Slide perkuliahan

1. Proses Acak dan Konsep Derau
STE1402
(Bagian 1)
Topik #7
Program Studi Teknik Elektro
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SANGGA BUANA
Jalan PH.H. Mustofa (Suci) 68 Bandung 40124

2. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 2
Outline
 Pendahuluan
 Random Process
 Stationary Process
 Mean, Correlation, dan Fungsi Covariance
 Wide Sense Stationary Process
 Property Fungsi Autokorelasi
 Contoh Fungsi Autokorelasi
 Proses Ergodik

3. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 3
 Dua model matematik dalam menggambarkan fenomena fisik, yaitu:
o Model deterministik : pasti
o Model stokastik : tidak pasti, acak, probabilistik
 Notasi matematik:
o Sinyal deterministik :
o Sinyal acak (random process) :
Contoh:
- noise kanal
- noise interferensi
- sinyal sinusoidal fasa acak
Pendahuluan
)
(t
x
)
,
( s
t
X
 


t
f
A c
c 
2
cos

4. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 4
 Pengetahuan yang mendasari konsep random proses adalah:
o Teori probabilitas
- ruang sample (S)
- kejadian/titik sample (s)
- probabilitas (P)
o Random variabel dan Random proses
- cumulative distribution function (cdf)
- probability distribution function (pdf)
o Operasi statistik
- average/rataan/expected value/mean
- moment terhadap origin (momen ke-1 disebut mean, momen ke-2 disebut mean
square value)
- central moment/momen terhadap rataan (momen ke-1 = 0, momen ke-2 disebut
variance).
Pendahuluan…
)
(
)
( x
X
P
x
FX 

)
(
)
( x
F
dt
d
x
f X
X 
  



 dx
x
f
x
X
E X
n
n
)
(
 
   






 dx
x
f
x
X
E X
n
X
n
X )
(



5. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 5
Terdapat sebuah fungsi yang memetakan sebuah sample point (s), dimana s  S
(sample space) ke dalam realization dengan cara aturan probabilitas.
 Realisasi ke dalam:
o Himpunan angka real disebut Random Variable (RV), X(s)  X
o Himpunan fungsi real disebut Random Process (RP), X(t, x)  X(t)
Random Proses
Sample
function

6. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 6
 Peluang kejadian di dalam ruang sample sebuah RP (misalnya dalam
ensemble time function) dinotasikan:
1. Untuk waktu sesaat tertentu,
2. Untuk sample point tertentu,
 Untuk himpunan waktu sesaat
Peluang sebuah RP didefinisikan dengan joint probability distribution
function orde ke n.
Random Proses…
  T
t
T
s
t
x 


,
)
,
(
i
t
j
s
  n
i
ti ....
,
3
,
2
,
1
, 
)
...,
,
,
( 2
1
,
...,
,
, 2
1 n
X
X
X x
x
x
F tn
t
t

7. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 7
 Proses acak dikatakan stasioner jika sifat statistik dari proses tersebut
bukan fungsi waktu.
 R.P. disebut strictly stationary untuk setiap time shift (t), n, dan
semua waktu observasi yang berbeda (t1, t2, … , tn) jika:
 Joint PDF tidak bergantung kepada waktu mutlak pengamatan tetapi
bergantung kepada pemisahan waktu relatif antara random variabel
Proses stasioner
)
(t
X
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
( 2
1
)
(
...,
,
)
(
,
)
(
2
1
)
(
...,
,
)
(
,
)
( 2
1
2
1 n
t
X
t
X
t
X
n
t
X
t
X
t
X x
x
x
F
x
x
x
F n
n



 t
t
t
)
(
...,
),
(
,
)
( 2
1 n
t
X
t
X
t
X

8. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 8
 Mean dari sebuah R.P. adalah ekspektasi dari random variabel pada
waktu pengamatan t.
PDF orde pertama dari random proses X(t)
 Mean sebuah proses acak stasioner adalah konstan.
Mean
)
(t
X
 






dx
x
f
x
t
X
E
t
t
X
X
)
(
)
(
)
(
)
(

:
)
(
)
( x
f t
X
X
X t 
 
)
(

9. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 9
 Fungsi autokorelasi sebuah random proses didefinisikan sbb.
PDF orde pertama dari random proses X(t)
 Fungsi autokorelasi sebuah proses acak stasioner bergantung hanya
kepada perbedaan waktu pengamatan
Fungsi Autokorelasi
)
(t
X
 
 








2
1
2
1
)
(
),
(
2
1
2
1
2
1
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
2
1
dx
dx
x
x
f
x
x
t
X
t
X
E
t
t
R
t
X
t
X
X
:
)
,
( 2
1
)
(
,
)
( 2
1
x
x
f t
X
t
X
1
2 t
t 
)
(
)
,
( 1
2
2
1 t
t
R
t
t
R X
X 


10. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 10
 Fungsi autokovarian sebuah random proses didefinisikan sbb.
 Fungsi autokovarian sebuah random proses dan didefinisikan
sbb.
Fungsi Autokovarian dan Crosskorelasi
  
 
2
1
2
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
,
(
X
X
X
X
X
t
t
R
t
X
t
X
E
t
t
C









