A Multiple Pairs Shortest Path Algorithm 解説

A Multiple Pairs Shortest Path
Algorithm
NTS 2012.5.18
増谷

Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.

MPSP
• Multiple Pairs Shortest Path Algorithm
– 複数の点間の OD 最短距離を求める

http://www.youtube.com/watch?
v=PaT1l-mzZtc

http://www.youtube.com/watch?
v=87_1K2GQFdU&feature=relmfu


Purpose of MPSP
• OD-Multi-commodity flow problem (ODMCFP)
– 複数のＯＤ需要から最適な最短路を求める
– 経路（辺）のキャパシティは決まっている
– minimum cost multi-commodity flow problem
• コストを最小にする
• ＮＰ完全

– 応用
• 航空路の最適化
• RWA(Routing Wavelength Assignment)
– WDM を利用したフォトニックネットワークの経路選択
– 接続を最大化させる


紹介論文
• Wang, I.-L., Johnson, E. L., & Sokol, J. S. (2005).
A Multiple Pairs Shortest Path Algorithm.
Transportation Science, 39(4), 465-476.
doi:10.1287/trsc.1050.0124
• 選定理由
– MPSP に関する最近の文献
– 分野を外していない (Transportation)


著者
• I-Lin Wang 教授 @ National Cheng Kung
University ( 台湾 )
– OR 方面の人（特に Network Optimization ）
– Logistics, Network, Data Mining, Telecommunication,
Bioinformatics など応用
– MIT 卒、富士通研究所、ジョージア工科大を経て現
職
– http://ilin.iim.ncku.edu.tw/index.html


いわゆる経路探索
•
•

グループ化
1) 組み合わせ、ネットワーク探索
– Label-setting methods (Dijkstra 1959, Dantzig 1960, Dial 195)
– Label-correcting methods (Ford 1956, Moore 1957, Bellman
1958, Pape 1974)
– Their Hybrids (Glober ,Klingman 1984)

•

2) 線形計画法

SSSP 用

– Primal network simplex methods (Goldfarb, Hao, and Kai
1990, Goldfarb and Jin 1999)
– Dual ascent method (Bertsekas, Pallottino, Scutella 1995;
Pallottino and Scutella 1997)

•

3) 代数的、行列計算
– Floyd-Warshall (Floyd 1962, Warshall 1962)
– Carre’s algorithm (Carre 1969,1971)


APSP 用

Algebraic Method for APSP
• APSP が以下の式で表される
– X : n*n shortest distance matrix
– C : n*n measure matrix
– In: identity matrix

• Bellman 方程式に一致
• Floyd-Warshall, Carrer アルゴ
リズムのベース

MPSP と SSSP,MPSP の関係
• SSSP の拡張
– 何度も SSSP を行う
– Q が N に対して十分小さい場合
• SSSP を q 回やるのが高速

– q が多い場合
• SSSP は APSP に近づき、無駄なペアの経路を抽出することに
なる

• MPSP の応用
– 結果からピックアップするだけ
– 対象以外のペアも計算している

-> そのままでは無駄が多いRights Reserved.
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All

各種定義
• cij コスト行列
• xij 距離行列

例：　 x41 = 8

• x 最短距離行列

例：　 x41* = 3

*
ij

• succij successor matrix

例：　 Succ41 = [3,2]
例：　 Succ41* = [2]

• succij* 最短 successor matrix 　


各種定義
最短経路アルゴリズ
最短経路アルゴリズ
ムは triple comparison
ムは triple comparison
の繰り返し
の繰り返し

• Triple comparison
– s -> k -> t
– xsk + xkt と xst を比較

例：　 x42 + x21 = 3 < x41 = 9

– 新しい経路の方が短い場合
• xst をアップデート
• fill-in arc (s,t) を作る（直接辺が無かった場合）
fill-in

t

k

s


各種定義
• ノードの順列
– Higher / lower i>j
– highest / lowest
– Upward / downward


DLU
• DLU は Carre の APSP アルゴリズムの拡張
– LU 分解を利用
– 密なグラフに有効
– 最短経路木を作らずにＯＤ距離を計算可能


条件
• Q 個の要求 OD ペア
– Q:={(si,ti): i=1,…q}

• ノード i とノード j の間の暫定距離初期化
– [xij] := [cij]

• ノード j へのノード i からの経路行列の初
期化
– [succij] := [j]


DLU の手順
手順
1.A_LU
2.Get_D(si,ti)


A_LU
• 対角要素 (k,k) を利用して、 (k,t) for each
t>k の要素を消す
• 灰色部分の行列をアップデートまたは fillins を作る


