Ovaj rad se bavi prostim mašinama, posebno polugom i strmom ravni, objašnjavajući njihove vrste, funkcije i primjenu u svakodnevnom životu i ljudskom organizmu. U radu se detaljno razmatraju dvokrake i jednokrake poluge, specijalni tipovi poput kotura i točka na vratilu, te njihova uloga u olakšavanju rada sa primjenom zakona ravnoteže. Također, obrađuje se i koncept strme ravni kao sredstva za savladavanje visina uz manju potrebnu silu.

1. MJEŠOVITA SREDNJA ŠKOLA „TRAVNIK“
OPĆAGIMNAZIJA
AZRA HADŽIEMRIĆ
POLUGA I STRMARAVAN
MATURSKI RAD
TRAVNIK, APRIL 2020.

2. MJEŠOVITA SREDNJA ŠKOLA „TRAVNIK“
OPĆA GIMNAZIJA
POLUGA I STRMARAVAN
MATURSKI RAD
Predmet: Fizika
Mentor: Mirjana Drmić-Malić, prof.
Učenik: Azra Hadžiemrić
Travnik, april 2020.

3. SADRŽAJ
1. UVOD ............................................................................................. 1
1.1. Historija nastanka teorije poluge ............................................ 1
2. POLUGA......................................................................................... 3
2.1. Dvokraka (dvostrana) ili poluga prve vrste............................. 3
2.2. Jednokraka (jednostrana) poluga ............................................ 4
2.3. Specijalni tipovi poluge ......................................................... 7
 Koturovi................................................................................7
 Koturača................................................................................9
 Potencijalna koturača ............................................................. 9
 Točak na vratilu ................................................................... 10
2.4. Poluge u ljudskom organizmu .............................................. 12
3. STRMA (KOSA) RAVAN............................................................. 14
3.1. Mirovanje tijela i kretanje tijela niz kosinu........................... 15
3.2. Kretanje tijela uz kosinu ...................................................... 18
 Klin...................................................................................... 18
3.3. Specijalni oblici strme ravni................................................. 18
 Zavrtanj (šaraf) .................................................................... 19
4. ZAKLJUČAK................................................................................ 20
5. LITERATURA ..............................................................................21
Bilješka:............................................................................................... 22

4. 1. UVOD
Proste mašine su sprave koje nam omogućavaju da mijenjamo pravac
i smjer ili napadnu tačku sile, a često, što je najvažnije, manjom silom
savladamo veću silu (težinu, trenje, koheziju itd.). Dva osnovna oblika prostih
mašina su poluga i strma ravan. Osim toga imamo i specijalne oblike poluge
(koturi, koturače i točak na vratilu) i specijalne oblike strme ravni (klin i
zavrtanj). Prostim mašinama slabijom silom savladavamo jaču, ali ništa ne
dobijamo na radu.
1.1. Historija nastanka teorije poluge
Prve naučne osnove postavio je grčki matematičar i izumitelj Arhimed
koji je, između ostalog, postavio strogu teoriju ravnoteže poluge na koju
djeluju paralelne sile.
Slika 1. Arhimed (287 – 212 p.n.e.)
1

5. 2
Teoriju poluge je Arhimed izložio u radu O ravnoteži ravnina, te je
zasnivao na aksiomima:
1. Jednaki tereti na jednakim udaljenostima su u ravnoteži, dok na
nejednakim udaljenostima nisu u ravnoteži, već preteže onaj teret koji je na
većoj udaljenosti.
2. Ako se teretima koji su u ravnoteži na jednoj strani pridoda neki
teret, tada oni nisu u ravnoteži, već će prevagnuti onaj teret kojem je dodan
neki teret.
3. Isto tako, ako se na jednoj strani oduzme dio tereta, poluga neće biti u
ravnoteži, a prevagnut će ona strana na kojoj nije ništa oduzeto.
Navedeni aksiomi su provjereni iskustvom. Polazeći od navedenih
aksioma Arhimed je poopćavanjem i mjerenjem konačno dokazao da su tereti
na poluzi u ravnoteži na udaljenostima, koje su obrnuto proporcionalne s
težinama.

