Pruebas de las Olimpíadas Juveniles de Matemática en Venezuela, aplicadas a estudiantes de bachillerato en el año 2011. Incluye las soluciones a los problemas.

1. ÇÐ ÑÔ × Å Ø Ñ Ø
× ¾¼½½
´ÇŸ ÇŸ ÇÅ ¸ ÇÁŸ ÁÅǵ
ÈÖÓ Ð Ñ × Ý ËÓÐÙ
ÓÒ ×
ÂÓ× À Ö Æ ØÓ Ë
Ê Ð Ë Ò
Þ Ä ÑÓÒ
Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ

3. Ò
Ò Ö Ð
ÁÒØÖÓ Ù
Ò ½
½º ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¿
½º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½º½º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¾º ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
½º¾º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½º¿º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
½º¿º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾º ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð ¾
¾º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾º½º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼
¾º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
¾º¾º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
¾º¿º ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
¾º¿º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾
¾º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿
¾º º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¾º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¾º º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º ÈÖÙ Ò Ð ¿
¿º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º½º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º¾º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º¿º ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º¿º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
¿º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿º º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

4. ¿º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿º º½º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ
º½º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¾º ËÓÐÙ
ÓÒ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º ËÓÐÙ
ÓÒ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø
ÒØÖÓ Ñ Ö
Ý Ð Ö ¿
º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º¾º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö
Ò Å Ø Ñ Ø
½
º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¾º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ
ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø
½
º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¾º ËÓÐÙ
ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ÐÓ× Ö Ó
×ØÙ ÒØ × ÈÖ Ñ Ó× Ò Ð Ò Ð Æ
ÓÒ Ð Ð ÇÂÅ ¾¼½½ ¾

5. ÁÒØÖÓ Ù
Ò
Ä × ÇÐ ÑÔ × Å Ø Ñ Ø
× ×ÓÒ
ÓÑÔ Ø Ò
× Ö × ÔÖ Ò
Ô ÐÑ ÒØ ¹
Ú Ò × ×
Ù Ð Ð Ñ ÒØ Ð Ý ×
ÙÒ Ö º
ØÙ ÐÑ ÒØ ×Ø
Ø Ú ×
ÜØ Ò Ó ÔÓÖ ØÓ Ó Ð ÑÙÒ Ó¸ Ó ×Ù Ö Ò
Ø Ú Ò Ð ÔÓÔÙÐ Ö Þ
Ò
Ð × Ñ Ø Ñ Ø
× Ý Ò Ð Ø
Ò Ú Ò ×
ÓÒ Ø Ð ÒØÓ Ô Ö Ð ×ØÙ Ó ×Ø
Ò
º
Ð ÔÖ × ÒØ Ð ÖÓ Ö Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÖÓÔÙ ×ØÓ× Ò Ð ÇÐ ÑÔ ÂÙÚ Ò Ð
Å Ø Ñ Ø
׸ ÇÂÅ ¾¼½½º Ì Ñ Ò ÔÖ × ÒØ ÑÓ× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ð × ØÖ ×
Óѹ
Ô Ø Ò
× ÒØ ÖÒ
ÓÒ Ð × Ð ×
Ù Ð × × ×Ø ÑÓ× ÙÖ ÒØ ×Ø Ó¸ Ð 52a
ÇÐ ÑÔ
ÁÒØ ÖÒ
ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø
׸ ÁÅǸ
Ð Ö Ò Ñ×Ø Ö Ñ¸ È × × Ó׸ Ð
½¾ Ð ¾ ÂÙÐ Óº Ä ÁÁÁ ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø
ÒØÖÓ Ñ Ö
Ý Ð Ö ¸
ÇÅ ¸
Ð Ö Ò ÓÐ Ñ ¸ Å Ü
Ó¸ Ð ½ Ð ¾ Å ÝÓ Ý Ð ÎÁ ÇÐ ÑÔ
Á ÖÓ Ñ Ö
Ò Å Ø Ñ Ø
׸ ÇÁŸ
Ð Ö Ò Ë Ò ÂÓ× ¸ Ó×Ø Ê
¸ Ð ¾¿
Ë ÔØ Ñ Ö Ð ½ Ç
ØÙ Ö º ÙÒ ×Ø × ØÖ ×
ÓÑÔ Ø Ò
× ÒØ ÖÒ
ÓÒ ¹
Ð ×
ÓÒ×Ø Ó× Ü Ñ Ò ×¸ ÔÖ × ÒØ Ó× Ò ×
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ׺ ÔÖÙ Ø Ò ¿
ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ÐÓ× Ô ÖØ
Ô ÒØ × ×ÔÓÒ Ò
Ù ØÖÓ ÓÖ × Ý Ñ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺
Ð Ú ÐÓÖ
ÔÖ ÙÒØ × ÔÙÒØÓ׸ Ô Ö ÙÒ Ñ Ü ÑÓ ÔÓ× Ð ¾ ÔÙÒØÓ× Ò
Ð
ÓÑÔ Ø Ò
º ÄÓ× Ò ÓÖ × Ö
Ò Ñ ÐÐ × ÓÖÓ¸ ÔÐ Ø Ó ÖÓÒ
Ý Ñ Ò
Ò
ÓÒÓÖ
¸ × Ò × ×Ù × ÑÔ Óº Ò ÐÓ× ØÖ × Ú ÒØÓ× ÒÙ ×ØÖÓ× ÐÙÑÒÓ× Ò ÖÓÒ
ÔÖ Ñ Ó׺ Ó È Ð
ÓÐ Ó ÄÓ× À ÔÓ
ÑÔ ØÓ× ÐÓ× ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ׸ Ò
Å Ò
Ò ÀÓÒÓÖ
Ò Ð ÁÅÇ Ý Å ÐÐ ÖÓÒ
Ò Ð ÇÁź ÖÐÓ× Ä Ñ × Ð
ÓÐ Ó ÁÒ Ô Ò Ò
ÖÕÙ × Ñ ØÓ¸ Ò Å Ò
Ò ÀÓÒÓÖ
Ò Ð ÁÅǺ ÊÙ ¹
Ñ ÖÝ ÊÓ ×¸ Ð
ÓÐ Ó Ú Ò È ×ØÓÖ ÖÕÙ × Ñ ØÓ¸ Ò Å ÐÐ ÔÐ Ø
Ò Ð ÇÅ Ý Å Ò
Ò ÀÓÒÓÖ
Ò Ð ÇÁź Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð¸ Ð
ÓÐ Ó Ë Ò
Ä Þ ÖÓ ÙÑ Ò ¸ Ò Å ÐÐ ÖÓÒ
Ò Ð ÇÅ Ý Å Ò
Ò ÀÓÒÓÖ
Ò
Ð ÇÁź Ì Ñ Ò Ò
ÐÙ ÑÓ× Ò ×Ø Ð ÖÓ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ð ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ ¹
Ø
Å ÝÓ¸
ÓÑÔ Ø Ò
ÔÓÖ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
ÕÙ × ÔÐ ÒØ Ó× Ò Ú Ð × Ô Ö
ÐÙÑÒÓ× ÒÓ Ñ ÝÓÖ × ½¿ Ý ½ Ó× Ý
Ö
Ø Ö ÖÓ Ñ Ö
ÒÓº Ö
ÑÓ×
Ð ÙÒ
Ò ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø
Ö ÒØ Ò ¸ ÓÖ Ò Þ ÓÖ × ×Ø
ÓÑÔ ¹
Ø Ò
¸ ÔÓÖ Ô ÖÑ Ø ÖÒÓ× ÔÙ Ð
Ö ÕÙ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ×Ù× ×ÓÐÙ
ÓÒ ×º Ð Ò Ð Ð
Ð ÖÓ Ô Ö
Ð Ð ×Ø ÐÙÑÒÓ× Ò ÓÖ × Ò ×Ø
ÓÑÔ Ø Ò
Ý ÐÓ× ÔÖ Ñ Ó× ÕÙ
Ó ØÙÚ ÖÓÒº
Ä ÇÂÅ
ÓÒ×Ø ØÖ × Ø Ô × Ó ÔÖ٠׺ Ä ÔÖ Ñ Ö ÐÐ × × Ð Ò ÙÖÓ Å ¹

6. Ø Ñ Ø
Ó¸ ÙÒ Ü Ñ Ò ØÖ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ × × Ð
Ò × ÑÔÐ ¸ ÕÙ Ù ÔÖ × ÒØ Ó
ÔÓÖ º ×ØÙ ÒØ × ÔÖÓÚ Ò ÒØ × ¾½ ×Ø Ó× Ð Ô ×º Ä × ÙÒ Ø Ô Ð
ÓÑÔ Ø Ò
× Ð ÈÖÙ Ò Ð Ê ÓÒ Ðº Ä Ñ ×Ñ
ÓÒ×Ø ÙÒ Ü Ñ Ò
Ò
Ó
ÔÖÓ Ð Ñ × × ÖÖÓÐÐÓ Ý
ÓÑÔ Ø Ò ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× ÕÙ ÕÙ ÖÓÒ Ù
Ó× Ò Ð Þ
ÔÓÖ
ÒØÓ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ð Ò ÙÖÓ Å Ø Ñ Ø
Óº ×Ø ÔÖÙ × ÓÖ Ò Þ Ò
×Ø Ó ÕÙ Ô ÖØ
Ô Ò Ð ÇÂÅ Ý ÐÓ× Ò ÓÖ × Ö
Ò Ñ ÐÐ × ÓÖÓ¸ ÔÐ Ø Ý
ÖÓÒ
º Ä Ø Ö
Ö Ý ÐØ Ñ × × Ð ÈÖÙ Ò Ð Æ
ÓÒ Ð¸ Ò ÐÐ Ô ÖØ
Ô Ò ÐÓ×
ÐÙÑÒÓ× Ò ÓÖ × Ñ ÐÐ ÓÖÓ Ò Ð ÈÖÙ Ò Ð Ê ÓÒ Ðº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö
× Ð
ÓÑÔ Ø Ò
ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÔÖÙ Ò ×Ù×
ÓÐ Ó׺ Ä ÈÖÙ
Ê ÓÒ Ð Ð ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒØÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× ×ØÙ ÒØ ×
×Ø Ó¸ Ò ÙÒ ×
ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ð
ÓÒ ÔÓÖ Ð
ÓÓÖ Ò ÓÖ ÐÓ
к È Ö Ð Ò Ð Æ
ÓÒ Ð × Ð
Ó ÙÒ × Ý ÐÐ × ÓÖ Ò Þ Ð Ú ÒØÓ¸ Ô ÖÑ Ø Ò Ó ÐÓ× Ô ÖØ
Ô ÒØ ×¸ ×Ù×
ÔÖÓ ×ÓÖ × Ý Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ × ×ØÖ
Ö Ð ÞÓ× Ñ ×Ø Ý
ÓÑÔ ÖØ Ö ÙÒ ÜÔ Ö Ò
Ù
Ø Ú ÒÖ ÕÙ
ÓÖ º Ä ÈÖÙ Ò Ð Æ
ÓÒ Ð ¾¼½½ × Ö Ð Þ Ò Ð ÍÒ Ú Ö¹
× Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸ Ò Ö
× Ý Ô ÖØ
Ô ÖÓÒ ½¼ ÐÙÑÒÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ó ½
×Ø Ó׺
×Ø Ó Ö
ÓÒ×Ø × Ø
Ô ØÙÐÓ׸ Ò ÐÓ× ØÖ × ÔÖ Ñ ÖÓ× × ×ØÙ Ò ÐÓ× ÔÖÓ¹
Ð Ñ × Ð ÇŸ
Ò Ó ÙÒ
Ô ØÙÐÓ
× Ð
ÓÑÔ Ø Ò
º ÄÓ×
ÐØ ÑÓ×
Ù ØÖÓ
Ô ØÙÐÓ× Ú Ö× Ò ×Ó Ö Ð ×
ÓÑÔ Ø Ò
× ÒØ ÖÒ
ÓÒ Ð ×º Ò ÐÐÓ×
× ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ×Ù× ×ÓÐÙ
ÓÒ ×º Ð Ò Ð Ð Ð ÖÓ Ò
ÐÙ ÑÓ× ÙÒ ÐÓ× ¹
Ö Ó
ÓÒ
ÔØÓ× Ñ Ø Ñ Ø
Ó× ÕÙ ×ÓÒ ÙØ Ð Þ Ó× ÐÓ× Ð Ö Ó Ð Ø ÜØÓº ×Ô Ö ÑÓ×
ÕÙ ×Ø Ð ÖÓ × Ö Ò ÙØ Ð Ø ÒØÓ Ô Ö ÔÖÓ ×ÓÖ ×
ÓÑÓ Ô Ö ×ØÙ ÒØ ×¸
Ý ÕÙ Ð × Ô ÖÑ Ø
ÓÒÓ
Ö Ð × Ñ Ø Ñ Ø
× × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú ×Ø ÒØ Ö × ÒØ Ý
ÒØÖ Ø Ò Óº
ÔÖÓÚ
ÑÓ× Ð ÓÔÓÖØÙÒ Ô Ö Ö
Ö ÒÙ ×ØÖÓ× Ô ØÖÓ
Ò ÓÖ ×¸ Ò
×Ô
Ð Ð ÙÒ
Ò ÑÔÖ × × ÈÓÐ Ö¸ Ð Ò
Ó ÒØÖ Ð Î Ò ÞÙ Ð ¸ Ð
¹
Ñ Î Ò ÞÓÐ Ò Ò
× ×
׸ Å Ø Ñ Ø
× Ý Æ ØÙÖ Ð ×¸ Ð
ÙÐØ
Ò
× Ð Í Î ÙÒØÓ Ð ÙÒ
Ò Ñ Ó× Ò
׸ Ð ÍÒ Ú Ö×
Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸Ð ÍÒ Ú Ö× Ê Ð ÍÖ Ò Ø ¸
ÙÑÙÐ ÓÖ × ÙÒ
Ò¸Ý ÌÖ Ò×¹
ÔÓÖØ Ý
Ù
Ó¸ ÅÊÏ Ý Ð ÙÒ
Ò ÙÐØÙÖ Ð Ð ÓÐ Ó Ñ Ð Ö Ñ Ò¸ ×
ÓÑÓ ØÓ Ó× ÐÓ×
ÓÐ × ÕÙ
ÓÒ ×Ù ØÖ Ó Ý × Ù ÖÞÓ¸ Ô ÖÑ Ø Ò ÕÙ Ð ÇÐ ÑÔ
ÂÙÚ Ò Ð Å Ø Ñ Ø
× × ÙÒ Ö Ð º

7. Ô ØÙÐÓ ½
ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
´ Ò ÙÖÓ Å Ø Ñ Ø
Óµ
½º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½º × Ð Ó ×
Ö Ð Ô Ð Ö Æ ÍÊǸ ÙÒ Ð ØÖ ÔÓÖ º Ë
Ó¹
Ñ ÒÞ Ð Ñ Ö
ÓР׸ ú Ò ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö
ÐÙÒ × Ñ ÖØ × Ñ Ö
ÓÐ × Ù Ú × Ú ÖÒ ×º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÍÒ ÑÓØÓ
Ð ×Ø Ö
ÓÖÖ ÙÒ ×Ø Ò
¾ Ñ Ò ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ú
ÕÙ Ú ÐÓ
Ñ ´ Ñ» µ ÐÓ ÞÓ
¾ ¿ ¾º
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÍÒ
Ù Ö Ó Ô Ô Ð × Ú Ò Ó× Ô Þ ×
ÓÒ ÙÒ
ÓÖØ Ö
Ø Ð Ò Óº
ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × ÓÖÑ × ÒÓ ÔÙ × Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð
ÓÖØ
ÙÒ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ÙÒ
Ù Ö Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ
ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Р׺
ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ø Ò È Ö Þ Ú Ð Ì ÖÖ Ð ÉÙ ×Óº È ÖÓ Ô Ö ÐÐ Ö × Ø ÖÖ
Ð Ò Ö Ø Ò ÕÙ Ô × Ö ØÖ Ú × ÙÒ × ×Ø Ñ Ø Ò Ð ×¸
ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò
Ð ÙÖ º ÆÓ × Ð Ô ÖÑ Ø ÚÓÐÚ Ö ÙÒ ÒØ Ö×
Ò Ò Ð ÕÙ Ý Ý ×Ø Óº
Ò
ÒØ Ö×
Ò × Ò
Ù ÒØÖ ÙÒ
Ö ÓØ º ú Ù ÒØ ×
Ö ÓØ ×¸
ÓÑÓ Ñ Ü ÑÓ¸
ÔÙ Ö
Ó Ö Ð Ö Ø Ò È Ö Þ
½¿ ½ ½¾ ½ ½ º

8. ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ù ÆÙÑ Ö
¸ Ð ×
× × Ð Ð Ó Ö
Ó Ð
ÐÐ Æ Ñ ÖÓ
Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ× ÑÔ Ö ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ × ÙØ Ð Þ Ò Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ
ÓÒØ Ò Ò Ð
ØÓ ¿º Ë Ð ÔÖ Ñ Ö
× Ð Ð Ó Ö
Ó Ð
ÐÐ ÐÐ Ú Ð Ò Ñ ÖÓ ½¸ ú
Ù Ð ×
Ð Ò Ñ ÖÓ Ð
ÑÓÕÙ ÒØ
× Ò × Ñ ×ÑÓ Ð Ó
¾ ½ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ó Ð × Ð Ó ÕÙ × Ú Ð Ö
¸ ú
Ù Ð
Ð ×
Ò
Ó Ô Þ × Ó × Ð ÔÙ Ö Ö Ô Ö
ÓÑÔÐ Ø Ö
ÙÒ ÔÖ ×Ñ
º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò Ú ÖØ Ó ½¼¼¼ Ð ØÖÓ× Ù Ò
Ð Ô ÖØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ØÙ Ö º Ò
ÙÖ
Ò Ð
Ù × Ú Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×º ú Ù ÒØÓ× Ð ØÖÓ×
Ù ÐÐ Ö Ò Ð Ö
Ô ÒØ
¼¼ ¼¼ ¸ ¼ ¼º
ÈÖÓ Ð Ñ º Í× Ò Ó Ô Þ ×
ÖØ Ò
Ð × ÕÙ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð Ö
× ÓÖÑ
ÙÒ ÙÖ º ú Ù Ð Ð ×
Ò
Ó ÙÖ ×
Ó × ÑÔÓ× Ð
Ö

9. ½º½ ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó
ÈÖÓ Ð Ñ º Ä
¼½¹¼¿¹¼ ´½ Ñ ÖÞÓ ¾¼¼ µ
ÓÒØ Ò ØÖ × Ò Ñ ÖÓ×
ÑÔ Ö ×
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ× Ò ÓÖ Ò
Ö
ÒØ º ×Ø × Ð ÔÖ Ñ Ö
ÓÒ × ÔÖÓÔ
Ò Ð × ÐÓ ¾½º ÁÒ
ÐÙÝ Ò Ó Ð
ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸ ú
Ù ÒØ ×
× ´ ÜÔÖ × ×
Ò Ð ÓÖÑ ØÓ ¹Ñѹ µ Ø Ò Ò × ÔÖÓÔ Ò Ð × ÐÓ ¾½
½ ½¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ë Ð Ø Ä ÙÖ ×
Ò× ÙÖ ÒØ Ð ¸ ¼ ÑÐ Ð
º
Ë Ò
Ñ Ó
Þ Ö ØÓÒ ×¸ ÙÒ Ø Ö
Ó Ñ × Ð
º ÙÖ ÒØ Ð × Ó× ÐØ Ñ ×
× Ñ Ò ×
Þ Ó Ö ØÓÒ × ÙÒ × Ý ÓØÖÓ ÒÓº ú Ù ÒØ Ð
Ó Ò Ð ×
ÐØ Ñ × Ó× × Ñ Ò ×
¼ ÑÐ ½ ¼ ½¼ ¼ ÑÐ ½½¾¼ ÑÐ ¼ Ñк
ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ò Ö × ×
Ö
Ð ØÖ Ð Ô Ð Ö Æ ÍÊÇ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ
4×2¸
Ð ØÖ Ò ÙÒ
× ÐÐ Ö ÒØ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ð ØÖ Ð ×
Ö Ò
Ù ÐÕÙ Ö
× ÐÐ ¸ Ô ÖÓ
Ð ØÖ ÔÓ×Ø Ö ÓÖ Ð ×
Ö Ò ÙÒ
× ÐÐ ÕÙ Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ
ÔÙÒØÓ Ò
ÓÑ Ò
ÓÒ Ð
× ÐÐ Ò Ð ÕÙ ×
Ö Ð Ð ØÖ ÒØ Ö ÓÖº ú Ù Ð ÐÓ×
× Ù ÒØ × Ø Ð ÖÓ× ÒÓ ÔÙ × Ö Ò Ö ×
Æ
Ç
Ê Í
Æ
Í
Ê
Ç
Ç
Ê
Í
Æ
Æ
Ç
Ê Í
Ç
Ê Æ
Í
º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º ÌÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ØÓ×
ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ØÓ× ÕÙ
Ð Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½ ´ Ó× ÙÒÓ׸ ÙÒ
ÖÓ Ý ÙÒ Ó×µ × ×
Ö Ò Ò ÓÖ Ò
Ö
ÒØ º ú Ù Ð
× Ð Ö Ò
ÒØÖ ÐÓ× Ó× Ú
ÒÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½ Ò ×Ø Ð ×Ø
½ ¼¼ ¼ ¼ ¼º

10. ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º ÅÙ Ú
Ù ØÖÓ ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× Ð ÞÕÙ Ö Ð ×
Ð ×
Ð Ö
ÑÓ Ó ÕÙ Ð
Ò
×
ÓÖÖ
Ø º úÉÙ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ð
Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó
½ ¿¼ ½ º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Æ Ò Ù× ¿
Ù Ó× ÒØ
Ó× Ô Ö
ÓÒ×¹
ØÖÙ Ö ÙÒ
Ö
Ù Ó× ÐÖ ÓÖ ÙÒ Ö Ò
Ù Ö ¹
´Ô ÖØ ÐÐ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ µº ú Ù ÒØÓ×
Ù Ó×
× Ò
× Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ö Ð Ö Ò
¿ ½¼¼ ½º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ä × ÙÖ × ÑÙ ×ØÖ Ò
ÑÓ Ñ Ð Ó× Ö Ô ×Ó×
Ù Ö Ó× Ð Ó×
¿ Ý
ÓÒ Ð Ó× × Ð Ò
× Ý Ò Ö ×¸
ÓÐÓ
Ò Ó ÙÒ Ð Ó× Ò Ö Ò
×ÕÙ Ò
Ý ÑÓ Ó ÕÙ
Ð Ó× Ò Ö ×Ø ÖÓ ÔÓÖ Ð Ó× × Ð Ò
׺ Ë Ô Ö
Ñ Ð Ó× Ö ÙÒ Ô ×Ó
Ù Ö Ó
ÓÒ ×Ø Ñ ×ÑÓ Ô ØÖ Ò × ÙØ Ð Þ ÖÓÒ ¾ Ð Ó× ×
Ò Ö ×¸ ú
Ù ÒØ × Ð Ó× × Ð Ò
× × ÙØ Ð Þ ÖÓÒ
¿ ¾ ¾º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º È ÐÓ ÕÙ Ö ÑÙÐØ ÔÐ
Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓÖ ¿¼½¸ Ô ÖÓ × Ð
ÓÐÚ Ð
ÖÓ Ý ÐÓ ÑÙÐØ ÔÐ
ÔÓÖ ¿½¸ Ó Ø Ò Ò Ó
ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ¿ ¾º ÒÓ Ö×
ÕÙ ÚÓ
Ó¸ úÕÙ Ö ×ÙÐØ Ó Ö Ö Ó Ø Ò Ó
¿ ¾¼ ¿ ¼¾ ¿¼½¼ ¿ ½¾ ¿¼ ¾¼º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ ÒÓØ ¿ ÓÐ × Ý Ð
ÖÓÒ ÙÒ Óк
Ò ×Ó× ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð ÕÙ ÔÓ Ò ÙÒ Ô ÖØ Ó¸ ÑÔ Ø ÙÒÓ Ý Ô Ö ÙÒÓº ú Ù Ð
Ù Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ò Ó
¾ ¼ ¿ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½º

11. ½º½ ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÆÓ× Ò ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÕÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ÉÙ Ö ÑÓ× Ö
ÙÒ
Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ö ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ú Ù ÒØ × ÔÓ× Ð × Ý Ô Ö
Ð
Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ
½ ¾ ¿ Ô Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ò
к
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò
ÙÒÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ö
Ó× Ò
Ð ÙÖ ×
Ö Ö× ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¾¸ ¿ ¸
Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ×
× Ñ ÒØÓ Ø Ò Ò
Ò Ñ ÖÓ× Ö ÒØ ×º ÌÖ × Ò Ñ ÖÓ× Ý Ò × Ó ×
Ö ØÓ׺
ú Ù ÒØ × Ú
× Ö ÕÙ Ù× Ö Ð Ò Ñ ÖÓ
½ ¾ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º Ò Ð ÕÙ Ö
Ö ÙÒ
Ù Ö Ó ÙØ Ð Þ Ò¹
Ó ×ÓÐ Ñ ÒØ Ô Þ ×
ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º ú Ù Ð × Ð Ñ ÒÓÖ
Ò Ñ ÖÓ Ô Þ × ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö
¾¼ ½ ½¾ ½¼ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ò ÙÒ
Ð × Ð Ý ½¼ ÐÙÑÒÓ׸ ÒØÖ Ò Ó× Ý Ò ×º Ð
Ñ ×ØÖÓ Ø Ò ¼
Ö Ñ ÐÓ׺ Ë Ð
Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ò Ñ ÖÓ
Ö Ñ ÐÓ׸
Ð ×Ó Ö Ò ¿
Ö Ñ ÐÓ׺ ú Ù ÒØÓ× Ò Ó× Ý Ò Ð
Ð ×
½ ¾ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÍÒ Ø Ø Ò Ø ØÓ× Ð Ò
Ó¸ Ò ÖÓ¸ Ñ ÖÖ Ò¸ Ð Ò
Ó¹Ò ÖÓ¸
Ð Ò
Ó¹Ñ ÖÖ Ò¸ Ò ÖÓ¹Ñ ÖÖ Ò Ý Ð Ò
Ó¹Ò ÖÓ¹Ñ ÖÖ Òº ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × Ý
×
Ó Ö Ø ØÓ× ÑÓ Ó ÕÙ Ó×
Ù Ð ×ÕÙ Ö ÐÐÓ× Ø Ò Ò ÙÒ
ÓÐÓÖ
ÓÑ Ò
½ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º Ë Ø Ò Ò
Ù ØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö
Ø Ò ÙÐÓ×
ÒØ
Ó× Ò Ð ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ Ö
Ø Ò ÙÐÓ¸
ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ
Ð ÙÖ º Ð
ÙÐ Ð Ö ØÓØ Ð ÐÓ×
Ù ØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ׺
Ñ
2
Ñ
2
Ñ
2
¾
Ñ
2
Ñ
2
º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ð Ó
ÕÙ È ÖÓ ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº È ÖÓ
ÕÙ Å Ö
Ó×
×Ø Ñ ÒØ Ò Óº Å Ö
Ó×
ÕÙ È ÖÓ ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº ÌÓÑ ×
ÕÙ Ð Ó ×Ø
Ñ ÒØ Ò Óº ú Ù ÒØÓ× Ò Ó× ×Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ó
¾ ½ ¼ ¿ º

12. ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ë Ù Ò
Ù ØÖÓ
Ö
ÙÒ Ö Ò
× Ò Ð Ô Þ ÖÖ Ñ Ò Ö ÕÙ
Ô Ö ÐÐ × Ø Ò Ò Ü
Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò
ÓÑ Òº ú Ù Ð × Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ
ÔÙÒØÓ× ÕÙ ÔÙ Ò Ô ÖØ Ò
Ö Ñ × ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
½ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÄÙ ×
ÓÐÓ
Ó Ó×
× ´
ÙÒ ÓÖ¹
Ñ ÔÓÖ
Ò
Ó
Ù Ö Ó× 1 × 1µ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 5 × 5¸
ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ ×
Ò
Ó
× ÔÓ Ö
ÓÐÓ
Ö× Ò Ð Ô ÖØ Ú
Ð Ø Ð ÖÓ¸ ÑÓ Ó
ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ð × ÓØÖ ×
Ù ØÖÓ
×
º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÍÒ Ó × ÒÓÖÑ Ð × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò
Ô Ö
Ö × ÓÔÙ ×Ø × ×ÙÑ Ò º Ä ÙÖ ÑÙ ×ØÖ ØÖ × Ó× ÒÓÖÑ Ð ×
Ô Ð Ó× ÙÒÓ Ò
Ñ Ð ÓØÖÓº Ë × ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö
Ö × Ò
ÓÒØ
ØÓ × º Ñ ×¸ ÙÒ
Ð ×
Ö × Ð Ø Ö Ð × Ð Ó Ò Ö ÓÖ Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓº ú Ù ÒØÓ×
ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ð
Ö Ñ Ö
¾ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò ÙÒ Ñ × Ù Ó × Ó× Ý ÓÑ Ò Ó׸ Ô ÖÓ × ÐÓ Ú ÖÒ × Ý
ÐÙÒ ×º Ò Ð Ñ × ÕÙ Ú Ò Ö
Ù Ú × Ñ Ö
ÓÐ × × Ó× ÓÑ Ò Ó× Ú ÖÒ ×º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ë Ò
Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× a¸ b¸ c Ý d Ø Ð × ÕÙ a < b <
c < dº Ë Ô ÙÑ ÒØ Ö ÙÒÓ ÐÐÓ× Ò ½ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ¸ ÐÙ Ó Ð ÙÑ ÒØÓ¸
Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ ÐÓ×
Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× × ÐÓ Ñ × Ô ÕÙ Ó ÔÓ× Ð º ú Ù Ð ×
ÙÑ ÒØ Ö
a b c d b Ó c Ò ×Ø ÒØ Ñ ÒØ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º ú Ù ÒØÓ× ÒØ ÖÓ× × ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö
ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ Ý
¸ Ù× Ò Ó
ØÓ Ü
Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ú Þ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö ØÓ
Ð Ò Ñ ÖÓ × Ú × Ð ÒØÖ ½¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ×
× Ú × Ð ÒØÖ ¾¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× ØÖ × ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× × Ú × Ð
ÒØÖ ¿¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ×
Ù ØÖÓ ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ Ý
Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ×
Ò
Ó ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ
Æ Ò ÙÒÓ ½ ¾ ½¼º

13. ½º½ ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó
½º½º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸ Ñ ÖØ ×º
¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ¿¼ Ñ ÒÙØÓ× × Ñ ÓÖ ¸ Ð Ú ÐÓ
Ñ × 28/(1/2) = 56 Ñ» º
¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸ ÙÒ
Ù Ö Óº ÌÓ × Ð × ÓØÖ × ÙÖ × ÔÙ Ò
Ó Ø Ò Ö× º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸ ½¿¸ Ý ×
ÓÒ× Ù Ò Ó ÙÒ Ô ×Ó¸ × Ù Ò Ó
Ð Ö
¸ Ò Ó ÓØÖÓ Ô ×Ó¸ × Ù Ò Ó
Ð ÞÕÙ Ö ×Ø Ð Ò Ð¸
Ò Ó ÓØÖÓ Ô ×Ó Ý × Ù Ò Ó
Ð Ö
×Ø Ð Ò Ðº
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸ º Ä × ÔÖ Ñ Ö × ½
× × ÐÐ Ú Ò Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¸
¸ ¸ ½½¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾½¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ½¸ Ý º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÄÓ× ¼¼ Ð ØÖÓ× ÕÙ Ú Ò Ð Ö
Ò Ð ÔÖ Ñ Ö
ÙÖ
Ò¸ Ú Ò Ô Ö Ö Ð Ö
Ô ÒØ º È ÖÓ ÐÓ× ¼¼ Ð ØÖÓ× ÕÙ Ú Ò
Ð
ÞÕÙ Ö ¸ Ð Ñ Ø ´¾ ¼µ Ú Ò Ð Ö
Ò Ð × ÙÒ ÙÖ
Ò Ý Ø Ñ Ò
Ø ÖÑ Ò Ò Ò º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸ Ý ÕÙ ÒÓ × ÔÙ ÐÓ Ö Ö Ð Ô ÖØ Ò Ö ÓÖ
×Ø ÙÖ º Ä × ÓØÖ ×
Ù ØÖÓ × × ÔÙ Ò ÓÖÑ Öº
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä ×
Ò
Ó
× ×ÓÒ ¼½¹¼¿¹¼ ¸ ¼¿¹¼ ¹¼ ¸ ¼ ¹¼ ¹
¼ ¸ ¼ ¹¼ ¹½½ Ý ¼ ¹½½¹½¿º
½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ò
×
Ö 60 + 1
3 60 =
60+20 = 80 ÑÐ Ð
º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ØÓØ Ð 7×80+7×60 = 560+420 = 980
ÑÐ Ð
º
½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸ ÔÙ × Ð ×
× ÐÐ × ÕÙ
ÓÒØ Ò Ò Ð Ý Ð
Í ÒÓ Ø Ò Ò Ò Ò Ò ÔÙÒØÓ Ò
ÓÑ Òº
½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð ¾¼½½ × Ð ½¾½¼¸ Ð
× Ù ÒØ Ð ¾½¼½¸ Ý 2101 − 1210 = 891º
½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ 17 + 30 + 49 = 96¸ × ÑÓÚ ÑÓ× ×ØÓ×
Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× Ð Ö
¸ Ð ÞÕÙ Ö ÕÙ Ð ½ º
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÌÓÑ Ò Ó
ÓÑÓ ÙÒ Ð Ð Ó Ð
Ù Ó¸ Ð
Ö Ò Ò
ÖÖ × 8 × 8 Ý × ÐÐ Ò
ÓÒ
Ù Ó׺
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº È Ö Ð
Ù Ö Ó Ð Ó × Ò
× Ø Ò
52
= 25 Ð Ó× × Ò Ö × Ý 92
− 52
= 56 Ð Ó× × Ð Ò
×¹
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë 31n = 372 ÒØÓÒ
× n = 372/31 = 12 Ý
12 × 301 = 3612º

14. ½¼ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ô Ö Ó × ÐÓ ÔÙ Ó
Ö × Ó ¼ ½¸ ÒØÓÒ
× Ð ÑÔ Ø Ó Ø ÖÑ Ò ¼ ¼ Ý Ð Ò Ó ¿ ¼º
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð
Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ × Ö Ð × Ñ ØÖ
Ó ÙÒ
Ú ÖØ
Ö ×Ô
ØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ý ¿ ÔÓ× Ð ×º
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº À Ý
Ù ØÖÓ ÔÙÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò
ÓÒ
Ø Ó×
ÔÓÖ × Ñ ÒØÓ× ÐÓ× ÕÙ ×Ø Ò Ñ Ö
Ó×
ÓÒ ½¸ ¾ Ý ¿ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ÐÐ Ú Ö
Ò
× Ö Ñ ÒØ ÙÒ º
¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ð × Ô Þ × ×
ÓÑÔÓÒ Ò
Ù Ö ØÓ׸
Ð Ö Ð
Ù Ö Ó ÕÙ × ÓÖÑ ´Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×Ù Ð Óµ Ò × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ×
º È ÖÓ ×
Ð
ÓÒÚ Ò
Ö× ÕÙ ÙÒ
Ù Ö Ó Ð Ó ÒÓ × ÔÙ ÓÖÑ Öº Ä
× Ù ÒØ ÔÓ× Ð ¸ Ð
Ù Ö Ó Ð Ó ½¼¸ × × ÔÙ º Ò
ØÓ¸
ÓÒ Ó× Ô Þ ×
× ÔÙ ÓÖÑ Ö ÙÒ Ö
Ø Ò ÙÐÓ 2 × 5 Ý
ÓÒ ½¼ ×ØÓ× Ö
Ø Ò ÙÐÓ× × ÐÐ Ò Ð
Ù Ö Ó Ð Ó ½¼º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ò
× Ø Ò
ÓÑÓ Ñ Ò ÑÓ ¾¼ Ô Þ ×º
¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ú Ö ¼ ÒØÖ ½¸ ¾¸º º º ¸ × Ó Ø Ò Ò ÐÓ×
Ö ×ØÓ× ¼¸ ¼¸ ¾¸ ¼¸ ¼¸ ¾¸ ¿¸ ¼ Ý º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ò × × ¸ Ý Ð Ò Ó×
× ¿º
¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä ×
Ù ØÖÓ Ñ Ò Ö × ×ÓÒ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò
Ð Ò
Ó¸ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ÖÖ Ò¸ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ò ÖÓ Ý ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ñ ÒÓ×
Ó×
ÓÐÓÖ ×º
¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð
Ø ØÓ Ñ ÒÓÖ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Ñ
30 − 28 = 2
Ѹ Ý Ð
Ø ØÓ Ñ ÝÓÖ Ñ 28/2 = 14
Ѻ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
ÙÒÓ Ø Ò
Ö ½
Ñ
2
Ý ÐÓ× Ø Ò Ò Ö
Ñ
2
º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë ÌÓÑ ×
Ð Ú Ö ÒØÓÒ
× Ð Ó
Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ È ÖÓ
Ð Ú Ö Ý Å Ö
Ó× Ñ ÒØ º Ë Ò
Ñ Ó ÌÓÑ ×
Ñ ÒØ ÒØÓÒ
× Ð Ó
Ð Ú Ö ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ È ÖÓ Ñ ÒØ Ý Å Ö
Ó×
Ð
Ú Ö º Ò
Ù ÐÕÙ Ö
×Ó ÐÓ× ÕÙ Ñ ÒØ Ò ×ÓÒ Ó׺
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ý Ô Ö ×
Ö¹
ÙÒ Ö Ò
׸ Ð Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× × º ×Ø Ñ Ü ÑÓ
× Ð
ÒÞ × ØÖ ×
Ö
ÙÒ Ö Ò
× ×ÓÒ Ø Ò ÒØ × ÜØ Ö ÓÖÑ ÒØ
Ý Ð
Ù ÖØ × Ø Ò ÒØ ÜØ Ö ÓÖÑ ÒØ ´Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ µ Ð ×
ØÖ × ÔÖ Ñ Ö ×º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÐÓ
Ò Ó Ð Ô Þ Ì
ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ ÒÓ × ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ
Ð × ÓØÖ ×
Ù ØÖÓ
׺

15. ½º¾ ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó ½½
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä
Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ò Ö ÓÖ ÒÓ ÔÙ
Ø Ò Ö ÙÒ ½º Ë Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾¸ Ð
Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó Ø Ò Ö
ÙÒ Ò Ñ ÖÓ < 3¸ Ð
Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ > 4 Ý ÒÓ ÔÓ Ö ×ÙÑ Ö
ÓÒ Ð
Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖº Ä Ò
ÔÓ× Ð × ÕÙ Ð
Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ
Ð Ó Ò Ö ÓÖ Ø Ò ÙÒ ¾º ÒØÓÒ
× Ð
Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó Ø Ò ÙÒ ¿¸
Ð
Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó ÙÒ ¸ Ð
Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ ÙÒ ½ Ý Ð
Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ ÙÒ º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ × Ö × Ó × Ó
Ý Ð ÐØ ÑÓ ÓÑ Ò Ó¸ Ø Ò Ò Ó Ð Ñ × ¿¼ ׺ ÊÐ Ñ × × Ù ÒØ Ø Ò ¿½ × Ý
ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ ÐÙÒ ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ø Ò ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ ×¸ Ñ Ö
ÓÐ × Ý × ÐÓ
ÙÒÓ ÐÓ× × Ö ×Ø ÒØ × Ð × Ñ Ò º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë × ÙÑ ÒØ a Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ ÐÓ×
Ù ØÖÓ ×
Ò
Ö Ñ ÒØ Ò (a + 1)bcd − abcd = bcdº Ò ÐÓ Ñ ÒØ × × ÙÑ ÒØ Ò b¸ c Ó d Ð
ÔÖÓ Ù
ØÓ ÐÓ×
Ù ØÖÓ × Ò
Ö Ñ ÒØ Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ Ò acd¸ abd Ó abcº Ð Ñ ÒÓÖ
ÒØÖ bcd¸ acd¸ abd Ý abc × abc¸ ÕÙ × Ó Ø Ò
Ù Ò Ó Ð ÕÙ × ÙÑ ÒØ × dº
¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ abcde
ÙÑÔÐ Ð ×
ÓÒ
ÓÒ ×¸
ÒØÓÒ
× × Ö e = 5 ´Ô Ö ÕÙ × Ú × Ð ÒØÖ µº Ñ × b Ý d Ò × Ö
Ô Ö × ´¾ Ý µ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ a Ý c Ò × Ö ½ Ý ¿ ´ Ò Ð Ò ÓÖ Òµº ÓÑÓ abc
× Ö Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ a + b + c = 4 + b × Ö Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
b = 2 Ý Ò
ÓÒ×
Ù Ò
d = 4º È ÖÓ ÒØÓÒ
× abcd × Ö ½¾¿ ¿¾½ ¸ Ò Ò ÙÒÓ
ÐÓ×
Ù Ð × × Ú × Ð ÒØÖ º
½º¾º ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½º ú Ù Ð ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× × Ð Ñ ÝÓÖ
20111
1 + 2011 1 × 2011 12011
1 ÷ 2011º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð× Ù
ÓÒ
Ù Ó× Ý Ø ØÖ ÖÓ׺
Ë Ø Ò
Ù Ó× Ý ¿ Ø ØÖ ÖÓ׺ ú Ù ÒØ ×
Ö ×
Ý Ò ØÓØ Ð
¼ ¾ ¾ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò ÙÒ
ÖÙ
Ô ØÓÒ Ð × ÐØ ÖÒ Ò Ö Ò × Ð Ò
× Ý Ò Ö ×¸
ÙÒ Ò
ÙÖ ¼
Ѻ ÍÒÓ ×ØÓ×
ÖÙ
×
ÓÑ ÒÞ Ý Ø ÖÑ Ò
ÓÒ ÙÒ Ö Ò
Ð Ò
Ý Ø Ò Ö Ò × Ð Ò
× Ò ØÓØ Ðº ú Ù Ð × Ð Ò
ÙÖ ØÓØ Ð Ð
ÖÙ
Ñ ¸ Ñ Ñ ¸ Ñ Ñº
ÈÖÓ Ð Ñ º Å
Ð
ÙÐ ÓÖ Ú Ò Ú Þ ÑÙÐØ ÔÐ
Ö Ý Ö ×Ø Ò ÐÙ Ö
×ÙÑ Öº Ë Ø
Ð Ó (12 × 3) + (4 × 2)¸ úÕÙ ÑÙ ×ØÖ Ð
Ð
ÙÐ ÓÖ

