Phép Tính Tích Phân Và Áp Dụng.doc

Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
LÊ THỊ THU VÂN
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2016

Luanvanmaster.com
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN
Phản biện 1: TS. Trương Công Quỳnh
Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày
13 tháng 8 năm 2016.
Có thể tìm hiểu Luận văn tại:
- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Luanvanmaster.com
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Trong toán
học, giải tích chiếm một vị trí vô cùng quan trọng. Các kết quả
nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực
của Toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như
Vật lý, Hóa học,Thiên văn học...
Để có các kiến thức về giải tích một cách có hệ thống và
khoa học thì việc nắm vững và hiểu sâu sắc các kiến thức ban đầu
của giải tích: “ Phép tính tích phân” là điều cần thiết và quan trọng.
Vì những lí do trên chúng tôi lựa chọn đề tài: “Phép tính tích phân
và áp dụng”.
2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được về phép
tính tích phân và một số áp dụng của nó. Một số điểm cố gắng đưa
vào trong luận văn là:
- Trình bày một số định nghĩa liên quan đến phép tính tích
phân, chứng minh chặt chẽ các định lý liên quan.
- Giới thiệu một số áp dụng cụ thể của tích phân.
- Đưa nhiều ví dụ và bài tập liên quan đến đề tài.
Nội dung của đề tài được dự định chia thành 2 chương và phụ
lục:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Áp dụng của phép tính tích phân.
Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ và bài tập áp dụng cụ thể.

Luanvanmaster.com
2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán áp dụng trong
tích phân.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp
giải toán thích hợp trong tích phân để giải quyết các bài toán bất
đẳng thức và giới hạn.
4. Phương pháp nghiên cứu
1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả
nghiên cứu liên quan đến phép tính tích phân.
2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi
các kết quả đang nghiên cứu.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận và danh mục các tài liệu tham
khảo, nội dung luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương 1, luận văn trình bày:
Các định nghĩa, khái niệm và kết quả cơ bản của tích phân xác
định; bất đẳng thức tích phân và một số ứng dụng hình học, vật lý
của của tích phân để làm cơ sở cho chương sau.
Chương 2. Các dạng bài tập áp dụng phép tính tích phân.Trong
chương 2, luận văn trình bày:
Các bài toán liên quan các tính chất của tổng Darboux; bất
đẳng thức tích phân và giới thiệu một số bài toán áp dụng hình học,
vật lý trong tích phân xác định.

Luanvanmaster.com
3
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về tích phân,bất
đẳng thức có liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp theo.
Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo trong
các tài liệu [1], [3], [4], [5],[7].
1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong
1.1.2. Định nghĩa tích phân xác định
Cho hàm ( ) xác định trên [ , ]. Chia [ , ] thành n-phần tùy ý bởi các điểm chia (ta gọi là một phân hoạch của đoạn [ , ])
= 0< 1<⋯< = .
Lấy điểm bất kỳ ∈ [ , +1] , lập tổng tích phân
−1
= ∑ ( ). ∆ , ∆ = +1 − (Tổng Riemann).
=0
Ta cho max ∆ → 0 nếu tiến đến một giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [ , ]
và cách lấy điểm thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm ( ) trên [ , ] và kí hiệu là
∫ ( ) .
Khi ấy, ta nói hàm ( ) khả tích trên [ , ].
1.1.3. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Luanvanmaster.com
4
1.2. ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH
1.2.1. Điều kiện cần để hàm khả tích
Định lí 1.1. Nếu hàm f khả tích trên đoạn [ , ] thì nó bị chặn trên đoạn này.
Chứng minh
Ta giả sử ngược lại rằng hàm không bị chặn trên [ , ] .Bởi vì hàm không bị chặn trên [ , ] nên với phân
điểm bất kì của đoạn [ , ], hàm không bị chặn ít nhất trên một đoạn con nào đó. Để đơn giản cho việc chứng minh, ta
giả sử nó không còn bị chặn trên [ 0, 1].
Khi đó trong các đoạn còn lại [ 1, 2], [ 2, 3], … , [ −1, ] ta hãy chọn các điểm tùy ý ξ1,ξ2, … , ξ và kí
hiệu:
′
= (ξ
2
)∆ + (ξ
3
)∆ + ⋯+ (ξ )∆ . (1.2.1)
2 3
Do không bị chặn trên đoạn [ 0, 1] nên với mọi> 0, ta
chọn được ξ1 ∈ [ 0, 1] sao cho:
| (ξ )|
| ′
|+
. (1.2.2)
1
|∆ 1|
Khi đó,| (ξ1)|. |∆ 1| ≥ |
′
| + và tổng tích phân tương ứng
| | = | (ξ1)∆ 1 + ′
| ≥ || (ξ1)||∆ 1| − | ′
|| ≥ . (1.2.3) Do đó, tổng tích phân không thể có giới hạn hữu hạn,
điều
này nghĩa là tích phân xác định của hàm không tồn tại.
1.2.2. Các tổng Darboux
Giả sử hàm f xác định và bị chặn trên [ , ]. Khi đó tồn tại các hằng số m và M sao cho:

