TANGÈNCIES, ENLLAÇOS I RECTIFICACIONS

TANGÈNCIES, ENLLAÇOS I
RECTIFICACIONS
Silvia Mejías Tarancón
“La primera història d’amor és la de les
línies tangents que es troben una vegada
i després se separen per sempre. “
El concepte al qual al·ludeix aquesta
història és el de tangència. Intuïtivament
podem considerar que dues línies o
corbes o una línia i una corba són
tangents quan es freguen en un punt.
Dit d'una altra manera “Es pot -passar el
dit- (punt de tangència) d'una corba a
l'altra just en aquest punt, el trànsit és
suau i sense pics, com un primer petó.”
José Antonio Prado Bassas
(1977-)Professor de matemàtiques

ÍNDEX
1. TANGÈNCIES
2. POSICIONS
3. ENLLAÇOS
4. RECTIFICACIONS
5. CONSTRUCCIÓ DE RECTES TANGENTS:
ACTIVITATS FETES PAS A PAS

Les tangències i
enllaços són un capítol
de la geometria plana
que formen part del
disseny de molts
objectes i elements
decoratius
recognoscibles.
Tant tangències entre
rectes com amb
corbes, ens donen
punts de tangències
que uneixen línies i
s'enllacen per a crear
dissenys de qualsevol
tipus d'objectes.
TANGÈNCIES

ELEMENTS D’UNA CIRCUMFERÈNCIA

ALTRES ELEMENTS
D’UNA CIRCUMFERÈNCIA

r t
r
T
A
O O
O
B
TANGENTS
SECANTS
EXTERIOR
S
POSICIONS RELATIVES ENTRE
UNA RECTA I UNA CIRCUMFERÈNCIA

O1
O
O2 O2 O1
O1
EXTERIOR
S
INTERIOR
S
SECANTS
O1
O1 O2
O1
O2
T
O2
T
TANGENTS
INTERIORS
TANGENTS
EXTERIOR
S
CONCÈNTRIQUE
S
POSICIONS ENTRE DOS CIRCUMFERÈNCIES

POSICIONS ENTRE DOS CIRCUMFERÈNCIES

o2
T
o
o1
r (recta TANGENT)
PROPIETATS DE LES TANGENTS
Si una recta és tangent a una
circumferència, el punt de
tangència T és el peu de la
perpendicular traçada pel centre O
a la recta tangent.
Si dues circumferències són
tangents el punt T de tangència és
un punt que comparteixen totes
dues i està en la recta que uneix
els seus centres.

r
A
O
B
PROPIETATS DE LES TANGENTS
El radi perpendicular a una corda (r) la divideix en dues parts
iguals, així com l'arc que aquesta subtendeix. D'aquí deduïm
que LA MEDIATRIU D'UNA CORDA PASSA PEL CENTRE

r T
P T
O
O1
O
T1
O1
T2
R
s
r
O T1
s
ENLLAÇOS
Es diu ENLLAÇ, o ENTRONCAMENT, en els traçats geomètrics, a la
unió de rectes amb corbes o de corbes entre si, efectuades per
mitjà del seu punt de tangència.
Aquest PUNT COMÚ és el que permet la transició suau de les unes a
les altres sense brusquedats de cap mena.

HOJA
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD
POTÈNCIA D’UN PUNT I EIX RADICAL
POTÈNCIA D’UN PUNT
Potència del punt P respecte de la
circumferència de centre O és el
producte de les distàncies de P als
dos punts d'intersecció d'una recta
secant
EIX RADICAL
Eix radical de dues circumferències és el
lloc geomètric dels punts que tenen la
mateixa potència respecte d'ambdues

HOJA
DIBUJO TÉCNICO I
CIRCUMFERÈNCIES SECANTS
Es determina unint els dos punts A i B
de la intersecció de totes dues
circumferències
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS
Es determina traçant la recta tangent
comuna totes dues circumferències
EIX RADICAL DE DUES CIRCUMFERÈNCIES

