نظرية فيثاغورث

1. ‫فيثاغورس‬‫د‬ِ‫ل‬ ُ‫و‬‫العالم‬‫فيثاغورس‬‫في‬‫جزيرة‬‫ساموس‬(‫باإلنجليزية‬ :Samos)
‫التي‬‫تقع‬‫بالة‬ُ‫ق‬‫شواطئ‬،‫األناضول‬‫وكان‬‫ذلك‬‫في‬‫سنة‬560‫قبل‬،‫الميالد‬ّ‫د‬‫ع‬ُ‫ي‬‫و‬
‫فيثاغورس‬‫من‬‫أهم‬‫الفالسفة‬‫الذين‬‫ِموا‬‫د‬‫ق‬‫بعد‬‫الفيلسوف‬‫اليوناني‬‫ا‬‫لشهير‬
،‫سقراط‬‫وقد‬‫أدرك‬‫فيثاغورس‬‫األهمية‬‫البالغة‬‫لعلم‬،‫الرياضيات‬‫كما‬‫وأ‬‫ه‬ّ‫ن‬
‫استطاع‬‫الوصول‬‫للمثلث‬،‫الحسابي‬‫وجاء‬‫ذلك‬‫بعد‬‫قيام‬‫فيثاغورس‬‫ب‬‫التنقل‬‫بين‬
‫الحضارات‬‫القديمة‬‫وهو‬‫في‬‫ريعان‬،‫شبابه‬‫ومن‬‫هذه‬‫الحضارات‬:‫الحضارة‬
‫المصرية‬‫والحضارة‬‫البابلية؛‬ُ‫حيث‬‫ف‬ّ‫تعر‬‫من‬‫خالل‬‫تجواله‬‫على‬‫كيف‬‫ية‬‫دراسة‬
‫تراث‬‫هذه‬‫الحضارات‬،‫لألعداد‬‫وبعد‬‫جوالته‬‫العدة‬‫قرر‬‫العودة‬‫لـ‬(‫كروتون‬‫ا‬
Crotona) ‫في‬‫إيطاليا‬‫واالستقرار‬‫فيها؛‬ُ‫حيث‬‫أسس‬‫فيها‬‫مدرسته‬‫الخ‬‫اصة‬
‫الفلسفية‬‫التي‬‫تتناول‬‫مواضيع‬‫عدة؛‬‫كدراسة‬‫األعداد‬‫واألشكال‬‫الهند‬،‫سية‬
‫ووضع‬،‫النظريات‬‫وأهمها‬‫نظريته‬‫الشهيرة‬(‫نظرية‬‫فيثاغورس‬)‫التي‬‫ت‬‫ركت‬
‫بصمة‬‫واضحة‬‫في‬‫علم‬‫المثلثات؛‬ُ‫حيث‬‫ساعدت‬‫هذه‬‫النظرية‬‫على‬‫حل‬
‫المثلثات‬‫من‬‫خالل‬‫إيجاد‬‫الضلع‬‫الثالث‬‫في‬‫المثلث‬‫القائم‬،‫الزاوية‬‫و‬‫ر‬ّ‫ب‬ُ‫ع‬‫عن‬
‫هذه‬‫النظرية‬‫بالمعادلة‬‫التالية‬( :‫طول‬‫الوتر‬)²( =‫طول‬‫الضلع‬‫األول‬)²(+
‫طول‬‫الضلع‬‫الثاني‬)²،‫أما‬‫عن‬‫وفاة‬،‫فيثاغورس‬‫فكان‬‫ذلك‬‫في‬‫سنة‬480‫قبل‬
‫الميالد‬[.١[]٢[]٣]‫شرح‬‫نظرية‬‫فيثاغورس‬ّ‫إن‬‫ما‬‫ز‬ّ‫ي‬‫م‬ُ‫ي‬‫المثلث‬‫القائم‬‫الزا‬‫وية‬
‫عن‬‫غيره‬‫من‬‫المثلثات‬‫األخرى‬‫هو‬‫وجود‬‫زاوية‬‫قائمة‬‫قياسها‬90،‫درجة‬