Luanvanmaster.com
5
≤ ( ) ≤ , ∀ ∈ [ , ].
Ta xét phân điểm = { } của đoạn [ , ]. Kí hiệu:
= inf ( ) , = sup ( ), = − .
∈ [ −1, ] ∈ [ −1, ]
Đại lượnggọi là giao động của trên [ −1, ]. Tổng
=∑ ∆ , =∑ ∆ . (1.2.4)
=1 =1
lần lượt là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux trên của hàm ( ) trên đoạn [ , ] tương ứng với phân điểm T của đoạn
[ , ].
Nếu { } là một phân điểm của đoạn [ , ], ta có bất đẳng thức
sau:
≤ ≤ . (1.2.5)
1.2.3. Các tính chất của tổng tích phân Darboux
1.2.4. Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định
Định lý 1.2. Để hàm bị chặn ( ) khả tích trên đoạn [ , ]
điều kiện cần và đủ là:
= max ∆ , lim( − )=0. (1.2.10)
→0
Điều kiện (1.2.10) nghĩa là:
∀ > 0, ∃ = ( ) > 0, sao cho nếu < thì:
| −
|< . (1.2.11)
không phụ thuộc vào cách chọn các điểm ∈ [ −1, ].
1.3. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN
1.3.1. Công thức Newton-Leibnitz
Nếu hàm ( ) liên tục trên đoạn [ , ] và ( ) là một nguyên

Luanvanmaster.com
6
hàm của ( ) thì
∫ ( ) = ( ) − ( ) = ( )| .
1.3.2. Công thức tích phân từng phần
Nếu hai hàm ( ), ( ) khả vi và liên tục trên [ , ] thì
∫ ( ) ′( ) = ( ) ( )| − ∫ ′( ) ( ) .
1.3.3. Đổi biến số
Giả sử thoả mãn các điều kiện sau:
1) Hàm ( ) liên tục trên đoạn [a,b].
2) Hàm ( ) khả vi, liên tục trên đoạn [ , ].
3) ([ , ]) ⊂ [ , ], ( ) = , ( ) = .
Với các điều kiện này thì ta có công thức
∫ ( ) = ∫ ( ( )) ′( ) .
1.3.4. Các tính chất của tích phân xác định
Định lí 1.3. (Tính chất tuyến tính): Nếu
,
là hai hàm khả
tích trên [ , ] thì + , trong đó , = cons , cũng khả tích trên [ , ] và
∫ ( ( ) + ( )) = ∫ ( ) + ∫ ( ) .
Định lí 1.4. Nếu , là hai hàm khả tích trên [ , ] thì tích hai hàm . cũng khả tích trên [ , ] .
Định lí 1.5. (Tính chất cộng của tích phân) Cho ba đoạn [ , ], [ , ]và [ , ]. Nếu ( ) khả tích trên đoạn có độ dài lớn nhất

Luanvanmaster.com
7
thì nó cũng khả tích trên đoạn còn lại và
∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) .
Định lí 1.6. Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay
đổi nếu ta thay đổi giá trị của nó tại một số hữu hạn điểm.
Định lí 1.7. Giả sử ( ) khả tích trên [ , ].
) Nếu ( ) ≥ 0 ∀ ∈ [ , ] ,< , thì ∫ ( ) ≥ 0 .
) Nếu ( ) > 0 ∀ ∈ [ , ] , < , thì ∫ ( ) > 0.
Định lí 1.8. ( Tính đơn điệu)
Nếu ( ) ≤ ( ), ∀ ∈ [ , ] thì ∫ ( ) ≤ ∫ ( ) .
Định lí 1.9. Nếu ( ) khả tích trên [ , ], thì | ( )| khả tích
trên
[ , ]
và
|∫ ( ) | ≤ ∫ | ( )| .
Định lí 1.10. (Đánh giá tích phân xác định)
Nếu và tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm
( ) trên [ , ], < thì:
( − ) ≤ ∫ ( ) ≤ ( − ).
1.3.5 Các định lí giá trị trung bình
Định lí giá trị trung bình thứ nhất.
Giả sử ( )khả tích trên [ , ], ( < )và = inf , = sup .
[ , ] [ , ]

