信息安全数学。第二章同余式，第二部分。幻灯版。

1. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
.
.
同余式(上)
.
.. .
课件制作：张晓磊
April 24, 2010
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

2. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
.
2.0 同余及其基本性质
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

3. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定义 .
..
a, b, n ∈ Z，且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同
余.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

4. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定义 .
..
a, b, n ∈ Z，且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同
余. 记为
. a ≡ b (mod n),
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

5. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定义 .
..
a, b, n ∈ Z，且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同
余. 记为
. a ≡ b (mod n),
.
.. .
.
. .
.
1 同余是两个整数间的一种关系 .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

6. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定义 .
..
a, b, n ∈ Z，且 n = 0. 如果 n|(a − b) 则称 a 与 b 模 n 同
余. 记为
. a ≡ b (mod n),
.
.. .
.
. .
.
1 同余是两个整数间的一种关系 .
. . 同余符号是 Gauss 引入的
2.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

7. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余是一个等价关系) .
..
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

8. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余是一个等价关系) .
..
. .
.
1 a ≡ a (mod n)
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

9. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余是一个等价关系) .
..
. .
.
1 a ≡ a (mod n)
. 如果 a ≡ b (mod n)，则 b ≡ a (mod n)
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

10. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余是一个等价关系) .
..
..
.
1 a ≡ a (mod n)
. 如果 a ≡ b (mod n)，则 b ≡ a (mod n)
2.
.
. . 如果 a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n)，则 a ≡ c (mod n).
3.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

11. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (同余的若干性质) .
..
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

12. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (同余的若干性质) .
..
. .
.
1 若 a ≡ b ,a ≡ b
1 1 2 2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2
(mod n);
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

13. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (同余的若干性质) .
..
..
.
1 若 a ≡ b ,a ≡ b
1 1 2 2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2
(mod n);
..
. 若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n);
2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

14. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (同余的若干性质) .
..
..
.
1 若 a ≡ b ,a ≡ b
1 1 2 2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2
(mod n);
..
. 若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n);
2
. 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

15. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (同余的若干性质) .
..
..
.
1 若 a ≡ b ,a ≡ b
1 1 2 2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2
(mod n);
..
. 若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n);
2
. 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
. 3
. 若 aa≡ b b(mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，
.
. 4
则 d ≡ n
d (mod d );
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

16. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (同余的若干性质) .
..
..
.
1 若 a ≡ b ,a ≡ b
1 1 2 2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2
(mod n);
..
. 若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n);
2
. 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
. 3
. 若 aa≡ b b(mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，
.
. 4
则 d ≡ n
d (mod d );
. 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b
.
. 5
(mod [n1 , n2 , . . . , nk ])，
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

17. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (同余的若干性质) .
..
..
.
1 若 a ≡ b ,a ≡ b
1 1 2 2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2
(mod n);
..
. 若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n);
2
. 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
. 3
. 若 aa≡ b b(mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，
.
. 4
则 d ≡ n
d (mod d );
. 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b
.
. 5
(mod [n1 , n2 , . . . , nk ])，
. 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d);
.
. 6
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

18. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (同余的若干性质) .
..
..
.
1 若 a ≡ b ,a ≡ b
1 1 2 2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2
(mod n);
..
. 若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n);
2
. 若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
.
3
. 若 aa≡ b b(mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，
.
.
4
则 d ≡ d
n
(mod d );
. 若 a ≡ b (mod ni), i = 1, 2, . . . , k，则 a ≡ b
.
.
5
(mod [n1 , n2 , . . . , nk ])，
. 若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d);
6.
.
. . 若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n).
7.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

19. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(1) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n)
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

20. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(1) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n)
.
.
.. .
.
证明： .
. .
. 1
1 a ≡ b
1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ；
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

21. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(1) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n)
.
.
.. .
.
证明： .
. .
. 1
1 a ≡ b
1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ；
. a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

22. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(1) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n)
.
.
.. .
.
证明： .
. .
. 1
1 a ≡ b
1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ；
. a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2；
.
. 2
. 由上面两条，有 n|(a1 − b1) + (a2 − b2)，也就是
.
. 3
n | (a1 + a2 ) − (b1 + b2 );
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

23. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(1) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n)
.
.
.. .
.
证明： .
. .
. 1
1 a ≡ b
1 (mod n) ⇒ n | a1 − b1 ；
. a2 ≡ b2 (mod n) ⇒ n | a2 − b2；
.
.
2
. 由上面两条，有 n|(a1 − b1) + (a2 − b2)，也就是
.
.
3
n | (a1 + a2 ) − (b1 + b2 );
..
. . 所以 a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n).
4
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

24. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(2) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n).
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

25. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(2) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a a − b b ；
1 2 1 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

26. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(2) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a a − b b ；
1 2 1 2
. 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

27. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(2) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a a − b b ；
1 2 1 2
. 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)；
.
. 2
. 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有：n|(a2 − b2)；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

28. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(2) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a a − b b ；
1 2 1 2
. 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)；
.
. 2
. 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有：n|(a2 − b2)；
.
. 3
. a1a2 − b1b2
.
. 4
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

29. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(2) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a a − b b ；
1 2 1 2
. 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)；
.
. 2
. 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有：n|(a2 − b2)；
.
. 3
. a1a2 − b1b2 = a1a2 − a1b2 + a1b2 − b1b2
.
. 4
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

30. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(2) .
..
若 a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 (mod n), 则 a1 a2 ≡ b1 b2 (mod n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a a − b b ；
1 2 1 2
. 由 a1 ≡ b1 (mod n) 有：n|(a1 − b1)；
.
. 2
. 由 a2 ≡ b2 (mod n) 有：n|(a2 − b2)；
.
. 3
. a1a2 − b1b2 = a1a2 − a1b2 + a1b2 − b1b2
.
. 4
. = a1 (a2 − b2 ) + b2 (a1 − b1 )
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

31. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(3) .
..
若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

32. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(3) .
..
若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a − b；
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

33. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(3) .
..
若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a − b；
. 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

34. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(3) .
..
若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a − b；
. 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd ⇒ n|(a − b)d
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

35. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(3) .
..
若 ad ≡ bd (mod n)，且 (d, n) = 1, 则 a ≡ b (mod n);
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明：n|a − b；
. 由 ad ≡ bd (mod n) ⇒ n|ad − bd ⇒ n|(a − b)d
2.
.
. . 由于 (n, d) = 1，所以 n|a − b.
3.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

36. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(4) .
..
若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则
a b n
≡ (mod ).
. d d d
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

37. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(4) .
..
若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则
a b n
≡ (mod ).
. d d d
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明： n | a − b ；
d d d
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

38. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(4) .
..
若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则
a b n
≡ (mod ).
. d d d
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明： n | a − b ；
d d d
.
. 由 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b
.
. 2
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

39. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(4) .
..
若 a ≡ b (mod n), d 是 a, b, n 的任一公因子，则
a b n
≡ (mod ).
. d d d
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明： n | a − b ；
d d d
.
. 由 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b ⇒ n
.
. 2
d
a b
−
d d
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

40. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(5) .
..
若 a ≡ b (mod ni ), i = 1, 2, . . . , k，则
. a ≡ b (mod [n1 , n2 , . . . , nk ]).
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

41. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(5) .
..
若 a ≡ b (mod ni ), i = 1, 2, . . . , k，则
. a ≡ b (mod [n1 , n2 , . . . , nk ]).
.
.. .
.
证明： .
..
.
1 记 [n , n , . . . , n ] = m，相当于要证：m|a − b；
1 2 k
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

42. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(5) .
..
若 a ≡ b (mod ni ), i = 1, 2, . . . , k，则
. a ≡ b (mod [n1 , n2 , . . . , nk ]).
.
.. .
.
证明： .
..
.
1 记 [n , n , . . . , n ] = m，相当于要证：m|a − b；
1 2 k
. a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

43. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(5) .
..
若 a ≡ b (mod ni ), i = 1, 2, . . . , k，则
. a ≡ b (mod [n1 , n2 , . . . , nk ]).
.
.. .
.
证明： .
..
.
1 记 [n , n , . . . , n ] = m，相当于要证：m|a − b；
1 2 k
. a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b
.
. 2
. 即 a − b 是 ni 的公倍数。
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

44. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(5) .
..
若 a ≡ b (mod ni ), i = 1, 2, . . . , k，则
. a ≡ b (mod [n1 , n2 , . . . , nk ]).
.
.. .
.
证明： .
..
.
1 记 [n , n , . . . , n ] = m，相当于要证：m|a − b；
1 2 k
. a ≡ b (mod ni) ⇒ ni|a − b
.
.
2
. 即 a − b 是 ni 的公倍数。
.
.
3
. . 由最小公倍数的定义知：m|a − b.
.
.
4
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

45. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(6) .
..
若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d);
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

46. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(6) .
..
若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d);
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明 d|a − b；
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

47. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(6) .
..
若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d);
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明 d|a − b；
. a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

48. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(6) .
..
若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d);
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明 d|a − b；
. a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b
2.
.
. . d|n, n|a − b
3.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

49. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(6) .
..
若 a ≡ b (mod n), d|n, d > 0，则 a ≡ b (mod d);
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 相当于要证明 d|a − b；
. a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b
2.
.
. . d|n, n|a − b ⇒ d|a − b
3.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

50. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(7) .
..
若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n).
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

51. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(7) .
..
若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b；
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

52. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(7) .
..
若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b；
. 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

53. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(7) .
..
若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b；
. 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt；
2.
.
. . 即 a = nt + b
3.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

54. 同余及其基本性质
中国剩余定理
剩余类环
.
(7) .
..
若 a ≡ b (mod n), 则 (a, n) = (b, n).
.
.
.. .
.
证明： .
. .
.
1 a ≡ b (mod n) ⇒ n|a − b；
. 存在 t ∈ Z 使得 a − b = nt；
2.
.
. . 即 a = nt + b ⇒ (a, n) = (n, b).
3.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

55. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
2.1 中国剩余定理
.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

56. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余方程) .
..
给定正整数 a，正整数 m，求整数 x 使得
x ≡ a (mod m),
这称为解同余方程问题.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

57. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余方程) .
..
给定正整数 a，正整数 m，求整数 x 使得
x ≡ a (mod m),
这称为解同余方程问题.
.
.
.. .
.
(分析) .
..
显然 x = a + km, k ∈ Z 是该同余方程的所有解. 但在 [0, m)
内只有一个解，
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

58. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余方程) .
..
给定正整数 a，正整数 m，求整数 x 使得
x ≡ a (mod m),
这称为解同余方程问题.
.
.
.. .
.
(分析) .
..
显然 x = a + km, k ∈ Z 是该同余方程的所有解. 但在 [0, m)
内只有一个解，它就是 a 除以 m 的余数.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

59. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余方程组) .
..
现在考虑简单的同余方程组：
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

60. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余方程组) .
..
现在考虑简单的同余方程组：
{
x ≡ a1 (mod m1 )
. x ≡ a2 (mod m2 )
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

61. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(同余方程组) .
..
现在考虑简单的同余方程组：
{
x ≡ a1 (mod m1 )
. x ≡ a2 (mod m2 )
.
.. .
.
这时的情况要比单个方程的复杂一些，这个方程可能有解，也可 .
能没有解。
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

62. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 6)
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

63. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 6)
.
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
.
.
.. . . . . .
. .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

64. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 6)
.
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
. 若 x 是方程组的一个解，则 x + 12t 也是一个解
.
. 2
.
.
.. . . . . .
. .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

65. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 6)
.
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
. 若 x 是方程组的一个解，则 x + 12t 也是一个解，
.
. 2
. 即 x 除以 12 的余数也是一个解；
.
. 3
.
.
.. . . . . .
. .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

66. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 6)
.
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
. 若 x 是方程组的一个解，则 x + 12t 也是一个解，
.
. 2
. 即 x 除以 12 的余数也是一个解；
.
. 3
. 所以之要看区间 [0, 11] 里是否有解就可以了。
.
. 4
.
.
.. . . . . .
. .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

67. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 6)
.
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
. 若 x 是方程组的一个解，则 x + 12t 也是一个解，
.
. 2
. 即 x 除以 12 的余数也是一个解；
.
. 3
. 所以之要看区间 [0, 11] 里是否有解就可以了。
.
. 4
. . 检验的结果表明此方程组无解。
.
. 5
.
.. . . . . .
. .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

68. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
. x ≡ 3 (mod 6)
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

69. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
. x ≡ 3 (mod 6)
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

70. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
. x ≡ 3 (mod 6)
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
. 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

71. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
. x ≡ 3 (mod 6)
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
. 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9；
.
. 2
{ }
. 全部解就是 9 + 12k | k ∈ Z ；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

72. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
考虑简单同余方程组：
{
x ≡ 1 (mod 4)
. x ≡ 3 (mod 6)
.
.. .
.
. 4, 6 的最小公倍数是 12；
.
. 1 .
. 对 [0, 11] 中的数一一验证可得一个解 x = 9；
.
. 2
{ }
. 全部解就是 9 + 12k | k ∈ Z ；
.
. 3
. . 这个解通常也记为 x ≡ 9 (mod 12)。
.
. 4
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

73. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 .
..
设 m1 , m2 为正整数，m 是 m1 , m2 的最小公倍数，则同余方
程组 {
x ≡ a1 (mod m1 )
x ≡ a2 (mod m2 )
有解的充分必要条件是 (m1 , m2 ) | a1 − a2 .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

74. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 .
..
设 m1 , m2 为正整数，m 是 m1 , m2 的最小公倍数，则同余方
程组 {
x ≡ a1 (mod m1 )
x ≡ a2 (mod m2 )
有解的充分必要条件是 (m1 , m2 ) | a1 − a2 . 此外，当方程组有
解时，在 [0, m) 间有惟一一个解.
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

75. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
. 分析
.
必要性
. .
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

76. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
. 分析
.
必要性
. .
.
.. .
.
{ {
x ≡ a1 (mod m1 ) x = a1 + s1 m1 .
⇐⇒
x ≡ a2 (mod m2 ) x = a2 + s2 m2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

77. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
. 分析
.
必要性
. .
.
.. .
.
{ {
x ≡ a1 (mod m1 ) x = a1 + s1 m1 .
⇐⇒
x ≡ a2 (mod m2 ) x = a2 + s2 m2
a1 − a2 = −s1 m1 + s2 m2
设 d = (m1 , m2 )，显然 d|a1 − a2 .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

78. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
必要性
. .
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

79. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
必要性
. .
.
.. .
.
注意到：a1 − a2 = −s1 m1 + s2 m2 ， .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

80. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
必要性
. .
.
.. .
.
注意到：a1 − a2 = −s1 m1 + s2 m2 ，要求 x，只要找出 s1 .
和 s2 .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

81. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
必要性
. .
.
.. .
.
注意到：a1 − a2 = −s1 m1 + s2 m2 ，要求 x，只要找出 s1 .
和 s2 .
a1 −a2
存在整数 p1 , p2 ，使得 d = pm1 + qm2 , 两边乘上 d 得：
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

82. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
必要性
. .
.
.. .
.
注意到：a1 − a2 = −s1 m1 + s2 m2 ，要求 x，只要找出 s1 .
和 s2 .
a1 −a2
存在整数 p1 , p2 ，使得 d = pm1 + qm2 , 两边乘上 d 得：
a1 − a2 a1 − a2
a1 − a2 = p m1 + q m2
d d
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

83. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
必要性
. .
.
.. .
.
注意到：a1 − a2 = −s1 m1 + s2 m2 ，要求 x，只要找出 s1 .
和 s2 .
a1 −a2
存在整数 p1 , p2 ，使得 d = pm1 + qm2 , 两边乘上 d 得：
a1 − a2 a1 − a2
a1 − a2 = p m1 + q m2
d d
a1 − a2 a1 − a2
x = a1 − p m1 = a2 + q m2
. d d
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

84. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？
. .
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

85. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 若 x ,x 是方程组的两个解，则 .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

86. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 若 x ,x 是方程组的两个解，则 .
{
x ≡x (mod m1 )
x ≡x (mod m2 )
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

87. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 若 x ,x 是方程组的两个解，则 .
{
x ≡x (mod m1 )
x ≡x (mod m2 )
我们记 m = [m1 , m2 ]，于是有 x ≡ x (mod m)。
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

88. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 若 x ,x 是方程组的两个解，则 .
{
x ≡x (mod m1 )
x ≡x (mod m2 )
我们记 m = [m1 , m2 ]，于是有 x ≡ x (mod m)。
. 反之，若 x
.
. 2 是方程组的一个解，而 x ≡ x (mod m)，
则 x 也是方程组的一个解。
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

89. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
现在我们找到原方程组的一个解了，那其它的解呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 若 x ,x 是方程组的两个解，则 .
{
x ≡x (mod m1 )
x ≡x (mod m2 )
我们记 m = [m1 , m2 ]，于是有 x ≡ x (mod m)。
. 反之，若 x
.
. 2 是方程组的一个解，而 x ≡ x (mod m)，
则 x 也是方程组的一个解。
. 综合上述，若 a 是原方程组的一个解，则原方程组的解为
.
. 3
. x ≡ a (mod m).
.
.. .
. . . . . .
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90. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (中国剩余定理) .
..
设 m1 , m2 , . . . , mr 是两两互素的自然数，
令 m = m1 m2 · · · mr ， Mi = m/mi , i = 1, · · · , r，
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

91. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (中国剩余定理) .
..
设 m1 , m2 , . . . , mr 是两两互素的自然数，
令 m = m1 m2 · · · mr ， Mi = m/mi , i = 1, · · · , r，则方程组

 x ≡ b1 (mod m1 )


x ≡ b2 (mod m2 )

 ···

x ≡ br (mod mr )
的解为：
.
.
.. .
. . . . . .
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92. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
定理 (中国剩余定理) .
..
设 m1 , m2 , . . . , mr 是两两互素的自然数，
令 m = m1 m2 · · · mr ， Mi = m/mi , i = 1, · · · , r，则方程组

 x ≡ b1 (mod m1 )


x ≡ b2 (mod m2 )

 ···

x ≡ br (mod mr )
的解为： x ≡ M1 M1 b1 + M2 M2 b2 + · · · + Mr Mr br (mod m).
其中 Mi 满足 Mi Mi ≡ 1 (mod mi ).
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

93. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析一) .
.. {
x ≡ b1 (mod m1 )
设 与 x ≡ c2 (mod m1 m2 ) 同解，则
x ≡ b2 (mod m2 )
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

94. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析一) .
.. {
x ≡ b1 (mod m1 )
设 与 x ≡ c2 (mod m1 m2 ) 同解，则
x ≡ b2 (mod m2 )

 x ≡ b1 (mod m1 ) 

  x ≡ c2 (mod m1 m2 )
 x ≡ b2 (mod
 m2 ) 

x ≡ b3 (mod m3 )
x ≡ b3 (mod m3 ) ⇐⇒

 
 ···

 ··· 
 x ≡ br (mod mr )
. x ≡ br (mod mr )
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

95. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析一) .
.. {
x ≡ b1 (mod m1 )
设 与 x ≡ c2 (mod m1 m2 ) 同解，则
x ≡ b2 (mod m2 )

 x ≡ b1 (mod m1 ) 

  x ≡ c2 (mod m1 m2 )
 x ≡ b2 (mod
 m2 ) 

x ≡ b3 (mod m3 )
x ≡ b3 (mod m3 ) ⇐⇒

 
 ···

 ··· 
 x ≡ br (mod mr )
. x ≡ br (mod mr )
.
.. .
.
如是递归处理，经过 r 步，可以把方程组转换为一个同解的同 .
余方程
. x ≡ cr (mod m1 m2 · · · mr ).
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

96. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析二: 以规模为 3 的方程组为例) .
.. 
 x ≡ b1 (mod m1 )
x ≡ b2 (mod m2 )

x ≡ b3 (mod m3 )
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

97. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析二: 以规模为 3 的方程组为例) .
.. 
 x ≡ b1 (mod m1 )
x ≡ b2 (mod m2 )

x ≡ b3 (mod m3 )
. 1 m2 m3 ≡ 1 (m1 ), M2 m1 m3 ≡ 1 (m2 ), M3 m1 m2 ≡ 1 (m3 ).
M
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

98. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析二: 以规模为 3 的方程组为例) .
.. 
 x ≡ b1 (mod m1 )
x ≡ b2 (mod m2 )

x ≡ b3 (mod m3 )
. 1 m2 m3 ≡ 1
M (m1 ), M2 m1 m3 ≡ 1 (m2 ), M3 m1 m2 ≡ 1 (m3 ).
.
.. .
.  
 1 (mod m1 )  0 (mod m1 ) .
M1 M1 ≡ 0 (mod m2 ) , M2 M2 ≡ 1 (mod m2 ) ,
 
0 (mod m3 ) 0 (mod m3 )

 0 (mod m1 )
M3 M3 ≡ 0 (mod m2 ) .

