域(上)
- 1. 分式域
素域
单扩张
.
.
.
域（上）
.
.. .
广州大学数学与信息科学学院
November 10, 2009
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 2. 分式域
素域
单扩张
.
交换的除环称为域。在域上不仅可以进行加、减、乘法运算，而 .
且可以进行除法运算，因此域的应用比环更为广泛。
.
.
.. .
. . . . . .
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- 3. 分式域
素域
单扩张
.
交换的除环称为域。在域上不仅可以进行加、减、乘法运算，而 .
且可以进行除法运算，因此域的应用比环更为广泛。这一章介绍
域的基本性质以及域的构造方法，包括：
.
.
.. .
. 分式域；
.
.
1
. 素域；
.
.
2
. 单扩张与代数扩张；
.
.
3
. 高斯数域和三次分圆域；
.
.
4
. 分裂域。
.
.
5
. . . . . .
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- 4. 分式域
素域
单扩张
.
§8.1 分式域
.
.
.
.. .
. . . . . .
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- 5. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
设 D 是一个整环，F 是一个域，若满足：
. .
.
1 D ⊆ F；
. D = {ab−1
.
.
2 | a, b ∈ D, b = 0}。
则称 F 是 D 的分式域。
.
.
.. .
. . . . . .
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- 6. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
设 D 是一个整环，F 是一个域，若满足：
. .
.
1 D ⊆ F；
. D = {ab−1
.
. 2 | a, b ∈ D, b = 0}。
则称 F 是 D 的分式域。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ab−1 也可以写为 a 。
b
.
.
.
.. .
. . . . . .
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- 7. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
设 D 是一个整环，F 是一个域，若满足：
. .
.
1 D ⊆ F；
. D = {ab−1
.
. 2 | a, b ∈ D, b = 0}。
则称 F 是 D 的分式域。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ab−1 也可以写为 a 。
b
.
. .
.
2 整环与其分式域的关系，可以理解成整数与分数的关系；
.
.
.. .
. . . . . .
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- 8. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
设 D 是一个整环，F 是一个域，若满足：
. .
.
1 D ⊆ F；
. D = {ab−1
.
. 2 | a, b ∈ D, b = 0}。
则称 F 是 D 的分式域。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ab−1 也可以写为 a 。
b
.
. .
.
2 整环与其分式域的关系，可以理解成整数与分数的关系；
. 可以证明任一整环 D 都存在分式域，且在同构的意义下惟
.
. 3
. 一（定理的证明可以参考一般的近世代数教程）。
.
.. .
. . . . . .
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- 9. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 Z 为整数环，则有理数域 Q 满足：
. .
.
1 Z ⊆ Q；
.
.
.. .
. . . . . .
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- 10. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 Z 为整数环，则有理数域 Q 满足：
. .
.
1 Z ⊆ Q；
{ −1 }
. .
.
2 Q = ab a, b ∈ Z, b = 0 ，
.
.
.. .
. . . . . .
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- 11. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 Z 为整数环，则有理数域 Q 满足：
. .
.
1 Z ⊆ Q；
{ −1 }
. .
.
2 Q = ab a, b ∈ Z, b = 0 ，或者
{a }
Q= a, b ∈ Z, b = 0
. b
.
.. .
. . . . . .
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- 12. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 F 是任一个域，F[x] 是 F 上的多项式环，x 称为 F 的一个
不定元。F 上的有理函数域定义为
{ }
f(x)
F{x} = f(x), g(x) ∈ F[x], g(x) = 0 ,
g(x)
则 F{x} 是 F[x] 的分式域。
.
.
.. .
. . . . . .
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- 13. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 F 是任一个域，F[x] 是 F 上的多项式环，x 称为 F 的一个
不定元。F 上的有理函数域定义为
{ }
f(x)
F{x} = f(x), g(x) ∈ F[x], g(x) = 0 ,
g(x)
则 F{x} 是 F[x] 的分式域。
.
.
.. .
.
. .
.
1 显然 F[x] ⊆ F{x}； .
.
.
.. .
. . . . . .