Luanvanmaster.com
8
Khi đó∃ , ≤ ≤ sao cho:
∫ ( ) = ( − ) (1.3.1)
Định lí giá trị trung bình thứ hai. Giả sử
a) ( ) và tích ( ) ( ) khả tích trên [ , ], < .
b) ≤ ( ) ≤ ∀ ∈ [ , ].
c) ( ) không đổi dấu trên [a,b].
Khi đó với ≤ ≤
∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) . (1.3.4)
Đặt biệt nếu ( ) liên tục trên [ , ] thì với ∈ [ , ]
∫ ( ) ( ) = ( ) ∫ ( ) . (1.3.5)
1.4. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI TÍCH PHÂN
1.4.1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho ( ) và ( ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ , ]. Khi
đó ta có
2
(∫ ( ) ( ) ) ≤ ∫ 2( ) ∫ 2( ) .
1.4.2. Bất đẳng thức Chebyshev
Cho ( ) và ( ) là các hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] và trên đoạn ấy chúng cùng đồng biến ( hoặc cùng nghịch
biến). Ta có
( − ) ∫ ( ) ( ) ≥ ∫ ( ) ∫ ( ) .

Luanvanmaster.com
9
1.4.3. Bất đẳng thức Diaz
Cho ( ), ( ) là các hàm số liên tục trên đoạn [ , ], ( ) ≠
0 ∀ ∈ [ , ] và ≤ ( )
( ) ≤ ∀ ∈ [ , ]. Khi đó ta có:
∫ 2( ) + ∫ 2( ) ≤ ( + ) ∫ ( ) ( ) .
1.4.4. Bất đẳng thức Polya
Cho ( ), ( ) là các hàm số liên tục trên đoạn [ , ] và 0 < ≤ ( ) ≤ , 0 < ≤ ( ) ≤ ∀ ∈ [ , ].
Khi đó
( + )2 ≥ ∫ 2( ) ∫ 2( ) ≥ 4 .
4 2 ( + )2
(∫ ( ) ( ) )
1.4.5. Bất đẳng thức với số tự nhiên
Mệnh đề 1.1. Cho hàm số = ( ) là một hàm lồi, liên tục và không âm trên [ , ]. Khi đó với mọi phép phân hoạch
đoạn [ , ] bởi các điểm chia
= 0< 1< 2<⋯< = .
Ta có
( −1) + ( )
∑ ( − ) < ∫ ( ) .
2
−1
=1
Mệnh đề 1.2. Cho hàm số = ( ) là một hàm lõm, liên tục và không âm trên [ , ]. Khi đó với mọi phép phân
hoạch đoạn [ , ] bởi các điểm chia
= 0< 1< 2<⋯< = .

Luanvanmaster.com
10
Ta có
( −1) + ( )
∑ ( − ) > ∫ ( ) .
2
−1
=1
Mệnh đề 1.3. Cho hàm số = ( )liên tục và không âm trên
[ , ]. Khi đó với mọi phép phân hoạch đoạn [ , ] bởi các điểm chia
= 0< 1< 2<⋯< = .
Ta có:
a. Nếu ( ) đồng biến trên [ , ] thì:
∑ ( −1)( − −1) < ∫ ( ) < ∑ ( )( − −1).
=1 =1
b. Nếu ( ) nghịch biến trên [ , ] thì:
∑ ( −1)( − −1) > ∫ ( ) > ∑ ( )( − −1).
=1 =1
1.4.6. Bất đẳng thức với số thực
Mệnh đề 1.4. Cho hàm số = ( ) liên tục, không âm và đơn
điệu tăng trên [0, ) với > 0. Gọi −1( ) gọi là hàm ngược của nó.
Khi đó, ∀ ∈ [0, ), ∀ ∈ [ (0), ( )) ta có:
( )
−1( ) ≥ .
∫ ( ) + ∫
0 (0)
Dấu ′′ = ′′ chỉ xảy ra khi và chỉ khi = ( ).
Mệnh đề 1.5.Cho hàm số = ( ) liên tục, không âm và đơn
điệu tăng trên [ , ),0 ≤ ≤ . Khi đó
[ ( ), ( )) ta có:
∀ ∈ [ , ),∀ ∈
∫ ( ) + ∫ −1( ) ≥ − ( ).
0 ( )

