1. .
.
.
群（下）
.
.. .
广州大学数学与信息科学学院
April 26, 2010
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
2. .
.
§6.4 等价关系、
. 子群的陪集分解
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
3. .
定义 .
..
设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件：
. 若 x ∈ A，则 x ∼ x;
.
. 1 自反性
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
4. .
定义 .
..
设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件：
. 若 x ∈ A，则 x ∼ x;
.
. 1 自反性
. 若 x, y ∈ A，且 x ∼ y，则 y ∼ x；
.
. 2 对称性
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
5. .
定义 .
..
设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件：
. 若 x ∈ A，则 x ∼ x;
.
. 1 自反性
. 若 x, y ∈ A，且 x ∼ y，则 y ∼ x；
.
. 2 对称性
. 若 x, y, z ∈ A，x ∼ y, y ∼ z，则 x ∼ z。
.
. 3 传递性
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
6. .
定义 .
..
设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件：
. 若 x ∈ A，则 x ∼ x;
.
.
1 自反性
. 若 x, y ∈ A，且 x ∼ y，则 y ∼ x；
.
.
2 对称性
. 若 x, y, z ∈ A，x ∼ y, y ∼ z，则 x ∼ z。
.
.
3 传递性
则称 ∼ 为 A 上的一个等价关系。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
7. .
定义 .
..
设集合 A 上的一个二元关系 ∼，满足下列条件：
. 若 x ∈ A，则 x ∼ x;
.
.
1 自反性
. 若 x, y ∈ A，且 x ∼ y，则 y ∼ x；
.
.
2 对称性
. 若 x, y, z ∈ A，x ∼ y, y ∼ z，则 x ∼ z。
.
.
3 传递性
则称 ∼ 为 A 上的一个等价关系。
.
.
.. .
.
. x ∼ y，则称 x 与 y 等价。
若 .
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
8. .
Example .
..
设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
9. .
Example .
..
设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7)； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
10. .
Example .
..
设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7)； .
. 对称性：若 x ≡ y (mod 7)，则 y ≡ x (mod 7)；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
11. .
Example .
..
设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7)； .
. 对称性：若 x ≡ y (mod 7)，则 y ≡ x (mod 7)；
.
. 2
. 传递性：若 x ≡ y (mod 7)，y ≡ z (mod 7)，
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
12. .
Example .
..
设 A = Z，则 A 上模 7 的同余关系是一个等价关系。
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀x ∈ A, x ≡ x (mod 7)； .
. 对称性：若 x ≡ y (mod 7)，则 y ≡ x (mod 7)；
.
. 2
. 传递性：若 x ≡ y (mod 7)，y ≡ z (mod 7)，则 有 x ≡ z
.
. 3
. (mod 7)。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
13. .
Example .
..
设 A = Mn (R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T , S 为 A 中
任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1 ，则称
. 与 S 相似。相似是等价关系吗？
T
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
14. .
Example .
..
设 A = Mn (R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T , S 为 A 中
任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1 ，则称
. 与 S 相似。相似是等价关系吗？
T
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
15. .
Example .
..
设 A = Mn (R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T , S 为 A 中
任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1 ，则称
. 与 S 相似。相似是等价关系吗？
T
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; .
. 对称性：T = PSP−1
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
16. .
Example .
..
设 A = Mn (R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T , S 为 A 中
任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1 ，则称
. 与 S 相似。相似是等价关系吗？
T
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; .
. 对称性：T = PSP−1 =⇒ S = P−1T (P−1)−1；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
17. .
Example .
..
设 A = Mn (R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T , S 为 A 中
任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1 ，则称
. 与 S 相似。相似是等价关系吗？
T
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; .
2
. 对称性：T = PSP−1 =⇒ S = P−1T (P−1)−1；
.
.
. . 传递性：T = PSP , S = QUQ
3 .
. −1 −1
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
18. .
Example .
..