‫ويمكن‬‫تعريفه‬‫أيضا‬‫على‬‫ه‬ّ‫ن‬‫أ‬‫المثلث‬‫الذي‬‫فيه‬‫مربع‬‫طول‬‫أحد‬‫جوانب‬‫ه‬‫مساو‬
‫تماما‬‫لمجموع‬‫مربعي‬‫الجانبين‬،‫اآلخرين‬‫طلق‬ُ‫ي‬‫و‬‫ى‬ّ‫م‬‫س‬ُ‫م‬‫الوتر‬‫على‬‫أطو‬‫ال‬
‫جوانب‬‫المثلث‬،‫القائم‬(‫وبمعنى‬‫آخر‬‫الوتر‬:‫هو‬‫الجانب‬‫الذي‬‫قابل‬ُ‫ي‬‫الز‬‫اوية‬
‫القائمة‬[.)٣[]٤]‫ومن‬‫األمثلة‬‫التي‬‫توضح‬‫كيفية‬‫استخدام‬‫نظرية‬‫فيثاغ‬‫ورس‬
‫للمثلث‬‫القائم‬‫ما‬‫يلي‬:‫مثال‬1:‫إذا‬‫علمت‬‫أن‬‫أطوال‬‫الجوانب‬‫التالية‬‫مثل‬ُ‫ت‬‫أطوال‬
‫جوانب‬‫مثلث‬‫وهي‬8،‫سم‬15،‫سم‬17،‫سم‬‫فهل‬‫المثلث‬‫قائم‬‫الزاوية؟‬[٣]‫الحل‬:
‫ال‬‫يوجد‬‫معلومة‬‫في‬‫السؤال‬‫تبين‬‫وجود‬‫زاوية‬‫قياسها‬90،‫درجة‬‫لذلك‬‫نلجأ‬
‫لنظرية‬‫فيثاغورس‬‫وهي‬(‫مربع‬‫طول‬‫أحد‬‫جوانب‬‫المثلث‬(‫الوتر‬)‫مساو‬‫ت‬‫ماما‬
‫لمجموع‬‫مربعي‬‫الجانبين‬‫اآلخرين‬( .)17)²=289،(15)²=225،

2. (18)²=64.289=225+64.‫إذن‬‫المثلث‬‫قائم‬‫الزاوية‬.‫مثال‬2:‫أ‬‫ب‬‫ج‬
‫مثلث‬‫قائم‬‫الزاوية‬‫في‬،‫ب‬‫فيه‬‫أ‬‫ب‬=1،‫سم‬‫ب‬‫ج‬=1،‫سم‬‫جد‬‫طول‬‫الضلع‬‫أ‬
‫ج؟‬[٣]‫الحل‬:‫من‬‫خالل‬‫الرسم‬‫التقريبي‬‫للمثلث‬‫وتسمية‬،‫رؤوسه‬‫نالح‬‫ظ‬ّ‫بأن‬
‫الضلع‬‫أج‬‫قابل‬ُ‫ي‬‫الزاوية‬‫القائمة‬‫ب‬‫وبالتالي‬‫فإن‬‫أ‬‫ج‬‫هو‬،‫الوتر‬‫وبن‬‫اء‬‫عليه‬
ّ‫فإن‬( :‫أ‬‫ج‬)²( =‫أ‬‫ب‬)²(+‫ب‬‫ج‬)²( .‫أ‬‫ج‬)²( =1)²(+1)²( .‫أ‬‫ج‬)²=2‫وبأخذ‬
‫الجذر‬‫التربيعي‬،‫للطرفين‬‫ح‬ِ‫ب‬‫ص‬ُ‫ت‬‫النتيجة‬:‫طول‬‫أج‬‫يساوي‬‫الجذر‬‫ا‬‫لتربيعي‬
‫للعدد‬2،‫ويساوي‬‫تقريبا‬1.41421‫مثال‬3:‫ث‬ّ‫المثل‬‫س‬‫ص‬‫ع‬‫قائم‬‫الزاوية‬‫في‬
،‫ص‬‫فيه‬‫طول‬‫الضلع‬‫ص‬‫ع‬‫يساوي‬12،‫م‬‫وطول‬‫الضلع‬‫س‬‫ص‬‫يساوي‬5،‫م‬