HOJA
DIBUJO TÉCNICO I
DUES CIRCUMFERÈNCIES EXTERIORS
1. Es dibuixa una circumferència
auxiliar O secant amb les DUES
circumferències
2. Es traça la recta r que és la recta
secant entre la circumferència O1 i la
circumferència O que és L'EIX
RADICAL de les circumferències de
centre O i O1
3, Es traça la recta s que és la recta
secant entre la circumferència O2 i la
circumferència O que és L'EIX RADICAL
de les circumferències de centre O i O2
4. El punt E el centre de L’EIX RADICAL
es troba en el punt de tall dels eixos
radicals r i s.
5, Es traça una perpendicular al
segment O1O2 i que passi pel punt E i es
troba L’EIX RADICAL E DE LES DUES
CIRCUMFERÈNCIES EXTERIORS. Silvia Mejías Tarancón

HOJA
DIBUJO TÉCNICO I
TRES CIRCUMFERÈNCIES
EXTERIORS
1. Es troba l'eix radical e de
les circumferències de
centre O1 i O2
3, Es troba l'eix radical e’
de les circumferències de
centre O2 i O3
4. El punt O és punt de tall
dels eixos radicals i el centre
de l’eix radical es troba en el
punt de tall dels eixos
radicals e i e’.
O3
1
O
O
e'
O2
e

o
T (Punt de tangència)
CONSTRUCCIÓ DE RECTES TANGENTS
RECTA TANGENT A UNA CIRCUMFERÈNCIA EN UN PUNT T D'AQUESTA
Si una recta és
tangent a una
circumferència, el
radi en el punt de
tangència és
perpendicular a
la tangent

o
Si una recta és
tangent a una
circumferència, el
radi en el punt de
tangència és
perpendicular a la
tangent
1. Tracem el radi
OT de la
circumferència,
és a dir, del
centre al punt
de tangència

o
2. Tracem la
perpendicular al
radi OT des del punt
T. Aquesta recta és la
tangent la
circumferència
donada
r (recta TANGENT)

d
O
RECTES TANGENTS A UNA CIRCUMFERÈNCIA PARAL·LELES A UNA DIRECCIÓ DONADA

d
T1
O
T1
1. Tracem una
perpendicular del centre
O a la recta d,
prolongant-la fins a
tallar a la circumferència
en dos punts, T1 i T2

d
T1
O
T2
2. T1 i T2 són els punts de
tangència de les dues
solucions que busquem, les
rectes t1 i t2, paral·leles a d
en els punts T1 i T2

T
TRAÇAT DE LA TANGENT A UN ARC DE CIRCUMFERÈNCIA EN UN PUNT T
D'ELLA, SENSE CONÈIXER EL CENTRE DE L'ARC

B
A
T
1. Tracem des de T,
dos arcs iguals amb
radi arbitrari
consecutius.

B
A
T
2. Amb centre
en T i amb radi
TB tracem un
arc

C
B
A
T
3. Amb centre
a A tracem
l'arc AB, que
talla a
l'anterior arc
en C

C
B
A
T
t
4. Unim C amb T i
obtenim la recta
tangent que
busquem

O
P
TRAÇAT DE LES RECTES TANGENTS A UNA CIRCUMFERÈNCIA DES D'UN PUNT P EXTERIOR A ELLA

r1
O M
P
1. Tracem el
segment OP i
la seva
mediatriu

T1
O M
P
T2
2. Tracem la
circumferència
de
radi MO (=MP),
que tallarà a la
circumferència
donada en els
punts T1 i T2,
punts de
tangència
de les rectes
que busquem

T1
r1
O M
P
r2
T2
3. Unint T1 i T2
amb P, obtenim
les rectes
tangents
buscades. Per a
comprovar que
estan traçades
correctament,
tracem els
radis r1 i r2, que
han de tallar
a t1 i t2 perpendi
cularment.

O1
O2
TRAÇAT DE LES RECTES TANGENTS COMUNES EXTERIORS A DUES CIRCUMFERÈNCIES DONADES

O1
O2
1. Es traça des d'O1 una circumferència de radi igual a la diferència entre O1-O2

A
O1 M
O2
B
T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
2. S'uneixen O1 i O2 mitjançant una recta i se li calcula la mediatriu. A
continuació es traça una circumferència amb centro en M i radio M-O1, que
curta a la traçada anteriorment en A i B.