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- 14. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 F 是任一个域，F[x] 是 F 上的多项式环，x 称为 F 的一个
不定元。F 上的有理函数域定义为
{ }
f(x)
F{x} = f(x), g(x) ∈ F[x], g(x) = 0 ,
g(x)
则 F{x} 是 F[x] 的分式域。
.
.
.. .
.
. .
.
1 显然 F[x] ⊆ F{x}；
{ }
.
.
. .
.
2 F{x} = f(x)g(x)−1 f(x), g(x) ∈ F[x], g(x) = 0 。
.
.. .
. . . . . .
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- 15. 分式域
素域
单扩张
.
为什么要考虑整环的分式域呢？
. .
.
.. .
. . . . . .
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- 16. 分式域
素域
单扩张
.
为什么要考虑整环的分式域呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； .
.
.
.. .
. . . . . .
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- 17. 分式域
素域
单扩张
.
为什么要考虑整环的分式域呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； .
. .
. 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只
2
有整环才能嵌入到域中。
.
.
.. .
. . . . . .
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- 18. 分式域
素域
单扩张
.
为什么要考虑整环的分式域呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； .
. .
. 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只
2
有整环才能嵌入到域中。
. 事实证明这种扩充是有效的，整数环上多项式分解惟一性定
.
. 3
理就是个很好的例子。
.
.
.. .
. . . . . .
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- 19. 分式域
素域
单扩张
.
为什么要考虑整环的分式域呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； .
. .
. 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只
2
有整环才能嵌入到域中。
. 事实证明这种扩充是有效的，整数环上多项式分解惟一性定
.
. 3
理就是个很好的例子。这个定理只在整数范围内考虑就很难
解决，
.
.
.. .
. . . . . .
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- 20. 分式域
素域
单扩张
.
为什么要考虑整环的分式域呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； .
. .
. 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只
2
有整环才能嵌入到域中。
. 事实证明这种扩充是有效的，整数环上多项式分解惟一性定
.
. 3
理就是个很好的例子。这个定理只在整数范围内考虑就很难
解决，标准的处理方法是把考虑的对象扩充到有理数域上的
多项式环 Q[x]，解决了 Q[x] 上 的惟一分解定理，
.
.
.. .
. . . . . .
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- 21. 分式域
素域
单扩张
.
为什么要考虑整环的分式域呢？
. .
.
.. .
.
. .
.
1 环中不可以做除法，扩充到域中能突破这个束缚； .
. .
. 任意一个域的子环必定是是交换的，而且无零因子，所以只
2
有整环才能嵌入到域中。
. 事实证明这种扩充是有效的，整数环上多项式分解惟一性定
.
. 3
理就是个很好的例子。这个定理只在整数范围内考虑就很难
解决，标准的处理方法是把考虑的对象扩充到有理数域上的
多项式环 Q[x]，解决了 Q[x] 上 的惟一分解定理，然后再
. 降回到 Z[x] 上，得到 Z[x] 上的惟一分解定理。
.
.. .
. . . . . .
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- 22. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设
. D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。
.
.. .
. . . . . .
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- 23. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设
. D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。
.
.. .
.
. .
.
1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 .
F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0};
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 24. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设
. D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。
.
.. .
.
. .
.
1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 .
F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0};
. 容易验证，F 是 E 的一个子域；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
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- 25. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设
. D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。
.
.. .
.
. .
.
1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 .
F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0};
. 容易验证，F 是 E 的一个子域；
.
. 2
. 显然 D ⊆ F；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 26. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设
. D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。
.
.. .
.
. .
.
1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 .
F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0};
. 容易验证，F 是 E 的一个子域；
.
. 2
. 显然 D ⊆ F；
.
. 3
. F 是 D 的分式域；
.
. 4
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 27. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设
. D 是一个整环，则 D 的分式域 F 是包含 D 的最小的域。
.
.. .
.
. .
.
1 设 E 是任意一个包含 D 的域，令 .
F = {ab−1 | a, b ∈ D, b = 0};
2
. 容易验证，F 是 E 的一个子域；
.
.
3
. 显然 D ⊆ F；
.
.
4
. F 是 D 的分式域；
.
.
. . 包含 D 的域都包含 D 的分式域，所以它是最小的。
5 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 28. 分式域
素域
单扩张
.
