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1. CHAPTER 3 Sets, Combinatorics,and Probability 아꿈사: http://cafe.naver.com/architect1 김태우: codevania@gmail.com

2. INDEX 순열과 조합 확률 이항식 정리

3. 순열과 조합

4. 순열 의미 객체들의 순서화된 배열 공식

5. 예제46 경계 조건 (boundary condition) 0개 의객체, 즉 공집합의 순서화된 배열은 하나만 존재 하나의 객체의 순서화된 배열은 n개가 존재 n개의 서로 별개인 객체들의 순서화된 배열들은n!개가 존재

6. 예제 47 a, b, c 세 가지 객체들의 순열의 수는 P(3, 3) = 3! = 3•2•1=6 abc, acb, bac, bca, cab, cba

7. 예제 48 만일 어떠한 문자도 반복될 수 없다면,단어 compiler로부터 얼마나 많은 3자리의 단어가 만들어질 수 있을까? 문자의 배열이 중요하다 8개의 객체로부터 얻어질 수 있는 세 개의 서로별개인 객체의 순열의 수를 알고자 하는 것임 P(8,3) = 8!/5! = 336

8. 예제 49 10명의 운동 선수들이 메달을 받는 방법 10명의 선수와 금, 은, 동 순서가 중요 A-금, B-은, C-동 ≠ C-금, B-은, A-동 P(n,r) 사용 P(10,3) = 10!/7! = 10•9•8 = 720

9. 예제50 OS-4, PR-7, DS-3 같은 과목에 관한 모든 책이 함께 놓여야 함 책들을 배열할 수 있는 방법의 수는? 연속적인 하위의 작업들로 나누어 생각 세 가지 과목을 배열하는 작업을 고려 3!가지 과목의 다른 순서 존재 OS배열: 4! PR배열: 7! DS배열: 3! 그러므로, 곱셈 원리에 의해 모든 책을 배열할 수 있는 방법의 수는 (3!)(4!)(7!)(3!)=4,354,560

10. 조합 의미 객체들의 배열 (순서 무시) 공식

11. 동일한 의미

12. 예제 52 n개의 객체들로부터 0개의 객체, 즉 공집합을 선택하기 위해서는 단지 하나의 방법만이 존재 n개의 객체들로부터 1개의 객체를 선택하기 위해서는 n개의 방법이 존재 n개의 객체들로부터 n개의 객체들을 선택하기 위해서는 단지 한 가지 방법만이 존재

13. 예제 53 52장의 카드로부터 받아볼 수 있는 5장의 카드는 몇 가지? 단순히 무슨 카드인지에 관심  순서 X 52개중 5개를 선택하는 방법의 수를 계산 C(52,5) = 52!/(5!47!) = 2,598,960

14. 예제 54 10명의 운동 경기 선수들이 경기, 3명이 우승 우승자들에 대해서는 순서를 고려하지 않음 그러므로, 10명중 3명을 선택하는 것임 C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120

15. 중복 제거 계산 문제는 종종 다른 방법으로 해결될 수 있음 하지만, 해결책을 유도하는 과정에서 하나 이상 중복하여 계산하기 때문에 틀리기도

16. 예제 57 FLORIDA,MISSISSIPPI 몇 가지의 서로 별개인 순열이 만들어지나? FLORIDA 7! MISSISSIPPI 11! 이 아님 중복된 문자열이 존재하기 때문 MIS1S2ISSIPPI == MIS2S1ISSIPPI 재배치 하는 것은 변화가 없음 4개의 S, 4개의 I, 2개의 P 서로 별개인 순열의 수  11!/4!4!2!