Luanvanmaster.com
11
CHƯƠNG 2
ÁP DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số bài toán liên
quan đến các tính chất tổng Darboux,bất đẳng thức tích phân và giới
thiệu một số bài toán liên quan đến hình học, vật lí của tích phân xác
định…Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo ở các
tài liệu [1],[2],[3],[4],[6],[7] và [8].
2.1. ÁP DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1.1. Áp dụng tính tích phân xác định
Bài toán 2.1. Giả sử hàm ( ) và ( ) liên tục trên [ , ].
Chứng minh rằng
−1
lim ∑ ( ) ( )∆ = ∫ ( ) ( ) .
∆ →0 =0
ở đây ≤ ≤ +1, ≤ ≤ +1( = 0,1, … , − 1).
Bài toán 2.2. Giả sử ( ) giới nội và đơn điệu trên [0,1].
Chứng minh rằng
1
1 1
∫ ( ) − ∑ ( )=0( ).
0
=1
Bài toán 2.3. Giả sử là tập hợp tất cả những điểm hữu tỉ của đoạn [0,1], ( ) là hàm đặc trưng của tập hợp
này.Chứng minh
rằng mọi tổng Darboux trên của hàm bằng 1, còn mọi tổng Darboux
dưới của hàm bằng 0.
Bài toán 2.4. Giả sử ( ) và ( ) là những hàm khả tích trên đoạn [0,1] đồng thời trên đoạn này ( ) ≤ ( ).

Luanvanmaster.com
12
Nếu hàm ( ) bằng ( ) khi ∈ ,bằng F(x)
( kí hiệu giống bài toán trước), hãy chứng minh rằng nếu
∉
1 1
∗ = ∫ ( ) , ∗ = ∫ ( ) .
0 0
ở đây ∗ là tích phân Darboux trên của hàm ( ) trên [0,1] , ∗ là tích phân Darboux dưới của hàm ( ) trên [0,1]
Bài toán 2.5. Tính tích phân xác định, xem chúng như là giới
hạn của tổng tích phân tương ứng và phân chia đoạn lấy tích phân
một cách thích hợp.
2 1
2
)∫ 2 ) ∫ sin ) ∫ ) ∫ (0< < , ≠−1)
2
−1 0 0
Bài toán 2.6. Giả sử hàm ( ) khả tích trên [ , ]. Chứng
minh rằng ( ) có tính chất liên tục của tích phân tức là:
lim ∫ | ( + ℎ) − ( )| = 0 ở đây[ , ] ⊂ [ , ]
ℎ→0
Bài toán 2.7. Giả sử hàm ( ) khả tích trên [ , ]. Chứng minh rằng ∫ 2( ) = 0 khi và chỉ khi ( ) =
0 tại tất cả những điểm liên tục của hàm ( ) thuộc đoạn [ , ].
2.1.2. Tính giới hạn của tổng nhờ tích phân không xác định
Bài toán và cách trình bày.
Cho = 1 + 2 + ⋯ + . Tính
→∞
lim
Lời giải.Ngoài cách tính trực tiếp tổng thông qua các công
thức về dãy cấp số cộng, cấp số nhân. Ta có thể tính bài toán này nhờ
tích phân sau:

Luanvanmaster.com
13
1. Biến đổi về dạng.
− − − − − −
= [ ( + )+ ( +2 )+⋯+ ( + )] = ∑ ( + ) .
−1
2. Chỉ ra hàm và chứng minh liên tục trên [ ; ].
3. Kết luận →∞lim= ∫ ( ) .
Trong thực hành chúng ta thương gặp các dạng đơn giản = 0, = 1. Khi đó các giai đoạn trên được rút gọn như sau:
1. Biến đổi về dạng.
1 1 2 1
= [ ( ) + ( )+⋯+ ( )] = ∑ ( ).
−1
2. Chỉ ra hàm f và chứng minh f liên tục trên [ ; ].
3. Kết luận →∞lim= ∫ ( ) .
Bài toán 2.8. Tính
lim = 1
+ 1
+ ⋯ + 1
.
+ 1 + 2 +
→∞
lim với = 1
(sin + sin 2
+ ⋯ + sin ( − 1)
).
→∞
lim với = (
1
+
1
+ ⋯ +
1
).
→+∞
√4 2 − 1 √4 2 − 22 √4 2 − 2
2 sin 2sin
2
sin
lim ( + + ⋯ + )
2
→+∞ 2 1 + cos2 ( ) 1 + cos2 ( ) 1 + cos2 ( )