‫جد‬‫طول‬‫لع‬ّ‫ض‬‫ال‬‫س‬‫ع‬[.٥]ّ‫ل‬‫الح‬:‫بما‬ّ‫أن‬‫ث‬ّ‫المثل‬‫قائم‬‫الزاوية‬‫عند‬،‫ب‬ّ‫فإن‬
‫الضلع‬‫المقابل‬‫لها‬‫هو‬‫أ‬‫ج؛‬‫وهو‬،‫الوتر‬‫ى‬ّ‫ت‬‫وح‬‫نجد‬‫طول‬‫هذا‬‫لع‬ّ‫ض‬‫ال‬‫بع‬ّ‫ت‬‫ن‬
‫الخطوات‬‫اآلتية‬:‫ق‬ّ‫ب‬‫ط‬ُ‫ن‬‫ة‬ّ‫ي‬‫نظر‬،‫فيثاغورس‬‫وهي‬( :‫طول‬‫الوتر‬)²( =‫طول‬
‫الضلع‬‫األول‬)²(+‫طول‬‫الضلع‬‫الثاني‬)²‫ض‬ ّ‫نعو‬‫طول‬‫الضلعين‬‫س‬،‫ص‬‫ص‬
،‫ع‬‫إليجاد‬‫الوتر‬( :‫طول‬‫الوتر‬)²(=5)²(+12)²(‫طول‬‫الوتر‬)²=25+144
(‫طول‬‫الوتر‬)²=169،‫وبأخذ‬‫الجذر‬ّ‫التربيعي‬‫لكال‬،‫رفين‬ّ‫الط‬‫تصبح‬‫ال‬‫نتيجة‬:
‫طول‬‫الضلع‬‫س‬‫ع‬=13‫م‬.‫مثال‬4:‫أ‬‫ب‬‫ج‬‫ث‬ّ‫مثل‬‫قائم‬‫الزاوية‬‫عند‬،‫ب‬‫فيه‬‫طول‬
‫الضلع‬‫أ‬‫ب‬3،‫دسم‬‫وطول‬‫الضلع‬‫ب‬‫ج‬4،‫دسم‬‫جد‬‫طول‬‫الوتر‬.ّ‫ل‬‫الح‬:‫ق‬ّ‫ب‬‫نط‬
‫ة‬ّ‫ي‬‫نظر‬،‫فيثاغورس‬‫وهي‬( :‫طول‬‫الوتر‬)²(=‫طول‬‫الضلع‬‫األول‬)²(+‫طول‬
‫الضلع‬‫الثاني‬)².‫ض‬ ّ‫نعو‬‫طول‬‫الضلعين‬‫أ‬،‫ب‬‫وطول‬‫ب‬،‫ج‬‫إليجاد‬‫الوتر‬.
(‫الوتر‬)²(=3)²(+4)²( .‫الوتر‬)²=9+16( .‫الوتر‬)²=25‫وبأخذ‬‫الجذر‬
‫التربيعي‬،‫للطرفين‬‫ج‬ُ‫ت‬‫ن‬‫ي‬ّ‫أن‬:‫طول‬‫طول‬‫الوتر‬=5‫دسم‬.‫مثال‬5:‫ث‬ّ‫مثل‬‫قائم‬
،‫الزاوية‬‫فيه‬‫طول‬‫الضلع‬‫األول‬‫يساوي‬12،‫سم‬‫وطول‬‫الوتر‬‫يساوي‬15،‫سم‬
‫جد‬‫طول‬‫الضلع‬‫المجهول‬[.٥]ّ‫ل‬‫الح‬:‫ض‬ ّ‫نعو‬‫أطوال‬‫األضالع‬‫المعطاة‬‫في‬
‫نظرية‬‫فيثاغورس‬.‫ة‬ّ‫ي‬‫نظر‬‫فيثاغورس‬( :‫طول‬‫الوتر‬)²(=‫طول‬‫الضلع‬
‫األول‬)²(+‫طول‬‫الضلع‬‫الثاني‬)².‫ض‬ ّ‫نعو‬‫قيمة‬‫الوتر‬‫لع‬ّ‫ض‬‫وال‬‫األول‬‫في‬
‫القانون‬(15)²(=12)²(+‫طول‬‫الضلع‬‫الثاني‬)²225=144(+‫طول‬‫الضلع‬
‫الثاني‬)²‫بطرح‬‫العدد‬144‫من‬،‫الطرفين‬‫صبح‬ُ‫ت‬‫المعادلة‬:81(=‫طول‬‫الضلع‬