A
O1 M
O2
B
D'aquesta manera estem simplificant el problema al cas de tangent
entre punt i circumferència (el punt seria O2, i la circumferència la
de ràdio O1 menys O2)

A
O1 M
O2
B
D'aquesta manera estem
simplificant el problema al cas de
tangent entre punt i circumferència
(el punt seria O2, i la
circumferència la de radi O1 menys
O2)

T1
A
O1 M
O2
B
T2
3. Una vegada realitzades aquestes dues tangents provisionals, es prolonguen
els radis O1A i O1B, fins que tallin a la circumferència donada de centre O1.
Aquests dos punts seran T1 i T2, els punts de tangència d'aquesta
circumferència.

T1
t1
T3
A
O1 M
O2
B
t2
T2
4. Es traça el radi paral·lel a O1-T1 des d'O2, així obtenim T3 i per
tant la primera solució, la recta tangent t1

T1
t1
T3
A
O1 M
O2
B
t2
T4
T2
5. Es traça el radi paral·lel a O1-T2 des d'O2, així obtenim T4 i per
tant la segona solució, la recta tangent t2

O2
O1
TRAÇAT DE LES RECTES TANGENTS COMUNES INTERIORS A DUES CIRCUMFERÈNCIES DONADES

O2
O1 =O3
1. Aquest cas és similar a l'anterior i es resol simplificant el problema al de tangència entre un
punt i una circumferència, però en aquest cas en lloc de restar els radis de les circumferències,
els sumem. D'aquesta manera, tracem amb centre O1 una circumferència auxiliar O3 de radi
O1O2

A
O2
M
O1 =O3
B
2. Tracem la mediatriu d'O1(O3)-O2 i tracem la circumferència MO2, que curta
a la circumferència O3 en els punts A i B

A
O2
M
O1 =O3
B
D'aquesta manera estem
simplificant el problema al cas de
tangent entre punt i circumferència
(el punt seria O2, i la circumferència
la de ràdio O1 més O2)

A
T1
O2
M
O1 =O3
T2
B
3. Unim el centre O1 amb A i amb B, i aquestes rectes tallen a la
circumferència O1 en els punts de tangència T1 i T2.

A
T1
t1
O2
M
O1 =O3
T3
T2
B
4. Si tracem una paral·lela a O1T1 des d'O2, però en aquest cas pel costat
contrari del centre O2, obtindrem el punt de tangència T3

A
T1
T4
t1
O2
M
O1 =O3
T3
t2
T2
B
5. Si tracem una paral·lela a O1T2 des d'O2, També pel costat contrari del centre O2, obtindrem
el punt de tangència T4, i unint T2 i T4 obtindrem la recta tangent t2

TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN
PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
R
r
T
TRAÇAT DE LES CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A UNA RECTA s EN UN PUNT D'ELLA T, CONEGUT
EL RADI DE LES SOLUCIONS

R
r
O1
T
O2

P
r
T
TRAÇAT DE LA CIRCUMFERÈNCIA TANGENT A UNA RECTA r EN UN PUNT T D'ELLA I QUE PANSA
PER UN PUNT P DONAT

T
P
r
PER UN PUNT P DONAT

T
P
o
r
PER UN PUNT P DONAT

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P
Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
R
P
r
PER UN PUNT P DONAT

R
P
R
r
PER UN PUNT P DONAT

R
P
R
O1 O2
r
PER UN PUNT P DONAT

R
P
T2
T1
R
O1 O2
r
PER UN PUNT P DONAT

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
r
s
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A DUES RECTES r I s QUE ES TALLEN, CONEGUT EL RADI R DE LES
SOLUCIONS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R r
R
s
R
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A DUES RECTES r I s QUE ES TALLEN, CONEGUT EL RADI R DE LES
SOLUCIONS

R
r
O1
O2
R
s
R
O3
O4
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A DUES RECTES r I s QUE ES TALLEN, CONEGUT EL RADI R DE LES SOLUCIONS

R
r
T3
O1
R
T5
R
O4
T8
T7
T1
O2
s
O3
T2
T6
T4

r
T s
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A DUES RECTES r I s, DONAT EL PUNT DE TANGÈNCIA EN UNA D'ELLES

r
T s
O

r
O1
T O s
O2

r
T1
O1
T O s
O2
T2

b c
A
B
a
C
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A TRES RECTES QUE ES TALLEN DUES A DUES

