OnlineMatching勉強会第一回資料

1. Online matching and ad allocation
勉強会 第⼀一回
リクルートテクノロジーズ
坪坂 正志
2016/2/16

2. マッチング問題について
• 与えられたグラフに対して頂点を共有しないような枝の集合M
をグラフGのマッチングと呼ぶ
• たとえば下のグラフの状況において、学⽣生A,学⽣生Bに条件にあ
い時給の⾼高いバイトAを推薦するとどちらかが落ちてしまうが、
学⽣生BにバイトB、学⽣生AにバイトAを推薦することによって⼆二
⼈人ともマッチング可能となる
バイトA, 時給1500円, 英語⼒力必要
バイトB, 時給1400円, ⼥女性のみ
学⽣生A, TOEIC 990, 男性
学⽣生B, TOEIC 750, ⼥女性

3. 広告との関係性
• ネット広告においてはユーザがページにアクセスするたびにアドネット
ワーク/DSPなどなんらかの広告プラットフォームにリクエストが発⽣生す
る。広告プラットフォームはリクエストに対して広告主の広告を⼀一つ以上
選択してユーザに表⽰示する
• プラットフォームは広告主の予算上限, bid価格、ユーザの広告に対する
CTRなどを加味してリクエストのたびに配信する必要がある
• 既存のマッチング問題との違いとして
• あらかじめ全てのリクエストがわかっておらずリクエストのたびに配信する必要が
有る
• データ量が膨⼤大でオフラインの最適化では計算量的に解くのが困難
• この課題を克服するため近年広告領域でOnline matchingのテクニックが
発達してきた
• この教科書ではOnline matchingとAd allocationについて問題のパターン
とそこで使われているテクニックについて扱う

4. オフラインでの既存研究
• ⼆二部グラフ上の最⼤大マッチングを計算する⽅方法については1957
年には知られている (Berge 1957)
• 基本的にはグラフから増加路を⾒見つけていくアルゴリズムとなる
• 現在知られている最も早いアルゴリズムの時間計算量は𝑂( 𝑉𝐸)である
• グラフの枝に重み付けがある問題の解法としてはハンガリアン
アルゴリズムという⽅方法が古くから知られている
• 経済学においては安定マッチングを⾒見つけるのに⽤用いられてお
り、応⽤用として病棟の割り当てや腎臓の移植のドナーの決定な
どがある
• 2012年のノーベル経済学賞をRoth, Shapleyがこのトピックで受賞した

5. 増加路 (augmenting paths)
• マッチングMの増加路とは奇数⻑⾧長のパスで枝がMに含まれない枝
=>Mに含まれる枝=>…=>Mに含まれない枝で終わるパスを呼ぶ
• また増加路の端点はマッチングに含まれない
左のマッチングMの増加路

6. Bergeʼ’s theorem
• マッチングMが最⼤大マッチングとなる必要⼗十分条件はMに増加
路が存在しない

7. 極⼤大マッチングについて
• Gのマッチングでこれ以上枝を追加できないのを極⼤大マッチン
グ(maximal matching)とよぶ
• 極⼤大マッチングであるからといって最⼤大マッチングとは限らな
い
極⼤大マッチングであるが最⼤大マッチングでない例 極⼤大マッチングかつ最⼤大マッチングの例

8. 極⼤大マッチングに関する定理
(Theorem 1.2)
• Mが極⼤大マッチング、M*が最⼤大マッチングであれば
• 𝑀 ≥
(
)
|𝑀∗
|が成⽴立する
• Mにはこれ以上枝を追加できないためM*の枝の頂点の少なくと
もどちらかはMに含まれる
• このためMの頂点の数 >= M*の枝の数=1/2 |M*|

9. Online input
• オンラインのセッティングでは特に⼆二部グラフを考える
• ⽚片側のUは既知で、オンラインでVが到着して、どのUに接続するかが明ら
かになる
• このセッティングだと既存の増加路を求めるなどのアルゴリズムは利⽤用できないの
でオンライン特有の解法が必要になってくる
U (既知) V (未知)
Vの⼊入⼒力はオンラインで到着するとUのどの
ノードにマッチするかが明らかになる

10. 以降の章⽴立てについて
• Chapter 2 Classification : Problems and models
• 以降で紹介する問題と⼊入⼒力のモデルについての概要
• Chapter 3-‑8
• 個別の具体的な問題についての解説
• Chapter 3 Online Bipartite matching
• Chapter 4 Online vertex-‑weighted bipartite matching
• Chapter 5 Adwords
• Chapter 6 The online primal-‑dual view
• Chapter 7 Display Ads
• Chapter 8 Online submodular welfare maximization
• Chapter 9 Applications
• 理論に基づいたヒューリスティックや具体的な応⽤用について
• Chapter 10 Related models and future directions