Luanvanmaster.com
14
2.2. ÁP DỤNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲ NG THỨC
2.2.1 Bất đẳng thức tích phân
Bài toán 2.12. Chứng minh rằng
√2
≤ ∫4
(sin + cos ) ≤ .
4 0 4
Lời giải. Đặt
( ) = sin + cos = √2 sin( + ) .
4
cos ( + )và ′( ) ≥ 0 ∀ ∈ (0, ).
Ta có ′( )= √2
4 4
Do ( ) là hàm số tăng ∀ ∈ [0, ] , tức là (0) ≤ ( ) ≤ ( ).
4 4
⇒ 1 ≤ sin + cos ≤ √2.
⇒ 1 ∫ 4
≤ ∫ 4
∫ 4
.
(sin + cos ) ≤ √2
0 0 0
√2
.
⇒ ≤ ∫ 4
(sin + cos ) ≤
4 0 4
Bài toán 2.13. Chứng minh bất đẳng thức
1 +2 +3
∫2 > + , ∈
2 + 2 + 3
0
1
∫⁄
(∑(cos ) + sin ) <
5
,1< ∈ , ∈ ∗.
4
0
=1
1 +2
4
∫ tan> ( ) ,∈∗.
+ 2 4
0

Luanvanmaster.com
15
Bài toán 2.16. Cho ( ) liên tục trên đoạn [0;1], 0 ≤ ( ) ≤ 1∀ [0; 1]. Chứng minh rằng
1 1 2
∫ ( ) ≥ (∫ ( 2) ) .
0 0
√2
∫ sin 2 > 0.
0
< √( − 1) ( −
1
−1<∫ √ 2 +− ), >0.
0 2
Lời giải. Ta có
1
∫ √2 + − = ∫ √ + −2 . (1)
2
0 0
Theo bất đẳng thức Bunhiacovski, thì
1 2
√
−2 −2
2
(∫ + ) ≤ ∫ ∫( + ) .
0 0 0
Từ (1), ta có
2
1 1 −2
(∫
√ 2
+
−
) ≤ ( − 1) ( − − ).
2 2
0
< ( − 1) ( − 1
). (2)
2
Mặt khác, vì
> ,0< < .
√ 2
+ −

Luanvanmaster.com
16
Nên
∫ √ 2 + − > ∫= − 1. (3)
0 0
Từ (2) và (3), suy ra
1
−1<∫ √ 2 + − < √( − 1) ( − ).
2
0
Bài toán 2.19. Cho hàm số liên tục : [0,1] → [−1,1]. Chứng
minh rằng
1 1 2
≤ √1 − (∫ ( ) ) .
∫ √1 − 2( )
0 0
1 1
( + 1) ∫ ( − 1)2 ≤ ( − 1) ∫ ( 2 − 1) .
0 0
Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với
1 − 1 1
∫ ( − 1)2 ≤ ∫ ( − 1)( + 1) .
+ 1
0 0
Xét hàm số
=
− 1
, ′ =
2
∀ ∈ [0,1].
+ 1 ( +
2
1)
− 1
Do hàm số = đồng biến trên[0,1]
+ 1
(0) ≤ ( ) ≤ (1) ⟺ 0 ≤ ( ) ≤
− 1
.
+ 1
Áp dụng bất đẳng thức Diaz cho
( ) = − 1, ( ) = + 1 ≠ 0, ∀ ∈ [0,1]với = 0; =
− 1 + 1