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS
b c
A
B
a
C
1.Es tracen
les
bisectrius
tant
interiors
com
exteriors
dels angles
que es
formen en
tallar-se les
tres rectes

b c
E
A D
P
B
a
C
F
2.Las bisectrices interiores se cortan en el punto P (INCENTRO del triángulo que forman a, b y c), y las exteriores
se cortan en E, D y F. Esos cuatro puntos son los centros de las cuatro soluciones

b c
E
A D
P
B
a
C
F
3. LOS PUNTOS DE TANGENCIA se obtienen trazando desde P, E, D y F
las perpendiculares a cada una de las rectas a, b y c

b c
E
A D
P
B
a
C
F
4. Tracem les
circumferències des
dels centres trobats
fins als punts de
tangència
corresponents Silvia Mejías Tarancón

r
s
t
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A TRES RECTES r, s I t QUAN ALMENYS DUES RECTES ES TALLEN
FORA DEL DIBUIX

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS
DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
s
t
FORA DEL DIBUIX

r
s
t
FORA DEL DIBUIX

r
O
s
t
FORA DEL DIBUIX

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
T
O
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A UNA ALTRA, DONATS EL PUNT DE TANGÈNCIA T
I EL RADI R DE LES SOLUCIONS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
O2
T
O
O1
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A UNA ALTRA, DONATS EL PUNT DE TANGÈNCIA T
I EL RADI R DE LES SOLUCIONS

R
O2
T
O
O1
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A UNA ALTRA, DONATS EL PUNT DE TANGÈNCIA T I EL RADI R DE LES
SOLUCIONS

T
P
O
T
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A UNA ALTRA, DONAT EL PUNT DE TANGÈNCIA T I QUE PASSA PER UN PUNT
EXTERIOR P

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA
Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
T
P
O
T
EXTERIOR P

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA
Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
T
P
O
T
o1
EXTERIOR P

P
O
T
o1
EXTERIOR P

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P
,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
P
O
EXTERIOR P

,
R
P
r O
EXTERIOR P

o1
R
P
o3
o2
r O
o4
EXTERIOR P

o1
R
P
T1
o3
o2
r O
T2
T o4
3
T4
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A UNA ALTRA, DONAT EL PUNT DE TANGÈNCIA T I QUE PASSA PER UN PUNT EXTERIOR P

o1
R
P
T1
o3
o2
r O
T2
T o4
3
T4
EXTERIOR P

o1
R P
T1
o3
o2
r O
T2
T o4
3
T4
EXTERIOR P

,
o1
R
P
T1
o3
o2
r O
T2
T o4
3
T4
EXTERIOR P

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R
R
O
r
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A UNA ALTRA I A UNA RECTA R DONAT EL RADI R DE LES SOLUCIONS

R
O
R
r

R
O
O
1
O
2
R
r

R
O
O
1
O
2
O
4
O
3
R
r

R
T
3
T
4
T1
O T
2
O
1
O
2
R
O3
O4
r

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
O
T
r
CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS A UNA ALTRA I A UNA RECTA DONADA r, DONAT EL PUNT DE TANGÈNCIA T
EN LA CIRCUMFERÈNCIA

O
T
r
P

O
T
O1
r
P

O2
O
T
O1
r
P

O2
O1
T2 P T1
O
T
r

R
O2
O1
T2 P T1
O
T
r

r T
s
ENLACES
ENLLAÇ ENTRE DUES RECTES r I s, PERPENDICULARS ENTRE SI, CONEIXENT EL PUNT DE
TANGÈNCIA T EN LA RECTA r

r T
s
Sabem que l'arc
que busquem serà
tangent a r en T,
per tant el seu
centre estarà en la
perpendicular a r
traçada des de T

r T
O
T
s
També sabem
que el centre
d'un arc
tangent a dues
rectes que es
tallen es troba
en la bisectriu
de l'angle
que aquestes
rectes formen

r T
O
T1
s
Per a trobar el
punt de
tangència en
s, tracem la
perpendicular
a s des d'O