.
§8.2 素域
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 29. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
如果域 F 是域 E 的子域，那么就称 E 是 F 的扩域或扩张。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 30. 分式域
素域
单扩张
.
Examples .
..
. .
.
1 复数域 C 是实数域 R 的扩张；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 31. 分式域
素域
单扩张
.
Examples .
..
. .
.
1 复数域 C 是实数域 R 的扩张；
. .
.
2 实数域 R 是有理数域 Q 的扩张；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 32. 分式域
素域
单扩张
.
Examples .
..
. .
.
1 复数域 C 是实数域 R 的扩张；
. .
.
2 实数域 R 是有理数域 Q 的扩张；
. .
.
3 任何一个域都是其子域的扩张，
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 33. 分式域
素域
单扩张
.
Examples .
..
. .
.
1 复数域 C 是实数域 R 的扩张；
. .
.
2 实数域 R 是有理数域 Q 的扩张；
. .
.
3 任何一个域都是其子域的扩张，或者说任何一个域都可以从
. 其子域通过扩张得到。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 34. 分式域
素域
单扩张
.
Examples .
..
. .
.
1 复数域 C 是实数域 R 的扩张；
. .
.
2 实数域 R 是有理数域 Q 的扩张；
. .
.
3 任何一个域都是其子域的扩张，或者说任何一个域都可以从
. 其子域通过扩张得到。
.
.. .
.
想法 .
..
如果能弄清楚扩张的结构以及最小域的结构，那么任一个域的结
构从理论上将都可以弄清楚。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 35. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
如果一个域不含真子域，则称之为素域。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 36. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是一个域，
. .
.
1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域;
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 37. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是一个域，
. .
.
1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域;
. .
. . 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。
2
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 38. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是一个域，
. .
.
1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域;
. .
. . 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。
2
.
.. .
.
设 e 是 E 的乘法单位元，令 R = {ne | n ∈ Z}，则 R .
是 E 的 一个子环；
.
.
.. .
. . . . . .
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- 39. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是一个域，
. .
.
1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域;
. .
. . 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。
2
.
.. .
.
设 e 是 E 的乘法单位元，令 R = {ne | n ∈ Z}，则 R .
是 E 的 一个子环；
R 是一个整环，且 CharR = CharE。
.
.
.. .
. . . . . .
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- 40. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是一个域，
. .
.
1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域;
. .
. . 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。
2
.
.. .
.
设 e 是 E 的乘法单位元，令 R = {ne | n ∈ Z}，则 R .
是 E 的 一个子环；
R 是一个整环，且 CharR = CharE。
考虑 Z 到 R 的映射 ϕ : n → ne，
.
.
.. .
. . . . . .
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- 41. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是一个域，
. .
.
1 若 CharE = 0，则 E 含有一个与有理数域 Q 同构的子域;
. .
. . 若 CharE = p = 0，则 E 含有一个与 Z/(p) 相同的子域。
2
.
.. .
.
设 e 是 E 的乘法单位元，令 R = {ne | n ∈ Z}，则 R .
是 E 的 一个子环；
R 是一个整环，且 CharR = CharE。
考虑 Z 到 R 的映射 ϕ : n → ne，容易验证这是一个环
. 同态。
.
.. .
. . . . . .
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- 42. 分式域
素域
单扩张
.
E 中包含一个 D 的分式域 F; .
.
.
.. .
. . . . . .
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- 43. 分式域
素域
单扩张
.
E 中包含一个 D 的分式域 F; .
如果 CharE = ∞，则 Z R；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 44. 分式域
素域
单扩张
.
E 中包含一个 D 的分式域 F; .
如果 CharE = ∞，则 Z R；
Z 的分式域 Q F；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 45. 分式域
素域
单扩张
.
E 中包含一个 D 的分式域 F; .
如果 CharE = ∞，则 Z R；
Z 的分式域 Q F；
如果 CharE = p，则 Zp R；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 46. 分式域
素域
单扩张
.
E 中包含一个 D 的分式域 F; .
如果 CharE = ∞，则 Z R；
Z 的分式域 Q F；
如果 CharE = p，则 Zp R；
. R 本身就是个域。
.
.. .
. . . . . .
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- 47. 分式域
素域
单扩张
.
推论 .
..
若一个域 E 是素域，则它或者与 Q 同构，或者与 Zp 同构。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 48. 分式域
素域
单扩张
.
推论 .
..
若一个域 E 是素域，则它或者与 Q 同构，或者与 Zp 同构。
.
.
.. .
.
. .
.
1 若 CharE = ∞，则它包含一个与 Q 同构的域； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 49. 分式域
素域
单扩张
.
推论 .
..
若一个域 E 是素域，则它或者与 Q 同构，或者与 Zp 同构。
.
.
.. .
.
. .
.
1 若 CharE = ∞，则它包含一个与 Q 同构的域； .
. .
.
2 若 CharE = p，则它包含一个与 Z
p 同构的域；
.
.
.. .
. . . . . .
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- 50. 分式域
素域
单扩张
.
推论 .
..
若一个域 E 是素域，则它或者与 Q 同构，或者与 Zp 同构。
.
.
.. .
.
. .
.
1 若 CharE = ∞，则它包含一个与 Q 同构的域； .
. .
.
2 若 CharE = p，则它包含一个与 Z
p 同构的域；
. . 而素域不能真包含一个域。
3 .
.
.
.. .
. . . . . .
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- 51. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
设 E 是 F 的扩张，S 是 E 的子集，用 F(S) 表示 E 中包
含 F 和 S 的最小子域，并称之为添加集合 S 于 F 所得到的扩
张。如果 S 是一个有限集 {α1 , α2 , . . . , αk }，则把 F(S) 记
为
. F(α1 , α2 , . . . , αk )。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 52. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
设 E 是 F 的扩张，S 是 E 的子集，用 F(S) 表示 E 中包
含 F 和 S 的最小子域，并称之为添加集合 S 于 F 所得到的扩
张。如果 S 是一个有限集 {α1 , α2 , . . . , αk }，则把 F(S) 记
为
. F(α1 , α2 , . . . , αk )。
.
.. .
.
由于域中可以进行四则运算，所以 F(S) 中的元素具有如下形 .
式：
f(α1 , α2 , . . . , αk )
,
g(α1 , α2 , . . . , αk )
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 53. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
设 E 是 F 的扩张，S 是 E 的子集，用 F(S) 表示 E 中包
含 F 和 S 的最小子域，并称之为添加集合 S 于 F 所得到的扩
张。如果 S 是一个有限集 {α1 , α2 , . . . , αk }，则把 F(S) 记
为
. F(α1 , α2 , . . . , αk )。
.
.. .
.
由于域中可以进行四则运算，所以 F(S) 中的元素具有如下形 .
式：
f(α1 , α2 , . . . , αk )
,
g(α1 , α2 , . . . , αk )
其中 α1 , α2 , . . . , αk 是 S 中的元素， f, g 是 F 上的两个多元
多项式，且 g(α1 , α2 , . . . , αk = 0)。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 54. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
.. √
设 F = Q, E = C, S = { 2} ⊆ E，求 F(S)。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 55. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
.. √
设 F = Q, E = C, S = { 2} ⊆ E，求 F(S)。
.
.
.. .
.
. .
.
1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 56. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
.. √
设 F = Q, E = C, S = { 2} ⊆ E，求 F(S)。
.
.
.. .
.
. .
.
1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式；
{ √ }
.
. .
.
2 F(S) 中的元素为：
f( 2)
√
g( 2)
f, g ∈ Q[x] ;
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 57. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
.. √
设 F = Q, E = C, S = { 2} ⊆ E，求 F(S)。
.
.
.. .
.
. .
.
1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式；
{ √ }
.
. .
.
2 F(S) 中的元素为：
f( 2)
√
g( 2)
f, g ∈ Q[x] ;
√ √
.因
.
. 3 2
2
= 2 ，故 f( 2) 具有形式
√
{a + b 2 | a, b ∈ Q};
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 58. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
.. √
设 F = Q, E = C, S = { 2} ⊆ E，求 F(S)。
.
.
.. .
.
. .
.
1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式；
{ √ }
.
. .
.
