1 matematica binaria

MATEMATICA BINARIA

A cura di Jacques Bottel

1

Rappresentare una quantità
Il numero rappresenta una quantità astratta.
Tale quantità può essere rappresentata in diversi
modi:
Base 5, estesa con la base 10 e 20
Base 12 (Sumeri e Assiro-babilonesi)
Base 60


2

Il trionfo della base 10
La base che ha storicamente trionfato è la base
10, un felice compromesso, né troppo grande
(con l'inconveniente di troppi segni
elementari) né troppo piccola (con
l'inconveniente di lunghe combinazioni di
pochi segni). Inoltre, tale base è facile da
utilizzare da noi esseri umani (abbiamo 10
dita).

3

Le basi usate oggi
Oggi utilizziamo:
Base 10 in matematica
Base 2 in elettronica
Base 16 in informatica
Base 60 per le coordinate geografiche e il tempo


4

Basi a confronto…
La base 10 ha 10 segni elementari: le cifre 0-…-9
La base 2 ha solo due segni elementari: 0 e 1
La base 16 ha 16 segni elementari: le cifre 0-…-9 e le
lettere A-…-F


5

Basi a confronto…
Per ogni cifra:
 Con la base 10 possiamo rappresentare dieci quantità
(una per ogni segno elementare), con la base 2 due
quantità, mentre con la base ben 16 sedici quantità.
Dunque, a fronte di un numero maggiore di segni
elementari, fissata la lunghezza (numero di cifre) del
numero, si può rappresentare un numero maggiore
di quantità.

6

Perché il binario?
In elettronica, il valore 1 e 0 corrispondono a una
tensione elettrica, maggiore o minore di un
dato valore.
Dato che la tensione oscilla nel tempo, avere una
sola soglia a cui prestare attenzione semplifica
notevolmente la costruzione dei circuiti.


7

Perché l’esadecimale?
Quando i numeri sono grandi - e quindi lunghi da
rappresentare con il sistema binario - si preferisce usare il
sistema esadecimale.
La numerazione esadecimale viene usata per:
 indicare un indirizzo di memoria
Es. ∀xA27B57F
 Indicare un colore
Esempio #AF04E0


8

Si antepone # e ∀x prima del numero esadecimale
rappresentare con il sistema binario -un numero decimaleusare il
per distinguerlo da si preferisce nel caso
in cui non contenga caratteri A-F
Es. ∀xA27B57F
Esempio #AF04E0


9

Es. ∀xA27B57F
Esempio #AF04E0

Red

10

Es. ∀xA27B57F
Esempio #AF04E0

Green

11

Es. ∀xA27B57F
Esempio #AF04E0

Blue

12

CONVERSIONI


13

Scomponiamo i numeri!
I numeri - per convenzione in base 10 - si possono
scomporre.

1’536
Unità - 100
Decine - 101
Centinaia - 102
Migliaia - 103

14

Convertire in base 2!
Calcoliamo i resti delle divisioni per 2 del numero in base
10. In questo esempio, convertiamo il numero 74.
74
37
18
9
4
2
1

0
1
0
1
0
0
1


Numero in binario:
1001010

15

Analogamente, calcoliamo i resti delle divisioni per 16
del numero in base 10.
74
4

A
4

Numero in binario:
4A


16

Numero esadecimale:
4A

Procediamo con la conversione…
(Ax160) + (4x160)=
10+64=74


17

Numero binario:
1001010

Procediamo con la conversione…
(0x20) + (1x21) + (0x22) + (1x23) + (0x24) + (0x25)
+ (1x26) =
2+8+64=74

18

Convertire con la calcolatrice
 Aprire la calcolatrice di Windows 7.
 Dal menù Visualizza, clicca su “Programmatore”.
 Digitare il numero (preimpostata
base 10) e selezionare una base
per convertire la quantità.


19

Somma di numeri binari
Regole:





0+0= 0
0+1= 1
1+1= 0+rip
1+1+rip= 1+rip


111
1001010

+

(74)

101111

=

(47)

1111001

(121)

20

Operazioni facili e veloci
Alcune operazioni con i
particolarmente semplici!

numeri

binari

sono

 Incremento unitario (somma 1)
Il primo bit a 0 viene messo a 1
1001010
(74)


1001011
(75)

21

Operazioni facili e veloci
Alcune operazioni con i
particolarmente semplici!

numeri

binari

sono

 Incremento unitario (somma 1)
Il primo bit a 0 viene messo a 1
1001010
1001111
(79)

1001011
1010000
(80)
22

Operazioni speciali
 Divisione per due
Se il primo bit è 0, basta eliminarlo!
1001010