r T
O
T1
s
Tenint O, T i
T1, podem
traçar l'arc
que enllaça
r i s

r T
O
T1
s
Fem l’enllaç
entre l'arc r i s

R
r
s
ENLLAÇ ENTRE DUES RECTES r I s OBLIQÜES ENTRE SI, CONEIXENT EL RADI R DE L'ARC QUE LES
ENLLAÇA PER LA PART EN LA QUAL S'APROXIMEN UNA A L'ALTRA

r
s
R
El centre d'un arc tangent a
dues rectes que es tallen es
troba en la bisectriu de
l'angle que aquestes rectes
formen

r
r
O
r
s
R
L'arc de ràdio R serà tangent a les rectes r i s en
aquells punts on dos dels seus radis siguin
perpendiculars a r i s respectivament, per tant el
centre O estarà a distància R de les dues rectes, és a
dir, en la unió de les paral·leles a r i s a la distància R

r
r
T1
O
T2
r
s
R
Per a calcular els punts de
tangència, tracem
perpendiculars des d'O a r i s

r
r
T1
O
T2
r
s
R
Una vegada calculats els
punts de tangència,
podem traçar l'arc
d'enllaç entre r i s

r
r
T1
O
T2
r
s
R

r r
r r
T1
T1
O O
T2
r T2
s s
R
En el problema anterior, si no
coneixem el vèrtex de l'angle entre r
i s, traçant les paral·leles obtenim el
punt O
Si coneixem el vèrtex, n'hi ha prou amb trobar la
bisectriu de l'angle i traçar una paral·lela a r o s a
la distància R i obtindrem el centre O

T
r
s
ENLLAÇ ENTRE DUES RECTES r I s OBLIQÜES ENTRE SI, CONEIXENT EL PUNT T DE TANGÈNCIA EN
LA RECTA r

T
r
V
s
LA RECTA r
Com ja sabem, el centre
d'un arc tangent a dues
rectes obliqües entre si es
troba en la bisectriu de
l'angle
que aquestes rectes
formen.
En el cas que no vegem el
vèrtex d'aquest angle,
tracem dues paral·leles a r i
s respectivament a una
distància d arbitrària.
Així aconseguirem un angle
de vèrtex V
la bisectriu del qual
coincideix amb la de r i s

T
r
V
s
LA RECTA r

T
r
O
V
s
LA RECTA r
Per a calcular el
centre de l'arc que
busquem tracem per
T una perpendicular a
la bisectriu trobada
anteriorment.
On aquesta
perpendicular curta a
la bisectriu està el
centre O de l'arc que
busquem

T
r
O
V
s
T1
LA RECTA r
Traçant una
perpendicular a s
des d'O
aconseguim l'altre
punt de tangència
T1

T
r
O
V
s
T1
LA RECTA r
Es traça l’arc OT

T
r
O
V
s
T1
LA RECTA r
Fem l'enllaç és la unió de r-arc-s

T
r
O
V
s
T1
LA RECTA r
O fem l'enllaç és la unió de r-arc-s

R
O
s
LA RECTA r

O
R
s
R
LA RECTA r

O
O1
R
s
R
LA RECTA r

O
T1
O1
T2
R
s
R
LA RECTA r

O
s
R
ENLLAÇ ENTRE UNA RECTA s I UN ARC DE RÀDIO R1 MITJANÇANT UN ARC DE RÀDIO R
(INTERIOR)

O
R
s
R
(INTERIOR)

O1
O
R
s
R
(INTERIOR)

T1
O1
R
T2
O
s
R
(INTERIOR)