Luanvanmaster.com
17
1
− 1
1
∫ ( −1)2 + .0∫ ( +1)2
+ 1
0 0
− 1 1
≤ ∫ ( − 1)( + 1)
+ 1 0
1 − 1 1
⟺∫ ( −1)2 ≤ ∫ ( 2 − 1)
+ 1
0 0
1 1
⟺ ( + 1) ∫ ( − 1)2 ≤ ( − 1) ∫ ( 2 − 1) .
0 0
Bài toán 2.21. Cho ≥ 0, ≥ 0. Chứng minh rằng
+ √ 2 + 1
√2+1+√2 − 1 + ln ≥ 2 .
+ √ 2
− 1
Bài toán 2.22. Cho 0 ≤ < 1 và ≥ 1. Chứng minh rằng arcsin + √ 2 − 1
≥ arctg√ 2 − 1 + .
Bài toán 2.23. Cho ≥ 0, ≥ 0. Chứng minh rằng
[ln( 2 + 1) − − 2] + 2 [arctg + arctg√ − 1 + √ − 1] ≥ 0.
Bài toán 2.24. Cho > 1, > 2. Chứng minh rằng
2 2 + 2 + 2 + √ 2 − 4 ≥ 4 + 4 ln + √ 2 − 4. 2
Bài toán 2.25. Cho ≥ 2, ≥ 3. Chứng minh rằng ( −2)√ 2−4 +3+ √ 2−9+4
+√ 2−9
≥ 2 + 9 ln
( − 2) + √ 2 − 4 + 13
.
Bài toán 2.26. Cho ∈ ∗. Chứng minh rằng
2 4 +3
√ <√1+√2+√3 +⋯+√ < √ .
3 6

Luanvanmaster.com
18
Bài toán 2.27. Cho số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng
( +1)
1.22.33… > 2 .
2−1
Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với
ln 1 + ln 22 + ln 33 + ⋯ + ln > ln
( +1)
− ln
2−1
2 4
⟺ 1 ln 1 + 2 ln 2 + 3 ln 3 + ⋯ + ln
2 2 1
> ln + ln − + .
2 2 4 4
2 2
(Chú ý rằng ∫ ln= ln − + )
2 4
Xét hàm số ( ) = ln liên tục, không âm trên [1, ]. Ta có
′( ) = ln + 1 > 0 ∀ > 1 và ′′( ) =
1
∀> 1.
⇒ ( ) là hàm lõm trên[1, ].
Chia đoạn [1, ] thành − 1 phần bằng nhau bởi các điểm
chia = ( = 1, ).Theo mệnh đề 1.2 ta có:
( −1)+ ( )
∑ ( − ) > ∫ ( ) .
2
−1
1
=2
( − 1) ln( − 1) + ln
⟺ ∑ > ∫ ln .
2
=2
1
Mà
( − 1) ln( − 1) + ln
∑
2
=2

Luanvanmaster.com
19
= 1 ln 1 + 2 ln 2 + 3 ln 3 + ⋯ + ln − 2 ln .
Và
2 2 1
∫ ln = ln − + .
2 4 4
1
Do đó
2 2 1
1 ln 1 + 2 ln 2 + 3 ln 3 + ⋯ + ln − > ln − + .
2 2 4 4
Hay
ln 1 + ln 22 + ln 33 + ⋯ + ln > ln
( +1) 2−1
− ln .
2 4
Suy ra ( +1)
1. 22. 33… > 2 (đpcm).
2−1
1 + ln( + √1 + 2) ≥ √1 + 2,∀ ∈ .
Lời giải. Xét hàm số
( ) = ln ( + √1 + 2) , ∈ .
Rõ ràng ( ) > 0 với mọi > 0 và ( ) = 0 khi = 0.
Do đó với < 0, ta có
∫ ln ( + √1 + 2) > 0.
0
Suy ra
ln ( + √1 + 2) | − ∫ > 0.
0
√1+ 2
0

Luanvanmaster.com
20
Hay
ln ( + √1 + 2) − √1 + 2|0 > 0.
Do đó
ln ( + √1 + 2) − √1 + 2 + 1 > 0.
Với < 0 thì
ln ( + √1 + 2) = − ln (− + √1 + 2) < 0.
Nên khi < 0, ta có:
0
∫ ln ( + √1 + 2) < 0.
và suy ra điều phải chứng minh.
Với = 0 thì bất đẳng thức thành đẳng thức.
Bài toán 2.29. Chứng minh rằng với > > 0, thì
( − )[2 − ( + )] < 2 ln
1 +
.
1 +
Lời giải. Nhận xét rằng, với mọi dương, thì
1
>1− .
1 +
Vậy nên, khi 0 < < , ta có:
∫ > ∫ (1 − ) .
1 +
hay
(ln|1 + |)| >( −
2
) | .
2