2 F(S) 中的元素为：
f( 2)
√
g( 2)
f, g ∈ Q[x] ;
√ √
.因
.
. 3 2
2
= 2 ，故 f( 2) 具有形式
√
{a + b 2 | a, b ∈ Q};
√
. .
.
4 而
a+b 2
√
a +b 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 59. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
.. √
设 F = Q, E = C, S = { 2} ⊆ E，求 F(S)。
.
.
.. .
.
. .
.
1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式；
{ √ }
.
. .
.
2 F(S) 中的元素为：
f( 2)
√
g( 2)
f, g ∈ Q[x] ;
√ √
.因
.
. 3 2
2
= 2 ，故 f( 2) 具有形式
√
{a + b 2 | a, b ∈ Q};
√
√
. .
.
4 而
a+b 2
√ = A + B 2，其中 A, B ∈ Q；
a +b 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 60. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
.. √
设 F = Q, E = C, S = { 2} ⊆ E，求 F(S)。
.
.
.. .
.
. .
.
1 四则运算能产生的最复杂的代数式就是分式；
{ √ }
.
. .
.
2 F(S) 中的元素为：
f( 2)
√
g( 2)
f, g ∈ Q[x] ;
√ √
.因
.
.3 2
2
= 2 ，故 f( 2) 具有形式
√
{a + b 2 | a, b ∈ Q};
√
√
. .
.
4 而
a+b 2
a +b 2
√ = A + B 2，其中 A, B ∈ Q；
√
.
. 5
. 所以 F(S) 中的元素最终可以表示为 {a + b 2 | a, b ∈ Q}.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 61. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则
. F(S1 )(S2 ) = F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 62. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则
. F(S1 )(S2 ) = F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
.. .
.
. 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域；
.
. 1 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 63. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则
. F(S1 )(S2 ) = F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
.. .
.
. 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域；
.
. 1 .
. F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 64. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则
. F(S1 )(S2 ) = F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
.. .
.
. 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域；
.
. 1 .
. F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 65. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则
. F(S1 )(S2 ) = F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
.. .
.
. 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域；
.
. 1 .
. F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)；
.
. 2
. S2, F(S1) ⊆ F(S1 ∪ S2)
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 66. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则
. F(S1 )(S2 ) = F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
.. .
.
. 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域；
.
. 1 .
. F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)；
.
. 2
. S2, F(S1) ⊆ F(S1 ∪ S2)，故 F(S1)(S2) ⊆ F(S1 ∪ S2)；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 67. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则
. F(S1 )(S2 ) = F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
.. .
.
. 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域；
.
. 1 .
. F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)；
.
. 2
. S2, F(S1) ⊆ F(S1 ∪ S2)，故 F(S1)(S2) ⊆ F(S1 ∪ S2)；
.
. 3
. F(S1)(S2) = F(S1 ∪ S2)；
.
. 4
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 68. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 E 是 F 的扩域，S1 和 S2 是 E 的两个子集，则
. F(S1 )(S2 ) = F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
.. .
.
. 按定义，F(S) 是包含 F, S 的最小的域；
.
. 1 .
. F(S1)(S2) ⊇ F, S1 ∪ S2，故 F(S1)(S2) ⊇ F(S1 ∪ S2)；
.
. 2
. S2, F(S1) ⊆ F(S1 ∪ S2)，故 F(S1)(S2) ⊆ F(S1 ∪ S2)；
.
. 3
. F(S1)(S2) = F(S1 ∪ S2)；
.
. 4
. . 类似有 F(S2 )(S1 ) = F(S1 ∪ S2 )。
.
. 5
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 69. 分式域
素域
单扩张
.
注意 .
..
由前面的定理可以知道，
F(α1 , α2 , . . . , αn ) = F(α1 )F(α2 ) · · · F(αn ),
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 70. 分式域
素域
单扩张
.
注意 .
..
由前面的定理可以知道，
F(α1 , α2 , . . . , αn ) = F(α1 )F(α2 ) · · · F(αn ),
即添加一个有限集于子域上所得到的扩张等于陆续添加单个元素
所得的扩张。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 71. 分式域
素域
单扩张
.
注意 .
..