设 A = Mn (R) 表示实数域上 n 阶矩阵的全体。T , S 为 A 中
任意两个矩阵，若存在可逆实数矩阵 P，使 T = PSP−1 ，则称
. 与 S 相似。相似是等价关系吗？
T
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：∀S ∈ A，IAI−1 = A; .
2
. 对称性：T = PSP−1 =⇒ S = P−1T (P−1)−1；
.
.
. . 传递性：T = PSP , S = QUQ =⇒ T = (PQ)T (PQ)
3 .
. −1 −1 −1
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
19. .
定义 .
..
设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一
个指标集，如果
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
20. .
定义 .
..
设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一
个指标集，如果
. 当 i = j 时，Ui ∩ Uj = ∅；
.
. 1
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
21. .
定义 .
..
设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一
个指标集，如果
. 当 i = j 时，Ui ∩ Uj = ∅；
.
. 1
. i∈I Ui = A。
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
22. .
定义 .
..
设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一
个指标集，如果
. 当 i = j 时，Ui ∩ Uj = ∅；
.
.
1
. i∈I Ui = A。
.
.
2
则称 {Ui | Ui } 是 A 的一个划分。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
23. .
定义 .
..
设 A 是一个集合，{Ui | i ∈ I} 是 A 的子集族，其中 I 是一
个指标集，如果
. 当 i = j 时，Ui ∩ Uj = ∅；
.
.
1
. i∈I Ui = A。
.
.
2
则称 {Ui | Ui } 是 A 的一个划分。
.
.
.. .
.
就是把一个集合分割成若干个不相交的子集合。
. .
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
24. .
Example .
..
设 A = Z，令 Ui = {7k + i | k ∈ Z}，i = 0, 1, . . . , 6。则容易知
道 {U0 , U2 , . . . , U6 } 是整数集 Z 的一个划分。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
25. .
Example .
..
设 A = Z，令 Ui = {7k + i | k ∈ Z}，i = 0, 1, . . . , 6。则容易知
道 {U0 , U2 , . . . , U6 } 是整数集 Z 的一个划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 若 i = j，则 U ∩ U = ∅;
i j 不同子集不相交.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
26. .
Example .
..
设 A = Z，令 Ui = {7k + i | k ∈ Z}，i = 0, 1, . . . , 6。则容易知
道 {U0 , U2 , . . . , U6 } 是整数集 Z 的一个划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 若 i = j，则 U ∩ U = ∅;
i j 不同子集不相交.
.0
.
. 2 Ui = Z； 合并后得到全集
. i 6
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
27. .
等价关系跟划分有关。
. .
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
28. .
等价关系跟划分有关。
. .
.
.. .
.
. .
1 如果给定了集合 A 的一个划分，这也相当于把集合分成若 .
.
干个不相交的小组。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
29. .
等价关系跟划分有关。
. .
.
.. .
.
. .
1 如果给定了集合 A 的一个划分，这也相当于把集合分成若 .
.
干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’，
则 ‘∼’ 显然是个等价关系。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
30. .
等价关系跟划分有关。
. .
.
.. .
.
. .
1 如果给定了集合 A 的一个划分，这也相当于把集合分成若 .
.
干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’，
则 ‘∼’ 显然是个等价关系。
. 反之，如果给定了集合 A 上的一个等价关系 ‘∼’，
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
31. .
等价关系跟划分有关。
. .
.
.. .
.
. .
1 如果给定了集合 A 的一个划分，这也相当于把集合分成若 .
.
干个不相交的小组。如果把同组作为一个关系 ‘∼’，
则 ‘∼’ 显然是个等价关系。
. 反之，如果给定了集合 A 上的一个等价关系 ‘∼’，若把
.
. 2
. 彼此等价的元素分作一组，则得到了集合 A 的一个划分。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
32. .
定理 .
..
设 A 是一个集合，若 ∼ 是 A 上一个等价关系，则存在 A 的
一个划分 {Ui | ∈∈ I}，使得任意 i 及 x, y ∈ Ui 均有 x ∼ y；
反之，若 {Ui | i ∈ I} 是 A 的一个划分，则存在 A 上的一个
. 价关系 ∼，使得任意 i ∈ I 及 x, y ∈ Ui ，均有 x ∼ y。
等
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
33. .
