2. 순열과 조합
순열 (Permutation)
n개 원소의 r-순열
순서가 부여된 임의의 집합을 다른 순서로 뒤섞는 연산
P(n,r) -> 서로 다른 n개의 원소 중 r개를 뽑아 한 줄로 세우는 경우의
수
P(n,r) = n!/(n-r)!
중복순열
서로 다른 원소 중 중복을 허용하여 r개를 뽑아 한 줄로 나열하는 경
우의 수
n 푟 = 푛푟
3. 순열과 조합
조합(Combination)
집합에서 일부 원소를 취해 부분집합을 만드는 것
C(n,r) -> 이항계수 : n개 원소에서 r개의 부분집합을 고르는 조합의 경우
의 수
C(n,r) =
푛!
푟!∗ 푛−푟 !
중복조합
중복을 허락하여 r개를 뽑는 경우의 수
푛퐻푟 = 퐶(푛 + 푟 − 1, 푟)
4. 표본공간과 확률
표본공간
어떤 실험의 표본공간 S는 일련의 모든 가능한 실험 결과의 집합이다.
* 벤 다이어그램 : 표본공간을 2차원으로 표현한 그림
* 상태공간 : 숫자로 구성된 표본공간
예) 6면 주사위를 던지는 실험에서 표본 공간은 {1,2,3,4,5,6} 이다.
5. 사건
사건과 여사건
사건(event) : 표본공간 S의 부분집합, 사건 A의 확률 P(A)는 사건 A에 속
하는 결과들의 확률 총합이다.
여사건(complement event) : 사건 A에 속하지 않는 표본공간 내 다른 모
든 결과들의 집합
P(A) + P(A’) = 1
예) 사건 A = {주사위 짝수}, A’ = {주사위 홀수}
6. 사건
합사건 (퐀 푩)
사건 A와 B중 적어도 한 사건이 발생하는 경우
P A 퐵 = 사건 A또는 B에 속하는 결과들의 확률의 합
곱사건 (퐀 푩)
사건 A와 B의 교집합, 두 사건에 동시에 포함되는 결과들
P(A 퐵) = 두 사건 A와 B가 동시에 발생할 확률
배반사건 (퐀 푩 = ∅)
공통의 결과가 없는 A사건과 B사건의 경우 사건 A와 B는 상호 배반(배
타적)사건이라 한다
배반사건일 때 P 퐀 푩 = 푷 푨 + 푷(푩)
7. 사건
표본공간 분할
사건 A1,A2…An에 대해
1. 임의의 Ai, Aj에 대해 서로 배반사건이고
2. A1 U A2 U … U An = S(표본공간)
일 때 A1, A2 …An 은 표본공간을 분할한다.
예) 주사위를 굴렸을 때의 표본공간 S에 대해
사건 A1 = {짝수 눈}, A2 = {홀수 눈}
A1,A2는 표본공간 S를 분할한다
8. 조건부확률과 분할표
조건부확률
사건 B가 발생했다는 조건 하에 사건 A가 발생할 확률
: 어떤 결과가 B안에 포함되고 있다면 그 결과가 사건 A안에 포함될 확
률
푃 퐴 퐵 =
푃(퐴 퐵)
푃(퐵)
* 사건 퐴 퐵 의 표본공간이 사건 퐵의 발생으로 좁혀졌다고 보면 됨
예) A와 B가 상호배반일 때 푃 퐴 퐵 =
푃(퐴 퐵)
푃 퐵
=
0
푃(퐵)
= 0
9. 조건부확률과 분할표
확률의 곱셈의 법칙
조건부 확률로부터 두 사건의 교집합은 다음과 같이 계산 가능하다
푃 퐴 퐵 = 푃(퐵) ∗ 푃 퐴 퐵
일련의 사건 A1, A2, … An의 교집합의 확률은
푃 퐴1 … 퐴푛 = 푃 퐴1 ∗ 푃 퐴2 퐴1 ∗ 푃 퐴3 퐴1 퐴2 …
∗ 푃 퐴푛 퐴1 … 퐴푛 − 1
10. 조건부확률과 분할표
독립사건
두 사건 A와 B는 P 퐴 퐵 = 푃(퐴) 일 때 상호독립사건이라고 한다.
두 사건이 상호 독립이라는 의미는 한 사건에 대한 정보가 나머지 다른
사건의 확률에 영향을 주지 않음을 나타낸다.
* B가 일어났을 경우에 A가 일어날 확률에 변화가 없음을 뜻함 : 두 사건이 다른 레이어에
있음
* 반대로 사건 A가 일어날 확률도 B가 일어날 확률에 영향을 주지 않는다.
일련의 독립사건 A1, A2, … An의 교집합의 확률은
푃 퐴1 … 퐴푛 = 푃 퐴1 ∗ 푃 퐴2 ∗ ⋯ ∗ 푃 퐴푛
11. 조건부확률과 분할표
분할표
두개의 사건에 대한 확률 표
A A’
첫번째
두번째
B ¼ ¼
B’ ¼ ¼
* 주사위를 두번 던졌을 때 결과가 짝수/홀수일 확률
12. 사후확률
전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)
A1, … , An이 표본공간 S를 분할할 때, 표본공간 S내의 사건 B의 확률은
조건부 확률 P(B|Ai)의 가중평균으로부터 구할 수 있다. 이때 가중치는
P(Ai)가 된다.
P(B) = P(A1 B) + P(A2 B) + … + P(An B)
= 푃(퐴)푃 퐵 퐴1 + 푃(퐴)푃 퐵 퐴2 + … + 푃(퐴)푃 퐵 퐴푛
* 가중치 : 각 항의 중요도에 비례하는 계수
* 가중평균 : 각 항의 수치에 가중치를 곱한
다음 산출한 평균
13. 사후확률
사전확률
관측자가 관측을 하기 전에 가지고 있는 확률 분포를 의미,
푃 퐴 , 푃 퐵 퐴푗 =사건 A의 사전확률
사후확률
사건 B가 발생했을 때 Ai에 속할 확률 푃 퐴푖 퐵
푃 퐴푖 퐵 =
푃(퐴푖 퐵)
푃 퐵
=
푃 퐴푖 ∗ 푃(퐵|퐴푖)
푗 푃 퐴푗 ∗푃(퐵|퐴푗)