由前面的定理可以知道，
F(α1 , α2 , . . . , αn ) = F(α1 )F(α2 ) · · · F(αn ),
即添加一个有限集于子域上所得到的扩张等于陆续添加单个元素
所得的扩张。因此，研究添加一个元素的扩张尤为重要。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 72. 分式域
素域
单扩张
.
§8.3 单扩张
.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 73. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
添加一个元素 α 于域 F 所得到的扩张 F(α) 称为 域 F 的一
个单扩张。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 74. 分式域
素域
单扩张
.
Examples .
..
. .
.
1 复数域 C 是实数域 R 添加虚根单位 E 得到的单扩张。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 75. 分式域
素域
单扩张
.
Examples .
..
. .
.
1 复数域 C 是实数域 R 添加虚根单位 E 得到的单扩张。
. .
.
. 2 {a + bE | a, b ∈ Q} 是一个域，而且是 Q 上的单扩张 Q(E);
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 76. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 f(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2 [x]。显然 f(x) 在 Z2 上没有根。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 77. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 f(x) = x 2 + x + 1 ∈ Z [x]。显然 f(x) 在 Z 上没有根。若已
2 2
知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2 (α)。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 78. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 f(x) = x 2 + x + 1 ∈ Z [x]。显然 f(x) 在 Z 上没有根。若已
2 2
知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2 (α)。
.
.
.. .
. { }
.
. .
. 2
1 Z (α) =
g(α)
h(α) g, h ∈ Z2 [x] ；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 79. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 f(x) = x 2 + x + 1 ∈ Z [x]。显然 f(x) 在 Z 上没有根。若已
2 2
知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2 (α)。
.
.
.. .
. { }
.
. .
. 2
1 Z (α) =
g(α)
h(α) g, h ∈ Z2 [x] ；
. 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化
.
. 2
为 {a + bα | a, b ∈ Z2 } 的形式。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 80. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 f(x) = x 2 + x + 1 ∈ Z [x]。显然 f(x) 在 Z 上没有根。若已
2 2
知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2 (α)。
.
.
.. .
. { }
.
. .
. 2
1 Z (α) =
g(α)
h(α) g, h ∈ Z2 [x] ；
. 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化
.
. 2
为 {a + bα | a, b ∈ Z2 } 的形式。
. h(α) 只能取 1, α, 和 1 + α；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 81. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 f(x) = x 2 + x + 1 ∈ Z [x]。显然 f(x) 在 Z 上没有根。若已
2 2
知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2 (α)。
.
.
.. .
. { }
.
. .
. 2
1 Z (α) =
g(α)
h(α) g, h ∈ Z2 [x] ；
. 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化
.
. 2
为 {a + bα | a, b ∈ Z2 } 的形式。
. h(α) 只能取 1, α, 和 1 + α；
.
. 3
. α(1 + α) = 1 ⇒ α = 1 + α, 1+α = α，
.
. 4 1 1
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 82. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 f(x) = x 2 + x + 1 ∈ Z [x]。显然 f(x) 在 Z 上没有根。若已
2 2
知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2 (α)。
.
.
.. .
. { }
.
. .
. 2
1 Z (α) =
g(α)
h(α) g, h ∈ Z2 [x] ；
. 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化
.
. 2
为 {a + bα | a, b ∈ Z2 } 的形式。
. h(α) 只能取 1, α, 和 1 + α；
.
. 3
. α(1 + α) = 1 ⇒ α = 1 + α, 1+α = α，所以 1, α 和 1 + α
.
. 4 1 1
均可逆。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 83. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
设 f(x) = x 2 + x + 1 ∈ Z [x]。显然 f(x) 在 Z 上没有根。若已
2 2
知 α 是 f(x) 在某个扩域上的根，求 Z2 (α)。
.
.
.. .
. { }
.
. .
. 2
1 Z (α) =
g(α)
h(α) g, h ∈ Z2 [x] ；
. 由于 α2 = α + 1，所以 g(α) 可以化
.
.2
为 {a + bα | a, b ∈ Z2 } 的形式。
. h(α) 只能取 1, α, 和 1 + α；
.
.3
. α(1 + α) = 1 ⇒ α = 1 + α, 1+α = α，所以 1, α 和 1 + α
.
