公因子与辗转相除法整除性
整数的惟一分解定理公因子
素数惟一分解定理

.
.
1.6 多项式的整除法
.

.
.. .

. . . . . .



.
定义 .
..
. .
.
1 有理数定义为：

{a }
Q= | a, b ∈ Z, b = 0 .
b

.

.
.. .

. . . . . .



.
定义 .
..
. .
.

{a }
Q= | a, b ∈ Z, b = 0 .
b

. 所有系数为有理数的多项式集合定义为：
.
. 2
{ }
. Q[x] = a0 + a1 x + · · · + an xn | ai ∈ Q, 0 i n .

.
.. .

. . . . . .



.
定义 .
..
. .
.

{a }
Q= | a, b ∈ Z, b = 0 .
b

.
. 2
{ }
. Q[x] = a0 + a1 x + · · · + an xn | ai ∈ Q, 0 i n .

.
.. .
.
Q[x] 与整数集合 Z 有很多类似的性质，如在 Q[x] 上有带余 .
除法，也有最大公因子的概念，也有惟一分解定理等。
.

.
.. .
. . . . . .



.
定义 .
..
. .
.

{a }
Q= | a, b ∈ Z, b = 0 .
b

.
.
2
{ }
. Q[x] = a0 + a1 x + · · · + an xn | ai ∈ Q, 0 i n .

.
.. .
.
Q[x] 与整数集合 Z 有很多类似的性质，如在 Q[x] 上有带余 .
除法，也有最大公因子的概念，也有惟一分解定理等。下面我们
就把 Z 上的一些性质定理推广到 Q[x] 上来。
.

.
.. .
. . . . . .



.
(约定) .
..
多项式 f (x) 的次数记为 deg f (x)
.

.
.. .

. . . . . .



.
(约定) .
..
多项式 f (x) 的次数记为 deg f (x)
.

.
.. .
.
定理 (多项式的带余除法) .
..
设 f (x), g(x) ∈ Q[x], g(x) = 0, 则有 q(x), r(x) ∈ Q[x] 使得

f (x) = q(x)g(x) + r(x),

r(x) = 0 或 r(x) = 0, deg r(x) < deg g(x).
.

.
.. .

. . . . . .



.
(证明) .
..
. .
.
1 考虑集合 I = {f (x) − g(x)a(x) : a(x) ∈ Q[x]}.

.

.
.. .

. . . . . .



.
(证明) .
..
. .
.

. .
.
2 若 0 ∈ I，则存在 q(x)，使得 f (x) − q(x)g(x) = 0.

.

.
.. .

. . . . . .



.
(证明) .
..
. .
.

. .
.

. 若 0 ∈ I，设其中次数最小的多项式为 r(x), 必
.
. 3 /
有 deg r(x) < deg g(x).
.

.
.. .

. . . . . .



.
(证明) .
..
. .
.

. .
.

.
.3 /
.
. 4
. 还要考虑惟一性.
.

.
.. .

. . . . . .



.
(证明) .
..
. .
.

. .
.

.
. 3 /
.
. 4
.

.
.. .
.
这个证明类似与 Z 中带余除法的证明， .

.

.
.. .

. . . . . .



.
(证明) .
..
. .
.

. .
.

.
.3 /
.
. 4
.

.
.. .
.
这个证明类似与 Z 中带余除法的证明，可以看出，多项式的次 .
数在证明中起的作用当与整数的绝对值在相应证明中起的作
用。
.

.
.. .

. . . . . .



.
定义 .
..

.

.
.. .

. . . . . .



.
定义 .
..
. .
.
1 若 f (x) = g(x)h(x)，则称 g(x) 整除 f (x)，记

作 g(x) | f (x).

.

.
.. .

. . . . . .



.
定义 .
..
. .
.
1 若 f (x) = g(x)h(x)，则称 g(x) 整除 f (x)，记

作 g(x) | f (x).
. .
.
2 若 g(x) | f (x)，则称 g(x) 是 f (x) 的因子.

.

.
.. .

. . . . . .



.
定义 .
..
. . 若 f (x) = g(x)h(x)，则称 g(x) 整除 f (x)，记
.
1

作 g(x) | f (x).
. .
.

. .
.
3 若 g(x) 是 f (x) 的因子，且 0 < deg g(x) < deg f (x)，则

称 g(x) 是 f (x) 的真因子.
.

.
.. .

. . . . . .



.
定义 .
..
. . 若 f (x) = g(x)h(x)，则称 g(x) 整除 f (x)，记
.
1

作 g(x) | f (x).
. .
.

. .
.
3 若 g(x) 是 f (x) 的因子，且 0 < deg g(x) < deg f (x)，则

称 g(x) 是 f (x) 的真因子.
.
. 4
. 若 f (x) 无真因子，称 f (x) 为不可约多项式.
.

.
.. .

. . . . . .



.
(整除性质) .
..
若 g(x) = 0, h(x) = 0，有

.

.
.. .

. . . . . .



.
(整除性质) .
..
若 g(x) = 0, h(x) = 0，有
..
.
1 若 h(x) | g(x), g(x) | f (x) 则 h(x) | f (x)。

.

.
.. .

. . . . . .



.
..
设 f (x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若

.

.
.. .

. . . . . .



.
..
设 f (x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若
..
.
1 h(x) | f (x), h(x) | g(x);

.

.
.. .

. . . . . .



.
..
设 f (x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若
..
.
1 h(x) | f (x), h(x) | g(x);

.
. 2


.
.. .
.
.

.

.
.. .
. . . . . .



.
..
设 f (x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若
..
.
1 h(x) | f (x), h(x) | g(x);

.
. 2


.
.. .
.
. 若 d(x) 为 f (x) 和 g(x) 的最大公因子，c = 0，
.
. 1 .
则 c · d(x) 也是 f (x), g(x) 的最大公因子.

.

.
.. .
. . . . . .



.
..
设 f (x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若
..
.
1 h(x) | f (x), h(x) | g(x);

.
. 2


.
.. .
.
.
. 1 .
( )
. 把 f (x), g(x) 的首项系数为 1 的公因式记为
.
. 2 f (x), g(x) .

.

.
.. .
. . . . . .



.
..
设 f (x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若
..
.
1 h(x) | f (x), h(x) | g(x);

.
. 2


.
.. .
.
.
. 1 .
( )
.
. 2 f (x), g(x) .
. (0, 0) 约定为 0.
.
. 3

.

.
.. .
. . . . . .



.
..
设 f (x), g(x), h(x) ∈ Q[x], h(x) = 0，若
..
.
1 h(x) | f (x), h(x) | g(x);

.
. 2


.
.. .
.
.
. 1 .
( )
.
. 2 f (x), g(x) .
. (0, 0) (约定为 )0.
.
. 3

. . 显然 f (x), 0 = f (x).
.
. 4

.
.. .
. . . . . .



.
定理 .
..
设 f (x), g(x) ∈ Q[x],存在 m(x), n(x) ∈ Q[x], 使得
( )
. f (x), g(x) = m(x)f (x) + n(x)g(x)

.
.. .

. . . . . .



.
例子 .
..
f (x) = x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1
g(x) = x5 + x3 − x2 − 1，
( )
计算 f (x), g(x) 及 m(x), n(x)，使得
( )
. f (x), g(x) = m(x)f (x) + n(x)g(x).

.
.. .

. . . . . .



x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g

. . . . . .



x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g
x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g

. . . . . .



x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g
x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g
x4 + x3 + 4x2 + 3x + 3 = 1 · f + (−x − 2)g

. . . . . .



x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g
x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g
x4 + x3 + 4x2 + 3x + 3 = 1 · f + (−x − 2)g
2 − 2x3 = (1 − x) · f + (x2 + x − 1)g

. . . . . .



x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g
x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g
x4 + x3 + 4x2 + 3x + 3 = 1 · f + (−x − 2)g
2 − 2x3 = (1 − x) · f + (x2 + x − 1)g
3 − x2 x3 + 2x2 − 2x − 5
4(x2 + x + 1) = ·f + ·g
2 2
0 =?

. . . . . .



x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 1 · f + 0 · g
x5 + x3 − x2 − 1 = 0 · f + 1 · g
x4 + x3 + 4x2 + 3x + 3 = 1 · f + (−x − 2)g
2 − 2x3 = (1 − x) · f + (x2 + x − 1)g
3 − x2 x3 + 2x2 − 2x − 5
4(x2 + x + 1) = ·f + ·g
2 2
0 =?
.
3 − x2 x3 + 2x2 − 2x − 5 .
(x2 + x + 1) = ·f + ·g
. 8 8

.
.. .

. . . . . .



.
定理 .
..
设 p(x) ∈ Q[x] 为不可约多项式，且 p(x) | f (x)g(x)，
. p(x) | f (x) 或 p(x) | g(x).
则

.
.. .

. . . . . .



.
定理 .
..
设 p(x) ∈ Q[x] 为不可约多项式，且 p(x) | f (x)g(x)，
. p(x) | f (x) 或 p(x) | g(x).
则

.
.. .
.
此定理的证明与整数中的相应情形类似，请自行证明。
. .

.
.. .

. . . . . .



.
..
Q[x] 中任一非常数多项式 f (x) 均可表示为

f (x) = p1 (x)a1 p2 (x)a2 · · · pk (x)ak ,

这里 p1 (x), p2 (x), . . . , pk (x) 为 Q[x] 中的不可约多项式，
a1 , a2 , . . . , ak 为正整数. 若不考虑相差一个非零常数因子及不
可约因子的次序时，这种分解是惟一的.
.

.
.. .

. . . . . .



.
..
Q[x] 中任一非常数多项式 f (x) 均可表示为

f (x) = p1 (x)a1 p2 (x)a2 · · · pk (x)ak ,

这里 p1 (x), p2 (x), . . . , pk (x) 为 Q[x] 中的不可约多项式，
a1 , a2 , . . . , ak 为正整数. 若不考虑相差一个非零常数因子及不
可约因子的次序时，这种分解是惟一的.
.

.
.. .
.
此定理的证明与整数中的相应情形类似，请自行证明。
. .

.
.. .

. . . . . .



本节完，谢谢！

磊张
印晓

. . . . . .


整数的因子分解

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