17. n개의 객체들이 존재하고, 그 객체들 중에서 n1개의 객체들이 서로 동일하고 … nK개의 객체들이 서로 동일한 경우 이런 n개의 객체들에 대한 서로 별개인 순열의 수

18. 반복을 허용하는 순열과 조합 P(n,r), C(n,r) N개의 객체들 중에서 r개를 배열하거나 선택 즉, r ≤ n 그러나 n개의 객체들이 원하는 만큼 많이 재사용 될 수 있다면? 알파벳 26개를 이용하여 단어를 구성 N개 중에서 r개의 객체들의 순열/조합을 구성가능하지만, 반복을 허용 교묘한 방법을 사용… (예제58)

19. 예제 58 다이아몬드, 루비, 에메랄드로부터 5개의 보석을 선택하여 사용할 때… 몇 가지 방법? 보석의 배열의 순서에는 관심 X 순열X 조합O 반복을 허용하면서, 3개 중에서 5개의 조합의 수를 계산 1다야, 3루비, 1에메 *|***|* 5다야, 0루비, 0에메 *****|| 즉, 7개의 slot중에서 5개의 품목을 선택 C(7,5) = 7!/(5!2!)

20. 반복을허용하면서N개의 서로 별개인 객체들 중에서 R개의 객체들에 대한 조합을 표현 N개의 객체들의 반복된 수를 나타내기 위해 n-1개의 수직선 필요 수직선들을 포함한 전체가 차지하는 위치의 수는r+(n-1) 이들 중에서 r개를 선택하는 방법의 수는

21. 확률

22. 예제 59 하나의 동전을 던졌을 때 “앞면” 얻기 2결과중 하나 1/2 하나의 주사위를 굴렸을 때 “3”을 얻기 6결과중 하나 1/6 표준 카드 한 벌에서 ♠1 ♦Q둘중의 하나 뽑기 1/52 + 1/52 = 2/52 = 1/26

23. 표본 공간 어떤 행동의 모든 가능한 결과들의 집합 사건 표본 공간의 임의의 부분집합 결과가 동일한 확률로 나타나는 임의의 유한 집합이 S라면, 사건 E의 확률 P(E)는

24. 예제 60 2개의 동전 동시 던짐 각 동전은 공정  앞면,뒷면의 확률은 같다 표본 공간은 S={HH,HT,TH,TT} 사건 E를 집합 {HH}라 하자. E의 확률, 즉 두 동전 모두 앞면이 나타날 확률은?

25. 예제 61 검사, 개발, 마케팅 붓서 직원들이 한 직원의 이름이 선택되는 뽑기에 참가 검사5 ( 2M, 3W) 개발23 (16M, 7W) 마켓14 ( 6M, 8W) |S|=42 |W|=3+7+8=18 P(W)=|W|/|S|=18/42=3/7 |마|=14 P(마)=|마|/|S|=14/42=/3 P(W ∩ M)=8/42=4/21 P(W∪M)=P(3+7+14)=24/42=4/7

26. 확률 분포 만일 임의의 행동이 초래하는 결과가전혀 동등한 확률로 나타나지 않는다면,이 상황을 처리하기 위한 한 가지 방법은해당 결과의 일부가 반복되는 대략적인 횟수를소개하는 것이다…. -_-;

27. 예제 63 하나의 주사위 6가지 가능한 결과가 존재  |S|=6 T는 3이 나타나는 사건 이 사건은 오직 한 번만이 존재 |T|=1 P(T)=|T|/|S|=1/6 주사위가 치우쳐서 4가 3배 더 자주라고 가정 F는 4가 나타나는 사건 결과 집합={1,2,3,4,4,4,5,6} |S|=8 P(F)=|F|/|S|=1/8

28. 모든 결과가 동등한 확률이 아님 방법은 해당 표본 공간에 대해 하나의 확률 분포를 할당하는 것 더 자주 발생하는 결과들의 복제품을 생성하여표본 공간을 오히려 더 크게 만들기 보다 간단히 하나의 사건처럼 원래의 표본 공간에서각 별개의 결과를 고려하고, 임의의 확률을 할당 만일 표본 공간에서 K개의 다른 결과들이 존재 각 결과 Xi에는 다음과 같은 규칙이 적용됨