定义 .
..
若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所
有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，
记成 [a]。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
34. .
定义 .
..
若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所
有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，
记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
35. .
定义 .
..
若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所
有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，
记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。
.
.
.. .
.
. .
.
1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]， .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
36. .
定义 .
..
若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所
有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，
记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。
.
.
.. .
.
. .
1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，即等价类 [a] 不仅可以 由 a 决 .
.
定，也可以由该等价类中任一其它元素所决定。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
37. .
定义 .
..
若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所
有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，
记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。
.
.
.. .
.
. .
1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，即等价类 [a] 不仅可以 由 a 决 .
.
定，也可以由该等价类中任一其它元素所决定。
. [a] 中任一元素均可作为代表元。
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
38. .
定义 .
..
若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所
有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，
记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。
.
.
.. .
.
. .
1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，即等价类 [a] 不仅可以 由 a 决 .
.
定，也可以由该等价类中任一其它元素所决定。
. [a] 中任一元素均可作为代表元。
.
. 2
. 不同的等价类不相交。
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
39. .
定义 .
..
若 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系，a ∈ A，则与 a 等价的所
有元素组成的一个子集合称为 A 中由 a 确定的一个等价类，
记成 [a]。a 称为等价类 [a] 的一个代表元。
.
.
.. .
.
. .
1 若 b ∈ [a]，则 [a] = [b]，即等价类 [a] 不仅可以 由 a 决 .
.
定，也可以由该等价类中任一其它元素所决定。
. [a] 中任一元素均可作为代表元。
2.
.
. 不同的等价类不相交。
3.
.
. . A 是各等价类的并。
4.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
40. .
Example .
..
设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被
m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
41. .
Example .
..
设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被
m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导
出的等价类是什么？
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
42. .
Example .
..
设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被
m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导
出的等价类是什么？
.
.
.. .
.
. .
.
1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
43. .
Example .
..
设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被
m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导
出的等价类是什么？
.
.
.. .
.
. .
.
1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； .
. 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
44. .
Example .
..
设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被
m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导
出的等价类是什么？
.
.
.. .
.
. .
.
1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； .
. 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1；
.
. 2
. 显然 0 i<m Ui = Z；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
45. .
Example .
..
设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被
m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导
出的等价类是什么？
.
.
.. .
.
. .
.
1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； .
. 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1；
.
. 2
. 显然 0 i<m Ui = Z；
.
. 3
. U0, U2, . . . , Um−1
.
. 4 就是全部等价类。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
46. .
Example .
..
设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被
m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导
出的等价类是什么？
.
.
.. .
.
. .
.
1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； .
. 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1；
.
.
2
. 显然 0 i<m Ui = Z；
.
.
3
. U0, U2, . . . , Um−1
.
.
4 就是全部等价类。
这里的关系 ‘∼’ 其实就是模 m 同余，
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
47. .
Example .
..
设 A = Z，m 是一正整数，定义 x ∼ y 当且仅当 x − y 能被
m 整除，则 ‘∼’ 是 A 上的一个等价关系。这个等价关系导
出的等价类是什么？
.
.
.. .
.
. .
.
1 i 所在的等价类为 {km + i | k ∈ Z}； .
. 设 Ui = {km + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, . . . , m − 1；
.
.
2
. 显然 0 i<m Ui = Z；
.
.
3
. U0, U2, . . . , Um−1
.
.
4 就是全部等价类。
这里的关系 ‘∼’ 其实就是模 m 同余， 而这里的剩余类其实
就是模 m 的同余类。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
48. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
49. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
50. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
51. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
52. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
53. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
54. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
. 2
−1 ⇒a b∈H
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
55. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
. 2
−1 ⇒a b∈H⇒b∼a ；
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
56. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
. 2
−1 ⇒a b∈H⇒b∼a ；
. 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
57. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
. 2
−1 ⇒a b∈H⇒b∼a ；
. 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
58. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
. 2
−1 ⇒a b∈H⇒b∼a ；
. 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒
.