100101

(74)

(37)

E se il primo bit è 1?
Il numero non è divisibile per 2 (resto=1).
100101

(37)

23

Numeri binari negativi
La notazione complemento a 2 viene utilizzata per
rappresentare i numeri negativi in binario.
Per convertire un

Bit di segno:
0 per i numeri positivi
1 per i numeri negativi
numero decimale n negativo

si deve:

 Convertire |n| in binario

101111

 Aggiungere il bit di segno

0010000


(47)

24

Numeri binari negativi
La notazione complemento a 2 viene utilizzata per
rappresentare i numeri negativi in binario.
Per convertire un numero decimale n negativo si deve:
 Convertire |n|Complemento a 1
in binario

101111

 Aggiungere il bit di segno

0010000

 Invertire i bit

1101111

 Sommare 1

1110000

(47)

Complemento a 2


(-47)
25

Differenza vs somma
Fare la somma di una quantità negativa equivale a
farne la differenza perché a-b=a+(-b).
Dimostrazione
a-b = a-b
a-b= a+0-b
a-b= a+(1x0)-(1b)
a-b= a+1(0-b)
a-b= a+1(0-b)
a-b= a+(-b)

SOLO LEGGERE, NON STUDIARE!
Identità
Introduco l’elem. neutro rispetto alla somma
Introduco l’elem. neutro rispetto al prodotto
Raccoglimento (applico la propr. distributiva)
Elimino l’elem. neutro (prodotto e somma)

26

Esercizio: differenza
Esercizio
Convertire e sommare i numeri a=121 e b=-11
Svolgimento
Converto a=121

Dato che stiamo trattando una
somma, possiamo applicare la
propr. commutativa!

1111001
Converto il b=|11|, per poi farne il complemento a 2
1011

27

Quando un addendo è negativo, la lunghezza degli
operandi deve essere uguale!
Numero 121…
01111001

L=8

Numero -11…

01011

L=4

00001011

Aggiungo 0 fino ad arrivare alla
lunghezza desiderata (Lmax)

Aggiungo il bit di segno:
0 per i numeri positivi
1 per i numeri negativi

L=Lmax


28

Ora facciamo il complemento 1 2 di n=11:
Complemento a a
 Partiamo da n=11, L=8

0 0 0 0 1 0 1 1 (11)

 Invertiamo i bit

11110100

 Sommiamo 1

1 1 1 1 0 1 0 1 (-11)

Complemento a 2

Ora il numero è negativo e il bit
di segno è 1

29

Ora posso procedere a sommare i numeri…
Regole:





0+0= 0
0+1= 1
1+1= 0+rip
1+1+rip= 1+rip

1 11 1
1
01111001 +

(121)

11110101 =

(-11)

101101110


(110)

30

Codifica dei caratteri
Dato che il computer tratta solo numeri binari, per
gestire i caratteri è stato necessario stabilire una
codifica, cioè stabilire come devono essere
interpretati i numeri, ovviamente non più come
una quantità.
È quindi nata lo standard ASCII (American Standard
Code for Information Interchange), ossia una
tabella che attribuisce ai numeri da 0 a 127 (primi 7
bit di un byte) un preciso significato, in questo caso
una lettera dell’alfabeto.

31

Lo standard Unicode
Lo standard ASCII fu poi esteso (codifica a 8 bit). L’estensione
ha permesso di aggiungere le lettere accentate (ISO 8859-1
è l’estensione per i linguaggi dell’Europa Occidentale).

Oggi si usa lo standard Unicode che è un’ulteriore estensione
della tabella ASCII (codifica fino a 32 bit). L’estensione ha
permesso di aggiungere lettere con segni grafici particolari
come ç, ë, ê, ø, ž.
Periodicamente vengono rilasciate nuove versioni del formato
Unicode, compatibili con le versioni precedenti
(retrocompatibili).

33

Verifica se hai capito…
Domande:
 Perché si utilizza la base 2 in elettronica e la base 16 in
informatica?
 Che cos’è e a che cosa serve lo standard ASCII? Illustra le
differenze con lo standard Unicode.


34

E ora che avete capito…
memorizzate!


35

MA NON HAI ANCORA FINITO…


36

DEVI METTERE IN PRATICA
CIÒ CHE HAI IMPARATO…


37

Esercizi pratici
Esercizi:
 Converti il numero 575 in esadecimale. Converti il
numero 95 in binario. Riconverti i numeri appena
convertiti in decimale.
 Fai la somma tra i numeri 112 e -13


38

Ora hai davvero finito!


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