6. 2. POLUGA
Uzimajući u obzir prethodno rečeno možemo kazati da je poluga svako
kruto tijelo koje može da se obrće oko neke ose ili uporišta na osloncu. Prema
položaju oslonca i napadnih tačaka sila i tereta poluga može biti: dvokraka
ili jednokraka.
2.1. Dvokraka (dvostrana) ili poluga prve vrste
Kod dvostrane poluge oslonac se nalazi između napadnih tačkaka sile
i tereta. Dvokraka poluga može imati krake različite i jednake dužine.
Za objašnjavanje principa rada poluge potrebno je poznavati pojam
moment sile. To je veličina koja karakterizira rotaciono djelovanje sile.
Intenzitet momenta sile po definiciji jednak je proizvodu intenziteta sile i
kraka sile.
Slika 2. Poluga je u ravnoteži ako je zbir momenata sile i tereta jednak nuli
b – krak tereta a – krak sile kojom se teret podiže
F1 ili G – težina tereta F2 ili F – sila kojom se teret podiže
b
3
a

7. Kao što je već ranije spomenuto poluge nam služe za svladavanje neke
sile (tereta) mišićnom silom ili nekim drugim teretom da bi došlo do
ravnoteže. Zakon poluge tvrdi da je poluga u ravnoteži kada je moment sile
koja djeluje na teret jednak momentu sile tereta, odnosno:
M1 = - M2
- gdje je M1 moment sile koja djeluje na teret, a M2 moment sile
tereta koji je suprotnog smjera
Iz definicije za moment sile vrijedi da je
M = F · a;
pa iz jednačine zakona poluge možemo izvesti sljedeći odnos:
F · a = G · b ili
𝐅
= b
𝐆 a
Dakle, poluga je u ravnoteži ako je sila onoliko puta manja od tereta
koliko je krak sile veći od kraka tereta.
2.2. Jednokraka (jednostrana) poluga
Slika 3.
Ako sila i teret
djeluju sa iste strane
oslonca u suprotnim
smjerovima onda je to
jednostrana poluga
4

8. Za jednokraku polugu vrijedi isti uslov ravnoteže kao i za dvokraku.
MQ = -MF
Q · b = F · a
5
Pri vršenju rada polugom, rad sile jednak je radu tereta.
AF = AG
F · sF = G · sG
sF i sG – pomjeranje napadne tačke sile, odnosno tereta
Koliko puta je sila manja od tereta, toliko puta mora biti pomjeranje
napadne tačke sile veće od pomjeranja tereta. Zlatno pravilo mehanike važi
za sve proste mašine: ono što se dobije na sili, gubi se na putu.
Na sljedećem primjeru možemo pokazati primjenu zakona kod
dvostruke poluge.
Primjer 1:
Djevojčica mase 35 kg sjedi na jednom kraju tri metra duge klackalice
oslonjene u sredini. Gdje na klackalicu treba sjesti njen otac mase 90 kg da bi
se klackali? (g = const.)
90kg
35 kg
? 1.5 m

9. m1 = 35 kg
6
U zadatku se zapravo postavlja pitanje kolika
m2 = 90 kg treba biti dužina kraka sile da bi poluga bila
b = 1.5 m u ravnoteži?
a = ?
Iz zakona poluge znamo da vrijedi
M1 =M2 , gdje je
M1 = G1 · b M2 = G2 · a
G1 = m1· g G2 = m2· g
G1 i G2 – težina djevojčice i težina oca
a, b – udaljenost oca i djevojčice od oslonca klackalice
→ m1 · g · b = m2 · g · a :g
m1 · b = m2
· a → a =
m1 · b
m2
a =
35 kg ·1.5 m
= 52.5 kgm
= 0.583m
90 kg 90 kg
Dakle, primjenjujući zakon poluge zaključili smo da otac mora sjesti
na klackalicu približno pola metra od sredine oslonca, odnosno dva metra od
djevojčice, da bi se klackali.

10. 2.3. Specijalni tipovi poluge
 Koturovi
Koriste se za podizanje tereta na veće visine. Čvrsti ili nepomični kotur
ima nepomičnu osovinu i služi za promjenu smjera djelovanja sile. Djeluje
kao poluga jednakih krakova koji su jednaki poluprečniku kotura. Ne
uzimajući u obzir trenje, uvjet ravnoteže je:
F · r = Q · r → F = Q
Prema tome možemo reći da je kod nepomičnog kotura sila jednaka
teretu ako se zanemari trenje.
Slika 4. Nepokretan i pokretan kotur
Kod pomičnog kotura vrijedi relacija
𝐐
2
F · 2r = Q · r → F =
7