. 3
−1 −1 c b·b a∈H
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
59. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
. 2
−1 ⇒a b∈H⇒b∼a ；
. 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒
.
. 3
−1 −1 c b·b a∈H⇒c
−1 a∈H
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
60. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
. 2
−1 ⇒a b∈H⇒b∼a ；
. 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒
.
. 3
−1 −1 c b·b a∈H⇒c
−1 a ∈ H ⇒ a ∼ c。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
61. .
Example .
..
设 G 是群，H 为 G 一子群，在 G 上定义关系 ‘∼’ 如下：
a ∼ b 当且仅当 b−1 a ∈ H。
这是一个等价关系吗？
.
.
.. .
.
. .
.
1 自反性：a−1 a ∈ H ⇒ a ∼ a； .
. 对称性：若 a ∼ b，有 b−1a ∈ H ⇒ (b−1a)−1 ∈ H
.
.
2
⇒a
−1 b∈H⇒b∼a ；
. 传递性：若 a ∼ b, b ∼ c，有 b−1a, c−1b ∈ H ⇒
.
.
3
−1c−1 b·b a∈H⇒c
−1 a ∈ H ⇒ a ∼ c。
这个等价关系记为 RH 。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
62. .
定义 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则集合 aH = {ab | b ∈ H} 称为
a 关于 H 的一个左陪集。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
63. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
64. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]， .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
65. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
66. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1 x ∈ H， .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
67. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1 x ∈ H，即 x ∈ aH。 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
68. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1 x ∈ H，即 x ∈ aH。 .
所以 [a] ⊆ aH。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
69. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1 x ∈ H，即 x ∈ aH。 .
所以 [a] ⊆ aH。
. ∀x ∈ aH，
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
70. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1 x ∈ H，即 x ∈ aH。 .
所以 [a] ⊆ aH。
. ∀x ∈ aH，有 a−1x ∈ H
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
71. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1 x ∈ H，即 x ∈ aH。 .
所以 [a] ⊆ aH。
. ∀x ∈ aH，有 a−1x ∈ H ⇒ a ∼ x。
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
72. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，a ∈ G，则在等价关系 RH 下，a 的等价
类 [a] = aH。
.
.
.. .
.
. .
.
1 ∀x ∈ [a]，有 x ∼ a ⇒ a−1 x ∈ H，即 x ∈ aH。 .
所以 [a] ⊆ aH。
. ∀x ∈ aH，有 a−1x ∈ H ⇒ a ∼ x。
.
. 2
. 所以 [a] ⊇ aH。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
73. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，则
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
74. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，则
. G 是 H 在 G 中所有左陪集的并；
.
. 1
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
75. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，则
. G 是 H 在 G 中所有左陪集的并；
.
. 1
. H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
76. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，则
1
. G 是 H 在 G 中所有左陪集的并；
.
.
2
. H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交；
.
.
. . 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b a ∈ H。
3 .
. −1
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
77. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，则
. G 是 H 在 G 中所有左陪集的并；
.
. 1
. H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交；
.
. 2
. . 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b a ∈ H。
.
. 3 −1
.
.. .
.
. 这是因为左陪集是划分;
.
.1 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
78. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，则
. G 是 H 在 G 中所有左陪集的并；
.
. 1
. H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交；
.
. 2
. . 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b a ∈ H。
.
. 3 −1
.
.. .
.
. 这是因为左陪集是划分;
.
.1 .
. 理由同上；
.
.2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
79. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，则
. G 是 H 在 G 中所有左陪集的并；
.
.1
. H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交；
.
.2
. . 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b a ∈ H。
.
.3 −1
.
.. .
.
. 这是因为左陪集是划分;
.
.1 .
. 理由同上；
.
.2
. . aH = bH 意味着对关系 RH
.
.3 而言，a ∼ b，
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
80. .