11. Chapter 2
Classification : Problems and models
• 本章の構成
• 問題の種類について
• ⼊入⼒力についての仮定
• 競合⽐比について

12. (1) Online bipartite matching
• 既存の⼆二部グラフマッチングと⽬目的関数は同じ
• ⽚片側のノードVがオンラインで与えられて、⼀一度決定した割当
は変更できないところがオフラインとの最⼤大の違い
U (既知) V (未知、オンライン)

13. (2)
Online vertex-‑weighted bipartite matching
• Online bipartite matchingの各頂点に重みがついていてマッチ
した重みの合計を最⼤大化するバージョン
• すべての頂点の重みを1とすればOnline bipartite matchingにな
る

14. (3) Adwords
• 著者らにより2007年に提案されたモデル
• 各𝑢 ∈ 𝑈は既知の予算𝐵0を持ち、各edge(u,v)はbid_̲uvを持つ
• ノードuはバジェットを使い切るとそれ以上マッチできなくな
る
• ⽬目的関数はbid額の合計である
• Small bids assumption
• ビッドの⾦金額は⼗十分⼩小さいと仮定する
• ⼗十分⼩小さいの定義は後の詳細で述べる

15. (4) Display ads
• 各広告ノードuは整数値のキャパシティ𝑐0を持つ (CPM課⾦金で
あれば何回表⽰示できるかを意味する)
• 各インプレッションにおいて 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸は重み𝑤0,5をもっている
(例えばこれは⼀一回表⽰示した時の期待CTRなどを意味する)
• ⽬目的関数はマッチした重みの合計を最⼤大化することである(これ
は例えばアドネットワークのクリックの合計数の最⼤大化などを
意味する)
• またすでにマッチした枝を破棄できるような問題設定をfree-‑
disposalとよぶ
• これはディスプレイ広告においては余計なインプレッションを発⽣生さ
せることに相当する

16. (5)
Online submodular welfare maximization
• 各頂点uに対して単調なsubmodular関数 𝑓0: 29
→ 𝑅<
を定める
• ⽬目的関数としてはuに対して割り当てられた頂点集合を𝑉0とし
たとき∑ 𝑓0(𝑉0)0 を最適化する
a
b
c
x
U V
y
z
𝑓> 𝑥, 𝑦 + 𝑓B 𝑧 + 𝑓D(∅)
左のグラフにおいては以下が⽬目的
関数の値となる

17. 各問題の関係性

18. Input model
• 頂点Vがどのようにくるかについてモデル化する
• Adversarial order
• グラフおよび順番に対してなんの仮定も置かないモデル、グラフおよ
びvのくる順番はアルゴリズムに対して最悪結果となるような順番もあ
り得る
• Random order
• グラフのとりうる形状は任意のものを考えるが、vの到着する順番はラ
ンダムに選択される

19. Input model
• Unknown IID
• 隣接するUの頂点、枝の重みもしくはbid額が同⼀一の独⽴立な確率分布D
に基づいて⽣生成される
• やってくる⼊入⼒力の頂点vは分布Dから⽣生成された隣接頂点および重みを
もってやってくる
• Known IID
• Unknown IIDとおなじ、ただし分布Dが既知

20. Competitive ratio (競合⽐比)
• オフラインでグラフの形状がわかっている場合に対してオフラ
インでの最適値と、オンラインアルゴリズムが達成できる値の
⽐比率を競合⽐比と呼ぶ
• ⼊入⼒力がAdversarial modelの場合
• min
I,JKLMK
O
PQR R
STU R
, すべてのグラフ、Vの順序に対する⽐比率の最⼩小のものと
なる
• またアルゴリズムがランダムアルゴリズムの場合 min
I,JKLMK
O
V[PQR R ]
STU R
, ア
ルゴリズムの期待値との⽐比率になる
• ⼊入⼒力がRandomの場合
• min
I
V[PQR R ]
STU R
と任意のグラフに対する⽐比率となる

21. Competitive ratio (競合⽐比)
• IIDモデルの場合
• min
Y
𝐸[
PQR R
STU R
]と分布に対しての最⼩小値で表現される
• 各⼊入⼒力間での競合⽐比の値の関係性は
• Theorem 2.1
• C.R(Adv) <= C.R (RO) <= C.R (Unk-‑IID) <= C.R (K-‑IID)
• で表される

22. 各種問題に対する競合⽐比