Luanvanmaster.com
21
Vậy nên
ln
1 +
>( − )−
2 − 2
.
1 + 2
Từ đó thu được
1 +
2 ln 1 + > ( − )[2 − ( + )].
Nhận xét rằng, ngoài việc áp dụng các kiến thức cơ bản đã
trình bày ở trên,để sử dụng tích phân xác định trong việc chứng minh
bất đẳng thức, ta còn sử dụng các quan trắc trực giác từ hình học
ln( + 1) < 1 + 12 + ⋯ + 1 , ∈ ∗.
! < +12 1− , ∈ ∗{1}.
2.2.2. Áp dụng trong bài toán cực trị
Bài toán 2.32. Cho trước∈ ∗.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
+2
( ) = ∫ tan − , ≥0.
+ 2
0
Lời giải. Ta có tan ≥ nên tan ≥ +1. Suy ra
+2
∫ tan≥ ∫ +1 = .
+ 2
0 0
Do đó:
+2
∫ tan − ≥ 0.
+ 2
0
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 khi = 0.

Luanvanmaster.com
22
Nhận xét: Nếu ta cố định cận = và đặt:
4
= ∫ 4
tan , ∈ ∗.
0
thì
1 +2
> ( ) ( ) .
+ 2 4
Bài toán 2.33. Cho trước∈ ∗.Tìm giá trị nhỏ nhất của
hàm số
+3 +2
( ) = ∫2 − 2 ( + ), ≥1.
+ 3 + 2
1
Bài toán 2.34. Cho hàm số ( ) liên tục và nghịch biến trên [0, ] và ∈ [0, ]. Chứng minh rằng
∫ ( ) ≥ ∫ ( ) .
0 0
Bài toán 2.35. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
( ) = 2 6 + 3 4 + 6 2 − 11 , ∈ [0,1]
Bài toán 2.36. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
( ) = sin3 + 3 sin − 4√sin .
với 2 ≤ ≤ (2 + 1) , ∈ .
Bài toán 2.37. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) = (3 + 2 ln 2) − 2 +1 − ln 2 2 , ∈ [0,2]
2.3. ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC, VẬT LÝ
2.3.1 Tính diện tích hình phẳng
Bài toán 2.38. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường = 2( ≥ 0), = 2 −

Luanvanmaster.com
23
2.3.2. Tính độ dài đường cong phẳng
Bài toán 2.41. Tính độ dài cung của đường cycloid có phương
trình = ( − sin )
{ = (1 − cos ) (0 ≤ ≤ 2 )
2.3.3 Tính thể tích vật thể
Bài toán 2.43. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường = 2 − 2 và = 0 khi:
1/ Xoay quanh trục 0 .
2/ Xoay quanh trục 0 .
2.3.4. Diện tích mặt tròn xoay
Bài toán 2.45. Tính diện tích mặt tạo nên khi quay đường
parabol { = 2 quanh trục 0 .
0≤ ≤1

Luanvanmaster.com
24
KẾT LUẬN
Dưới sự hướng dẫn của TS. Phan Đức Tuấn tôi đã hoàn thành
luận văn đúng tiến độ và đạt được mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu đề
ra. Cụ thể luận văn đã đạt được những kết quả sau:
1. Luận văn đã trình bày một cách rõ ràng, có hệ thống và tổng
quan về các kiến thức liên quan đến các công thức phép tính tích
phân.
2. Luận văn đã lựa chọn và phân loại hệ thống bài tập phong
phú từ cơ bản đến nâng cao.
3. Kết quả của luận văn nhằm giúp người đọc hiểu rõ hơn về
phép tính tích phân và luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên
tìm hiểu thêm về phép tính tích phân và áp dụng.
Tuy nhiên, do những hạn chế về mặt thời gian, kinh nghiệm và
luận văn cũng là bước đầu cho việc nghiên cứu khoa học đối với tôi
nên các kết quả đạt được trong luận văn cũng còn khá khiêm tốn.

Phép Tính Tích Phân Và Áp Dụng.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Phép Tính Tích Phân Và Áp Dụng.doc

Similar to Phép Tính Tích Phân Và Áp Dụng.doc (20)

More from Dịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562

More from Dịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Phép Tính Tích Phân Và Áp Dụng.doc