定理 .
..
设 H 是 G 的子群，则
. G 是 H 在 G 中所有左陪集的并；
.
.1
. H 在 G 中的两个左陪集或相等或不相交；
.
.2
. . 任意 a, b ∈ G，则 aH = bH 当且仅当 b a ∈ H。
.
.3 −1
.
.. .
.
. 这是因为左陪集是划分;
.
.1 .
. 理由同上；
.
.2
. . aH = bH 意味着对关系 RH
.
.3 而言，a ∼ b，即 b−1 a ∈ H。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
81. .
Example .
..
H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
82. .
Example .
..
H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 (1)H = .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
83. .
Example .
..
H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 (1)H = {(1), (12)}; .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
84. .
Example .
..
H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 (1)H = {(1), (12)}; .
. (13)H =
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
85. .
Example .
..
H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 (1)H = {(1), (12)}; .
. (13)H = {(13), (123)}；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
86. .
Example .
..
H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 (1)H = {(1), (12)}; .
. (13)H = {(13), (123)}；
.
. 2
. (23)H =
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
87. .
Example .
..
H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 (1)H = {(1), (12)}; .
. (13)H = {(13), (123)}；
.
. 2
. (23)H = {(23), (132)}；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
88. .
Example .
..
H = {(1), (12)} 为 S3 一子群，求 S3 对 H 的左陪集划分。
.
.
.. .
.
. .
.
1 (1)H = {(1), (12)}; .
. (13)H = {(13), (123)}；
2.
.
. (23)H = {(23), (132)}；
3.
.
. . 由于 |S3 | = 3! = 6，所以我们已经找出了全部的左陪集。
4.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
89. .
注意 .
..
模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH :
a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
90. .
注意 .
..
模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH :
a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。
令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
91. .
注意 .
..
模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH :
a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。
令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，全体右陪集
构成 G 在关系 RH 下的一个划分。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
92. .
注意 .
..
模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH :
a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。
令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，全体右陪集
构成 G 在关系 RH 下的一个划分。
.
.
.. .
.
定理 .
..
. . G 是 H 在 G 中所有右陪集的并；
.
1
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
93. .
注意 .
..
模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH :
a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。
令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，全体右陪集
构成 G 在关系 RH 下的一个划分。
.
.
.. .
.
定理 .
..
. . G 是 H 在 G 中所有右陪集的并；
.
1
. H 在 G 中的两个右陪集或相等或不相交；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
94. .
注意 .
..
模仿 RH ，我们可以定义另一种等价关系 RH :
a ∼ b 当且仅当 ab−1 ∈ H。
令 Ha = {ba | b ∈ H} 称为 a 关于 H 的右陪集，全体右陪集
构成 G 在关系 RH 下的一个划分。
.
.
.. .
.
定理 .
..
. . G 是 H 在 G 中所有右陪集的并；
.
1
2
. H 在 G 中的两个右陪集或相等或不相交；
.
.
. . 任意 a, b ∈ G，则 Ha = Hb 当且仅当 ab ∈ H。
3 .
. −1
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
95. .
定义 .
..
G 关于 H 左陪集的个数称为 H 在 G 中的指数，记为
[G : H]。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
96. .
定义 .
..
G 关于 H 左陪集的个数称为 H 在 G 中的指数，记为
[G : H]。
.
.
.. .
.
注意 .
..
指数未必就是有限的。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
97. .
定理 .
..
|G|
设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |H| 。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
98. .
定理 .
..
|G|
设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |H| 。
.
.
.. .
.
. .
.
1 |aH| = |H|; .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
99. .
定理 .
..
|G|
设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |H| 。
.
.
.. .
.
. .
.
1 |aH| = |H|; .
这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
100. .
定理 .
..
|G|
设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |H| 。
.
.
.. .
.
. .
.
1 |aH| = |H|; .
这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。
. 每个左陪集大小是一样的，都为 H；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
101. .
定理 .
..
|G|
设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |H| 。
.
.
.. .
.
. .
.