. 1 (mod m3 )
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

99. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析二：续) .
.. {
1 (mod mi )
Mi Mi ≡
0 (mod mj ) j = i
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

100. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析二：续) .
.. {
1 (mod mi )
Mi Mi ≡
0 (mod mj ) j = i
.
.
.. .
.
插值？ .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

101. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(分析二：续) .
.. {
1 (mod mi )
Mi Mi ≡
0 (mod mj ) j = i
.
.
.. .
.
插值？ .
. M1 M1 b1 + M2 M2 b2 + M3 M3 b3
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

102. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组 
 x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 9)

. x ≡ 3 (mod 11).
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

103. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组 
 x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 9)

. x ≡ 3 (mod 11).
.
.. .
.
. (M1, M2, M3) = (99, 44, 36)；
.
. 1 .
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

104. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组 
 x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 9)

. x ≡ 3 (mod 11).
.
.. .
.
. (M1, M2, M3) = (99, 44, 36)；
.
. 1 .
. (M1, M2, M3) = (3, 8, 4)；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

105. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组 
 x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 9)

. x ≡ 3 (mod 11).
.
.. .
.
. (M1, M2, M3) = (99, 44, 36)；
.
. 1 .
. (M1, M2, M3) = (3, 8, 4)；
.
. 2
. 解为：
.
. 3
x ≡ M1 M1 · 1 + M2 M2 · 2 + M3 M3 · 3 (mod 396)
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

106. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组 
 x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 9)

. x ≡ 3 (mod 11).
.
.. .
.
. (M1, M2, M3) = (99, 44, 36)；
.
. 1 .
. (M1, M2, M3) = (3, 8, 4)；
.
. 2
. 解为：
.
. 3
x ≡ M1 M1 · 1 + M2 M2 · 2 + M3 M3 · 3 (mod 396)
. ≡ 245 (mod 396)
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

107. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组

 x≡3 (mod 8)
x ≡ 11 (mod 20)

. x≡1 (mod 15).
.
.. .
. . . . . .
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108. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组

 x≡3 (mod 8)
x ≡ 11 (mod 20)

. x≡1 (mod 15).
.
.. .
.
. 这个方程组不能直接用中国剩余定理，
.
. 1 .
.
.
.. .
. . . . . .
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109. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组

 x≡3 (mod 8)
x ≡ 11 (mod 20)

. x≡1 (mod 15).
.
.. .
.
. 这个方程组不能直接用中国剩余定理，这是因为那几个模不 .
.
. 1
满足互素的条件；
.
.
.. .
. . . . . .
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110. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组

 x≡3 (mod 8)
x ≡ 11 (mod 20)

. x≡1 (mod 15).
.
.. .
.
. 这个方程组不能直接用中国剩余定理，这是因为那几个模不 .
.
. 1
满足互素的条件；
. 但可以两个两个递归地处理；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

111. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
Example .
..
求解同余方程组

 x≡3 (mod 8)
x ≡ 11 (mod 20)

. x≡1 (mod 15).
.
.. .
.
. 这个方程组不能直接用中国剩余定理，这是因为那几个模不 .
.
. 1
满足互素的条件；
. 但可以两个两个递归地处理；
.
. 2
. . 下面我们介绍另外一个处理方法。
.
. 3
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

112. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(事实) .
..
. .
.
1 如果 (m , m ) = 1，则
1 2
{
x ≡ a (mod m1 )
与 x ≡ a (mod m1 m2 ) 等价。
x ≡ a (mod m2 )
.
.
.. .
. . . . . .
课件制作：张晓磊 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》

113. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环
.
(事实) .
..
. .
.
1 如果 (m , m ) = 1，则
1 2
{
x ≡ a (mod m1 )
与 x ≡ a (mod m1 m2 ) 等价。
x ≡ a (mod m2 )
. 如果 m1|m2, 则
.
. 2
{
x≡a (mod m1 )
与 x ≡ a (mod m2 ) 等价。
. x≡a (mod m2 )
.
.. .
. . . . . .
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114. 同余及其基本性质
简单同余方程组
中国剩余定理
中国剩余定理
剩余类环

 x ≡ 3 (mod 8)
x ≡ 11 (mod 20)

x ≡ 1 (mod 15)
. . . . . .
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