11. m2. (g = 10 m
)
s2
Primjer 1:
Sistem na slici se kreće ubrzanjem od 1
m
. Odrediti odnos masa m1
s2
a = 1
m
s2
g = 10
m
s2
m1
= ?
m2
T – sila zatezanja
m1g = m1a - T
m2g = - m2a + T
m1g + m2g = m1a - m2a
m2g + m2a = m1g - m1a
m2 (g + a) = m1 (g – a)
11 m2 = 9 m1
m1
= 11
m2 9
T T
m2
8

12.  Koturača
Arhimedova koturača je zapravo skup više nepomičnih i isto toliko
pomičnih koturova.
𝐆
n
F=
n – ukupni broj koturova
F – sila potrebna za dizanje
G – težina tereta
Slika 5. Arhimedova koturača
 Potencijalna koturača
Potencijalna koturača sastoji se od jednoga čvrstog i nekoliko
pomičnih kotura; svaki pomični kotur umanjuje upola silu (F) potrebnu za
uravnoteženje težine tereta G, to jest:
F=
𝐆
2n
n – broj pokretnihkoturova
Slika 6.
9

13.  Točak na vratilu
Kao uređaj za dizanje tereta izvodi se u brojnim oblicima i veličinama
zavisno o namjeni. Sastoji se od dva kotura različitih poluprečnika,
međusobno čvrsto spojenih zajedničkom osovinom.
F · R = G · r kolo
vreteno
F – sila povlačenja
R – poluprečnik kola
G – težina tereta
r – poluprečnik vretena Slika 7. Točak na vratilu u primjeni
bunara za vodu
Sila povlačenja proporcionalno je manja u odnosu na silu u teretnom
užetu prema odnosu poluprečnika vretena i kola.
Postoje varijacije spomenutih tipova kao što su diferencijalna koturača
i vratilo koje možemo primijeniti u različitim problemima. Primjeri
jednostrane poluge su: kvaka na vratima, otvarač za boce, kolica za prijevoz
(tačke), itd. Jednokraka poluga treće vrste ima oslonac na jednoj a teret na
drugoj strani, dok vanjska sila djeluje između njih.
Slika 8. Lakše ćemo izvući ribu iz vode
ukoliko dršku uhvatimo sa rukama na dva
različita i udaljena mjesta, nego sa objema
rukama na početku drške.
10

14. A
B
Primjer 3:
Iz bunara se izvlači voda pomoću proste mašine. Težina kante sa
vodom je 20 N. Poluprečnik cilindra je 15 cm, dok je kružni poluprečnik
ručice 30 cm. Kolikom se horizontalnom silom mora djelovati na ručicu da bi
se na ovaj način podigla kanta sa vodom? Kako zavisi veličina ove sile od
položaja ručice?
G = 20 N
r = 15 cm → 0.15 m
R = 30 cm → 0.3 m
FA = ?
FA · R = G · r
F =
G·r
R
FA = 10 N
U položaju B pored poluprečnika i težine kante vode, sila zavisi i od
ugla koji ručica zatvara sa okomicom na podlogu na kojoj se nalazi bunar.
FB · R · cosα = G · r
F =
G· r
R · cosα
α B
11

15. Slika 9. Jedinstvo dvaju dvostranih poluga – makaze
Pored svakodnevnih predmeta iu prirodi imamo razne primjere poluge
kako kod životinja tako i kod čovjeka.
2.4. Poluge u ljudskom organizmu
Ljudsko tijelo sadrži sve tri vrste poluge, u kojem kosti predstavljaju
krake sila, zglobovi oslonce, dok mišići pružaju silu za savladavanje težine
drugih dijelova tijela ili nekog dodatnog tereta. Prilikom šutanja lopte mali napor
u mišiću lista je dovoljan da bi sila na kraju noge uspješno savladala težinu lopte
zahvaljujući zakonima poluge.
Klimanje glavom zahtijeva korištenje poluge prve vrste. Mjesto susreta
lobanje sa vrhom kičmenog stuba predstavlja oslonac ili osu rotacije naše
dvostrane poluge. U ovom slučaju vratni mišić, koji je udaljeniji od oslonca u
odnosu na teret lobanje, malom silom podiže glavu i opuštanjem je vraća u
prvobitno stanje, koristeći kosti lobanje kao krakove pomenutih sila.
Baletni plesači koriste svoja stopala u pokazivanju principa jednostrane
poluge druge vrste. Stopalo koristi upravo vrhove prstiju kao oslonac za
podizanje tijela koje treba podsvjesno izbalansirati svoju poziciju između mišića
potkoljenice i ose rotacije (prstiju). Zato je potrebna izuzetna
12

