Nombres Reals

1. ELS NOMBRES REALS
1. De fracció a decimal (exemples)
75,3
4
15

415
3,7530
20
0
4
Nombre
decimal limitat246
34
8364

8364
246156
204
00
34
Nombre natural

2. Nombre decimal
il·limitat periòdic
mixte
2175,0
1650
359

1650359
0,217575...3590
02900
12500
09500
12500
...
09500
Nombre decimal
il·limitat periòdic
pur
42851,30
7
213

7213
30,42851...030
020
060
040
050
030
...
No hi ha més possibilitats!

3. Com podem saber el tipus de decimal sense fer la divisió?
Després de simplificar la fracció, descomposem el denominador.
Ens podem trobar els següents casos:
• Si en la descomposició sols tenim potències de 2 i/o de 5
• Si en la descomposició no tenim ni potències de 2 ni de 5
• Si en la descomposició tenim potències de 2 i/o de 5 i d’algun altre
nombre diferent d’aquests
Nombre decimal exacte
N. decimal periòdic pur
N. decimal periòdic mixt

4. 2. Pas a fracció (exemples)
...
3
15
2
10
1
5
5 
De natural o enter a fracció:
...
3
93
2
62
1
31
31 






De decimal limitat a fracció:
De decimal il·limitat periòdic pur a fracció:
De decimal il·limitat periòdic mixte a fracció:
4
15
100
375
75,3 
5
518
10
1036
6,103 
99
301
99
3304
...040404,304,3 


900
1811
900
2012012
...0122,2012,2 


ja que
ja que
...0404,304100 x
...040404,3x
330499 x
-
...222,20121000 x
...222,201100 x
2012012900 x
-012,2xsi
04,3xsi

5. 3. Dels naturals als reals:
 ,......25,......,4,3,2,1N
 ,......25,......,4,3,2,1,0,1,2,3,..,125...., Z
Nombres naturals:
Nombres enters:
ZN  Tots els nombres
naturals són enters.
,......25,......,4,3,2,1
,......25,......,4,3,2,1

6. Nombres racionals:






 0,,/ bZba
b
a
Q
És a dir, tots els
nombres que es
poden escriure en
forma de fracció.
QZN 
Nombres
Naturals i enters
Decimals
Limitats
Il·limitats
Periòdics
No periòdics
Purs
Mixtos
Per tant,
Naturals i enters
Aquests
nombres es
poden escriure
en forma de
fracció
Tots els nombres
naturals i enters
són racionals.

7. Nombres irracionals:
I = { Nombres decimals il·limitats i no periòdics}
Exemples:
3 5 6 72
 2
51

I QZ
N
Tots aquests conjunts de nombres
formen els nombres Reals
Nombres reals:
IQR 

8. N Z Q I R
7
5
4
12
2
3
3
27
3
4
5
3
En quin o quins conjunts situaries els
següents nombres?:
NO
NO NO
NO NO
NO NO
NO NO NO
NO NO NO NO NO
NO NO
NO NO NO
NO NO NO
NO
SÍ SÍ SÍ SÍ
SÍ
SÍSÍ
SÍSÍ
SÍSÍSÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍSÍ
SÍ SÍ
SÍSÍ
3
-4

9. N Z Q I R
7,24
984,212121…
9,012345…
0.0003333…
5,987987
-3,010010001…
En quin o quins conjunts situaries els
següents nombres?:
34 
2
5
16
4
NO NO NO
NO NO NO
NO NO NO
NO NO NO
NO NO NO
NO NO NO
NO NO NO
NO NO NO
NO NO NO
SÍ
SÍSÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍSÍ
SÍ SÍ
SÍ
SÍSÍ
SÍ SÍ

10. 4.- Aproximació decimal
El nombre pi és un nombre decimal il·limitat i no periòdic.Per
tant, és un nombre irracional:
7169...7950288419462643383235897932383’14159265
Aproximació per defecte Aproximació per excés
3 <  < 4
3’1 <  < 3’2
3’14 <  < 3’15
3’141 <  < 3’142
3’1415 <  < 3’1416
3’14159 <  < 3’141560

11. Aproximació per arrodoniment i per
truncament
Nombre
Nombre de xifres
decimals de
l'aproximació
Aproximació per
truncament
Aproximació
per
arrodoniment
64,363483627... dues
9,199999... tres
- 3,75757575... cinc
21,64732065... tres
501,3476 dues
3,435555 quatre
64’36 64’36
9’199 9’2
-3’75757 -3’75758
21’647 21’647
501’34 501’35
3’4355 3’4356

12. Errors
• Anomenem error absolut ( Ea ) d'una
aproximació, el valor absolut de la
diferència entre el valor exacte del nombre
i el valor aproximat.
• El quocient entre l'error absolut i el valor
absolut del valor exacte s'anomena error
relatiu ( Er ).
aproximatexacteabsolut vvE 
exacte
absolut
relatiu
v
E
E 

13. 5.-Intervals, semirectes i entorns
Tipus d’intervals
Interval obert:  bxaRxba  /),(
a b (Extrems no inclosos)
Interval tancat:  bxaRxba  /],[
(Extrems inclosos)a b
Intervals semioberts:  bxaRxba  /],(
a b
 bxaRxba  /),[
a b

14. Tipus d’entorns:
Entorn obert  raxraRxraE  /),(
ra  ra (Extrems no inclosos)
Entorn tancat:  raxraRxraE  /],[
(Extrems inclosos)ra  ra
a
a
Tipus de semirectes:
 axRxa  /),(
a
 bxRxa  /],(
a
 xaRxa  /),(
a
 xaRxa  /),[
a