16. ½¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
¾ ½¾ ¾ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ º Å Ö ÐÓ Ø Ð
ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÓÖ ¾¼ ½½º ú Ù ÒØÓ× Ñ ÒÙØÓ×
Ñ × Ø Ö ÑÓ×ØÖ Ö ÙÒ ÓÖ
ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ¼¸ ½¸ ½¸ ¾¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò
¼ ¼ ¼º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ ØÖ ×
Ù Ö Ó׺ Ð
Ù Ö ¹
Ó Ñ ÒÓ ÙÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× Ð
Ù Ö Ó Ö Ò º Ð
Ù ¹
Ö Ó Ô ÕÙ Ó ÙÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× Ð
Ù Ö Ó Ñ ÒÓº Ð
Ö Ð
Ù Ö Ó Ô ÕÙ Ó Ò Ð ÙÖ ×
Ñ
2
º ú Ù Ð ×
Ð Ö Ò
ÒØÖ Ð Ö Ð
Ù Ö Ó Ö Ò Ý Ð Ö Ð
Ù Ö Ó Ñ ÒÓ¸ Ò
Ñ
2
½¾ ½ ½ º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ð
ÐÐ ÓÒ Ú ÚÓ Ý ½
× ×º ÙÒ Ð Ó Ð
ÐÐ Ð ×
× ×
×Ø Ò ÒÙÑ Ö ×
ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× Ô Ö × Ý Ð ÓØÖÓ
ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÑÔ Ö ×º Å
× × Ð
ÐØ Ñ Ð Ð Ó Ô Ö Ý ×Ù Ò Ñ ÖÓ × ½¾º Å ÔÖ ÑÓ Ú Ú Ò Ð ÐØ Ñ Ð Ð Ó ÑÔ Öº
ú Ù Ð × Ð Ò Ñ ÖÓ ×Ù
×
½¿ ½ ¾½
ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ü Ð ØÓ
ÔØÙÖ ½¾ Ô
× Ò ¿ ׺ ¸ ×ÔÙ × Ð
ÔÖ Ñ ÖÓ¸
ÔØÙÖ Ñ × Ô
× ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖº Ò Ð Ø Ö
Ö ¸
ÔØÙÖ Ñ ÒÓ×
Ô
× ÕÙ Ò ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× × ÙÒØÓ׺ ú Ù ÒØÓ× Ô
×
ÔØÙÖ Ð Ø Ö
Ö
º
ÈÖÓ Ð Ñ º ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ØÖ × ØÓ×
ÓÒ ×ÙÑ ØÓ× Ù Ð
¸ × ×
Ó Ò Ð Ñ × Ö Ò Ý Ð Ñ × Ô ÕÙ Óº ú Ù Ð × ×Ù ×ÙÑ
¼ ½ ¼ ½¼¼½ ½¼¼¼º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ
Ù ØÖÓ
Ù Ö Ó× ÒØ
Ó× ×¹
ÔÙ ×ØÓ× Ò ÓÖÑ Äº Ë × Ö Ö ÙÒ ÕÙ ÒØÓ
Ù Ö Ó ÑÓ Ó
ÕÙ × ÓÖÑ ÙÒ ÙÖ
ÓÒ ÙÒ × Ñ ØÖ º ú
Ù ÒØ × Ñ Ò Ö ×
× ÔÙ
Ö ×ØÓ
½ ¾ ¿º
ÈÖÓ Ð Ñ ½½º
2011 · 2,011
201,1 · 20,11
=
¼¸¼½ ¼¸½ ½¼ ½ ½¼¼º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Å Ö Ø Ò Ô ÖÐ × ÕÙ Ô × Ò ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
Ý º ÐÐ
Ù ØÖÓ Ò ÐÐÓ×
ÓÒ Ó× Ô ÖÐ × Ò
ÙÒÓº ÄÓ× Ô ×Ó× Ð ×

17. ½º¾ ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó ½¿
Ô ÖÐ × Ò ×ØÓ×
Ù ØÖÓ Ò ÐÐÓ× ×ÓÒ ½ ¸ ½¿ ¸ Ý º ú Ù Ð × Ð Ô ×Ó Ð Ô ÖÐ
Ö ×Ø ÒØ
¿ ¾ ½ º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½ ¸ ½¿¸ ¸ ½¼¸ ½ ¸ ¸ ½¾ Ý ½ ¸ úÕÙ Ô Ö ÐÐÓ×
× ÔÙ ÕÙ Ø Ö × Ò ÑÓ
Ö Ð ÔÖÓÑ Ó
½¾ Ý ½ Ý ½ Ý ½ ½¼ Ý ½¾ ½ Ý ½¼º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð Ö Ø Ò È Ö Þ Ú Ð Ì ÖÖ Ð ÉÙ ×Óº È ÖÓ Ô Ö ÐÐ Ö ×
Ø ÖÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÕÙ Ô × Ö ØÖ Ú × ÙÒ × ×Ø Ñ Ø Ò Ð ×¸
ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ
Ò Ð ÙÖ º ÆÓ × Ð Ô ÖÑ Ø ÚÓÐÚ Ö ÙÒ ÒØ Ö×
Ò Ò Ð ÕÙ Ý Ý ×Ø Óº
Ò
ÒØ Ö×
Ò × Ò
Ù ÒØÖ ÙÒ
Ö ÓØ º ú Ù ÒØ ×
Ö ÓØ ×¸
ÓÑÓ Ñ Ü ÑÓ¸
ÔÙ Ö
Ó Ö Ð Ö Ø Ò È Ö Þ
½¾ ½¿ ½ ½ ½
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ö Ò Ò Ð Ö Ñ × Ô ÒØ
ÓÒ
ÙÒÓ ÐÓ×
Ù ØÖÓ
ÓÐÓÖ × ÖÓ Ó ´Rµ¸ Ú Ö ´V µ¸ ÞÙÐ ´Aµ Ó
Ð Ò
Ó ´Bµº Ó× Ö ÓÒ ×
ÓÒ ÙÒ ÓÖ
ÓÑ Ò Ò Ø Ò Ö
ÓÐÓÖ × Ö ÒØ ×º ÒØÓÒ
× Ð
ÓÐÓÖ Ð Ö Ò X ×
X
V
R
A
ÖÓ Ó ÞÙÐ Ú Ö Ð Ò
Ó ÒÓ × ÔÓ× Ð Ø ÖÑ Ò ÖÐÓº
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÍÒ ØÖÓÞÓ
Ù Ö Ó Ô Ô Ð ×
ÓÖØ Ò × ×
Ô Þ × Ö
Ø Ò ÙÐ Ö ×
ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º Ä ×ÙÑ ÐÓ×
Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð × × × Ô Þ × Ö
Ø Ò ÙÐ Ö × × ½¾¼
Ѻ Ò
Ù Ò¹
ØÖ Ð Ö Ð Ô Þ
Ù Ö Ô Ô Ðº
Ñ
2
Ñ
2
½½¼¸¾
Ñ
2
½
Ñ
2
¾
Ñ
2
º

18. ½ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ ÒÓØ ¿ ÓÐ × Ý Ð
ÖÓÒ ÙÒ
Óк Ò ×Ó× ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ Ò ÙÒ Ô ÖØ Ó¸ ÑÔ Ø ÙÒÓ Ý Ô Ö ÙÒÓº
ú Ù Ð Ù Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ò Ó
¾ ¼ ¿ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ö Ó Ù ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ö
Ø DE ÐÓÒ ØÙ ¾ Ò ÙÒ Ô ÞÓ
Ô Ô Ðº ú Ù ÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ö ÒØ × F ÔÙ Ù Ö Ò Ð Ô Ô Ð ÓÖÑ ÕÙ Ð
ØÖ Ò ÙÐÓ DEF × Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ý Ø Ò Ö ½
¾ ½¼º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ a × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ½¸ Ý Ð Ò Ñ ÖÓ b × Ñ ÝÓÖ ÕÙ
½º ú Ù Ð ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× Ø Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ
a · b b a ÷ b a + b Ä Ö ×ÔÙ ×Ø Ô Ò a Ý bº
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º ÍÒ
Ù Ó ×
ÓÒ×ØÖÙÝ
ÓÒ Ô Ô Ð ÔÐ Ó
ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º
ÈÓÖ Ð ×ÙÔ Ö
Ð
Ù Ó × ØÖ Þ ÙÒ Ð Ò Ó×
ÙÖ ÕÙ Ú Ð ×ÙÔ Ö
Ð
Ù Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÒØ
׺ ú ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ô Ð ×ÔÙ × ÕÙ Ð
Ù Ó ×
× Ó Ð
º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ð Ò Ñ ÖÓ
Ò
Ó ØÓ× 24X8Y × Ú × Ð ÔÓÖ ¸ Ý º ú Ù Ð
× Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× X Y
½¼ ½¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÄÙ ×
ÓÐÓ
Ó Ó×
× ´
ÙÒ
ÓÖÑ ÔÓÖ
Ò
Ó
Ù Ö Ó× 1 × 1µ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ
5×5º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ ×
Ò
Ó
× ÔÓ Ö
ÓÐÓ
Ö×
Ò Ð Ô ÖØ Ú
Ð Ø Ð ÖÓ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ÒÓ ×
ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ð × ÓØÖ ×
Ù ØÖÓ
×
º

19. ½º¾ ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó ½
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ × ÐÓÖÓ× Á×
¸ Å Ö Ó Ý Ç×
Ö Ø Ò ÙÒ Ò Ó
ÔÖÓÔ Óº Á×
Ó ×ØÓÝ Ñ × Ð Ó Ð Ð Ó× Å Ö Ó ÕÙ Ç×
Ö º Å Ö Ó
Ó ×ØÓÝ Ñ × Ð Ó Ð Ð Ó× Ç×
Ö ÕÙ Á×
º Ç×
Ö
Ó
×ØÓÝ Ñ × ÕÙ Ð Ó Ð Ð Ó× Å Ö Ó ÕÙ Á×
º Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÐÐÓ× ×Ø Ò
Ò Ó Ð Ú Ö º ú Ù Ð × Ð ÕÙ Ñ ÒØ
Á×
Å Ö Ó Ç×
Ö Æ Ò ÙÒÓ ÐÐÓ×
ÆÓ × ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö
ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ×ÙÑ Ò ×ØÖ Ó׺
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÒØÖÓ ÙÒ
Ù Ö Ó Ð Ó
Ñ Ù
ÙÒ
Ù Ö Ó Ð Ó ¿
Ѻ ÄÙ Ó Ù ÓØÖÓ
Ù Ö Ó
Ð Ó
Ѹ ÕÙ ÒØ Ö×
Ø ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ׺ ú Ù Ð × Ð
Ö Ò
ÒØÖ Ð × Ö × Ð Ô ÖØ Ò Ö Ý Ð Ô ÖØ Ö ×
½
Ñ
2
½½
Ñ
2
½¼
Ñ
2
¼
Ñ
2
ÑÔÓ× Ð Ø ÖÑ Ò ÖÐÓº
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Å Ù Ð ×Ô Ö Ð Ð Ò
Óº Ò
×Ô ÖÓ
ÖØ Ó ÔÙ Ó Ø Ò Ö
¸ ½¼ ÔÙÒØÓ׺ ËÙ ÔÙÒØÙ
Ò ØÓØ Ð Ù ¸ Ý Ó ØÙÚÓ Ø ÒØ × Ú
×
ÓÑÓ ½¼º Ë
Ò Ð ¾ ± ×Ù× Ø ÖÓ× ÒÓ
ÖØ Ð Ð Ò
Ó¸ ú
Ù ÒØÓ× ×Ô ÖÓ× ÞÓ Å Ù Ð Ò ØÓØ Ð
½¼ ½¾ ½ ¾¼ ¾ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò ÙÒ
Ù Ö Ð Ø ÖÓ
ÓÒÚ ÜÓ ABCD
ÓÒ AB = AC¸ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ
ÓÒÓ
Ó× ∠BAD = 80◦
¸ ∠ABC = 75◦
¸ ∠ADC = 65◦
º ú Ù ÒØÓ Ñ
∠BDC
45◦
30◦
20◦
15◦
10◦
º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º À
× Ø Ó׸ Ð Ú Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ý ÒØÖÓ
Ó
Ó Ó× × Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ º À
Ó
Ó Ó׸ Ð Ê Ð Ö ÙÒ
Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ý ÒØÖÓ × Ø Ó× × Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ ×
ÖÑ
ÓÒ × ÔÙ × Ö Ú Ö Ö
Ê Ð × Ó× Ó× Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ú
Ê Ð × ÙÒ Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ú
Ê Ð Ý Ú Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ
Ê Ð × ÙÒ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ú
Ê Ð × Ó× Ó× Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ú º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò Ð ÜÔÖ × Ò
A · B · C · D · B · E · F · F
D · B · G · H
Ð ØÖ Ö ÔÖ × ÒØ
ÙÒ ØÓ Ö ÒØ
ÖÓº Ä ØÖ × Ù Ð × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ù Ð × Ý Ð ØÖ × ¹
Ö ÒØ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ö ÒØ ×º ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ Ñ × Ô ÕÙ Ó
ÔÓ× Ð ×Ø ÜÔÖ × Ò
½ ¾ ¿

20. ½ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ä × Ù ÒØ ÙÖ ×
ÓÑÔÓÒ Ó× Ö
Ø Ò ÙÐÓ׺ Ä × ÐÓÒ ØÙ ×
Ó× Ð Ó× ×Ø Ò Ñ Ö
× ½½ Ý ½¿º Ä ÙÖ ×
ÓÖØ Ò ØÖ × Ô ÖØ × Ý Ð × Ô ÖØ ×
× Ö ÓÖ Ò Þ Ò Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ú Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó x
¼ ¿ ¿ ¿ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º Å Ö
Ó× Ù ÙÒ Ù Ó
ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò ÙÒ
Ù Ö
ÙÐ 4×4º
Ð × ÖÓ Ó ÞÙи Ô ÖÓ Ð
ÓÐÓÖ × ÐÓ × Ú × ×
Ð
Ò ÐÐ º Ë × ÕÙ
× ÐÓ Ý Ó×
Ð × ÞÙР׸ Ý ÕÙ Ø Ò Ò ÙÒ Ð Ó
ÓÑ Òº ú Ù Ð × Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ
Ð
× ÕÙ Å Ö
Ó× Ø Ò ÕÙ
Ö Ô Ö ×Ø Ö × ÙÖÓ Ú Ö Ð × Ó×
Ð × ÞÙÐ ×
Ò Ð Ô ÒØ ÐÐ
½¼ ½¾ ½½ ½¿º
½º¾º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä ×
Ò
Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú × ÔÖÓÔÙ ×Ø × ×ÓÒ ´ µ
20111
= 2011¸ ´ µ 1 + 2011 = 2012¸ ´ µ 1 × 2011 = 2011¸ ´ µ 12011
= 1 Ý ´ µ
1/2011¸ Ð Ñ ÝÓÖ Ð ×
Ù Ð × × ´ µ ¾¼½¾º
¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÄÓ×
Ù Ó× Ø Ò Ò
Ö × Ý ÐÓ× Ø ØÖ ÖÓ× ¸
ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð
Ö × × 5 × 6 + 3 × 4 = 30 + 12 = 42º
¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë Ý Ö Ò × Ð Ò
׸ Ð × Ò Ö × Ò × Ö
Ý Ð ØÓØ Ð ½ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò
ÙÖ ØÓØ Ð × 15 × 50 = 750
Ѹ Ó ¸ Ѻ
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä
Ð
ÙÐ ÓÖ ÑÓ×ØÖ Ö (12 ÷ 3) − (4 ÷ 2) =
4 − 2 = 2º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä × Ù ÒØ ÓÖ
ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ØÓ× × Ö
Ð ¾½ ¼½¸ Ô Ö ÐÓ
Ù Ð ÐØ Ò ¼ Ñ ÒÙØÓ׺

21. ½º¾ ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó ½
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ×
Ð Ú Ö ÕÙ Ð Ö Ð
Ù Ö Ó Ñ Ó × Ð Ó Ð Ð Ö Ð Ô ÕÙ Ó¸ ×
Ö ½¾
Ñ
2
´ÔÙ × Ð
Ù Ö Ó Ô ÕÙ Ó × Ú Ò ØÖ Ò ÙÐÓ× ÒØ
Ó׸ Ý Ð
Ù Ö Ó Ñ Ó × Ú Ò ×Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ×µº Ò ÐÓ Ñ ÒØ
Ð Ö Ð
Ù Ö Ó Ö Ò × Ð Ó Ð Ð Ö Ð Ñ Ó¸ ×
Ö
¾
Ñ
2
¸ Ý Ð Ö Ò
Ô × 24 − 12 = 12
Ñ
2
º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä ×
× × Ð Ð Ó Ô Ö ×Ø Ò ÒÙÑ Ö × ¾¸ ¸
¸ ¸ ½¼ Ý ½¾º ÒØÓÒ
× Ð Ð Ó ÑÔ Ö Ö ½½
× ×¸ ÒÙÑ Ö × ½¸ ¿¸ ¸ ¸
¸ ½½¸ ½¿¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ Ý ¾½º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸ º Ð Ø Ö
Ö Ð Ü
ÔØÙÖ Ñ ÒÓ× Ð Ñ Ø
Ð ØÓØ Ð¸ ×
Ö ÕÙ
ÔØÙÖ ÐÓ ×ÙÑÓ Ô
׺ È ÖÓ ÒÓ ÔÙ Ó Ö
ÔØÙÖ Ó
Ñ ÒÓ× ¸ ÔÙ × × × Ù × Ð ØÓØ Ð × Ö ÐÓ ×ÙÑÓ 2 + 3 + 4 = 9º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ñ × Ô ÕÙ Ó × ½¼ Ý Ð Ñ ÝÓÖ × ¼¼¸ ÔÓÖ
ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÙÑ × ¼ º
½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº
½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÅÙÐØ ÔÐ
Ò Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ
½¼¼¼ Ð Ö
Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ 20112
/20112
= 1º
½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ô ×Ó ØÓ × Ð × Ô ÖÐ × × 1+2+3+4+5+
6+7+8+9 = 45¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð × Ô ÖÐ × Ò ÐÓ× Ò ÐÐÓ× × 17+13+7+5 = 42º
Ä Ö Ò
45 − 42 = 3 × Ð Ô ×Ó Ð Ô ÖÐ Ö ×Ø ÒØ º
½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð ÔÖÓÑ Ó ØÓ Ó Ð
ÓÒ ÙÒØÓ × (17+13+
5+10+14+9+12+16)/8 = 96/8 = 12º Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÓ× ÕÙ × ÕÙ Ø Ò¸ Ô Ö ÒÓ
ÐØ Ö Ö Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ ×¸ × Ö ½¾º ÐÓ× Ô Ö × ÔÖÓÔÙ ×ØÓ×
ÓÑÓ
ÐØ ÖÒ Ø Ú ×¸ Ð Ò
Ó
ÓÒ ÔÖÓÑ Ó ½¾ × Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ½ Ý ½¼º
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ Ñ Ö
Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò º

22. ½ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä Ö Ò
Ñ Ö
½ Ò Ð ÙÖ ÒÓ ÔÙ × Ö × ÒÓ Ð Ò
¸
Ý ÕÙ Ø Ò ÓÖ ×
ÓÑÙÒ ×
ÓÒ Ö ÓÒ ×
ÓÐÓÖ
R¸ V Ý Aº ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × Ò ÐÓ × Ð Ö Ò ¾
× Ö ÖÓ ¸ Ð ¿ × Ö Ú Ö ¸ Ð ÞÙи Ð Ð Ò
Ý Ò ÐÑ ÒØ Ð Ö Ò X × Ö ÖÓ º
X
V
R
A
½ B
¾ R
¿
V
A
B
R
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë a × Ð Ð Ó Ð
Ù Ö Ó¸ Ð ×ÙÑ ÐÓ×
Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÐÓ× Ö
Ø Ò ÙÐÓ× × Ù Ð Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð
Ù Ö Ó Ñ × Ó× Ú
×
ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×º È ÖÓ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × Ú ÖØ
Ð × ×ÙÑ Ò a Ý ÐÓ×
ÓÖ ÞÓÒØ Ð × 2a¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 120 = 4a + 2(a + 2a) = 10a¸ ÓÒ a = 12 Ý Ð
Ö Ð
Ù Ö Ó × 122
= 144
Ñ
2
º
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ ÔÖ Ñ Ö
Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò ½¼º
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö
ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö
Ø Ò ÙÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò DE
ÓÑÓ
Ø ØÓ Ñ ÝÓÖ¸
ÓÒ Ð ÓØÖÓ
Ø ØÓ ÐÓÒ ØÙ ½¸ Ý Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ× ×ÓÖÖ
Ø Ò¹
ÙÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò DE
ÓÑÓ ÔÓØ ÒÙ× Ý ÐØÙÖ ½º
D E
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ a < 1 < b¸ × Ø Ò ÕÙ a·b < b < a+ b
Ý a ÷ b < a < a + b¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ñ ÝÓÖ × a + bº
¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸
ÓÑÓ ÔÙ Ú Ö× ÖÑ Ò Ó Ð × ÖÖÓÐÐÓº
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ´ µ¸ ´ µ Ý ´ µ
Ð Ö Ñ ÒØ Ò ×
ÖØ Ö× ÔÙ × Ð Ð Ò Ó×
ÙÖ
ÓÖØ Ð ÙÒ × Ö ×Ø × Ò ÔÙÒØÓ× Ö ÒØ × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ×Ø ×¸ Ý ´ µ
× ×
ÖØ ÔÓÖÕÙ ÙÒ
Ö
ÓÒØ Ò Ó× × Ñ ÒØÓ× Ð Ð Ò Ó×
ÙÖ º
¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ú × Ð ÒØÖ Ý ¸ Y
× Ö ¼º
ÓÑÓ Ð ×ÙÑ ØÓ× 2+4+X +8+Y = 14+X × Ö Ú × Ð
ÒØÖ ¸ X × ÐÓ ÔÙ × Ö º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ X + Y = 4º
¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ÔÖ Ñ Ö
Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò ½¼º
¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä × ÖÑ
ÓÒ × Á×
¸ Å Ö Ó Ý Ç×
Ö ×ÓÒ
Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ ´½µ IM > 2IO¸ ´¾µ MO > 2IM Ý ´¿µ MO > 2IOº È ÖÓ ´½µ Ý ´¾µ
×ÓÒ
ÓÒØÖ
ØÓÖ ×¸ ÔÙ × ×ÙÑ Ò ÓÐ × Ö ×ÙÐØ IM + MO > 2IO + 2IM¸ ÓÒ
MO > 2IO + IM > IO + IM¸ Ú ÓÐ Ò Ó Ð × Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Öº Ì Ñ Ò ×ÓÒ
ÓÒØÖ
ØÓÖ × ´¾µ Ý ´¿µ¸ ÔÙ × ×ÙÑ Ò ÓÐ × × ÐÐ MO > IM + IOº Ä Ò
ÓÖÑ ÕÙ Ý Ó× Ú Ö Ö × × ÕÙ Á×
Ý Ç×
Ö × Ò ÓÒ ×ØÓ× Ý Å Ö Ó ×
Ñ ÒØ ÖÓ×Óº

23. ½º¾ ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó ½
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë Ò a¸ b¸ c¸
d Ý e Ð × Ö × Ð × Ö ÓÒ × Ò ÕÙ × ×
Óѹ
ÔÓÒ Ð ÙÖ º ÄÓ ÕÙ × Ô × a − c − eº È ÖÓ
a−c−e = a+b+c+d+e−(c+d+e)−(b+c) =
72
− 52
− 32
= 15º a
b
c
d e
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë x Ð Ò Ñ ÖÓ Ú
× ÕÙ Ó ØÙÚÓ ÔÙÒØÓ×
Ý y Ð Ò Ñ ÖÓ Ú
× ÕÙ Ó ØÙÚÓ ÔÙÒØÓ׸ ÒØÓÒ
× 5x + 8y + 10y = 99¸ ×
Ö ÕÙ 5x + 18y = 99º ÓÑÓ 5x = 99 − 18y × ÑÔ Ö Ý Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ø Ñ Ò
× ÖÐÓ xº ×ØÓ
ÓÑÓ Ò
ÔÓ× Ð x = 9 ´ÔÙ × × x ≥ 27 ÒØÓÒ
×
5x ≥ 135 > 99µ¸ ÓÒ y = 3º Ë n × Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð ×Ô ÖÓ׸ ÒØÓÒ
×
(3/4)n = x + 2y = 9 + 6 = 15¸ ÓÒ n = (4/3)15 = 20º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ABC
× × ×
Ð × × Ø Ò ∠ACB = ∠ABC = 75◦
º
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠BAC = 180◦
− 75◦
− 75◦
= 30◦
Ý ∠CAD = ∠BAD − ∠BAC = 50◦
º ÒØÓÒ
×
∠ACD = 180◦
− 65◦
− 50◦
= 65◦
Ý ACD ×
× ×
Р׸ ÓÒ AD = AC = AB Ý ABD
Ø Ñ Ò × × ×
Р׺ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠ADB =
∠ABD = (180◦
− 80◦
)/2 = 50◦
Ý Ò ÐÑ ÒØ
∠BDC = ∠ADC − ∠ADB = 65◦
− 50◦
= 15◦
º
A
B
75◦
D
80◦
C
65◦
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë Ò E Ý R Ð × × Ú Ý Ê Ð¸
Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓÒ
× E − 7 Ý R + 7 ×ÓÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ E + 8
Ý R − 8 ×ÓÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ× º Ä ÓÔ
Ò ´ µ × ÑÔÓ× Ð ¸ ÔÙ × × E = R ÒØÓÒ
×
E −7 Ý R+7 = E +7 × Ö Ò Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ ÐÓ
Ù Ð × ×ÙÖ Ó ÔÙ × Ö Ò Ò ½ º
ÓÑÓ E +R = (E −7)+(R+7) × Ñ ÐØ ÔÐÓ ´Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ô Öµ E Ý R Ò
× Ö Ð Ñ ×Ñ Ô Ö ×ØÓ ×
ÖØ Ð × ÓÔ
ÓÒ × ´ µ Ý ´ µº Ì ÑÔÓ
Ó ÔÙ × Ö
ÖØ ´ µ¸ Ý ÕÙ × R = E − 2 ÒØÓÒ
× E − 7 Ý R + 7 = E + 5 × Ö Ò Ñ Ó×
Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ ×ÙÖ Ó ÔÙ × Ö Ò Ò ½¾º Ä Ò
ÔÓ× Ð ÕÙ ÕÙ × Ð
´ µ¸ ×
Ö R = E + 2º ×ØÓ
Ø Ú Ñ ÒØ ÔÙ Ó
ÙÖÖ Ö¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ × E = 55
Ý R = 57º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä ÜÔÖ × Ò × Ù Ð
ABCEF 2
GH Ý ×Ù Ñ Ò ÑÓ
×
2·3·4·5·12
8·9 = 15
9 > 1º ÓÑÓ
2·3·4·6
8·9 = 2 ×Ø × Ð Ñ Ò ÑÓ Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ Ý × Ð
ÒÞ
Ô Ö A = 2¸ B = 3¸ C = 4¸ D = 5¸ E = 6¸ F = 1¸ G = 8 Ý H = 9º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ò
Ó Ð ÙÖ Ð ÞÕÙ Ö ×
11 + 13 = 24º Ò Ð ÙÖ Ð Ö
×
Ð ÖÓ ÕÙ x = 13 + 24 = 37º

24. ¾¼ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë × ÖÙÔ Ò Ð × ½
× ÐÐ ×
Ò Ô Ö ×
× ÐÐ × Ý
ÒØ ×¸ Ö ×ÙÐØ
Ð ÖÓ ÕÙ × Ö ÕÙ Ö Ò
Ð Ñ ÒÓ×
Ð
× Ô Ö Ò
Ò Ö
ÓÒ
ÖØ Þ ÙÒ
× ÐÐ ÞÙи Ý
Ð Ñ ÒÓ× ¾ Ñ × Ô Ö Ò
Ò Ö Ð ÓØÖ º Þ
Ð
× × ÑÔÖ ×ÓÒ
×Ù
ÒØ ×º È Ö ÐÐÓ ÑÓ×
Ð
×Ù
× Ú Ñ ÒØ Ò Ð ×
× ÐÐ ×
Ñ Ö
× ½¸ ¾¸ ¿¸ º º º Ò Ð ÙÖ ¸ ×Ø Ú Ö ÙÒ
× ÐÐ ÞÙк Ë
Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ × Ú × Ð ¸
Ò Ó
Ð
Ò Ð × ¾ Ý
ÒØ × ×
×
Ù Ö Ð ÓØÖ ÞÙк Ë Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ × Ú × Ð ¸
Ò Ó
½ ¾
¿
Ð
Ò Ð × ¿ Ý
ÒØ × × ×
Ù Ö Ð ÓØÖ º × × Ð ÙÒ Ð ½ Ð ¸
Ò Ó
Ð
Ò Ð × Ý
ÒØ × ´ÕÙ ×ÓÒ ÐÓ ×ÙÑÓ µ × ×
Ù Ö Ð ÓØÖ º
½º¿º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò ÙÒ
ÖÙ
Ô ØÓÒ Ð × ÐØ ÖÒ Ò Ö Ò × Ð Ò
× Ý Ò Ö ×¸
ÙÒ Ò
ÙÖ ¼
Ѻ ÍÒÓ ×ØÓ×
ÖÙ
×
ÓÑ ÒÞ Ý Ø ÖÑ Ò
ÓÒ ÙÒ Ö Ò
Ð Ò
Ý Ø Ò Ö Ò × Ð Ò
× Ò ØÓØ Ðº ú Ù Ð × Ð Ò
ÙÖ ØÓØ Ð Ð
ÖÙ
Ñ ¸ Ñ Ñ ¸ Ñ Ñº
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð Ö
Ø Ò ÙÐÓ ×ÓÑ Ö Ó Ø Ò ÙÒ Ö
½¿
Ñ
2
º A Ý B ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ÐÓ× Ð Ó×
Ð ØÖ Ô
Óº ú Ù Ð × Ð Ö Ð ØÖ Ô
Ó
A B
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º × Ð × ÜÔÖ × ÓÒ ×¸ S1 = 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5¸ S2 = 22
+ 32
+ 42
¸
S3 = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4¸ ú
Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð
ÓÒ × × Ú Ö Ö
S2 < S1 < S3 S3 < S2 < S1 S1 < S2 < S3
S1 < S2 = S3 S1 = S2 < S3º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ð × Ù ÒØ ÙÖ Ö ÙÒ
Ò Ñ ÖÓ Ò
Ú ÖØ
¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ×ÙÑ
ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ×
× Ñ ÒØÓ × Ð
Ñ ×Ñ º Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ý ×Ø Ò ÐÐ º úÉÙ Ò Ñ ÖÓ
Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ x
½ ¿ Ð Ò ÓÖÑ
Ò ÒÓ × ×Ù
ÒØ º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ù Ò Ó ¾¼½½ × Ú ÔÓÖ ÙÒ
ÖØÓ Ò Ñ ÖÓ¸ Ð Ö ×ØÓ Ù ½¼½½º
ú Ù Ð ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× × Ù ÒØ × Ù Ð Ú ×ÓÖ
½¼¼ ¼¼ ½¼¼¼ ¾¼¼¼ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ó Ø Ò Ö × Ö ×ØÓº

25. ½º¿ ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾½
ÈÖÓ Ð Ñ º ÍÒ ÑÓ×
Ó Ö
Ø Ò ÙÐ Ö
ÓÒ ¿ ¼
Ñ
2
Ö ×Ø
Ó Ð Ó× ×
Ù Ö ×¸ ØÓ × Ð Ñ ×ÑÓ Ø Ñ Óº Ð ÑÓ×
Ó Ø Ò ¾
Ñ ÐØÓ Ý Ð Ó× ×
Ò
Óº ú Ù Ð × Ð Ö
Ð Ó× Ò
Ñ
2
½ ½ ¾ º
ÈÖÓ Ð Ñ º ÌÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ×
Ù ØÖÓ ØÓ×
ÙÝÓ× ØÓ× ×ÙÑ Ò ×
×
Ö Ò Ò ÓÖ Ò ×
Ò ÒØ º ú Ò ÕÙ ÐÙ Ö ×Ø ×
Ù Ò
×Ø Ù
Ó Ð
Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½
Ó Ó Ó
½¼
Ó Ó
º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ
Ù ØÖÓ
Ù Ö Ó× ÒØ
Ó× ×¹
ÔÙ ×ØÓ× Ò ÓÖÑ Äº Ë × Ö Ö ÙÒ ÕÙ ÒØÓ
Ù Ö Ó ÑÓ Ó
ÕÙ × ÓÖÑ ÙÒ ÙÖ
ÓÒ ÙÒ × Ñ ØÖ º ú
Ù ÒØ × Ñ Ò Ö ×
× ÔÙ
Ö ×ØÓ
½ ¾ ¿º
ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÙÖ
ÓÑÔÙ ×Ø
ÔÓÖ ÙÒ Ü ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö Ð Ó ÙÒ ¸ × × ØÖ Ò ÙÐÓ× Ý
× ×
Ù Ö Ó׺ ú Ù Ð × Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÙÖ
6(1 +
√
2) 6(1 +
√
3
2 ) ½¾ 6 + 3
√
2 º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º ÍÒ Ó × ÒÓÖÑ Ð × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò
Ô Ö
Ö × ÓÔÙ ×Ø ×
×ÙÑ Ò º ÌÖ × Ó× ÒÓÖÑ Ð × ×ÓÒ Ô Ð Ó× ÙÒÓ Ò
Ñ Ð ÓØÖÓ ÑÓ Ó ÕÙ
Ð ×ÙÑ ÔÙÒØÓ× Ò
Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö
Ö × Ò
ÓÒØ
ØÓ × º ÍÒ Ð ×
Ö ×
Ú × Ð × Ð Ó Ò Ö ÓÖ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÔÙÒØÓº ú Ù ÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ð
Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ
Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ
¾ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ × × ÔÖÓ Ù ÖÓÒ ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ × Ý
Ñ Ö
ÓР׺ Ò Ð Ñ × ÒØ Ö ÓÖ Ù Ó × ÐÓ
Ù ØÖÓ ÓÑ Ò Ó׺ ÒØÓÒ
× Ð ÔÖ Ü ÑÓ Ñ ×
Ò
ÐÙ Ö Ò
× Ö Ñ ÒØ
ÓÑ Ò Ó× Ñ Ö
ÓÐ × Ü
Ø Ñ ÒØ Ú ÖÒ ×
Ü
Ø Ñ ÒØ × Ó× Ð × ØÙ
Ò × ÑÔÓ× Ð º
ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Ó ÕÙ 9n
+ 9n
+ 9n
= 32011
¸ ú
Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ Ò
½¼¼ ½¼¼ ¾¼½¼ ¾¼½½ Ò Ò ÙÒÓ ÐÐÓ׺

26. ¾¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º ÌÖ × ÔÓÖØ ×Ø × Ô ÖØ
Ô ÖÓÒ Ò ÙÒ
ÖÖ Ö Å Ù Ð¸ ÖÒ Ò Ó Ý
Ë ×Ø Òº ÁÒÑ Ø Ñ ÒØ ×ÔÙ × Ð
ÓÑ ÒÞÓ¸ Å Ù Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ ÖÒ Ò Ó
× ÙÒ Ó Ý Ë ×Ø Ò Ø Ö
ÖÓº ÙÖ ÒØ Ð
ÖÖ Ö ¸ Å Ù Ð Ý ÖÒ Ò Ó × Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ
Ð ÓØÖÓ Ú
׸ ÖÒ Ò Ó Ý Ë ×Ø Ò ÐÓ
ÖÓÒ ½¼ Ú
׸ Ý Å Ù Ð Ý Ë ×Ø Ò
½½º ú Ò ÕÙ ÓÖ Ò Ò Ð Þ ÖÓÒ Ð
ÖÖ Ö
Š٠и ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò ÖÒ Ò Ó¸ Š٠и Ë ×Ø Ò
Ë ×Ø Ò¸ Š٠и ÖÒ Ò Ó Ë ×Ø Ò¸ ÖÒ Ò Ó¸ Å Ù Ð
ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò¸ Š٠к
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ë Ø Ò Ò Ó×
Ù Ó×
ÓÒ Ð Ó× ÐÓÒ ØÙ × x
Ñ Ý x + 1
Ѻ Ð
Ù Ó Ö Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ Ù Ý Ð Ô ÕÙ Ó ×Ø Ú
Óº Ë Ú ÖØ Ù Ð
Ù Ó
Ö Ò Ò Ð
Ù Ó Ô ÕÙ Ó ×Ø ÐÐ Ò ÖÐÓ¸ Ý ÕÙ Ò ¾½ Ð ØÖÓ× Ò Ð
Ù Ó Ö Ò º
ú Ù ÒØ Ù × Ú ÖØ Ò Ð
Ù Ó Ô ÕÙ Ó
¾ ¿ Ð ½¾ Ð ½¾ Ð ½º¿¿½ Ð ¾ к
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÍÒ × Ö
ÓÒ Ö Ó ½ ÖÙ ÒØÖÓ
ÙÒ Ù ÖÓ
Ò
Ó Ý Ò
Ü
Ø Ñ ÒØ º Ä Ú ×Ø
Ð Ø Ö Ð Ð Ù ÖÓ
Ò
Ó × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº
úÉÙ Ø Ò ÔÖÓ ÙÒ Ó × Ð ÓÝÓ
25
√
3 ¼ 30
√
2 60(
√
3 − 1)º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð ÙÒ ×
Ð × ÙÒ
Ù Ö
ÙÐ
Ð Ò
4 × 4 Ò Ô ÒØ Ö× Ò ÖÓº Ò Ð ÙÖ
× Ò
¸ Ð Ð Ó
Ð Ó
ÓÐÙÑÒ ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ
Ð × Ò × Ð Ó
ÓÐÙÑÒ ÕÙ Ò Ô ÒØ Ö×
Ò ÖÓº ú
Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × × ÔÙ
Ö ×ØÓ
¾ ¼ ½ ½
½
½
¼
¾
¼ ½ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ú Ù Ð × Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ×
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ× ¿ ØÓ×
ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ØÓ ÑÔ Ö
¾¾½ ½½½ ½½¼ ½¼ ½º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Æ
ÓÐ × ÕÙ Ö ×
Ö Ö Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× Ò Ð ×
Ð × ÙÒ
Ù Ö
ÙÐ 3 × 3 Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× Ò
Ù Ö Ó 2 × 2 × Ù Ð ½¼º ×
Ö ØÓ
Ò
Ó Ò Ñ ÖÓ׸
ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º Ò
Ù ÒØÖ Ð ×ÙÑ
ÐÓ×
Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö ×Ø ÒØ ×º
¿
¾
½ ¼
½¼ ½¾ ½¿ ½½º

27. ½º¿ ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾¿
ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÙÖ ÒØ ÙÒ Ú ÑÙÝ ÑÓÚ Ó¸ ÂÙ Ò ØÖ Ø × ÓÞ Ö ÙÒ Ñ Ô
×Ù Ð Ò Ø Ðº Ë Ð × ÖÖ Ð Ô Ö Ù Ö Ð ×
Ù ØÖÓ
ÐР׸ ×Ù× × Ø
ÖÙ
× Ý
Ð ×
× × ×Ù× Ñ Ó׸ Ô ÖÓ Ò Ö Ð ØÖ × Ð ×
ÐÐ × ×ÓÒ Ö
Ø × Ý × ÐÓ ÙÒ ×
ÙÖÚ º úÉÙ Ò Ú Ú Ò Ð
ÐÐ
ÙÖÚ
Ò
Ú
ÖÐ
Ò ÖÐ Ú Ä Ò ÓÖÑ
Ò × Ò×Ù
ÒØ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC¸ × Ð ¹
ÙÒ ÔÙÒØÓ D Ò Ð × Ñ ÒØÓ BC¸ Ý ÐÙ Ó ×
Ð Ð ÔÙÒØÓ E Ò Ð × Ñ ÒØÓ ADº Ë Ó Ø ¹
Ò Ò × Ò ÙÐÓ× ÒÓØ Ó× Ò Ð ÙÖ ÔÓÖ
ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¾¸º º º ¸ º Ò
Ù ÒØÖ Ð Ñ Ò ÑÓ
Ò Ñ ÖÓ ÔÓ× Ð Ú ÐÓÖ × Ö ÒØ × ÕÙ ÐÓ×
Ò ÙÐÓ× ½¸ ¾¸º º º ¸ ÔÓ Ö Ò ØÓÑ Öº
¿ ¾ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ë Ñ Ò Ø Ò ÙÒ
Ù Ó Ú Ö Ó ½ Ñ
Ð Ó¸ Ò
ÙÝ ×
Ö × Ô Ú Ö Ó×
Ù Ö Ó× ÒØ
Ó× Ô Ô Ð
Ó×
ÙÖÓ¸ ÑÓ Ó ÕÙ Ð
Ù Ó × Ú Ù Ð × ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ó×
´Ú Ö ÙÖ µº ú Ù ÒØÓ×
Ñ
2
×ÓÒ Ô Ô Ð Ó×
ÙÖÓ
¿ ¸ ½ ¼ ¾¾ ¿¼¼ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÄÐ Ñ ÑÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ
Ò
Ó ØÓ× abcde ÒØ Ö × ÒØ × ×Ù×
Ö × ×ÓÒ ØÓ × Ö ÒØ × Ý a = b+ c+ d+ eº ú Ù ÒØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ Ö × ÒØ × Ý
¾ ½ ½ ¾½ ¾ º

28. ¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× x y ×ÓÒ Ñ Ó× Ñ ÝÓÖ × ÕÙ ½º ú Ù Ð Ð × × Ù Ò¹
Ø × Ö
ÓÒ × Ø Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ
x
y + 1
x
y − 1
2x
2y + 1
2x
2y − 1
3x
3y + 1
º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÍÒ
Ù Ó ×
ÓÒ×ØÖÙÝ
ÓÒ Ô Ô Ð ÔÐ Ó
ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º
ÈÓÖ Ð ×ÙÔ Ö
Ð
Ù Ó × ØÖ Þ ÙÒ Ð Ò Ó×
ÙÖ ÕÙ Ú Ð ×ÙÔ Ö
Ð
Ù Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÒØ
׺ ú ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ô Ð ×ÔÙ × ÕÙ Ð
Ù Ó ×
× Ó Ð
º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ä × Ù ÒØ ÙÖ ×
ÓÑÔÓÒ Ó× Ö
Ø Ò ÙÐÓ׺ Ä × ÐÓÒ ØÙ ×
Ó× Ð Ó× ×Ø Ò Ñ Ö
× ½½ Ý ½¿º Ä ÙÖ ×
ÓÖØ Ò ØÖ × Ô ÖØ × Ý Ð × Ô ÖØ ×
× Ö ÓÖ Ò Þ Ò Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ú Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó x
¼ ¿ ¿ ¿ ¿ º

29. ½º¿ ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ú Ù ÒØÓ× Ô Ö × ÓÖ Ò Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × (x, y) × Ø ×
Ò
Ð
Ù
Ò
1
x
+
1
y
=
1
3
¼ ½ ¾ ¿ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º È Ö ÙÒ ÒØ ÖÓ n ≥ 2 ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ n Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ
ÕÙ ÒÓ Ü
nº ú Ù ÒØÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× k × Ø ×
Ò Ð
Ù
Ò k + 1 +
k + 2 = 2k + 3
¼ Ñ × ¿ ¾ ¿ ½º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ð Ð ÑÔ Ú Ö Ó× ØÖ × ÖÓ ÙÒ
ÖÖÓ ×Ø
ÓÒ×ØÖÙ Ó Ø Ð Ñ Ò Ö
ÕÙ Ð ×
Ó ÐÐ w Ý Ð Ö ÞÓ r Ø Ò Ò Ù Ð ÐÓÒ ØÙ Ý Ò Ð ÔÙÒØÓ ÙÒ Ò ÓÖÑ Ò
ÙÒ Ò ÙÐÓ αº Ð Ð ÑÔ Ú Ö Ó× Ô ÚÓØ Ò Ð
ÒØÖÓ C Ý Ð ÑÔ Ð Ö ÕÙ × Ú Ò
Ð ÙÖ º
Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ β ´ Ò Ö Ò ×µ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ð Ó Ö
ØÓ Ö
Ó Ð Ö
Ð ÑÔ
ÓÒ Ð Ø Ò ÒØ º
3π−α
2 π − α
2
3π
2 − α π
2 + α π + α
2 º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÄÓ× ÖÑ ÒÓ× Ò Ö × Ý ÖÙÒÓ ÖÓÒ Ö ×ÔÙ ×Ø × Ú Ö Ö ×
Ð ÔÖ ÙÒØ
Ù ÒØÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ø Ò ×Ù
ÐÙ ×
ÓÐ Ö Ö Þº Ò Ö × Ó
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ñ Ñ ÖÓ× ÒÙ ×ØÖÓ
ÐÙ ¸ Ü
ÔØÓ
Ò
Ó¸ ×ÓÒ Ú ÖÓÒ × º ÖÙÒÓ Ó Ò
Ù ÐÕÙ Ö ÖÙÔÓ × × Ñ Ñ ÖÓ× Ð
ÐÙ ¸ Ð Ñ ÒÓ×
Ù ØÖÓ ×ÓÒ Ò × º ú Ù ÒØÓ×
Ñ Ñ ÖÓ× Ø Ò Ð
ÐÙ
½ ½¾ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º ú Ù ÒØ ×
Ù Ø ÖÒ × Ö ×Ø × ÙÒ
Ù Ó ÔÓ× Ò Ð ÔÖÓÔ
ÕÙ Ò Ò Ò Ô Ö Ö ×Ø × Ð
Ù Ø ÖÒ Ø Ò Ú ÖØ
×
ÓÑÙÒ ×
½¾ ½ º

30. ¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
½º¿º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¿ Ø Ö
Ö
Ó¸ Ô Ò ½ º
¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ö Ð ØÖ Ô
Ó × Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ Ð
× Ñ ×ÙÑ Ð × × × ÔÓÖ Ð ÐØÙÖ º È ÖÓ Ð × Ñ ×ÙÑ Ð × × × × Ù Ð Ð Ð Ó
Ð Ö
Ø Ò ÙÐÓ¸ Ý Ð ÐØÙÖ Ð ØÖ Ô
Ó × Ð Ó Ð Ð Ð Ö
Ø Ò ÙÐÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
Ð Ö Ð ØÖ Ô
Ó × Ð Ó Ð Ð Ð Ö
Ø Ò ÙÐÓ¸ ×
Ö ¾
Ñ
2
º
¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº È Ö Ú ÖÐÓ ×Ø
Ð
ÙÐ Ö S1 = 38¸ S2 = 29¸
S3 = 20 Ý ×Ù×Ø ØÙ Ö ×ØÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × ×º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ×
× Ñ ÒØÓ × S¸ Ð Ö
ÓÖÖ Ö ÙÒ
Ñ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ó Ð Ú ÖØ
Ñ Ö
Ó
ÓÒ ½
× Ú Ò Ò
ÓÒØÖ Ò Ó Ú ÖØ
×
ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× S − 1 Ý ½¸ ÐØ ÖÒ Ñ ÒØ º ÓÑÓ Ð
Ú ÖØ
Ñ Ö
Ó
ÓÒ x × ÐÐ ØÖ Ú × Ò Ó × Ñ ÒØÓ׸ ×
Ð ÖÓ ÕÙ x = 1º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë Ð
Ó
ÒØ × q Ý Ð Ú ×ÓÖ d¸ ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÔ
Ð Ú × Ò × Ø Ò Ö 2011 = qd + 1011¸ ÓÒ qd = 1000 Ý d ≤ 1000º È ÖÓ
ÒØÓÒ
× Ð Ö ×ØÓ ½¼½½ × Ö Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ú ×ÓÖ¸ ÐÓ ÕÙ × ×ÙÖ Óº
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë Ð ÕÒ
Ó
Ð Ó× × x
Ѹ ÒØÓÒ
×
360 = 24 · 5 · x = 120x¸ ÓÒ x = 3 Ý Ð Ö
Ð Ó× ×
Ñ
2
º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ × ×
Ö Ò ×ÓÒ ¼¼¼¸ ¿½¼¼¸
¿¼½¼¸ ¿¼¼½¸ ¾¾¼¼¸ ¾½½¼¸ ¾½¼½¸ ¾¼¾¼¸ ¾¼½½¸ Ø
º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¼ Ø Ö
Ö
Ó¸ Ô Ò ½ º
º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ ÖÒÓ× Ð Ü ÓÒÓ ×ÓÒ
½¾¼
◦
¸ Ð Ò ÙÐÓ
ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ð Ú ÖØ
ÓÑ Ò
ÓÒ Ð Ü ÓÒÓ × 360◦
−
120◦
− 90◦
− 90◦
= 60◦
¸ Ý
ÓÑÓ ×ÓÒ × ×
Ð × Ö ×ÙÐØ Ò Ø Ñ Ò ÕÙ Ð Ø ÖÓ× ´ Ð Ó
½µº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÙÖ × ½¾º
½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ÔÖ Ñ ÖÓ
Ý × ÙÒ Ó Ó׸ Ô Ò º
½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº È Ö Ø Ò Ö ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ × Ý Ñ Ö
ÓÐ × Ð
Ñ ×
ÓÑ ÒÞ Ö Ò ÐÙÒ × Ý Ø Ò Ö ¿½ ׺ Ð Ñ × ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Þ Ò ÓÑ Ò Ó¸
Ý
ÓÑÓ × ÐÓ ØÙÚÓ ÓÑ Ò Ó× Ø Ò Ö ¾ ׸ ×
Ö ÕÙ Ù Ö ÖÓº Ð Ñ ×
× Ù ÒØ Ù ÒØÓÒ
× Ö Ð¸ ÕÙ Ø Ò ¿¼ ׸ Ý
ÓÑ ÒÞ Ò Ù Ú ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
ØÙÚÓ Ù Ú ×¸ Ú ÖÒ × Ý
ÙÒÓ ÐÓ× Ñ × × Ð × Ñ Ò º Ä Ò
ÐØ ÖÒ Ø Ú
ÓÑÔ Ø Ð
ÓÒ ×Ø × ØÙ
Ò × Ð ´ µº
½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº 9n
+ 9n
+ 9n
= 3 · 9n
= 3 · (32
)n
= 3 · 32n
=
32n+1
= 32011
º Á Ù Ð Ò Ó ÐÓ× ÜÔÓÒ ÒØ × 2n + 1 = 2011 Ö ×ÙÐØ n = 1005º

31. ½º¿ ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾
½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ÖÒ Ò Ó Ý Ë ×Ø Ò × Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ
Ð ÓØÖÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ú
׸ ÕÙ ÖÓÒ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ð Ø ÚÓ Ò ÕÙ
×Ø Ò¸ ×
Ö ÖÒ Ò Ó Ð ÒØ Ë ×Ø Òº Ò
Ñ Ó Å Ù Ð Ý ÖÒ Ò Ó
× Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ Ð ÓØÖÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Ö Ú
׸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÕÙ ÖÓÒ Ò ÙÒ
ÓÖ Ò Ö ÒØ Ð Ò
и ×
Ö ÖÒ Ò Ó Ð ÒØ Å Ù Ðº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó
Å Ù Ð Ý Ë ×Ø Ò ÕÙ ÖÓÒ Ò ÙÒ ÓÖ Ò Ö ÒØ Ð Ò
и ×
Ö Ë ×Ø Ò
Ð ÒØ Å Ù Ðº Ò
ÓÒ
ÐÙ× Ò¸ Ø ÖÑ Ò ÖÓÒ Ò Ð ÓÖ Ò ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò¸
Š٠к
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë Ø Ò (x + 1)3
− x3
= 217¸ ÓÒ
3x2
+ 3x − 216 = 0¸ x2
+ x − 72 = 0¸
ÙÝ Ò
Ö Þ ÔÓ× Ø Ú × º ÄÙ Ó Ð
ÚÓÐÙÑ Ò Ð
Ù Ó Ô ÕÙ Ó × 83
= 512 Ð ØÖÓ׺
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ö Ó Ð × Ö × Ð Ø Ö
Ö Ô ÖØ Ð
ÐØÙÖ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ¸ ÐÙ Ó ×Ø × º
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä × ×ÓÐÙ
ÓÒ × ×ÓÒ
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µ¸ ½½¸ Ý × ÐÓ Ö ÔÓÖ ÑÔÐÓ
ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ×
× Ð ¾ ×Ø Ð ¿ º
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ë x × ÙÒÓ
ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ ÐØ Ò¸ ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ × ×ÓÒ 7 − x¸ 8 − x
Ý x − 3 ´Ú Ö ÙÖ µº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÙÑ Ô ×
x+(7−x)+(8−x)+(x−3) = 12º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ ¸
× Ð ×ÙÑ Ô × S¸ ×ÙÑ Ò Ó ÐÓ×
Ù Ö Ó×
2 × 2 × Ó Ø Ò 40 = 1 + 4 + 3 + 0 + 4 × 2 + 2S¸ ×
Ö 24 = 2S¸ ÓÒ S = 12º
¿
¾
½ ¼x
7 − x 8 − x
x − 3
½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ó×
ÐÐ × Ö
Ø × ÔÙ Ò Ø Ò Ö ÐÓ ×ÙÑÓ ÙÒ
ÔÙÒØÓ ÒØ Ö×
Òº ÓÑÓ Ð ×
ÐÐ × Ò Ý Ú ×
ÓÖØ Ò Ó× Ú
׸ ÙÒ
ÐÐ × × Ö
ÙÖÚ º È ÖÓ Ð ×
ÐÐ × Ý Ú Ø Ñ Ò ×
ÓÖØ Ò Ó×
Ú
׸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÙÒ ÐÐ × × Ö
ÙÖÚ º Ë
ÓÒ
ÐÙÝ ÕÙ Ð
ÐÐ
ÙÖÚ ×
Ð Ú º
¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ∠4 = ∠1 + ∠2 Ý ∠7 = ∠4 + ∠5¸
Ö Ð Ñ ÒÓ× ØÖ × Ò ÙÐÓ× Ö ÒØ ×º ×Ø Ñ Ò ÑÓ × Ð
ÒÞ × ∠1 = ∠2 = ∠5 =
∠8 = ∠9 = 36◦
¸ ÔÙ × Ò ×
×Ó ∠3 = 108◦
¸ ∠4 = ∠6 = 72◦
Ý ∠7 = 108◦
º
¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä ×ÙÔ Ö
Ð Ø Ö Ð ØÓØ Ð × ¼¼
Ñ
2
¸ Ð
Ù Ð 3/8 ×Ø Ò
Ù ÖØÓ× ÔÓÖ Ô Ô Ð Ó×
ÙÖÓ¸ ×
Ö ¾¾
Ñ
2
º

32. ¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö
¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÄÓ× ØÓ× bcde Ò × Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ
Ò
¼½¾¿¸ ¼½¾ ¸ ¼½¾ ¸ ¼½¾ ¸ ¼½¿ ¸ ¼½¿ Ó ¼¾¿ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × 7 · 4! =
7 · 24 = 168º
¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ä × ÜÔÖ × ÓÒ × × ÔÙ Ò ×
Ö Ö×
ÓÑÓ
A =
x
y + 1
¸ B =
x
y − 1
¸ C =
x
y + 1
2
¸ D =
x
y − 1
2
¸ E =
x
y + 1
3
¸
ÓÒ ÐÓ
Ù Ð Ö ×ÙÐØ
Ð ÖÓ ÕÙ A < C < E < D < Bº
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾¼ Ø Ö
Ö
Ó¸ Ô Ò ½ º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ø Ö
Ö
Ó¸ Ô Ò ½ º
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº ÅÙÐØ ÔÐ
Ò Ó ÔÓÖ 3xy × Ú ÕÙ Ð
Ù
Ò ×
ÕÙ Ú Ð ÒØ 3x+ 3y = xy¸ ÕÙ ×Ù Ú Þ × ÔÙ ×
Ö Ö
ÓÑÓ (x− 3)(y − 3) = 9¸
ÓÒ × Ó Ø Ò Ò Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ × ´ ¸½¾µ¸ ´ ¸ µ Ý ´½¾¸ µº
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº È Ö k = 1 ×
ÙÑÔÐ 2 + 3 = 5 º Ë
k > 1¸ Ð Ñ Ñ ÖÓ ÞÕÙ Ö Ó Ð
Ù
Ò × Ð ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× Ñ ÝÓÖ × ÕÙ
¾¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ô Ö ÔÓÖ × Ö Ð ×ÙÑ Ó× ÑÔ Ö ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ñ Ñ ÖÓ
Ö
Ó × ÑÔ Öº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ k = 1 × Ð Ò
×ÓÐÙ
Òº
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð Ò ÙÐÓ β × Ð ×ÙÑ ÙÒ Ö
ØÓ Ý ÙÒ
Ò ÙÐÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð ×
ÓÒ Ò ÙÐÓ Ð Ú ÖØ
α¸ ×
Ö
π
2
+
π − α
2
= π −
α
2
.
¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº Ð
ÐÙ Ø Ò
Ò
Ó Ò × Ý Ð Ñ ÒÓ× Ó×
Ú ÖÓÒ × ´ Ò Ö × Ý ÖÙÒÓµº È ÖÓ ÒÓ ÔÙ Ö Ñ × Ú ÖÓÒ ×¸ ÔÙ × ÒØÓÒ
× ×
ÔÓ Ö ÓÖÑ Ö ÙÒ ÖÙÔÓ × ×
ÓÒ ØÖ × Ò × Ý ØÖ × Ú ÖÓÒ ×º
¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
ÓÖÖ
Ø × Ð ´ µº À Ý Ó× Ø ÔÓ×
Ù Ø ÖÒ × Ö ×Ø × × ÙÒ¹
Ø × ´½µ Ð × ÓÖÑ × ÔÓÖ
Ù ØÖÓ Ö ×Ø × Ô Ö Ð Ð × Ý ´¾µ Ð × ÕÙ Ø Ò Ò Ó× Ö ×Ø ×
Ô Ö Ð Ð × ÙÒ
Ö Ý Ó× Ó× Ö ×Ø × Ô Ö Ð Ð × Ð
Ö ÓÔÙ ×Ø ¸ Ô ÖÓ ÓÖØÓ Ó¹
Ò Ð × Ð × Ó× ÔÖ Ñ Ö ×º Ä ×
Ù Ø ÖÒ × Ð Ø ÔÓ ´½µ ×ÓÒ ¿¸ ÙÒ Ô Ö
Ö
Ò
ÔÓ× Ð º Ä × Ð Ø ÔÓ ´¾µ ×ÓÒ ¸ ÔÙ × Ô Ö
Ô Ö
Ö × ÓÔÙ ×Ø × × ÔÙ Ò
Ð Ö ÐÓ× Ô Ö × Ö ×Ø × ¾ Ñ Ò Ö ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × 3 + 6 = 9º

33. Ô ØÙÐÓ ¾
ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð
Ä ÔÖÙ Ö ÓÒ Ð Ð ÇÂÅ
ÓÒ×Ø
Ò
Ó ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ ÕÙ × Ú ÐÓÖ Ò Ò ÙÒ
×
Ð ½ º ÄÓ× Ô ÖØ
Ô ÒØ × ×ÔÓÒ Ò ØÖ × ÓÖ × Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺
¾º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½º
Ë 2x
= 15 Ý 15y
= 32¸ ú
Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ xy
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º
ABCD × ÙÒ
Ù Ö Ó Ý ABE × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº ú Ù ÒØÓ Ñ Ð Ò ÙÐÓ
∠CED
A B
CD
E
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º
Ë Ø Ò Ò ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× ØÖ × ØÓ×
ÙÒÓ¸ abc¸ bca Ý cab¸
ÙÝ ×ÙÑ × ¾ º
ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ a + b + c

34. ¿¼ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð
ÈÖÓ Ð Ñ º
Ð ÔÖÓÑ Ó
Ð
ÓÒ × ÐÓ× ¿ ×ØÙ ÒØ × ÙÒ
ÙÖ×Ó × ½ ¸ º Ë Ð
ÔÖÓÑ Ó ÐÓ×
Ó× × ½ ¸¾ Ý Ð Ð ×
× × ½ ¸ ú
Ù ÒØ ×
× Ý Ò Ð
Ð ×
ÈÖÓ Ð Ñ º
ÍÒ Ð Ò Ù Ø Ò Ð ØÓ ÁÂÄÅÆÇÈÊËÌÍ ´ ÚÓ
Ð × Ô ÖÓ × ÐÓ ½¾
ÓÒ¹
×ÓÒ ÒØ ×µº Ä × Ô Ð Ö × × ÓÖÑ Ò
ÓÒ ØÖ × Ð ØÖ ×¸ × Ò ÕÙ Ô Ö Þ
Ò Ó× ÚÓ
Ð × Ó
Ó×
ÓÒ×ÓÒ ÒØ ×
ÓÒ×
ÙØ Ú ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ È Ë¸ ÁÆ ¸ ÄÍÄ Ý ÇÆÇ ×ÓÒ Ô Ð Ö ×¸
Ô ÖÓ ÌÊÁ¸ Ƹ ÅÁ Ý Í ÒÓ ÐÓ ×ÓÒº
´ µ ú Ù ÒØ × Ô Ð Ö × Ý Ò × Ð Ò Ù
´ µ Ë × ×
Ö ÙÒ
ÓÒ Ö Ó × Ð Ò Ù Ò Ó× ØÓÑÓ׸ Ò ÓÖ Ò Ð Ø
Ó
Ý Ñ Ò Ö ÕÙ
ØÓÑÓ
ÓÒØ Ò Ð Ñ ×Ñ
ÒØ Ô Ð Ö ×¸ ú
Ù Ð × Ö
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ð Ö Ð × ÙÒ Ó ØÓÑÓ
¾º½º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
½º 2xy
= (2x
)y
= 15y
= 32¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ xy = 5º
¾º ∠EAD = ∠BAD − ∠BAE = 90◦
− 60◦
= 30◦
º ÓÑÓ EA = AB = AD Ð
ØÖ Ò ÙÐÓ EAD × × ×
Ð × Ý ∠ADE = (180◦
− ∠EAD)/2 = 75◦
º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
∠EDC = 15◦
Ý Ó Ú Ñ ÒØ Ø Ñ Ò ∠ECD = 15◦
¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠CED = 180◦
−
15◦
− 15◦
= 150◦
º
¿º Ä ×ÙÑ ÐÓ× ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× ×
(100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) = (100 + 10 + 1)(a + b + c),
ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 111(a + b + c) = 2664 Ý a + b + c = 2664/111 = 24º
º Ë x Ð Ò Ñ ÖÓ
׺ ÒØÓÒ
×
35 · 15,75 = 14,25(35 − x) + 18x,
ÓÒ
35(15,75 − 14,25) = (18 − 14,25)x = 3,75x,
x =
35 · 1,5
3,75
= 14.
À Ý ½
׺
º ´ µ 5 · 12 · 5 + 12 · 5 · 12 = 300 + 720 = 1020º
´ µ È Ö
Ð ØÖ Ý ¼ Ô Ð Ö × ÕÙ
ÓÑ ÒÞ Ò ÔÓÖ ÐÐ ¸ Ý
ÓÑÓ Ð Ð ØÖ Ð
Ñ Ó × Ð Ä¸ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × Ö Ð Ô Ð Ö ¿½ ÕÙ
ÓÑ Ò
ÓÒ Äº À Ý ½¾ Ô Ð Ö ×
ÕÙ
ÓÑ ÒÞ Ò
ÓÒ Ä ¸
ÓÒ Ä Ý
ÓÒ Ä º Ä × Ô Ð Ö ÕÙ × Ù Ò ×ÓÒ Ä ¸
Ä ¸ Ä ¸ Ä ¸ Ä Â¸ Ä Ä¸ Ä Å¸ Ä Æ Ý Ä È¸ ÕÙ × Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º

35. ¾º¾ ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó ¿½
¾º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó
ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ½¸ ¾¸ Ý × ÙÒ Ó Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖ Ñ Ö Ó
´Ú Ö Ô º ¾ µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò
Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¿¸ ÕÙ × ÒÙÒ
ÓÒØ ÒÙ
Òº
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º
µ ú Ù Ð × Ð ØÓ Ð × ÙÒ × 32011
+ 52011
´ µ Ð Ò Ñ ÖÓ 32011
+ 52011
¸ úÔÙ × Ö ÙÒ
Ù Ö Ó Ô Ö
ØÓ
¾º¾º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
Ä × ×ÓÐÙ
ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ½¸ ¾¸ Ý × Ò
Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ô Ò ¿¼º
¿º ´ µ Ä × ÔÓØ Ò
× ¿ Ø ÖÑ Ò Ò ×Ù
× Ú Ñ ÒØ Ò ¿¸ ¸ ¸ ½¸ ¿¸ ¸ ¸ ½¸º º º Ä
Ô Ö Ó
Ô ÖÑ Ø ÖÑ Ö ÕÙ 32011
Ø ÖÑ Ò Ò º ×
Ð ÖÓ ÕÙ 52011
´
ÓÑÓ
ØÓ × Ð × ÔÓØ Ò
× µ Ø ÖÑ Ò Ò º
´ µ ÓÑÓ 32011
Ø ÖÑ Ò Ò Ý 52011
Ø ÖÑ Ò Ò ¸ Ð ×ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ò ¾º È ÖÓ
ÐÓ×
Ù Ö Ó× Ô Ö
ØÓ× × ÐÓ ÔÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ò ¼¸ ½¸ ¸ ¸ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
32011
+ 52011
ÒÓ × ÙÒ
Ù Ö Ó Ô Ö
ØÓº
¾º¿º ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½
Ð
ÙÐ Ð Ö Ð Ü ÓÒÓ Ð ÙÖ ¸ × Ò Ó
ÕÙ Ð Ð Ó Ð
Ù Ö
ÙÐ Ñ ½
Ѻ
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Á ÒØ
Ó Ð ÈÖÓ Ð Ñ ¿ Ë ÙÒ Ó Ó ´Ú Ö Ñ × ÖÖ µº
ÈÖÓ Ð Ñ ¿
ÍÒ Ø Ð ÖÓ
Ù Ö Ó 4×4 Ø Ò
Ù ØÖÓ ×Ù Ø Ð ÖÓ× 3×3
´ Ò Ð ÙÖ × ÑÙ ×ØÖ ÙÒÓ ÐÐÓ× Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð Ð Ò
ÖÙ × µº
´ µ ÅÙ ×ØÖ
ÑÓ Ñ Ö
Ö Ð × ½
× ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ
Ñ Ò Ö ÕÙ
×Ù Ø Ð ÖÓ 3 × 3
ÓÒØ Ò Ü
Ø Ñ ÒØ
× ÐÐ × Ñ Ö
׺
´ µ ÅÙ ×ØÖ
ÑÓ Ñ Ö
Ö Ð × ½
× ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö ÕÙ
×Ù Ø Ð ÖÓ 3 × 3
ÓÒØ Ò Ü
Ø Ñ ÒØ
× ÐÐ × Ñ Ö
׺

36. ¿¾ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð
´
µ ú × ÔÓ× Ð Ñ Ö
Ö Ð × ½
× ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö ÕÙ
×Ù Ø ¹
Ð ÖÓ 3 × 3
ÓÒØ Ò Ü
Ø Ñ ÒØ
× ÐÐ × Ñ Ö
× ÂÙ×Ø ÕÙ ×Ù Ö ×ÔÙ ×Ø º
ÈÖÓ Ð Ñ º
ÓÒØ ÒÙ
Ò × ÑÙ ×ØÖ Ò Ó× ÐÓ×
× × ØÓ× ÙÒ
Ø Ö Ø
Ö ØÓ
¿
Ë Ò Ó ÕÙ Ð ×ÙÑ
Ù Ð ×ÕÙ Ö ØÖ × ØÓ×
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ× × ½ ¸ úÔÙ
Óѹ
ÔÐ Ø Ö Ð Ò Ñ ÖÓ
ÈÖÓ Ð Ñ º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × k Ô Ö ÐÓ×
Ù Ð × Ð × Ó× Ö
× x2
−
30x + k = 0 ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ׺
¾º¿º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
½º Ð Ü ÓÒÓ ×Ø ÒØÖÓ ÙÒ Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ð Ó× Ý Ý Ö ¾¼º Ä Ö Ò
ÒØÖ Ð Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ý Ð Ü ÓÒÓ
ÓÒ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö × ¾¸
3
2 ¸
3
2 ¸ ¿ Ý ½¸ ÕÙ ×ÙÑ Ò
Ñ
2
º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ð Ü ÓÒÓ × 20 − 9 = 11
Ñ
2
º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ
ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È
Ð Ö × 8 + 8
2 − 1 = 11
Ñ
2
º
¾º Î Ö ×ÓÐÙ
Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ì Ö
Ö Ó Ô º ¿½º
¿º ´ µ À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö ×
ÖÐÓº
ÓÒØ ÒÙ
Ò × ÑÙ ×ØÖ Ò Ó× ÐÐ ×
´ µ À Ý Ó× Ñ Ò Ö ×
ÖÐÓ
´
µ × ÑÔÓ× Ð ¸ Ý ÕÙ Ö Ö Ó×
× ÐÐ × × Ò Ñ Ö
Ö Ò
×Ù Ø Ð ÖÓ
3 × 3¸ Ô ÖÓ
ÓÑÓ
×Ù Ø Ð ÖÓ Ø Ò ×ÓÐ Ñ ÒØ ÙÒ
× ÐÐ ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò

37. ¾º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó ¿¿
Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÓØÖÓ× ØÖ × ´Ð Ð ×ÕÙ Ò µ × ×
× ÐÐ × ÒÓ ÔÙ Ò × Ö ØÓ ×
Ö ÒØ ×¸ Ý Ð Ø Ð ÖÓ Ø Ò Ö Ñ ÒÓ×
× ÐÐ × × Ò Ñ Ö
Öº
º ÄÓ× Ó× ØÓ× Ð Ö
Ð Ò ×ÙÑ Ö ¸ ÐÙ Ó Ð Ô Ò ÐØ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ
× º ÈÓÖ Ð Ñ ×Ñ Ö Þ Ò Ò Ð × ÔÓ×
ÓÒ × ¸ Ý ¿ Ú Ð
¿
ÓÖ × Ú ÕÙ Ò Ð × ÙÒ
× ÐÐ Ú Ð Ý Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ¿º Ð Ö ×ØÓ ×
ÓÑÔÐ Ø
ÐÑ ÒØ ÞÕÙ Ö Ö
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
º Ä ×ÙÑ Ð × Ö
× × Ö ¿¼ Ý ×Ù ÔÖÓ Ù
ØÓ kº ÒØÓÒ
׸ Ô Ö
×
ÓÑÔÓ×
Ò ¿¼
ÓÑÓ ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× p Ý q¸ × Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò k = pqº
Ä × ×
ÓÑÔÓ×
ÓÒ × Ú Ð × ×ÓÒ 7+23 = 11+19 = 13+17¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ× Ú ÐÓÖ ×
Ù×
Ó× k ×ÓÒ 7 · 23 = 161¸ 11 · 19 = 209 Ý 13 · 17 = 221º
¾º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½º Á ÒØ
Ó Ð ÈÖÓ Ð Ñ Ì Ö
Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿¾µº
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× n¸ 1 ≤ n ≤ 8¸ Ø Ð × ÕÙ × ÔÓ× Ð Ñ Ö
Ö
Ð ÙÒ ×
× ÐÐ × Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 5×5 ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ Ý Ü
Ø Ñ ÒØ n
× ÐÐ ×
Ñ Ö
× Ò
Ù Ö Ó 3 × 3º
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × k Ô Ö ÐÓ×
Ù Ð × Ð × Ó× Ö
× x2
−
30x + k = 0 ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ׺
ÈÖÓ Ð Ñ
À ÐÐ Ð Ö Ð
Ù Ö Ð Ø ÖÓ ABCD¸ × Ò Ó ÕÙ
AB = BC¸ ∠ABC = ∠ADC = ∠BED = 90◦
Ý
BE = 5º
A
B
C
DE
ÈÖÓ Ð Ñ º ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð ×
Ô
Ù Ö Ó × × ÙÒ
Ù Ö Ó
Ô Ö
ØÓ Ý Ñ × × Ð Ù Ð Ö
ÞÕÙ Ö ÕÙ ÞÕÙ Ö Ö
º
ÈÓÖ ÑÔÐÓ 484 = 222
× ÙÒ
Ô
Ù Ö Ó ¿
Ö ×º
µ ×
Ö Ð Ñ ÒÓ× ØÖ ×
Ô
Ù Ö Ó×
Ö ×º
µ ú Ü ×Ø Ò
Ô
Ù Ö Ó×
Ö ×

38. ¿ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð
¾º º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
½º Î Ö Ô Ò ¿¿º
¾º × ÔÓ× Ð Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× × Ð ½ ×Ø Ð ¸
ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ò ÐÓ×
× Ù ÒØ × Ö Ñ ×
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
n = 5 n = 6 n = 7 n = 8
¿º Ä ×ÙÑ Ð × Ö
× × Ö ¿¼ Ý ×Ù ÔÖÓ Ù
ØÓ kº ÒØÓÒ
׸ Ô Ö
×
ÓÑÔÓ×
Ò ¿¼
ÓÑÓ ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× p Ý q¸ × Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò k = pqº
Ä × ×
ÓÑÔÓ×
ÓÒ × Ú Ð × ×ÓÒ 7+23 = 11+19 = 13+17¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ× Ú ÐÓÖ ×
Ù×
Ó× k ×ÓÒ 7 · 23 = 161¸ 11 · 19 = 209 Ý 13 · 17 = 221º
º ÌÖ
ÑÓ× ÔÓÖ B Ð Ô Ö Ð Ð AD ×Ø
ÓÖØ Ö Ò F Ð ÔÖÓÐÓÒ
Ò DCº
ÄÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö
Ø Ò ÙÐÓ× ABE Ý CBF ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ × ÔÓÖ Ø Ò Ö AB = BC Ý
∠ABE = ∠CBF¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ BF = BE = 5 Ý Ö ´ABCD) = Ö ´EBFD) =
25º
A
B
C
DE
F
º µ × Ö ÞÓÒ Ð ÔÖÓ Ö
ÓÒ Ð
Ù Ö Ó ÙÒ
Ô
ØÖ ×
Ö × Ô ÕÙ ×
´Ô Ö Ú Ø Ö
ÖÖ Ó×µ¸ × × Ó Ø Ò Ò 1012
= 10201¸ 1112
= 12321¸ 1212
= 14641¸
2022
= 40804 Ý 2122
= 44944º À Ý ÓØÖÓ Ñ ×
Ð ÐÐ Ö 3072
= 94249º

39. ¾º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó ¿
µ ÆÓ Ýº ÍÒ
Ô
Ù Ö Ó n
Ö × × Ö Ð ÓÖÑ abba¸ ×
Ö n =
1000a+ 100b+10b+a = 1001a+ 110b = 11(91a+ 10b)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ
½½º Ë n = k2
¸ ÒØÓÒ
× k × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ½½º Ë k = 11r ÒØÓÒ
× n =
(11r)2
= 121r2
º È Ö ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ×
Ö × r × Ö Ð Ñ ÒÓ× ¿ Ý ÐÓ
×ÙÑÓ ¸ Ô ÖÓ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× 121r2
ÓÒ 3 ≤ r ≤ 9 ´ × Ö ½¼ ¸ ½ ¿ ¸
¿¼¾ ¸ ¿ ¸ ¾ ¸ Ý ¼½µ ×
Ô
¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × Ø Ú º
¾º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ ÕÙ ÒØÓ Ó × Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö
Ö Ó ´Ú Ö Ô º
¿¾µº ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿ ÕÙ ÒØÓ Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿
Ù ÖØÓ Ó ´Ú Ö Ô º ¿¿µº ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ Ý × ÒÙÒ
Ò
ÓÒØ ÒÙ
Òº
ÈÖÓ Ð Ñ
Ð Ü ÓÒÓ ABCDEF ×Ø
Ö
ÙÒ×
Ö ÔØÓ ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
´ ×
Ö ÕÙ ØÓ Ó× ×Ù× Ð Ó× ×ÓÒ
Ø Ò ÒØ × Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
µº Ë Ð × ÐÓÒ ØÙ ×
ÐÓ× Ð Ó× AB¸ BC¸ CD¸ DE Ý EF ×ÓÒ ¸ ¸
¸ Ý Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ú
Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð
Ð Ó FA
A
B
C
DE
F
ÈÖÓ Ð Ñ º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × n Ø Ð × ÕÙ Ð ×ÙÑ ØÓ Ó× ×Ù×
Ú ×ÓÖ × ´ Ò
ÐÙ Ó× ½ Ý Ð Ñ ×ÑÓ nµ × Ù Ð ½ º
¾º º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
Ä ×ÓÐÙ
Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ × Ò
Ù ÒØÖ Ò Ð Ô Ò ¿¿º Ä × ×ÓÐÙ
ÓÒ × ÐÓ×
ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿ × Ò
Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ô Ò ¿ º
º ÓÑÓ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× Ø Ò ÒØ × ÙÒ ÔÙÒØÓ ÜØ Ö ÓÖ ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
×ÓÒ Ù Ð ×¸ × Ø Ò AP = PB¸ BQ = QC¸ CR = RD¸ DS = SE¸ ET = T F
FU = UAº ÒØÓÒ
× AB − BC + CD − DE + EF − FA = 0¸ Ý ÕÙ Ò Ð ×ÙÑ
ÐØ ÖÒ
× Ñ ÒØÓ Ø Ò ÒØ ×
Ò
Ð
ÓÒ ÓØÖÓ Ù Ðº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
FA = AB − BC + CD − DE + EF = 4 − 5 + 6 − 7 + 8 = 6.

40. ¿ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð
A
B
C
DE
F
P
Q
R
S
T
U
º Ë pa
qb
· · · × Ð ×
ÓÑÔÓ×
Ò Ò
ØÓÖ × ÔÖ ÑÓ× n ÒØÓÒ
× Ð ×ÙÑ
×Ù× Ú ×ÓÖ × ×
(1 + p + · · · + pa
)(1 + q + · · · + qb
) · · ·
ÄÓ×
ØÓÖ × (1+p+· · ·+pa
) ÕÙ ÒÓ ×ÙÔ Ö Ò ½ ×ÓÒ µ ÐÓ× Ð ÓÖÑ (1+p)
ÓÒ
p < 156 ÔÖ ÑÓ¸ µ 1 + 2 + 22
= 7¸ 1 + 3 + 32
= 13¸ 1 + 5 + 52
= 31¸ 1 + 7 + 72
= 57¸
1+11+112
= 133¸
µ 1+2+22
+23
= 15¸ 1+3+32
+33
= 40¸ 1+5+52
+53
= 156¸
µ 1+2+22
+23
+24
= 31¸ 1+3+32
+33
+34
= 121¸ µ 1+2+22
+23
+24
+25
= 63¸
µ 1 + 2 + 22
+ 23
+ 24
+ 25
+ 26
= 127º
ÓÑÓ 156 = 22
· 3 · 13 Ø Ò ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÔÓ× Ð ×
156 = 3 · 4 · 13 = (1 + 2)(1 + 3)(1 + 3 + 32
)¸ ÕÙ ÒÓ × ÖÚ ÔÙ × × ×Ø Ö Ô Ø Ò Ó
Ð ¿º
156 = 3 · 52¸ 156 = 4 · 39¸ 156 = 6 · 26¸ ÕÙ ÒÓ × ÖÚ Ò ÔÙ × ¾¸ ¿ Ý ¾ ÒÓ ×Ø Ò
Ò Ð Ð ×Ø º
156 = 12 · 13 = (1 + 11)(1 + 3 + 32
)¸ ÕÙ ÒÓ× n = 11 · 32
= 99º
156 = 1 + 5 + 52
+ 53
¸ ÕÙ ÒÓ× n = 53
= 125º
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ý Ó× ×ÓÐÙ
ÓÒ ×¸ Ý ½¾ º

41. Ô ØÙÐÓ ¿
ÈÖÙ Ò Ð
Ä ÔÖÙ Ò Ð Ð ÇÂÅ ¾¼½½ × Ö Ð Þ Ò Ð ÍÒ Ú Ö× Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸
Ð × Ó ½½ ÙÒ Óº Ä ÔÖÙ
ÓÒ×Ø
Ù ØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ ×¸
ÙÒÓ
ÐÐÓ× Ú ÐÓÖ Ó Ò ÙÒ ×
Ð ½ º ÄÓ× Ô ÖØ
Ô ÒØ × ×ÔÙ× ÖÓÒ ØÖ × ÓÖ ×
Ý Ñ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺
¿º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ Ý × k Ð ÒØ ÖÓ ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ð ÓÖÖ Ö Ð
Ö Ð × ÙÒ × n ´ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × n Ù × ¾ ÒØÓÒ
× k × Ö µº Ë
n − k = 2011¸ ú
Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ n
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ò Ð ÙÖ Ð Ö
ABCD × ÙÒ
Ù Ö Ó Ý P × ÙÒ ÔÙÒØÓ
ÜØ Ö ÓÖ Ø Ð ÕÙ AP = AC Ý ∠BCP =
17◦
º Ð
ÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ ∠BAPº
A B
CD
P
17◦
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë ÓÖÑ ÙÒ Ð Ö Ð ×Ø ØÓ× ×
Ö Ò Ó ÐÓ× ÒØ ÖÓ× Ð ½ Ð
¾¼½½ ÙÒÓ
ÓÒØ ÒÙ
Ò Ð ÓØÖÓ
12345678910111213 . . .200920102011.

42. ¿ ÈÖÙ Ò Ð
ú Ù ÒØ × Ú
× Ô Ö
Ð ×
Ù Ò
½¾ Ò × Ð ×Ø
ÈÖÓ Ð Ñ º Ò
ÖØÓ ÔÙ ÐÓ¸
2
3 Ð ØÓØ Ð ÓÑ Ö × ×Ø Ò
× Ó×
ÓÒ
3
5
Ð ØÓØ Ð ÑÙ Ö ×º Ë ÒÙÒ
×
× Ò
ÓÒ ÓÖ ×Ø ÖÓ׸ ú
Ù Ð × Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò
Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö × Ö ×Ô
ØÓ Ð ÔÓ Ð
Ò ØÓØ Ð Ð ÔÙ ÐÓ
ÆÓØ ÄÓ ÕÙ × Ô ×
Ò Ñ ÖÓ Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö ×
Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ô Ö×ÓÒ ×
º
¿º½º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
½º ×
Ð ÖÓ ÕÙ n × Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ
Ö × abcd Ý ÕÙ a × Ö ¾ ´×
a = 3 ÒØÓÒ
× abcd − abc ≥ 3000 − 399 > 2011¸ Ý × a > 3 ÒØÓÒ
× abcd − abc ≥
4000−999 > 2011µº ÓÖ
ÙÑÔÐ Ö× 2bcd−2bc = 2011¸ Ó Ò bcd−2bc = 11¸
ÐÓ ÕÙ × ÐÓ Ö
ÓÒ b = 2¸ c = b + 1 = 3 Ý d = c + 1 = 4º
½º ´ËÓÐÙ
Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº Ë Ð
Ö Ð × ÙÒ × n × x ÒØÓÒ
× n = 10k+x
Ý n − k = 9k + x = 2011º ÓÑÓ 2011 = 9 · 223 + 4¸ Ö ×ÙÐØ x = 4 Ý k = 223º ÈÓÖ
ÐÓ Ø ÒØÓ n = 10 · 223 + 4 = 2234º
¾º ∠ACP = ∠ACB + ∠BCP = 45◦
+ 17◦
= 62◦
º ÓÑÓ ACP × × ×
Р׸
∠APC = ∠ACP = 62◦
Ý ∠CAP = 180◦
− 2 · 62◦
= 56◦
º ÒØÓÒ
× ∠BAP =
∠CAP − ∠CAB = 56◦
− 45◦
= 11◦
º
¿º Ä ×
Ù Ò
½¾ ÔÙ Ô Ö
Ö
ÓÑÓ ÐÓ× Ó× ÐØ ÑÓ× ØÓ× ÐÓ× ÒØ ÖÓ×
½¾¸ ½½¾¸ ¾½¾¸º º º ¸ ½¾¸ ½¼½¾¸ ½½½¾¸º º º ¸ ½ ½¾ ´¾¼ Ú
×µº Ì Ñ Ò
ÓÑÓ
Ö × Ð ×
ÒØ Ò × Ý Ð ×
Ò × ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ½¾¼¸ ½¾½¸ º º º ¸ ½¾ ´½¼ Ú
×µ Ý ½½¾¼¸ ½½¾½¸
º º º ¸ ½½¾ ´½¼ Ú
×µº Ì Ñ Ò
ÓÑÓ
Ö Ð × ÙÒ × ½¼¼¼ Ý
Ö Ð ×
ÒØ Ò × Ò ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ½¾¼¼¸ ½¾¼½¸º º º ¸ ½¾ ´½¼¼ Ú
×µº
Ñ × ÔÙ Ô Ö
Ö
ÓÑÓ ÐØ Ñ
Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ý ÔÖ Ñ Ö Ð × Ù ÒØ ¸
Ò ÐÓ×
×Ó× ½ ¾¸ ¾½ ¾¾¸ ¾¼½ ¾¼¾¸ ¾½½ ¾½¾¸ ¾¾½ ¾¾¾¸ ¾¿½ ¾¿¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸
¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾ Ý ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ´½¿ Ú
×µº Ò ØÓØ Ð Ð ×
Ù Ò
½¾ Ô Ö
10 + 10 + 10 + 10 + 100 + 13 = 153 Ú
׺
º Ë Ò h Ð ØÓØ Ð ÓÑ Ö ×¸ m Ð ØÓØ Ð ÑÙ Ö × Ý n = h + m Ð ØÓØ Ð
Ø ÒØ × Ð ÔÙ ÐÓº Ä × Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö × ×ÓÒ s = (1/3)h + (2/5)mº È ÖÓ Ð
Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ö ×
× Ó× × Ö Ù Ð Ð ÑÙ Ö ×
× ×¸ ×
Ö (2/3)h =
(3/5)m¸ ÓÒ h = (9/10)mº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò Ô ×
s
n
=
1
3 h + 2
5 m
h + m
==
3
10 m + 2
5 m
9
10 m + m
=
7
10
19
10
=
7
19
.

43. ¿º¾ ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó ¿
¿º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó
ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý × ÙÒ Ó Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖ Ñ Ö Ó
´Ú Ö Ô º ¿ µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò
Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½º
ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò Ð ×ÙÑ ÕÙ × Ú Ð Ö
Ð × Ð ØÖ ×
A¸ B Ý C Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ö ÒØ × ÒÓ ÒÙÐÓ׺ ú Ù Ð
× Ð Ú ÐÓÖ
ÙÒ ÐÐ ×
ABC
+ ABC
BBA
¿º¾º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
Ä × ×ÓÐÙ
ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý ¿ × Ò
Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¿ º
½º Ð ×ÙÑ Ö Ð
ÓÐÙÑÒ Ð Ö
ÒÓ× ÑÓ× ÐÐ Ú Ö ÙÒ ¸ ÐÓ
ÓÒØÖ Ö Ó Ð
Ò
Ó Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ð Ô Ö B × Ö ¼º Ë ÐÐ Ú ÑÓ× ÙÒ ÒØÓÒ
× B = 9 Ý A + A + 1 =
B = 9¸ ÓÒ A = 4º Ò ÐÑ ÒØ C + C = 14 × × Ù C = 7º
¿º¿º ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó
ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÓÖÑ Ó× ÔÓÖ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ ¸
Ý ¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò¸ Ø Ð × ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ×
´ ÞÕÙ Ö Ö
µ × Ú × Ð ÒØÖ ¾¸ Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð × ÙÒ Ó Ý Ð Ø Ö
Ö
ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ Ý × ×Ù
× Ú Ñ ÒØ ×Ø ÕÙ Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ó
Ø ÚÓ
Ý Ð ÒÓÚ ÒÓ ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð ÔÖÓÑ Ó Ø Ó ÙÒ × ÓÐ ×Ø ×
Ð
ÙÐ
ÓÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ
Ø× Ó Ø Ò Ó× Ú Ó ÒØÖ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÙÖÒÓ× Ð Ø Ý ÑÙÐØ ÔÐ
Ó ÔÓÖ
½¼¼¼º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ò ½¼ ØÙÖÒÓ× Ø ¿ Ø׸ Ð ÔÖÓÑ Ó Ø Ó × ¿¼¼º
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ò
ÖØÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÔÖÓÑ Ó ÙÒ × ÓÐ ×Ø
× Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼ Ô ÖÓ ÕÙ Ñ × Ð ÒØ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾ ¼¸ úÔÙ ÖÑ Ö× ÕÙ
Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ù Ü
Ø Ñ ÒØ ¾ ¼ Ð ÒÚ Ö× ¸ × Ò
ÖØÓ ÑÓÑ ÒØÓ
Ð ÔÖÓÑ Ó × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾ ¼ Ý Ñ × Ð ÒØ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼¸ ú Ù Ò Ð Ò
ÑÓÑ ÒØÓ Ü
Ø Ñ ÒØ ¾ ¼
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÍÒ ÖÖ
Ó
ÓÐ Ø Ø Ò ÓÖÑ
Ù Ö
ÙÐ 4 × 7¸
ÓÒ ÙÒ
Ù Ö ØÓ Ò ÙÒ ×ÕÙ Ò
Ñ Ö
Ó
ÓÒ º Ò Ö × Ý ÖØ Ù Ò Ð × Ù ÒØ
Ñ Ò Ö
ÙÒÓ Ò ×Ù ØÙÖÒÓ¸
ÓÑ ÒÞ Ò Ó ÔÓÖ Ò¹
Ö ×¸ Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ Ò Ó× ÔÓÖ ÙÒ Ð × Ð Ò ×
Ö
Ø × Ð
Ù Ö
ÙÐ ¸
ÓÑ Ö× Ð ØÖÓÞÓ ÕÙ ÒÓ
ÓÒ¹
Ø Ò Ð Ý Ô × ÖÐ ÐÓ ÕÙ ÕÙ Ð ÓØÖÓ Ù ÓÖº

44. ¼ ÈÖÙ Ò Ð
Ð ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ ´ÐÓ ÕÙ Ó
ÙÖÖ Ö
Ù Ò Ó Ö
×ÓÐ Ñ ÒØ ÙÒ
Ù Ö ØÓµ Ô Ö Ð Ù Óº Ø ÖÑ Ò × Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ó× Ù ÓÖ × Ø Ò ÙÒ
×ØÖ Ø Ò ÓÖ ¸ Ý ÜÔÐ ÕÙ
٠Р׺
ÆÓØ ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ × ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ù Ó ÕÙ × ÙÖ Ð Ú
ØÓÖ Ð
ÕÙ ÐÓ ÔÐ
¸ Ù Ù ÐÓ ÕÙ Ù Ù ×Ù Ú Ö× Ö Óº
ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò ABCD ÙÒ Ö
Ø Ò ÙÐÓ¸ E Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó CD¸ F Ý G
ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó AB Ø Ð × ÕÙ AF = FG = GB¸ H Ý K ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÒØ Ö×
Ò
Ð ÓÒ Ð AC
ÓÒ EF Ý EG¸ Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ º ´ µ Ð
ÙÐ
HC
AH
Ý
AK
KC
º
´ µ Ð
ÙÐ
HK
AC
º ´
µ Ð
ÙÐ
Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EHK
Ö Ð Ö
Ø Ò ÙÐÓ ABCD
º
¿º¿º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
½º Ë abcdefghi Ð Ò Ñ ÖÓº È Ö ÕÙ de × Ú × Ð ÒØÖ ¸ Ð ÕÙ ÒØÓ ØÓ e
× ÐÓ ÔÙ × Ö º ÓÖ Ô Ö ÕÙ 5f × Ú × Ð ÒØÖ ¸ f × Ö Ô Ö ÕÙ
4g × Ú × Ð ÒØÖ ¸ g × Ö Ô Ö ÕÙ 9h × Ú × Ð ÒØÖ ¸ h × Ö
Ý Ô Ö ÕÙ 6i × Ú × Ð ÒØÖ ¸ i × Ö ¿º È Ö ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ×
Ù ØÖÓ ØÓ×
ÕÙ Ò ½¸ ¾¸ Ý º È Ö ÕÙ cd × Ú × Ð ÒØÖ × Ö d = 2¸ Ý ÕÙ Ò
½ Ò ×ÓÒ Ú × Ð × ÒØÖ º ÒØÓÒ
× b × Ö Ð Ô Ö ÕÙ ÒÓ× ÕÙ ¸ ×
Ö
º ÓÖ ÕÙ Ò Ó× ÔÓ× Ð × Ô Ö
ÓÑÓ Ö Ð ½ Ý Ð ¸ ÕÙ Ò ÐÙ Ö ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× ½ ¾ ¿ Ý ½¾ ¿º Ñ Ó×
ÙÑÔÐ Ò Ð ×
ÓÒ
ÓÒ × Ý ×ÓÒ Ð × Ò
×
×ÓÐÙ
ÓÒ ×º
¾º Ë Ò ×Ù ÔÖ Ñ Ö ØÙÖÒÓ ÒÓ
Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó × ¼¸ Ý × Ò Ð × ÙÒ Ó ØÙÖÒÓ
Ø ÙÒ Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó ×Ù ¼¼¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÙ Ô × Ö × Ö Ñ ÒÓÖ
¾ ¼ × Ö Ñ ÝÓÖ ¾ ¼ × Ò ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ ¾ ¼º Ð ÒÚ Ö× Ð × ØÙ
Ò ×
Ö ÒØ º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÑ Ó Ô × × Ö Ñ ÝÓÖ × Ö Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼º
Ë Ò Ð ÐØ ÑÓ ØÙÖÒÓ Ò ÕÙ Ö Ñ ÝÓÖ ¾ ¼ Ð Ù ÓÖ Ø Ó h Ø×
Ò n ØÙÖÒÓ׸ ÒØÓÒ
× 1000h/n > 250¸ Ó 4h > nº Ò Ð ØÙÖÒÓ × Ù ÒØ ÒÓ ÔÙ
Ö Ø Ó Ø ÔÙ × Ò ×
×Ó ×Ù ÔÖÓÑ Ó ÒÓ ×Ñ ÒÙ Ö ¸ Ý ÕÙ Ô × Ö
× Ö 1000(h + 1)/(n + 1) Ý (h + 1)/(n + 1) − h/n = (n − h)/(n(n + 1)) ≥ 0º È ÖÓ ×
ÒÓ Ø Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó Ô × × Ö 1000h/(n+ 1) ≤ 250º ×
Ö ÕÙ 4h ≤ n+ 1º
ÒØÓÒ
× n < 4h ≤ n + 1 Ý
ÓÑÓ h Ý n ×ÓÒ ÒØ ÖÓ× × Ö 4h = n + 1 Ý Ð
ÔÖÓÑ Ó ÐÐ × Ö Ü
Ø Ñ ÒØ ¾ ¼º
¿º Ò Ö × Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ ¸ ÕÙ
ÓÒ× ×Ø Ò Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ Ò ÓÐ
× ÑÔÖ ÙÒ
Ù Ö Ó ÖØ º Ò ×Ù ÔÖ Ñ Ö Ù Ð Ö ÙÒ
Ù Ö Ó
4 × 4º Ò ÐÓ ×Ù
× ÚÓ¸ × ÖØ Ö
ÙÒ
Ù Ö Ó k × k
ÓÒ k > 1¸ Ö
Ô ÖØ ÖÐÓ Ò Ó ÙÒ Ö
Ø Ò ÙÐÓ k ×h¸
ÓÒ h < k¸ Ð
Ù Ð Ò Ö × Ô ÖØ Ö Ò Ó
ÙÒ
Ù Ö Ó h × hº × Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÖØ Ö
Ö ÙÒ
Ù Ö Ó 1 × 1 Ý
Ô Ö Ö º ¿º ´ËÓÐÙ
Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº

45. ¿º¿ ÈÖÙ Ì Ö
Ö Ó ½
º
A B
CD E
F G
H
K
´ µ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× HAF Ý HCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò
HC
AH
=
EC
AF
=
1
2 AB
1
3 AB
=
3
2
.
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸
ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× KAG Ý KCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò
AK
KC
=
AG
EC
=
2
3 AB
1
2 AB
=
4
3
.
´ µ ´ µ × × Ù ÕÙ
AC
AH
=
AH + HC
AH
= 1 +
3
2
=
5
2
º
Ò ÐÓ Ñ ÒØ
AC
KC
=
AK + KC
KC
= 1 +
4
3
=
7
3
º
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
AH
AC
=
2
5
Ý
KC
AC
=
3
7
¸ ÓÒ
HK
AC
= 1 −
2
5
−
3
7
=
6
35
.
µ
[EHK] =
6
35
[EAC] =
6
35
·
1
2
[DAC] =
6
35
·
1
2
·
1
2
[ABCD],
×
Ö
[EHK]
[ABCD]
=
3
70
.

46. ¾ ÈÖÙ Ò Ð
¿º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½
Ù ÖØÓ Ó × Ù Ð Ð Ø Ö
Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿ µº
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ò Ð ÙÖ Ð
Ö
ABCDE × ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ
Ö ÙÐ Ö Ý ABFGHIJKLM × ÙÒ
ÓÒÓ Ö ÙÐ Öº
´ µ ÈÖÙ ÕÙ D × Ð
ÒØÖÓ Ð
ÓÒÓ¸
´ µ Ð
ÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ
∠DIGº
A B
C
D
E
F
G
H
IJ
K
L
M
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ ´½¸ ¾¸ ¿º º º µ × Ô ÒØ Ñ Ö ÐÐÓ¸ ÞÙÐ Ó ÖÓ Ó¸
ÑÓ Ó ÕÙ Ý Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ
ÓÐÓÖº ú × ÔÓ× Ð
Ö ×ØÓ
Ñ Ò Ö ÕÙ ¸ Ô Ö
Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× Ö ÒØ
ÓÐÓÖ¸ ×Ù ×ÙÑ × Ð
ÓÐÓÖ
Ö ÒØ Ð Ñ Ó× ×ÙÑ Ò Ó×
ÈÖÓ Ð Ñ º ÙÒÓ ÐÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ð Ñ Ð ÄÙ × ØÓÑ
ÓÒ
Ð
Ò Ð × ÝÙÒÓº ÌÓ Ó× ØÓÑ ÖÓÒ Ù Ð
ÒØ ¸ ÙÒÕÙ Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò
Ý Ð
Ú Ö Ò
Ø Þ º Ë ÄÙ × ØÓÑ ÙÒ
Ù ÖØÓ Ð ØÓØ Ð Ð Ð
Ý ÙÒ
× ÜØÓ Ð ØÓØ Ð Ð
¸
´ µ ú Ù ÒØÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ý Ò Ð Ñ Ð ÄÙ ×
´ µ ú Ò ÔÖÓÑ Ó¸
Ù Ð Ö Ð ÔÓÖ
ÒØ Ð
Ò Ð
ÓÒ Ð
¿º º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
Ä ×ÓÐÙ
Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ × Ò
Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¼º
¾º ´ µ Ð
ÒØÖÓ Q Ð Ô ÒØ ÓÒÓ ABCDE × Ð
ÒØÖÓ Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ö
ÙÒ×¹
Ö ÔØ Ð Ô ÒØ ÓÒÓ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ ∠AQD = 360◦
/5 = 72◦
º ÓÑÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò×
Ö ÔØÓ
× Ð Ñ Ø Ð
ÒØÖ Ð¸ × Ø Ò ∠ADB = 1
2 ∠AQD = 72◦
/2 = 36◦
´ ×ØÓ × ÔÙ
ÔÖÓ Ö ÑÙ
× Ñ Ò Ö ×¸ Ð Ó Ñ × Ð Ö × ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ
ÓÑÓ
AED × × ×
Ð × Ý ∠AED = 108◦
Ö ×ÙÐØ ∠EDA = ∠EAD = (180◦
− 108◦
)/2 =
36◦
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ∠BDC = 36◦
Ý ÒØÓÒ
× ∠ADB = ∠EDC−∠EDA−∠BDC =
108◦
− 36◦
− 36◦
= 36◦
µº
ÓÖ Ò¸ DA = DB ´ ×ØÓ × × Ù Ð × Ñ ØÖ Ð Ô ÒØ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö¸ Ó
Ð
Ó ÕÙ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× DAE Ý DBC ×ÓÒ Ó Ú Ñ ÒØ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×µº ÈÓÖ ÐÓ

47. ¿º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó ¿
Ø ÒØÓ D ×Ø Ò Ð Ñ ØÖ Þ AB¸ Ù Ð ÕÙ Ð
ÒØÖÓ O Ð
ÓÒÓº Ñ ×
∠AOB = 360◦
/10 = 36◦
= ∠ADB¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ O = Dº
´ µ ÓÑÓ GDI × × ×
Ð × Ý ∠GDI = ∠GDH +∠HDI = 36◦
+36◦
= 72◦
¸ Ö ×ÙÐØ
∠DIG = ∠DGI = (180◦
− 72◦
)/2 = 54◦
º
¿º ÆÓ × ÔÓ× Ð º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÔÓÖ ×ÙÖ Ó ÕÙ Ù Ö ÔÓ× Ð º ÒØÓÒ
׸ ÙÒ
ÓÐÓÖ
Ò ÕÙ
ÙÑÔÐ Ð
ÓÒ
Ò¸
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ó×
×Ó×
´½µ ÉÙ ½ Ý ¾ × Ò ×Ø ÒØÓ
ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× ½ Ñ Ö ÐÐÓ Ý ¾ ÞÙк ÒØÓÒ
× 3 = 1+2
Ö × Ö ÖÓ Ó Ý 4 = 1 + 3 Ö × Ö ÞÙк È ÖÓ ÓÖ ¸ ÔÓÖ × Ö 1 + 4 Ö
× Ö ÖÓ Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÔÓÖ × Ö 2 + 3 Ö × Ö Ñ Ö ÐÐÓ¸ ×ÙÖ Óº
´¾µ ÉÙ ½ Ý ¾ × Ò Ð Ñ ×ÑÓ
ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× Ñ Ö ÐÐÓº Ë n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓØÖÓ
ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× ÞÙк ÒØÓÒ
× Ø ÒØÓ n + 1
ÓÑÓ n + 2 Ö Ò × Ö ÖÓ Ó׺ È ÖÓ ÔÓÖ
× Ö n + 2 = (n + 1) + 1 ´ÖÓ Ó Ñ × Ñ Ö ÐÐÓµ Ö × Ö ÞÙи ×ÙÖ Óº
¿º ´ËÓÐÙ
Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº ÆÓ × ÔÓ× Ð º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÔÓÖ ×ÙÖ Ó ÕÙ Ù × ÔÓ× Ð
Ý × n ÙÒ ÒØ ÖÓ
ÓÐÓÖ Ö ÒØ Ð Ð ½º ÑÓ× ÕÙ ½ ×
ÓÐÓÖ Ý
ÕÙ n ×
ÓÐÓÖ º ÒØÓÒ
× n + 1 × Ö Ð Ø Ö
Ö
ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× º ÓÖ
n+2 = (n+1)+1 × Ö
ÓÐÓÖ ¸ n+3 = (n+2)+1 × Ö ¸ n+4 = (n+3)+1
× Ö Ý × ×Ù
× Ú Ñ ÒØ ¸ ×
Ö ÕÙ Ô ÖØ Ö n ÐÓ×
ÓÐÓÖ × Ý
× ÐØ ÖÒ Òº È ÖÓ ÒØÓÒ
× 2n + 1 × Ö
ÓÐÓÖ Ó ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ¸ ÔÓÖ × Ö
2n + 1 = n + (n + 1) ´×ÙÑ ÙÒ Ý ÙÒ µ Ö × Ö º
º
A B
CD E
F G
H
K
´ µ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× HAF Ý HCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò
HC
AH
=
EC
AF
=
1
2 AB
1
3 AB
=
3
2
.
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸
ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× KAG Ý KCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò
AK
KC
=
AG
EC
=
2
3 AB
1
2 AB
=
4
3
.