16. koordinacija i uključenost svih mišića tijela kako se centar mase ne bi našao iza
mišića potkoljenice i prouzrokovao pad u smijeru suprotnom rotaciji kraka sile.
Slika 10. Poluga prve, druge i treće vrste u mišićnom sistemu čovjeka
Dok u prethodnom slučaju takva pozicija elemenata poluge može
prouzrokovati tešku povredu, naše ruke u istom položaju pomažu svakodnevno
podići i spustiti kese iz prodavnice, tegove u teretani ili odskakati loptu na
parketu. Kod poluge treće vrste mišić biceps, koji se nalazi između tereta i lakta,
ne pruža nikakvu mehaničku prednost jer je sila veća od tereta. Međutim, ovaj
nedostatak se nadoknađuje većim kretanjem – mȃlo naprezanje bicepsa
prouzrokuje veći i brži pokret podlaktice. Što je sila bliže osi rotacije to je veći
luk koji pravi kraj kraka, iz sličnog razloga zašto je brzina rotacije Zemlje veća
na ekvatoru nego na polovima. Može se reći da je poluga treće vrste
najzastupljeniji oblik ove proste mašine u ljudskom organizmu.
13

17. 3. STRMA (KOSA) RAVAN
Strma ravan je svaka ravna površina postavljena tako da zatvara
određeni ugao sa horizontalnom ravni. Omogućava savladavanje visinske
razlike uz pomoć manje sile, tj. za pomicanje predmeta uz kosinu potrebna je
manja sila od sile koja bi bila potrebna za podizanje tog istog predmeta.
Slika 11. Osnovni dijelovi kosine
Kod strme ravni razlikujemo njenu dužinu L, visinu H i osnovicu X.
Ugao α između osnovice i dužine strme ravni se naziva ugao nagiba strme
ravni ili nagibni ugao. Uspon strme ravni se računa kao odnos njene visine i
dužine
H
L
U =
Uspon se na putu izražava u procentima, a na željezničkoj pruzi u
promilima.
Na tijelo postavljeno na strmu ravan djeluje sila Zemljine teže,
vertikalno naniže i reakcija ravni okomito na površinu na kojoj se ono nalazi.
F = m · g + N
14

18. C
B
D
E
α
G
Finercijalno
A
Slika 12.
Težina tijela se rastavlja na dvije komponenete:

 F1 koja je paralelna s kosinom i uzrokuje kretanje tijela niz
kosinu
F2 koja je okomita na kosinu i sudjeluje u sili trenja (Ftr)
Uz silu teže javlja se i inercijalna sila
Finercijalno = m · a
3.1. Mirovanje tijela i kretanje tijela niz kosinu
Iz sličnosti trouglova ABC i DEG (Slika 12.) možemo naći intenzitet
sile F1. Slični su jer imaju po jedan pravi ugao i jednake uglove α, jer su to
uglovi sa okomitim i paralelnim kracima.
F1 : Fg = H : L ili F1 = Fg
H
= mg sinα
L
Tijelo je u ravnoteži na strmoj ravni ako je sila onoliko puta manjaod
tereta koliko puta je dužina strme ravni veća od njene visine.
Silu trenja nalazimo iz sličnosti trouglova ABC i DIE.
I
15

19. N : F1 = X : H → N = mg
X
L
, pa je
Ftr = μN = μmg
X
= μmg cosα
L
Ova sila F1 je orijentisana niz strmu ravan. Kad ne bi bilo sile trenja,
tijelo bi se kretalo jednakoubrzano; a =
𝐅
m
. Zbog djelovanja sile trenja, koja
se suprotstavlja kretanju i djeluje uz strmu ravan, ubzanje je
a =
𝐅− 𝐅𝐭𝐫
= mg sinα –μmg cosα
= mg (sinα –μcosα)
=
m m m
= g (sinα – μcosα)
Ako je F1 manje ili jednako maksimalnoj statičkoj sili trenja, tijelo
ostaje da miruje, s tim da ako je F1 = Ftr dovoljan je mali poticaj da se počne
kretati ravnomjerno niz kosinu.
F = Ftr
mg sinα = μmg cosα
sinα = μ cosα
μ =
sinα
= tgα
cosα
Kod strme ravni rad sile je jednak radu tereta
F1 · X = G · H
AF = AG
16