)
(t
X
 
 
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
2
1
2
1
2
1
2
1
t
X
t
Y
E
t
t
R
t
Y
t
X
E
t
t
R
YX
XY


)
(t
X )
(t
Y

11. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 11
 Dua masalah penting:
o Mean dan fungsi autokorelasi menyediakan informasi parsial dari
distribusi sebuah random proses.
o Keadaan:
Tidak cukup untuk menyatakan bahwa sebuah random proses
adalah stasioner.
 Keadaan (1) dan (2) disebut Wide Sense Stationary (WSS) dari sebuah R.P.
 X(t), Y(t) disebut Joint WSS, jika
Wide Sense Stationary Process
)
1
(
)
( X
X t 
 
)
2
(
)
(
)
,
( 1
2
2
1 t
t
R
t
t
R X
X 

WSS
t
Y
t
X :
)
(
),
(
)
2
(
)
(
)
,
( 2
1
2
1 t
t
R
t
t
R XY
XY 


12. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 12
 Notasi fungsi autokorelasi:
 Property fungsi autokorelasi.
1. Mean square value
2. Fungsi genap untuk R.P. real
3. Maksimum pada t = 0
Property Fungsi Autokorelasi
 
)
(
)
(
)
( t
X
t
X
E
RX t
t 

 
)
(
)
0
(
)
0
( 2
t
X
E
R
R X
X 


t
 
)
(
)
(
)
(
)
( t
t
t 


 t
X
t
X
E
R
R X
X
)
0
(
)
( X
X R
R 
t

13. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 13
 Fluktuasi R.P. cepat dan lambat.
 Semakin cepat R.P X(t) berubah terhadap waktu semakin cepat fungsi
autokorelasi RX(t) turun dari nilai maksimumnya.
Property Fungsi Autokorelasi…

14. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 14
 Sinyal sinusoidal dengan fasa acak.
 Fasa terdistribusi uniform pada interval [–, ] dengan pdf sbb.
 Maka fungsi autokorelasinya:
Contoh Fungsi Autokorelasi
 


 t
f
A
t
X c

2
cos
)
(










lainnya
f
,
0
,
2
1
)
(





 
   
 
 
   
 
   
 
t

t


t



t

t



t


t
t


c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
X
f
A
f
A
d
f
t
f
A
f
E
A
f
t
f
E
A
t
f
f
t
f
A
E
t
X
t
X
E
R
2
cos
2
2
cos
2
2
2
4
cos
2
1
2
2
cos
2
2
2
4
cos
2
2
cos
2
2
cos
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2






















15. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 15
 Fungsi autokorelasi sinyal sinusoidal dengan fasa acak.
Contoh Fungsi Autokorelasi…

16. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 16
 Sinyal Biner.
 Memiliki fungsi sample x(t)
Contoh Fungsi Autokorelasi…








lainnya
T
t
T
t
f d
d
Td
,
0
0
,
1
)
(

17. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 17
 Fungsi autokorelasinya.
Contoh Fungsi Autokorelasi…
      T
t
t
t
X
E
t
X
E
t
X
t
X
E i
k
i
k
i
k 


 ,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
 


 



lainnya
t
t
T
t
A
t
t
X
t
X
E i
k
d
d
i
k
,
0
,
)
(
)
(
2
 
T
t
t
T
t
t
A
dt
T
A
dt
t
f
A
t
X
t
X
E
i
k
i
k
t
t
T
d
t
t
T
d
d
T
i
k
i
k
i
k
d









 










,
1
)
(
)
(
)
(
2
0
2
0
2
















lainnya
T
T
A
RX
,
0
,
1
)
(
2
t
t
t

18. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 18
 Proses modulasi quadrature dan
 Jika R.P. random proses stasioner, maka fungsi crosskorelasi:
 Random variabel yang diperoleh dengan mengamati dan
adalah ortogonal satu sama lain.
 Mengapa bicara banyak mengenai
o : parameter sederhana untuk mengkarakterisasi
properti statistik sebuah random proses
o : terkait dengan power dan power spectrum dari
Contoh Fungsi Autokorelasi…
)
(
1 t
X )
(
2 t
X
)
2
(
sin
)
(
)
(
)
2
(
cos
)
(
)
(
2
1






t
f
t
X
t
X
t
f
t
X
t
X
c
c


)
(t
X
)
2
(
sin
)
(
2
1
)
(
12 t

t
t c
X f
R
R 

)
(
1 t
X )
(
2 t
X
)
(
),
( t
 X
X R
t
)
(t
X
)
(t
X
R
)
(t
X
R )
(t
X

19. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 19
 Mean function, misal fungsi ekspektasi, atau ensemble average dari
sebuah random proses :
adalah fungsi rata-rata terhadap realisasi (sample function)
konstan untuk proses acak stasioner.
 Time average dari fungsi sample adalah cara praktis mengestimasi
ensemble average. Time average juga sebuah R.V.
Fungsi Ergodik
)
(t
X
  




 dx
t
f
x
t
X
E
t X
X )
(
)
(
)
(


20. STE1402 Sistem Telekomunikasi Teknik Elektro – Universitas Sangga Buana 20
 R.P. X(t) ergodik dalam mean jika:
 Fungsi autokorelasi time average
Fungsi Ergodik…