48. ÈÖÙ Ò Ð
´ µ ´ µ × × Ù ÕÙ
AC
AH
=
AH + HC
AH
= 1 +
3
2
=
5
2
º
Ò ÐÓ Ñ ÒØ
AC
KC
=
AK + KC
KC
= 1 +
4
3
=
7
3
º
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
AH
AC
=
2
5
Ý
KC
AC
=
3
7
¸ ÓÒ
HK
AC
= 1 −
2
5
−
3
7
=
6
35
.
µ
[EHK] =
6
35
[EAC] =
6
35
·
1
2
[DAC] =
6
35
·
1
2
·
1
2
[ABCD],
×
Ö
[EHK]
[ABCD]
=
3
70
.
¿º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó
ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý ÕÙ ÒØÓ Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ×
Ù ÖØÓ Ó ´Ú Ö
Ô º ¾µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò
Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½º
ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖ ÑÓ× p ≥ 2 Ø Ð × ÕÙ 11p − 8 × ÙÒ
Ù Ó Ô Ö
ØÓº
¿º º½º ËÓÐÙ
ÓÒ ×
Ä × ×ÓÐÙ
ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý × Ò
Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¾º
½º Ë 11p − 8 = x3
ÒØÓÒ
× 11p = x3
+ 8 = (x + 2)(x2
− 2x + 4)º ÓÑÓ p = 2 ÒÓ
× ×ÓÐÙ
Ò¸ Ù×
ÑÓ× p ≥ 3
ÓÒ ÐÓ
Ù Ð x3
≥ 11 · 3 − 8 = 25 Ý x ≥ 3º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
x2
− 2x + 4 = x(x − 2) + 4 ≥ x + 4 > x + 2 Ý Ý ÕÙ
ÓÒ× Ö Ö Ó×
×Ó×
µ x + 2 = p Ý x2
− 2x + 4 = 11º ×ØÓ ÒÓ × ÔÓ× Ð ÔÙ × x2
− 2x − 7 = 0 ÒÓ
Ø Ò Ö
× ÒØ Ö ×¸ Ó Ò ÔÓÖÕÙ 5 ≤ x + 2 = p < 11 × ÐÓ Ô Ö p Ó×
ÔÓ× Ð ×¸ Ý ¸ Ý Ò 11 · 5 − 8 = 47 Ò 11 · 7 − 8 = 69 ×ÓÒ
Ù Ó× Ô Ö
ØÓ׺
µ x + 2 = 11 Ý x2
− 2x + 4 = pº Ò ×Ø
×Ó x = 9 Ý
ÓÑÓ 92
− 2 · 9 + 4 = 67 ×
ÔÖ ÑÓ¸ p = 67 × Ð Ò
×ÓÐÙ
Òº

49. Ô ØÙÐÓ
ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ
Ä ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ × ÙÒ
ÓÑÔ Ø Ò
Ñ Ø Ñ Ø
ÒØ ÖÒ
ÓÒ Ð
ÓÓÖ Ò ¹
ÔÓÖ Ð ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø
Ö ÒØ Ò ´ÇÅ µº ÓÒ× ×Ø Ò ÙÒ ÔÖÙ
×
Ö Ø ¿ ÓÖ × ÙÖ
Ò Ý
ÓÒ×Ø Ó× Ò Ú Ð × Ð ÔÖ Ñ Ö Ò Ú Ð × Ô Ö
Ú Ò × ÕÙ ÒÓ Ý Ò
ÙÑÔÐ Ó ½¿ Ó× ×Ø Ð ¿½
Ñ Ö Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ
Ð ÔÖÙ Ð × ÙÒ Ó Ò Ú Ð × Ô Ö Ú Ò × ÕÙ ÒÓ Ý Ò
ÙÑÔÐ Ó ½ Ó× ×Ø
Ð ¿½
Ñ Ö Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð ÔÖÙ º Ô × Ô ÖØ
Ô ÒØ Ø Ò ÙÒ
ÓÑ Ø ÕÙ
Ð
Ð × ÔÖÙ ×
Ù Ö Ó ÙÒ Ô ØÖ Ò
ÓÑ Ò
ÓÖÖ
Òº ÍÒ
Ú Þ
Ð
× × Ð Ò Ð × ½¼ Ñ ÓÖ ×
Ò Ú Ð Ý × ÒÚ Ò ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó×
Ö ÒØ Ò ¸ ÙÒØÓ Ð × ÔÖÙ × ÕÙ Ó
ÙÔ ÖÓÒ ÐÓ× ÐÙ Ö × ½
Ó
¸ ¿
Ó
Ý
Ó
Ò
Ò Ú Ðº ×Ø Ñ Ò Ö Ð Ô × ÓÖ Ò Þ ÓÖ Ø Ò ÙÒ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ô ÖÑ Ø Ú Ð Ö
Ð
ÓÖÖ
Ò
Ò
Ô × Ý Ö Ø
Ö Ð × Ñ ×Ñ ×¸ Ô Ö ÐÙ Ó ÔÖÓ
Ö Ð
ÔÖ Ñ
Òº
º½º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð
ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ä × Ô Ð Ö ×
Ó
×
⋄ ∗ ⊗ ⊕ # • ∗ ⋄ • ⊗ ⋆⊕
×ÓÒ Ò Ð Ò ÓÖ Ò
ÅÇ ËÍÊ Ê Ç Å Ëº
×
Ö Ö ⊗ ⋆ ⋄ ∗ ⊕# ⋄ •⊗º
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÙÒ ×ÓÐ Ú Þ
ÙÒÓ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸
Ý × ×
Ö Ò Ð
Ù Ö Ó Ý Ð
Ù Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº Ø ÖÑ Ò Ö
Ù ÒØÓ ÔÙ Ú Ð Ö
Ó Ò Ñ ÖÓº

50. ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò Ð Ö
Ø Ò ÙÐÓ ABCD¸ BC = 5¸ EC =
1
3
CD Ý F × Ð ÔÙÒØÓ
ÓÒ ×
ÓÖØ Ò AE Ý BDº Ð ØÖ Ò ÙÐÓ DFE Ø Ò Ö ½¾ Ý Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABF
Ø Ò Ö ¾ º À ÐÐ Ö Ð Ö Ð
Ù Ö Ð Ø ÖÓ BCEFº
A B
CD E
F
ÈÖÓ Ð Ñ º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ú Ö Ó×
Ù ØÓ× Ð Ò
Ó× Ö ×Ø ½ Ù ÐÐ ÖÑ ÙÒ
Ù Ó
Ö Ò º ÄÙ Ó Ð
Ö × Ð
Ù Ó Ö Ò Ý Ð × Ô ÒØ ÖÓ Óº Ò ÐÑ ÒØ × ÖÑ
Ð
Ù Ó Ö Ò Ý Ó × ÖÚ ÕÙ ÐÓ×
Ù ØÓ×
ÓÒ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ
Ö Ô ÒØ ÖÓ Ó ×ÓÒ
¿½º À ÐÐ Ö Ð
ÒØ
Ù ØÓ× ÕÙ ÙØ Ð Þ Ô Ö ÖÑ Ö Ð
Ù Ó Ö Ò º Ò Ð Þ Ö
ØÓ × Ð × ÔÓ× Ð ×º
ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ× Ö ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× ½ ØÓ׸
Ú × Ð × ÔÓÖ ½ ¸
ÙÝÓ× ØÓ× ×ÓÒ Ü
ÐÙ× Ú Ñ ÒØ ½ Ý ¾¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ý ØÓ× ¾
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ׺ ú Ù ÒØÓ× ×ØÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ý
º¾º ËÓÐÙ
ÓÒ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð
½º À Ý × ÐÓ Ó× Ô Ð Ö × ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò
ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ð ØÖ ¸ ÅÇ Ý Ê Ç¸ Ý
Ø Ñ Ò Ó× ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò
ÓÒ •º ÒØÓÒ
× • = Ǻ
À Ý
Ó Ò
Ò
Ò ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ð ØÖ ¸ Ü
ÔØÓ Ð ÓÖ Ò¸ Ò ⋄ Ý ∗, Ý Ò
ÅÇ Ý Å Ë¸ ÑÓ Ó ÕÙ ⋄ Ý ∗ ×ÓÒ¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò¸ Ý Åº ÓÑÓ • = Ǹ
ÅÇ ∗ ⋄ •, ÓÒ ∗ Ý Å ⋄.
À Ý
Ó Ò
Ò
ÔÖ Ñ Ö Ý Ø Ö
Ö Ð ØÖ Ò ⊗ Ý ⊕, Ý Ò ËÍÊ Ý Å Ë¸ Ý Ò
ËÍÊ Ý Ê Çº ÓÑÓ Ç •, ÒØÓÒ
× Ê Ç ⊕#•
ÓÒ ⊕ = ʸ # = Ý Å Ë ⋄ ∗ ⊗,
Ó × ÕÙ ⊗ = ˺
Ò ÐÑ ÒØ ¸ ⋆ = ͸ ÔÙ × ËÍÊ ⊗ ⋆ ⊕. ÒØÓÒ
× ∗, #¸ Å ⋄¸ Ç •, Ê
⊕¸ Ë ⊗, Í ⋆ Ý Ð Ô Ð Ö × ËÍÅ Ê ÅÇ˺
¾º Ë Ò ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ×
Ö ØÓ× A = n2
Ý B = n3
¸ ÓÒ n × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº
ÒØÓÒ
× n > 20, ÔÙ × Ò
×Ó
ÓÒØÖ Ö Ó A Ý B Ò
ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò Ò Ñ ÒÓ×
ØÓ× ´¾¼¾ ¼¼¸ ¾¼¿ ¼¼¼¸ Ò ØÓØ Ð ØÓ×µº Ì Ñ Ò n < 32¸ ÔÙ × ¿¾¾
½¼¾ Ý ¿¾¿ ¿¾ Ø Ò Ò Ò ØÓØ Ð ØÓ׺ Ð ØÓ Ð × ÙÒ × n
ÒÓ ÔÙ × Ö ½¸ ¸ ÔÙ × A = n2
Ý B = n3
Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐÓ× Ó×
ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ
ØÓº Ñ × Ð ÐØ ÑÓ ØÓ n ÒÓ × ¿ ¸ ÔÙ × Ò
×Ó
ÓÒØÖ Ö Ó A = n2
Ø ÖÑ Ò Ö Ò º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð ÐØ ÑÓ ØÓ n × ¾¸ Ù ¸ ×
Ö¸ n ¾¾¸ ¾

51. º¾ ËÓÐÙ
ÓÒ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð
¾ º Ë n = 22¸ ÒØÓÒ
× A = 484 Ý B = 10648¸ Ý Ý ØÓ× Ö Ô Ø Ó׺ Ë n = 24¸
ÒØÓÒ
× A = 576 Ý B = 13824º Ë n = 28¸ ÒØÓÒ
× A = 784 Ý B = 21952¸ Ô ÖÓ
ÒÓ × ÔÙ Ù× Ö Ð ØÓ º Ò
ÓÒ
ÐÙ× Ò¸ Ð Ò
ÔÓ× Ð × n = 24º
¿º ÄÐ Ñ ÑÓ× a = EC Ý x Ð Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ DAFº ÒØÓÒ
×
Ö (DAE) = Ö (DAF) + Ö (DFE) = x ÷ 12 =
DE · DA
2
=
2a · 5
2
,
Ö (DAB) = Ö (DAF) + Ö (ABF) = x ÷ 27 =
DA · AB
2
=
3a · 5
2
.
ÄÙ Ó¸ x + 12 = 5a¸ x + 27 =
15 · a
2
¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ x = 18 Ý a = 6º ×
Ö ÕÙ
Ö (DAF) = 18 Ý AB = DC = 3a = 18º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸
Ö (BCEF) = Ö (ABCD) − Ö (DFE) − Ö (DAF) − Ö (ABF)
= 18 · 5 − 12 − 18 − 27 = 33.
ËÓÐÙ
Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ë h Ý H ×ÓÒ Ð × ÐØÙÖ × ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× DFE Ý AFB
× Ð Ú ÖØ
F Ö ×ÙÐØ ÕÙ h + H = 5º ÄÙ Ó
Ö (DFE) =
2a · h
2
= 12, ÓÒ ah = 12,
Ö (AFB) =
3a · H
2
= 27, ÓÒ aH = 18¸ Ý Ø Ò ÑÓ×
ah
aH = 12
18 = 2
3 .
ÓÑÓ h + H = 5 Ö ×ÙÐØ h = 2, H = 3 Ý a = 6º ÒØÓÒ
× AB = 3 · 6 = 18º ÈÓÖ ÐÓ
Ø ÒØÓ
Ö (BCEF) = Ö (ABCD) − Ö (AED) − Ö (AFB)
= 5 · 18 −
5 · 12
2
−
18 · 3
2
= 33.
ÆÓØ º Ë × Ö ×Ù ÐÚ Ù× Ò Ó × Ñ ÒÞ ¸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÙÒ ØÓ ÕÙ ×Ó Ö º
º Ë a Ð
ÒØ
Ù ØÓ×
Ö ×Ø Ð
Ù Ó Ö Ò º Ì Ò ÑÓ× Ó×
×Ó׺
Ë × Ò Ô ÒØ Ö Ó×
Ö × ÓÔÙ ×Ø × Ý Ô ÒØ Ð × ÓØÖ ×
Ù ØÖÓ
Ö × Ö Ô ÒØ Ó
P = 4a(a − 1)
Ù ØÓ׺ ÓÑÓ ×Ø Ò Ñ ÖÓ × Ô Ö¸ ÒÓ Ý ×ÓÐÙ
Òº
Ë × Ò Ô ÒØ Ö Ó×
Ö ×
ÓÒ ÙÒ Ö ×Ø
ÓÑ Ò Ý Ô ÒØ Ð × ÓØÖ ×
Ö ×
Ö Ô ÒØ Ó P = a2
+ 2a(a − 1) + (a − 1)(a − 2) = 4a2
− 5a + 2. Ë P = 431,
ÒØÓÒ
× 4a2
− 5a + 2 = 431, Ó × ¸ 4a2
− 5a − 429 = 0, Ý Ø Ò ÑÓ× a = 11.
Ë a = 11, ÒØÓÒ
× a3
= 113
= 1331 × Ð
ÒØ
Ù ØÓ× Ù× Ó׺
º Ë N × ÙÒÓ ×ØÓ× Ò Ñ ÖÓ׸ ÒØÓÒ
× N × Ú × Ð ÔÓÖ ¸ ÑÓ Ó ÕÙ ×
Ø Ò x ØÓ× ¾ Ý 14−x ØÓ× ½¸ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× × 2·x+1(14−x) = 14+x

52. ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ
ÕÙ × Ö Ú × Ð ÔÓÖ º Ò
ÓÒ×
Ù Ò
x Ø Ò Ö ×ØÓ Ò Ð Ú × Ò ÔÓÖ ¸
×
Ö¸ x = 4, 13, . . . È ÖÓ × ÑÔÓ× Ð ÕÙ × x ≥ 13 ÔÙ × Ò Ø Ð
×Ó Ð Ò Ñ ÖÓ
N ½ ØÓ× Ø Ò Ö ØÓ× ¾
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ׺ ÄÙ Ó x = 4¸ Ó × ÕÙ N Ø Ò
ØÓ× ¾ Ý ½¼ ØÓ× ½º
Ñ ×¸ N × Ô Ö¸ ÒØÓÒ
× ×Ù ÐØ ÑÓ ØÓ × ¾º Ð × Ù ÒØ ØÓ¸
Ð
ÞÕÙ Ö ¸ × ½¸ ÔÙ × ÒÓ Ý ¾
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ׺ ÄÙ Ó ÑÓ× ÐÐ Ö
Ù ÒØÓ× ×ÓÒ ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× ½¾ ØÓ× ÕÙ Ù× Ò ØÓ× ½ Ý ¿ ØÓ× ¾¸ Ò ÐÓ× ÕÙ ÒÓ Ý ØÓ×
¾
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ׺
Ä
ÒØ ØÓØ Ð Ò Ñ ÖÓ× ½¾ ØÓ×
ÓÒ ØÓ× ½ Ý ¿ ØÓ× ¾ × Ù Ð
Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ × Ð Ö ¿ ÔÓ×
ÓÒ × Ô Ö ÐÓ× ØÓ× ¾ ÒØÖ ½¾ ÔÓ× Ð ×¸ ×
Ö¸
12 · 11 · 10
1 · 2 · 3
= 220. ×Ø ×¸ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ×Ø ÑÓ× ÐÓ× ½¼
×Ó× Ò ÐÓ× ÕÙ ÐÓ× ØÖ ×
¾ Ó
ÙÔ Ò ÔÓ×
ÓÒ ×
ÓÒ×
ÙØ Ú ×º ÉÙ ÔÓÖ
ÓÒØ Ö Ð × ÓÔ
ÓÒ ×
ÓÒ Ü
Ø Ñ ÒØ
Ó× ¾
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ׸ Ý Ø Ñ Ò Ö ×Ø ÖÐÓ× ¾¾¼º Ë Ð Ô Ö ¾
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ× ×Ø Ò
Ð × ÔÓ×
ÓÒ × ½¸ ¾ ½½¸ ½¾¸ Ý ÔÓ× Ð × Ô Ö Ð Ø Ö
Ö ¾º Ë Ø Ð Ô Ö ×Ø Ò
Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÔÓ×
Ò¸ Ð ×
Ù Ð × Ý ¸ Ð Ø Ö
Ö ¾ × ÔÙ Ð Ö Ñ Ò Ö ×º
ÑÓ Ó ÕÙ Ý 2 · 9 + 9 · 8 = 90 Ò Ñ ÖÓ×
ÓÒ Ü
Ø Ñ ÒØ Ó× ¾
ÓÒ×
ÙØ ÚÓ׺
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ù×
ÑÓ× × 220 − 10 − 90 = 120.
º¿º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð
ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ x Ø Ð ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ×
x × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾¼½½ Ú
× Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ 3x´¿ ÔÓÖ xµº
ÈÖÓ Ð Ñ ¾º
ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ
Ù ØÖÓ ØÓ× abcd(a = 0) × ÔÓÖ × ×
ÙÑÔÐ Ò Ð × × Ù ÒØ ×
ÓÒ
ÓÒ ×
a ≥ b;
ab − cd = cd − ba.
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ¾¼½½ × ÔÓÖ ÔÓÖÕÙ 20 − 11 = 11 − 02.
À ÐÐ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÔÓÖ º
ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ABC Ø Ð ÕÙ AB = AC, M × Ð ÔÙÒØÓ
Ñ Ó BC. Ë P ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ñ ØÖ Þ AC ÕÙ Ô ÖØ Ò
Ð × Ñ ÔÐ ÒÓ
Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ BC ÕÙ ÒÓ
ÓÒØ Ò A. Ä × Ö
Ø × CP Ý AM ×
ÓÖØ Ò Ò Q.
Ð
ÙÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò AP Ý BQ.
ÈÖÓ Ð Ñ º Ó× n ÔÙÒØÓ× Ò ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
× ×
Ö Ð Ð Ó ÙÒÓ
ÐÐÓ× ÙÒ ½ Ý Ð Ð Ó
ÙÒÓ ÐÓ× ÓØÖÓ× ÙÒ ¼º Ä ÓÔ Ö
Ò Ô ÖÑ Ø
ÓÒ× ×Ø
Ò Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø Ò ÙÒ ½ Ý
Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ × ÔÙÒØÓ Ý Ø Ñ Ò ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× ×Ù× Ó× Ú
ÒÓ׸ Ð Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ð Ö
´ ÓÒ Ý ½ ×
×
Ö ¼ Ý ÓÒ Ý ¼ × ×
Ö ½µº