20. 2
Primjer 4:
Sanke mase 80kg klize sa vrha padine dužine 10m i uspona 60%.
a) Kolikom silom sanke pritišću podlogu, a kolika sila pokreće
sanke niz padinu?
b) Ako je koeficijent trenja između sanki i zaleđene padine 0.3,
koliki ubrzanjem klize sanke niz padinu?
c) Kolika je brzina sanki kada dođu do dna padine?
d) Na kojoj će se udaljenosti od podnožja sanke zaustaviti, ako je
koeficijent trenja isti duž cijelog puta? (g = m/s2)
m = 80 kg
L = 10 m
U = 60 %
N, F, a, v, s = ?
U =
H
= sinα = 60 % = 0.6
L
sin2α + cos2α = 1 → cosα = √1 –0.36 = 0.8
a) F = mg sinα = 80kg · 10
m
0.6 = 480 N
·
s2
N = mg cosα = 800 N · 0.8 = 640 N
b)
c)
a = g (sinα – μcosα) = 10 m/s2 · (0.6 – 0.3 · 0.8) = 3.6 m/s2
v = √ 2La = √ 2·10m·3.6 m/s2
= 8.48 m/s
m
a = μ · g = 3
m
s2
d) s = v2/2a2 = 72 m2/s2 = 12m
6 m/s2
17

21. 3.2. Kretanje tijela uz kosinu
Slika 13.
Fvučno = Ftr + Finercijalno + F1 = μmg sinα + m · a + mgsinα
3.3. Specijalni oblici strme ravni
 Klin
Predstavlja dvije strme ravni koje su slijepljene osnovama.
Slika 14.
F = 2Q · sin
α
2
α – ugao klina
F – sila kojom se djeluje na
čelo klina
Q – sile otpora
F
18

22.  Zavrtanj (šaraf)
je strma ravan koja je namotana oko valjka
F · 2Rπ = Q · h
F – sila koja djeluje na obod glave zavrtnja
R – poluprečnik kruga kojeg opisuje napadna tačka sile
h – visina hoda zavrtnja (vertikalno rastojanje između dva zavojka) Q
– sila tereta
Slika 15. Arhimedov vijak
Zavrtanj je u ravnoteži ako se sila odnosi naspram tereta kao visina
hoda zavrtnja naspram obima kruga koga opiše napadna tačka sile.
F : Q = h : 2Rπ
Primjena strme ravni u praksi je raznolika i rasprostranjena. To su
razne rampe za ukrcavanje, nagibi na cestama, kosine na krovovima kuća,
izvedbe kosina u građevinarstvu, mašinstvu, itd. Vrlo raširena je primjena
kosine u obliku klina. Kao primjer možemo navesti i dlijeto, sjekiru, propeler
aviona, rotor centrifugalne sisaljke i dr.
19

23. 20
4. ZAKLJUČAK
Primjenu strme ravni i poluge susrećemo kroz veliki broj inženjerskih,
naučnih i nenaučnih aspekata ljudskog života, kao što su medicina, građevina,
trgovina, mašinstvo, elektrotehnika, kozmetika, tekstil i mnogi drugi.
Spomenuli smo i posebne primjere koje možemo pronaći u prirodi te zaključiti
da ni sam ljudski organizam, kao ni životinjski, ne bi funkcionisao da nema
ovih jednostavnih mehanizama.
Ne treba naglašavati širinu opsega upotrebe prostih mašina te njihovih
specijalnih oblika. Njihovo postojanje nam se samo nameće kroz svakodnevni
život te su one neizbježan alat u funkcionisanju doba industrijalizacije i
tehnologije onakvog kakvo ono danas jeste.
Arhimed možda nije mogao polugom podići Zemlju, ali ko zna kakve
sve izume ćemo mi u budućnosti koristiti da se na neki način pokušamo
približiti njegovoj teoriji.

24. 21
5. LITERATURA
1. Fazlić R., Kukuruzović H., Mehurić B.: Fizika (definicije,
zakoni, formule), DD „Grin“ Gračanica, 1999.
2. Dr. Sliško J., Traparić O.: Fizika za 1. razred srednje škole, SP
„SVJETLOST“, Sarajevo 1991.
3. Dr. Abasbegović N., Dr. Musemić R.: Fizika sa zbirkom
zadataka za prvi razred srednje škole, IP „SVJETLOST“ d.d.,
Sarajevo 1998.
4. Tutkur N. prof., Memento ili podsjetnik Fizika za prve razrede
srednjih škola i gimnazija, BEHA Bugojno
5. https://kluszeljka.weebly.com/poluga-i-moment-sile.html
6. https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-
noauth/edutorij/api/proxy-guest/673a7966-985a-40c6-976c-
5562c11d277f/html/1012_Poluga.html
7. https://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=49280#pogla
vlje133098

25. Bilješka:
22