1 |aH| = |H|; .
这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。
. 每个左陪集大小是一样的，都为 H；
.
. 2
..
. 左陪集个数有 |G| 。
. 3
|H|
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
102. .
定理 .
..
|G|
设 G 是一个有限群，若 H 是 G 的子群，那么 [G : H] = |H| 。
.
.
.. .
.
. .
.
1 |aH| = |H|; .
这是因为 x → ax, x ∈ H 是 H 到 aH 的一个双射。
. 每个左陪集大小是一样的，都为 H；
.
.
2
..
. 左陪集个数有 |G| 。
.
3
|H|
.
.. .
.
这个结论对右陪集也成立。所以对有限群来讲，左陪集和右陪集 .
是一样多的。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
103. .
推论 .
..
. .
.
1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
104. .
推论 .
..
. .
.
1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。
. .
. . G 为有限群，则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。
2
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
105. .
推论 .
..
. .
.
1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。
. .
. . G 为有限群，则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。
2
.
.. .
.
证明： .
. [G : H] = |H| ；
.
. 1
|G|
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
106. .
推论 .
..
. .
.
1 一个有限群的子群的阶整除该群的阶。
. .
. . G 为有限群，则 G 中每个元素的阶都是 G 的因子。
2
.
.. .
.
证明： .
. [G : H] = |H| ；
.
. 1
|G|
. ∀g ∈ G，设 o(g) = d，则 {g, g2, . . . , gd} 是 G 的 一个子
.
. 2
. 群。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
107. .
定理 .
..
若 G 是有限群，且 H K G，则
. [G : K][K : H] = [G : H]。
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
108. .
定理 .
..
若 G 是有限群，且 H K G，则
. [G : K][K : H] = [G : H]。
.
.. .
.
. [G : K] = |G| ；
.
. 1
|K|
.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
109. .
定理 .
..
若 G 是有限群，且 H K G，则
. [G : K][K : H] = [G : H]。
.
.. .
.
. [G : K] = |G| ；
.
. 1
|K|
.
. [K : H] = |H| ；
.
. 2
|K|
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
110. .
定理 .
..
若 G 是有限群，且 H K G，则
. [G : K][K : H] = [G : H]。
.
.. .
.
. [G : K] = |G| ；
.
. 1
|K|
.
. [K : H] = |H| ；
.
. 2
|K|
. [G : K] · [K : H] = |G| · |H|
.
. 3
|K|
|K|
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
111. .
定理 .
..
若 G 是有限群，且 H K G，则
. [G : K][K : H] = [G : H]。
.
.. .
.
. [G : K] = |G| ；
.
. 1
|K|
.
. [K : H] = |H| ；
.
. 2
|K|
. [G : K] · [K : H] = |G| · |H| = |H| ；
.
. 3
|K|
|K| |G|
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
112. .
定理 .
..
若 G 是有限群，且 H K G，则
. [G : K][K : H] = [G : H]。
.
.. .
.
. [G : K] = |G| ；
.
. 1
|K|
.
. [K : H] = |H| ；
.
. 2
|K|
. [G : K] · [K : H] = |G| · |H| = |H| ；
.
. 3
|K|
|K| |G|
..
. [G : H] = |G| 。
. 4
|H|
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
113. .
Example .
..
Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6
. H 的左陪集分解。
对
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
114. .
Example .
..
Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6
. H 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集有 6/2 = 3 个； .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
115. .
Example .
..
Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6
. H 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集有 6/2 = 3 个； .
. [0] + H = {[0], [3]}；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
116. .
Example .
..
Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6
. H 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集有 6/2 = 3 个； .
. [0] + H = {[0], [3]}；
.
. 2
. [1] + H = {[1], [4]}；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
117. .
Example .
..
Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6
. H 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集有 6/2 = 3 个； .
. [0] + H = {[0], [3]}；
.
. 2
. [1] + H = {[1], [4]}；
.
. 3
. [2] + H = {[3], [7]}。
.
. 4
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
118. .
Example .
..