T
O
P
ENLLAÇ D'UN ARC AMB UN ALTRE EN UN PUNT T I QUE A més PANSA PER UN PUNT P EXTERIOR
A LA CIRCUMFERÈNCIA

O
T
O
P
ENLLAÇ D'UN ARC AMB UN ALTRE EN UN PUNT T I QUE A més PANSA PER UN PUNT P EXTERIOR

T
P
O
ENLLAÇ D'UN ARC AMB UN ALTRE EN UN PUNT T I QUE A més PANSA PER UN PUNT P INTERIOR

T
P
O1
O
ENLLAÇ D'UN ARC AMB UN ALTRE EN UN PUNT T I QUE A més PANSA PER UN PUNT P INTERIOR

O
T
ENLLAÇ D'UN ARC DE RÀDIO R AMB UNA RECTA r SABENT QUE EL PUNT T DE LA RECTA ÉS DE
TANGÈNCIA

R O
T
R
1ª SOLUCIÓ
TANGÈNCIA

R O
O1
T
R
TANGÈNCIA
1ª SOLUCIÓ

R O
T1
O1
T
R
TANGÈNCIA
1ª SOLUCIÓ

R
R O
T
2ª SOLUCIÓ
TANGÈNCIA

O2
R
R O
T
TANGÈNCIA
2ª SOLUCIÓ

O2
T2
R
R O
T
2ª SOLUCIÓN
TANGÈNCIA

R
O1
O2
ENLLAÇ DE DOS ARCS DE CIRCUMFERÈNCIA PER MITJÀ D'UN ARC DE RÀDIO R DONAT
CONSTRUCCIÓ DE RECTES TANGENTS (ENLLAÇOS)

O1
O3
O2
R

O1
T1
O3
T2
O2
R

O1
T1
O3
O4
T2
O2
R

O1
T1
O3
T3
O4
T2
O2
T4
R

A
C
B
UNIÓ DE DUES RECTES PER MITJÀ D'UNA CORBA PARABÒLICA, DONATS ELS PUNTS A I C DE
TANGÈNCIA

A
1
2
3
4
5
6
7
C
7
B 6
5
4
3
2
1
TANGÈNCIA

A
1
2
3
4
5
6
7
C
7
B 5
4
3 6
2
1
TANGÈNCIA

A
B
O1
O2
UNIÓ DE DUES CORBES PER MITJÀ D'UNA CORBA PARABÒLICA, DONATS ELS PUNTS A I B DE
TANGÈNCIA

7 6 5 4 3 2 1 A
B
O1
O2
TANGÈNCIA

7 6 5 4 3 2 1 A
1
2
3
4
5
6
7
B
O1
O2
TANGÈNCIA

B
A
CONSTRUCCIÓ DE RECTES TANGENTS (RECTIFICACIONS)
RECTIFICACIÓ D’UMA CORBA QUALSEVOL

B
3
2 4
1 5
17
6
A 7 16
8
15
9
10 14
11 13
12
B
A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
5
RECTIFICACIÓ D’UMA CORBA QUALSEVOL

O
RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓ D’UNA CIRCUMFERÈNCIA

1 2 3 O 4 5 6 7

1/7
1 2 3 O 4 5 6 7

2pr
1/7
1 2 3 O 4 5 6 7

B
O
A
RECTIFICACIÓ D’UNA SEMICIRCUMFERÈNCIA
1r PROCEDIMENT

B
r
O
A
1r PROCEDIMENT

C
B
r
O
A
C B
A
Triángulo inscrito
en la circunferencia
1r PROCEDIMENT

D
C
B
r
L3
O
A
C B
A
Triángle inscrit en
la circumferència
1r PROCEDIMENT

D
C
B
E
F r
L3
O
L4
A
C
D B
A
Quadrat inscrit
en la circumferència
1r PROCEDIMENT

pr
D
C
B
E
F r
L3
O
L4
A
C
D B
A
Quadrat inscrit
en la circumferència
1r PROCEDIMENT

O
2n PROCEDIMENT

A
O
2n PROCEDIMENT

A
O
3
0º
B
2n PROCEDIMENT

A
O
3
0º
R R R
B
R
2n PROCEDIMENT

A
O
3
0º
R R R C
B
R
2n PROCEDIMENT

O
RECTIFICACIÓ D’UN QUART DE CIRCUMFERÈNCIA

1
A
1
O
B

2
A
1
O
B

3
2
A
1
O
B

3
2
4
A
1
O
B

C
D
B
A
EXERCICIS SOBRE TANGÈNCIES
INSCRIU EN UM QUADRAT QUATRE CIRCUMFERÈNCIES TANGENTS ENTRE SI
1. Tracem el
QUADRAT
corresponent