3. ‫الثاني‬)²‫وبأخذ‬‫الجذر‬ّ‫التربيعي‬،‫للطرفين‬‫تكون‬‫النتيجة‬:‫طول‬‫الضل‬‫ع‬‫الثاني‬=
9‫سم‬.‫الهندسة‬‫عتبر‬ُ‫ت‬‫الهندسة‬‫والجبر‬‫إحدى‬‫أهم‬‫أفرع‬‫علم‬‫الرياضيات‬‫التي‬
‫ترتبط‬‫فيما‬‫بينها‬‫بشكل‬‫متين؛‬‫إذ‬ّ‫إن‬‫علم‬‫الهندسة‬‫ق‬ّ‫ب‬‫ط‬ُ‫ي‬‫علم‬‫الجب‬‫ر؛‬‫وذلك‬
‫لمواكبة‬‫الحياة‬‫العملية‬‫التي‬‫ب‬ّ‫ج‬‫يتو‬‫فيها‬‫وجود‬‫مثل‬‫هذه‬‫العالقات‬‫الر‬،‫ياضية‬
ّ‫د‬‫ع‬ُ‫ت‬‫و‬‫الحضارة‬‫البابلية‬‫من‬‫أهم‬‫الحضارات‬‫التي‬‫كان‬‫لها‬‫تأثير‬‫كبير‬‫في‬‫علم‬
،‫الهندسة‬‫فقد‬‫استطاع‬‫البابليون‬‫بحضارتهم‬‫وتاريخهم‬‫العريق‬‫معرف‬‫ة‬‫بعض‬
‫ميزات‬‫األشكال‬‫والمجسمات‬‫الهندسية؛‬‫كحجوم‬‫المخاريط‬‫ومتوازيات‬
،‫المستطيالت‬‫وغيرها‬‫من‬،‫المجسمات‬‫كما‬‫وأنهم‬‫استطاعوا‬‫حساب‬‫مساحة‬
‫ومحيط‬‫الشكل‬،‫الدائري‬‫ولم‬‫تتوقف‬‫اكتشافاتهم‬‫إلى‬‫هذا‬‫الحد‬‫بل‬‫فاق‬‫ت‬‫ذلك؛‬
‫حيث‬‫أظهرت‬‫بعض‬‫النصوص‬‫القديمة‬‫في‬‫ذاك‬‫الوق‬‫ت‬‫مسائل‬‫تبين‬‫اس‬‫تخدامهم‬
‫لنظرية‬‫فيثاغورس‬‫قبل‬‫زمن‬‫فيثاغورس‬،‫بكثير‬‫ومن‬‫هذه‬‫المسائل‬(‫باب‬
‫مستطيل‬‫طوله‬40‫وعرضه‬10‫فما‬‫هو‬‫قطره‬)،‫وكذلك‬‫مسألة‬‫أخرى‬‫ّث‬‫د‬‫تتح‬
‫عن‬(‫حقل‬‫على‬‫شكل‬‫شبه‬‫منحرف‬‫ب‬‫طل‬ُ‫ي‬‫فيه‬‫إيجاد‬‫المساحة‬‫بعد‬‫إيجاد‬
‫االرتفاع‬‫المطلوب‬)،‫كما‬‫وأنه‬‫تم‬‫اكتشاف‬‫مسألة‬‫هندسية‬‫جبرية؛‬‫حيث‬‫ك‬‫ان‬
‫مضمون‬‫هذه‬‫المسألة‬‫هو‬‫ف‬ُّ‫التعر‬‫على‬‫ميزات‬‫المثلث‬‫القائم‬‫الزاوية‬(‫نظر‬‫ية‬
‫فيثاغورس‬)،‫وتشابه‬‫المثلثات‬(‫نظرية‬‫إقليدس‬)،‫وكان‬‫ذلك‬‫في‬‫سن‬‫ة‬2000‫قبل‬
،‫الميالد‬‫وهذا‬‫يعني‬‫أن‬‫تاريخ‬‫هذه‬‫المسألة‬‫قبل‬‫فترة‬‫إقليدس‬‫بـ‬1700‫سنة‬[.٦‫ا‬