.4 1 1
均可逆。
. .
. . Z2 (α) 最终可以写为 {a + bα | a, b ∈ Z2 } 。
5
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 84. 分式域
素域
单扩张
.
Z .
. 2 (α) 的运算表:
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 85. 分式域
素域
单扩张
.
Z .
. 2 (α) 的运算表:
.
.. .
.
+ 0 1 α α+1 .
0 0 1 α α+1
1 1 0 α+1 α
α α α+1 0 1
α+1 α+1 α α+1 0
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 86. 分式域
素域
单扩张
.
Z .
. 2 (α) 的运算表:
.
.. .
.
+ 0 1 α α+1 .
0 0 1 α α+1
1 1 0 α+1 α
α α α+1 0 1
α+1 α+1 α α+1 0
× 0 1 α α+1
0 0 0 0 0
1 0 1 α α+1
α 0 α α+1 1
. α+1 0 α+1 1 α
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 87. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
刚才的例子假定了 f(x) = x 2 + x + 1 在 Z 的某个扩域上有
2
根，这样的域一定存在吗？
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 88. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
刚才的例子假定了 f(x) = x 2 + x + 1 在 Z 的某个扩域上有
2
根，这样的域一定存在吗？
.
.
.. .
.
f(x) 在 Z2 [x] 上是既约的； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 89. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
刚才的例子假定了 f(x) = x 2 + x + 1 在 Z 的某个扩域上有
2
根，这样的域一定存在吗？
.
.
.. .
.
f(x) 在 Z2 [x] 上是既约的； .
Z2 [x]/f(x) 是一个域；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 90. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
刚才的例子假定了 f(x) = x 2 + x + 1 在 Z 的某个扩域上有
2
根，这样的域一定存在吗？
.
.
.. .
.
f(x) 在 Z2 [x] 上是既约的； .
Z2 [x]/f(x) 是一个域；
Z2 [x] 具有形式
{0 + (f), 1 + (f), x + (f), 1 + x + (f)}
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 91. 分式域
素域
单扩张
.
Example .
..
刚才的例子假定了 f(x) = x 2 + x + 1 在 Z 的某个扩域上有
2
根，这样的域一定存在吗？
.
.
.. .
.
f(x) 在 Z2 [x] 上是既约的； .
Z2 [x]/f(x) 是一个域；
Z2 [x] 具有形式
{0 + (f), 1 + (f), x + (f), 1 + x + (f)}
列出部分运算表：
+ 0 + (f) 1 + (f) × 0 + (f) 1 + (f)
0 + (f) 0 + (f) 1 + (f) 0 + (f) 0 + (f) 0 + (f)
. 1 + (f) 1 + (f) 0 + (f) 1 + (f) 0 + (f) 1 + (f)
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 92. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域， .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 93. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 94. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 95. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 96. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 97. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2 [x]/(f(x)) 上多项式。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 98. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2 [x]/(f(x)) 上多项式。
2
x + (f)
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 99. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2 [x]/(f(x)) 上多项式。
2
x + (f) = x2 + (f)
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 100. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2 [x]/(f(x)) 上多项式。
2
x + (f) = x2 + (f) = x + 1 + (f)；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 101. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2 [x]/(f(x)) 上多项式。
2
x + (f) = x2 + (f) = x + 1 + (f)；
2
x + f(x) + x + f(x) + 1
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 102. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2 [x]/(f(x)) 上多项式。
2
x + (f) = x2 + (f) = x + 1 + (f)；
2
x + f(x) + x + f(x) + 1 = x + 1 + x + 1 + (f)
.
.
.. .
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广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 103. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2 [x]/(f(x)) 上多项式。
2
x + (f) = x2 + (f) = x + 1 + (f)；
2
x + f(x) + x + f(x) + 1 = x + 1 + x + 1 + (f) = 0
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 104. 分式域
素域
单扩张
.
容易看出 {0 + (f), 1 + (f)} 构成一个子域，而且这个子域 .
与 Z2 同构。 在代数的意义下，它们是一样的。
可以认为 Z2 就在 Z2 [x]/(f(x)) 中。后者是前者的扩域。
0 + (f), 1 + (f) 改记成 0, 1，得到
Z2 [x]/(f(x)) = {0, 1, x + (f), 1 + x + (f)}
现在 f(x) = x2 + x + 1 可看成 Z2 [x]/(f(x)) 上多项式。
2
x + (f) = x2 + (f) = x + 1 + (f)；
2
x + f(x) + x + f(x) + 1 = x + 1 + x + 1 + (f) = 0
. 所以在 Z2 的扩域 Z2 [x]/(f(x)) 上，f(x) 有根 x + (f).
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 105. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。
记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则
. .
.
1 F[α] 是一个整环。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 106. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。
记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则
..
.
1 F[α] 是一个整环。
. . F(α) 是 F[α] 的分式域。
2.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 107. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。
记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则
..
.
1 F[α] 是一个整环。
. . F(α) 是 F[α] 的分式域。
.
. 2
.
.. .
.
. f(α) − g(α) = (f − g)(α) ∈ F[α]；
.
.1 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 108. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。
记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则
..
.
1 F[α] 是一个整环。
. . F(α) 是 F[α] 的分式域。
.
. 2
.
.. .
.
. f(α) − g(α) = (f − g)(α) ∈ F[α]；
.
.1 .
f(α)g(α) = (f · g)(α)；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 109. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。
记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则
..
.
1 F[α] 是一个整环。
. . F(α) 是 F[α] 的分式域。
.
. 2
.
.. .
.
. f(α) − g(α) = (f − g)(α) ∈ F[α]；
.
.1 .
f(α)g(α) = (f · g)(α)；
F[α] 是 F 的子环，故为整环。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 110. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
F 是域。f(x) 是 F[x] 中的既约多项式。
记 F[α] = { f(α)|f(x) ∈ F[x]}，则
..
.
1 F[α] 是一个整环。
. . F(α) 是 F[α] 的分式域。
.
. 2
.
.. .
.
. f(α) − g(α) = (f − g)(α) ∈ F[α]；
.
.1 .
f(α)g(α) = (f · g)(α)；
F[α] 是 F 的子环，故为整环。
{ }
..
.
2 F(α) 具有形式
f(α)
g(α) | f, g ∈ F[x], 且 g(α) = 0 ，
. 是 F[α] 的分式域。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 111. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
F ⊂ E 为域扩张，α ∈ E，如果存在 F 上不全为 0 的元
素 a0 , a1 , . . . , an ，使得
a0 + a1 α + · · · + an αn = 0,
则称 α 是 F 上的一个代数元，
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 112. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
F ⊂ E 为域扩张，α ∈ E，如果存在 F 上不全为 0 的元
素 a0 , a1 , . . . , an ，使得
a0 + a1 α + · · · + an αn = 0,
则称 α 是 F 上的一个代数元，或 称 α 在 F 上代数。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 113. 分式域
素域
单扩张
.
定义 .
..
F ⊂ E 为域扩张，α ∈ E，如果存在 F 上不全为 0 的元
素 a0 , a1 , . . . , an ，使得
a0 + a1 α + · · · + an αn = 0,
则称 α 是 F 上的一个代数元，或 称 α 在 F 上代数。否则
称 α 为 F 上的超越元。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 114. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x]
中的一个理想。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 115. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x]
中的一个理想。
.
.
.. .
.
若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 116. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x]
中的一个理想。
.
.
.. .
.
若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， .
所以 (f + g)(α)
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 117. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x]
中的一个理想。
.
.
.. .
.
若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， .
所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
- 118. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x]
中的一个理想。
.
.
.. .
.
若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， .
所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0, ⇒ f + g ∈ R
.
.
.. .
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- 119. 分式域
素域
单扩张
.
定理 .
..
设 α 在 F 上代数，则 R = {f(x) | f ∈ F[x], f(α) = 0} 是 F[x]
中的一个理想。
.
.
.. .
.
若 f, g ∈ R，则有 f(α) = g(α) = 0， .
所以 (f + g)(α) = f(α) + g(α) = 0, ⇒ f + g ∈ R
若 f ∈ R, g ∈ F[x]，则有 f(α) = 0，
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