A_LU でのアップデート
• 現状見つかっている (s,t)
間の最短路よりも短い経
路が見つかれば Update
– xst , succst 　を Update

k=2

k=1

4 fill-in
1
3 X

k=3

3
1
3 X 1

→2

4

2 X
X

X

A_LU の意味
• G から G’(augmented graph) を作成
– Fill-in 辺を追加
– 中間ノードは s,t よりも小さいノードのみ考慮


A_LU の産物

• xst は A_LU の後、部分グラフ H(..) 内の最短
経路を示す
• 自分より小さい index の
　　ノードを使ったグラフ

Get_D(s,t)
• 上三角、下三角行列に分解
– Acyclic graph になる


Get_D_L(ti)
• 下三角行列への処理

t

– 下流への辺をもつグラフ
– 今度は s,t の間にあるノード
　を使って triple comparison


k

s

Get_D_L(ti)
• 下三角行列への処理
– 下流への辺をもつグラフ
– 今度は s,t の間にあるノー
ド
　を使って triple comparison

s


k

t

Min_add(si,ti)
• Get_D_U と Get_D_L 後
– ri=max{si,ti}
– H([1,ri]) 中の最短経路が求まっている状態

• Min_add は xst* を求めるための残りの走査
を行う
の最短路
[ri+1,n] の triple comp


• GL の最短経路は H([1,s]) の最短経路に一致 ,s>t
• GU の最短経路は H([1,t]) の最短経路に一致 ,s<t


• Get_D_L(t) は H([1,s]) のすべての (s,t) ペア
に関して最短路を与える s>t
• Get_D_U(t) は H([1,t]) のすべての (s,t) ペア
に関して最短路を与える s<t

• DLU は OD pair の最短路を計算する
• Get_D は xij* 、 succij* を正しく求める


DLU の注意点
• 特徴
– 正しさは、 Triple comparison の順序に依存し
、パスのトレース順序には依存しない
– それゆえ、 successor アップデートは行わなく
ても機能する
– Floyd-Warshall 法と似ている


Trace もほしい場合
• Get_P(s,t)
– S から t に到達するまで最短路をたどっていく


計算複雑性
• Triple comparison の回数
• A_LU
• Get_D_U
• Get_D_L
• Min_add

高速化テクニック
• ワーストケース O(n3)
– 完全グラフに対する APSP
– Floyd-Warshall, Carre Algorithm と同様
– SSSP よりは良い

• 疎な無閉路グラフ
– ノードの順序が性能に影響
– Fill-in をいかに減らすか
– Fill-in reduction は NP 完全だが、多くのテク
ニックが存在

生来持っている高速性
• OD ペアが s や t を共有する場合
– 重複を避けることができる

• OD ペアの経路途中のノード
– Get_P では再利用できる

• MPSP に応用した場合、全ペアの計算を行
わなくて良い
– 必要なＯＤペアだけ探索する
– 他の” algebraic” なアルゴリズムでは全ペア計
算

評価
• 完全グラフの場合の机上検討
– Triple comparison
Floyd-Warshall

(n-1)2(n-2)+(n-2)

Label-correcting SSSP

O(n4)

DLU

(2/3)n(n-1)(n-2)

• Floyd-warhsall に比べた性能向上


実装での比較
• 複数の SSSP アルゴリズムと比較


• SPGRID-SQ
– 自動生成されたグリッド型データ
– 正方形
– 最速版の 3-10 倍


• SPGRID-WL
– 自動生成されたグリッド型データ
– 長方形
– 最速版の 3-5 倍


• Flight Networks
– ノード数 130-1000 、アーク数　 700-8000
– DLU が最速


結果
• 人工データでは性能が出ない
• 実データでは他のアルゴリズムを凌駕


性能向上の指針
• 性能は OD ペアの分布と順序による
– 分散していると非効率（それでも APSP よりは
良い）
– ノードの順序が悪いー＞ fill-in 増加
– Fill-in が増えると、 dense になり遅くなる

• 改良
– 右下よりにＯＤが集まっていれば速く終わる
– Reordering
• なるべくグループ化させて、 fill-in を発生させない
ようにする

まとめ
• 比較的単純なアルゴリズム
– MPSP の厳密解が得られる

• 改良の余地
– 性能向上のための reorder が効く
– LU 分解での各種テクニックが使える

• 動的なコストへの適用
– DLU の初期のグラフ最適化は DLU のための最
適化であり、コストの変化に依存しない
– → 　１度の高速化でＯＫ

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