C
D
B
A
2. Tracem les
DIAGONALS
del quadrat

C
D
B
A
3. Tracem dues
perpendiculars
pel centre del
quadrat des de
la meitat de
cadascun dels
costats

B
A
O1
4. Tracem la
BISECTRIU de
l'angle que
forma el costat
AB del quadrat
amb la
diagonal AC,
que tallarà en
O1 a la
mediatriu de
AB

C
D
B
A T3
T1 T2
O1
5. Dibuixem la
circumferència
de centre O1

C
D
B
A T3
O3
O2
O4
T1 T2
O1
6. Una vegada
tenim O1, ja
podem calcular
la resta de
centres de
circumferències.
Fent centro en el
centre del
quadrat tracem
una
circumferència
que talli a la
mediatriu de BC i
DC en O2, O3 i
O4

C
D
B
A T3
O3
O2
O4
T1 T2
O1

O1
O2
TRAÇA CIRCUMFERÈNCIES DE RADI 15 CM. TANGENTS A LES CIRCUMFERÈNCIES DEL DIBUIX

r1 +
15
O1
r2 +
15
O2
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS
1. Tracem les
circumferències
concèntriques a les
donades augmentant
els seus radis 15 mm.

O3
O1
O2
O4
2. Els punts on es tallen
aquestes
circumferències són els
centres de les
circumferències
tangents buscades

O3
T2
T1
O1
O2
T3
T4
O4
3. Unim els
centres de les
circumferències
donades amb els
de les
circumferències
tangents, així
obtenim els punts
de tangència T1,
T2, T3 i T4,
fonamentals per a
traçar les
circumferències
resultat

O3
T2
T1
O1
O2
T3
T4
O4
4. Tracem les
circumferències O1 i
O2, tangents a les
circumferències
donades.

REPRODUEIX LA SEGÜENT PEÇA A ESCALA 1:1. LA MESURES ESTAN EXPRESSADES EN MM.

1. Tracem dos
eixos
perpendiculars i
fent centre en la
intersecció de
tots dos tracem
les dues
circumferències
centrals
concèntriques
(14 i 23 mm. de
radis, ja que els
seus diàmetres
mesuren 28 i 46
respectivament)

56
2. Trobem la
situació dels
centres de les
circumferències
dels extrems, a
56 mm de
distància en l'eix
major

56
3. Tracem les
circumferències
petites ( 6mm.
de radi) i els arcs
de
circumferència
dels extrems (12
mm. de radi).

56
T1
T2
4. La resta del
dibuix es resol
amb el
procediment de
rectes tangents
exteriors a dues
circumferències

56
T1
T3
T4
T2
4. La resta del
dibuix es resol
amb el
procediment de
rectes tangents
exteriors a dues
circumferències

56
T1 P T5
T3 T6
T4
Q T8
T7
T2
4. La resta del
dibuix es resol
amb el
procediment de
rectes tangents
exteriors a dues
circumferències

P
P
O
14
42
DIBUIXAR LA PEÇA EL CROQUIS DE LA QUAL S'ACOMPANYA PARTINT DE LA POSICIÓ DEL PUNT P
I LA CIRCUMFERÈNCIA DE DIÀMETRE 46.
DEIXAR TOTES LES CONSTRUCCIONS AUXILIARS NECESSÀRIES PER AL TRAÇAT.

P
O

T1
P
M1
O

P
50 -23 = 27
27
O
T1 T2
P
M1
O

P
50 -23 = 27
27
O
O1
T1 T2
P
M1
O
DIBUIXAR LA PEÇA EL CROQUIS DE LA QUAL S'ACOMPANYA PARTINT DE LA POSICIÓ DEL PUNT P I LA
CIRCUMFERÈNCIA DE DIÀMETRE 46.

P
50 -23 = 27
27
O
O1
T1 T2
P
M1
O
T2

O1
T1
P
M1
O
T2

O1
T1
P
T3
M1
O
T2

O1
T1
P
T3
M1
O
M2
T2

MOLTES GRÀCIES PER
LA VOSTRA ATENCIÓ!

TANGÈNCIES, ENLLAÇOS I RECTIFICACIONS

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Lasilviatecno

More from Lasilviatecno (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

TANGÈNCIES, ENLLAÇOS I RECTIFICACIONS