29. 사건 E ⊆ S를 고려 사건 E의 확률은 E안의 개별적인 결과들에 대한 모든 확률을 더할 수 있다 E는 서로 별개인 결과 모두에 대한 합집합 결과가 모두 동등하게 나타날 때,P(E)=|E|/|S|라는 정의는E안의 각 xi에 대해 p(xi)=1/|S|일 때 정의의특별한 경우가 된다

30. 조건부 확률 Conditional Probability 사건 E1과 E2가 주어졌을 때, E1이 발생한 조건하에서 E2의 조건부 확률P(E2|E1)은 다음과 같다

31. 예제 64 예제63의 치우친 주사위에 대해 사용된확률 분포가 다음과 같다 E: 2또는 4가 나타나는 사건 P(E) 는? P(E) = p(2) + p(4) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2

32. 예제 65 환자들 그룹의 약품 연구 17%: 약품 A에 긍정적 34%: 약품 B에 긍정적 8%: 약품 A와 B에 긍정적 한 환자가 약품A에 긍정적으로 응답했을 때약품B에 긍정적으로 응답할 확률은?

33. 독립 사건 만일 P(E2|E1)= P(E2)이면 E2는 E1이 발생되든 말든 동일하게 발생 이 경우 E1과 E2는 독립 사건이 된다고 함 다음 두 식이 성립

34. 예제 66 동전 던지기 앞면(E1) 다음에 뒷면(E2)이 나타날 사건은 다음에 의해서 서로 독립 사건임 각 사건이 별개인 경우, 각 확률을 곱 각 사건이 별개인 경우, 각 확률을 합

35. 기대값 세 번의 시험에 대한 성적의 집합 S={g1,g2,g3} 평균 시험 성적 A(g) = (g1 + g2 + g3) / 3 각시험에 대한 가중값이 동일하다고 가정 마지막 시험에 두 배의 가중값 A(g) = (g1 + g2 + 2*g3) / 4

36. 이 표본 공간으로써 S를 고려하고 다음의 확률 분포를 할당한다면

37. 가중값 평균 X: 임의의 확률 변수 P: 임의의 확률 분포 E: 기대값

38. 예제 67 하나의 공정한 동전이 3번 던져짐 표본 공간 S ={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} 확률변수 X S내의 각 결과를 해당 결과 내의 앞면의 수로 할당 즉, 결과는 0~3까지의 정수값 공정한 동전, 각 구성 원소는동일한 확률

39. X의 기대값, 즉 세 번 던질 때 기대되는 앞면의 수는…

40. 앞면이 뒷면보다 3번 더 자주 발생하는 가중값이 존재한다고 가정 확률 분포 연속적인 결과가 독립 사건 S에서 각 결과의 확률은 각 확률의 곱 HTT의 확률은 (3/4)(1/4)(1/4) = 3/64

41. 이항식 정리

42. 파스칼의 삼각형 n행 (0≤n)은 0≤r≤n에 대해 모든 값C(n,r)로 구성된다.

43. 이항식 정리 (a + b)n 를전개한 결과… a2+2ab+b2에서는 계수 1,2,1이 존재. 파스칼 삼각형에서 2번째 열 이항식 정리 모든 음이 아닌 정수 n에 대해서, 다음의 식이 성립 (a + b)n = C(n, 0)anb0 + C(n, 1)an-1b1 + C(n, 2)an-2b2 + ... + C(n, k)an-kbk + ... + C(n, n)a0bn ∑C(n, k)an-kbk

44. 예제 69 (x - 3)4 의 전개식 (x – 3)4 = C(4, 0)x4(-3)0+ C(4, 1)x3(-3)1+ C(4, 2)x2(-3)2+ C(4, 3)x1(-3)3+ C(4, 4)x0(-3)4 = x4+ 4x3(-3) + 6x2(9) + 4x1(-27) + 81 = x4 - 12x3+ 54x2+ 108x + 81

45. 에제 70 이항식 정리에서 a=b=1이라고 하면 (1+1)n=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,k)+C(n,n) 2 n=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,k)+C(n,n)

47. Lisence