Z6 = {[0], [1], . . . , [5]}， H = {[0], [3]} 是 Z6 的 子群。求 Z6
. H 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集有 6/2 = 3 个； .
. [0] + H = {[0], [3]}；
2.
.
. [1] + H = {[1], [4]}；
3.
.
. [2] + H = {[3], [7]}。
4.
.
. . [0] + H, [1] + H, [2] + H 就是全部左陪集。
5.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
119. .
Example .
..
在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4
. K4 的左陪集分解。
对
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
120. .
Example .
..
在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4
. K4 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集个数有 |S |/|K | = 24/4 = 6 个;
4 4
.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
121. .
Example .
..
在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4
. K4 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集个数有 |S |/|K | = 24/4 = 6 个;
4 4
.
. (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}；
.
. 2
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
122. .
Example .
..
在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4
. K4 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集个数有 |S |/|K | = 24/4 = 6 个;
4 4
.
. (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}；
.
. 2
. (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}；
.
. 3
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
123. .
Example .
..
在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4
. K4 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集个数有 |S |/|K | = 24/4 = 6 个;
4 4
.
. (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}；
.
. 2
. (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}；
.
. 3
. (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}；
.
. 4
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
124. .
Example .
..
在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4
. K4 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集个数有 |S |/|K | = 24/4 = 6 个;
4 4
.
. (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}；
.
. 2
. (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}；
.
. 3
. (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}；
.
. 4
. (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}；
.
. 5
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
125. .
Example .
..
在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4
. K4 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集个数有 |S |/|K | = 24/4 = 6 个;
4 4
.
. (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}；
.
. 2
. (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}；
.
. 3
. (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}；
.
. 4
. (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}；
.
. 5
. (123)K4 = {(123), (134), (243), (142)}；
.
. 6
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
126. .
Example .
..
在 S4 中，令 K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}。 求 S4
. K4 的左陪集分解。
对
.
.. .
.
. .
.
1 左陪集个数有 |S |/|K | = 24/4 = 6 个;
4 4
.
. (1)K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}；
2.
.
. (12)K4 = {(12), (34), (1324), (1423)}；
3.
.
. (13)K4 = {(13), (1234), (24), (1432)}；
4.
.
. (14)K4 = {(14), (1243), (1342), (23)}；
5.
.
. (123)K4 = {(123), (134), (243), (142)}；
6.
.
. . (124)K4 = {(124), (143), (132), (234)};
7.
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
128. .
设 G 是群，H 是 G 的一个子群，则 G 可以分解成 H 的一 .
些左陪集的不相交并。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
129. .
设 G 是群，H 是 G 的一个子群，则 G 可以分解成 H 的一 .
些左陪集的不相交并。因此得到一个新集合，即 G 关于 H 的
所有左陪集构成的集合，常记为 G/H = {aH | a ∈ G}。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
130. .
设 G 是群，H 是 G 的一个子群，则 G 可以分解成 H 的一 .
些左陪集的不相交并。因此得到一个新集合，即 G 关于 H 的
所有左陪集构成的集合，常记为 G/H = {aH | a ∈ G}。我们希
望能在 G/H 引人代数运算。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
131. .
在 .
. G/H 中引入代数运算？
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
132. .
在 .
. G/H 中引入代数运算？
.
.. .
.
一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 .
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
133. .
在 .
. G/H 中引入代数运算？
.
.. .
.
一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 .
但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
134. .
在 .
. G/H 中引入代数运算？
.
.. .
.
一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 .
但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。
若 aH = a H, bH = b H，那么我们定义的乘法应确保：
aH · bH = a H · b H,
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
135. .
在 .
. G/H 中引入代数运算？
.
.. .
.
一个自然的想法是令 aH · bH = abH。 .
但由于这个定义涉及代表元，我们必须验证其是否自恰。
若 aH = a H, bH = b H，那么我们定义的乘法应确保：
aH · bH = a H · b H,
也就是 abH = a b H，
.
.
.. .
. . . . . .
广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
