Monstrous Moonshine and 2-dim conformal field theory

1. 2次元共形場理論と
Moonshine
@Gamma_ijk

2. 目次
• Moonshineとは？
• 物理との関連性
• 2次元共形場理論とMonstrous Moonshine
• まとめ

3. Moonshineとは?

4. Moonshineとは？(1)
 ある種の有限単純群と複素上平面上の保型函数の間の非自明な対応:
有限単純群の例:Monster群
• 26個ある散在型有限単純群の中で最大位数の群[Fischer,Griess:1976]
• 既約表現の次元:

5.  ある種の有限単純群と複素上平面上の保型函数の間の非自明な対応:
複素上半面上の保型函数の例:J-invariant
Moonshineとは？(2)
定義:複素上半面上の保型函数
本発表では、 かつ の場合のみ扱う.

6. Moonshineとは？(3)
 ある種の有限単純群と複素上平面上の保型函数の間の非自明な対応:
• 表現次元と展開係数をじっと見つめる[McKay:1978]:
表現次元:
展開係数:

7. Moonshine現象とは？
散在型有限単純群の表現次元の和
と
保型函数の冪展開における係数
の間の非自明な対応
本スライドの
メインテーマMoonshine
• Monster群に対するmoonshine=Monstrous moonshine
[Conway,Norton:1979]
• Mathieu群に対するmoonshine=Mathieu moonshine
[Eguchi,Ooguri,Tachikawa:2010]
• モック保型函数と散在型有限単純群の対応=Umbral moonshine
[Cheng,Dancan,Harvey:2012]

8. 物理との関連性

9. 物理との関連性
2次元
共形場理論
(Monster CFT)
J-函数Monster群
[Frenkel,Lepownski,Meurman:1988],
[Borcherds:1992]
• Moonshine現象を調べる道具として、物理において詳しく研
究されている共形場理論を用いる事ができる.

10. 2次元共形場理論と
Monstrous Moonshine

11. 2次元共形場理論の復習
• 共形場理論:
共形対称性=平行移動+スケール変換+回転変換+特殊共形変換
• 2次元共形場理論[Belavin,Polyakov,Zamolodchikov:1984]:
• この対称性を利用して、様々な物理量が計算可能！
• ここではトーラス上の分配函数に注目.
共形変換となる無限小変換の条件=Cauchy-Riemann関係式.
分配函数,相関関数,etc…
無限個の対称性が存在(Virasoro代数: ).
2次元の特徴

12. 2次元共形場理論と保型函数(1)
• トーラス上の分配函数の定義:
共形変換 周期条件
Vは系の状態空間

13. 2次元共形場理論と保型函数(2)
• 分配函数の重要な性質:モジュラー不変性
格子Λを不変に保つ基底変換の下でトーラスは形を変えない
……
トーラス上の分配函数は保型函数.
トーラスを不変に保つ変換の下、分配函数も不変になるべき！

14. Monster CFT(1)
• J-函数を分配函数に持つCFTが欲しい!
• このCFTの分配函数は、モジュラー変換に対して以下の変換性を
有する:
格子上のCFTに着目.
ボゾン
で分配函数不変 で分配函数不変
(*は双対格子の意味)
上記を満たす格子Λ上の分配函数: J函数！

15. Monster CFT(2)
• Moonshineと無関係な定数項(Const)を消去:
この状態空間の対称性としてMonster群が作用する事を確認したい.
状態空間の構成[Frenkel,Lepowski,Meurman:1988]:
分配函数の正則部分の係数
はCFTの状態空間と関係
処方箋:

16. 状態空間の対称性
• Monster群の部分群CがV♮に作用.
[Griess:1976,1982]
主要定理[Frenkel,Lepownski,Meurman:1988]:

17. まとめ

18. まとめ
• Monstrous moonshine
– J-函数の展開係数(保型函数)とMonster群の表現次元(散在型有限単純
群)には非自明な対応がある.
– 2次元共形場理論のトーラス上の分配函数は保型函数の性質を満たす.
– Leech格子上の共形場理論をZ2-orbifoldingした理論はJ-函数を分配函
数に持つ(Monster CFT).
– Leech格子から状態空間を構成したときその対称性はMonster群の部
分群を含んでいる.
状態空間にMonster群が作用している証拠

19. その他物理との関連性
AdS(重力理論)側
• BTZブラックホール時空
[Banados,Teotelboim,Zanelli:1992]
• 無限遠での物理的状態の
足し上げからJ-函数を得る
• Bekenstein-Hawkingエントロピー:
CFT(ゲージ理論)側
• c=24k(k≥1) 正則CFT
• k=1の時がMonster CFT
• Virasoro primaryの縮退度
• 3次元量子重力との関係[Witten:2007,Maloney-Witten:2007]:

20. 幾つかの定義(主定理周辺の補足)
定義:Extraspecial p-群:
定義:基本可換p-群:
定義:群の中心拡大:

21. 2次元共形場理論と保型函数
• 保型函数の定義:
• 分配函数は の場合.

22. 2次元共形場理論と保型函数(1)
• 保型函数の例:

23. 2次元共形場理論と保型函数(2)
• 保型函数の例:

24. 2次元共形場理論と保型函数(3)
• 保型函数の例: