1. Clasa a XI-a
GRAFURI
NOTIUNI INTRODUCTIVE
Manualul profesorului
CONCEPTIE SI IMPLEMENTARE:
CORINA ACHINCA
CECILIA BALANESCU
RODICA CHERCIU
SORIN STEFLEA
CIPRIAN CONSTANTIN
2. Cuprins
1. Terminologie
2. Informatii generale despre tema prezentata
3. Obiective
4. Structura generala
4.1 Continut
4.2 Recomandari de structurare si predare
5. Structura detaliata a continuturilor
5.1 Introducere – Drumul lui Napoleon
5.2 Constructie – Istoricul grafurilor
5.3 Incidenta
5.4 Graf partial
5.5 Subgraf
5.6 Graf bipartit
5.7 Graf complet
5.8 Graf conex
6. Teste de evaluare
7. Teme pentru acasa
8. Bibliografie
3. Terminologie – Prezentarea elementelor de software
Obiect de continut
Un fisier independent, care prezinta informatii grupate din
punct de vedere tematic, ce nu pot fi prezentate separat. Poate fi
format din mai multe pagini de continut .
In cadrul acestui ghid vom folosi si notiunea de componenta
atunci cand vom face referire la un obiect de continut.
Butoane Start animatie / Trecem la pasul urmator
Sunt amplasate in cadrul animatiilor si al aplicatiilor care
contin mai multi pasi. Prin apasarea acestui buton se trece la pasul
urmator al animatiei.
Butonul Reluare animatie
Este amplasat in cadrul animatiilor si prin accesarea acestuia
se poate relua animatia.
Butonul de obiective
Obiective
Este amplasat in partea de jos a ecranului si ofera
utilizatorului, intr-o fereastra de detalii, obiectivele parcurgerii
materialului din modulul respectiv.
Buton Trecem la pasul anterior
Este amplasat in cadrul teoriei si prin accesarea acestui buton
se revine la jocul interactiv care a utilizat teoria respectiva.
4. Butonul Teorie
Teorie
Prin accesarea acestui buton se ofera elevului posibilitatea de
a revedera notiunile teoretice necesare rezolvarii interactive a
preoblemei amintite.
Butonul Help
Se afla amplasat in partea dreapta sus a ecranului. Prin
accesarea acestui buton se deschide fereastra Help care ofera
indicatii despre modul de utilizare a mouse-ului in desfasurarea
jocului interactiv propus.
Buton de Demonstratie
Prin accesarea acestuia se ofera elevului demonstrarea unei
anumite teoreme din teoria grafurilor, teorema care este enuntata
si urmata apoi de butonul de demonstratie.
Buton de Constructie
Constructie
Este plasat in partea din dreapta jos a ecranului .
Prin accesarea acestui buton se poate trece la momentul
construirii unui graf. Se ofera elevului posibilitatea de verificare
interactiva a nivelului de intelegere a notiunii de graf.
Buton de Verificare / Resetare
Verificare Resetare
5. Ofera posibilitatea de verificare a modului de rezolvare a
unei cerinte de catre elev si respectiv reluarea rezolvarii problemei
daca elevul acceseaza butonul Resetare.
Ferestre de meniuri
Sunt utilizate in cadrul construirii de grafuri neorientate.
Aceste ferestre ofera elevului posibilitatea de a construi nodurile si
muchiile pentru un graf neorientat, precum si posibilitatea de a
determina anumite marimi specifice cum ar fi : gradul unui varf
Ferestre mesaj
Se deschid in urma realizarii unei anumite sarcini de catre
elev sau in urma comiterii unei greseli de catre elev. In aceasta
fereastra se indica subiectului aprecierea rezultatului
sau/si se dau eventual informatii suplimentare.
6. Buton de pauza
Prin accesarea acestui buton se opreste animatia pentru a
observa mai multe detalii.
Fereastra de detalii
Aceasta fereastra ofera informatii suplimentare sau detalii
despre un anumit element, termen, concept, imagine, personalitati,
etc.)
2. Informatii generale pentru tema prezentata
Produsul informatic realizat ofera posibiliatea includerii in
didactica de predare a teoriei grafurilor, a unor mijloace de
invatare si comunicare performante, prin utilizarea calculatorului.
In acest mod procesul de predare – invatare este
"personalizat", pentru fiecare elev in parte, avand in vedere
particularitatile psiho-individuale si psiho-sociale ale acestuia.
7. In cadrul temei tratate – grafuri – notiuni introductive – au
fost puse in evidenta urmatoarele aspecte :
· Definirea notiunii de graf , cu accent pe problemele practice
care se pot reprezenta prin grafuri ;
· Prezentarea terminologiei legate de teoria grafurilor si
antrenarea elevului in intelegera acesteia odata cu formarea
unui vocabular de specialitate. ;
· Folosirea unor metode activ – participative de tip "joc "
pentru implicarea afectiva a elevului in procesul de invatare ;
· Adaptarea lectiei la ritmul de invatare, atentiei si oboselii
fiecarui subiect
Cuvintele cheie la aceasta tema sunt : graf, incidenta , grad, graf
complet, graf bipartit, graf conex, lant.
Materialul are o structura modulatizata, care permite folosirea in
mai multe variante a instrumentelor puse la dispozitie.
Momentele de evaluare faciliteaza munca profesorului in
realizarea unui feedback continuu, permanent, corectiv.
8. 3. Obiective
Obiectiv Detaliere
Competente generale
CG1 Definirea si recunoasterea conceptelor specifice
teoriei grafurilor.
CG2 Folosirea corecta a rationamentelor si algoritmilor
de rezolvare a unor probleme care utilizeaza teoria
grafurilor.
CG3 Elaborarea de algoritmi complecsi care folosesc
teoria grafurilor.
CG4 Intelegera cunostintelor si metodelor din teoria
grafurilor in rezolvarea unor probleme cu aplicatie
practica.
Competente specifice
CS1 Identificarea unor notiuni specifice si terminologii
utilizate in teoria grafurilor.
CS2 Exemplificarea pe baza unor probleme cunoscute, a
termenilor legati de teoria grafurilor.
CS3 Cunoasterea si intelegera proprietatilor specifice
diverselor tipuri de grafuri.
CS4 Prelucrarea datelor de tip calitativ si cantitativ
cuprinse in problemele care se rezolva prin teoria
grafurilor
9. Obiective Operationale
OP1 Sa defineasca notiunea de graf , precum si
terminologia corespunzatoare.
OP2 Sa identifice si sa recunoasca un graf neorientat,
proprietatile acestuia si aplicabilitatea practica a
grafurilor
OP3 Sa reprezinte graful neorientat al unei probleme
practice in care trebuie sa distinga caracteristicile
esentiale si sa aplice teoreme specifice.
OP4 Sa aplice notiunile de teoria grafurilor in
situatii ‘problema’ create prin intermediul unor
jocuri atractive si captivante
OP5 Sa poata rezolva probleme in care grafurile
neorientate au anumite proprietati
10. 4. Structura generala
4.1 Continut
Se prezinta lista obiectelor de continut (notate cu M ) si
carateristicile lor generale .
M1 –Introducere – Drumul lui Napoleon - joc
Obiective didactice OP1, OP2
Timp 5 minute
Tip de interactiune cu Exercitiu, problematizare, descoperire
elevul
Descriere -prin acest joc elevul este pus in fata
unei probleme cunoscute, care-l
determina sa caute in graful prezentat
un drum intre Nancy si Viena in care
Napoleon sa piarda cat mai putini
soldati.
M2 – Constructie – Istoricul grafurilor
Obiective diactice OP1, OP3, OP4
Timp 15 minute
Tip de interactiune cu Expunere, observare, problematizare,
elevul modelare, simulare
Descriere -este prezentata intr-o forma atractiv-
captivanta problema celor sapte poduri
din orasul Kaliningrad
-se defineste notiunea de graf si se dau
cateva exemple
-se verifica interactiv modul de
intelegere al notiunii de graf neorientat
11. M3 – Incidenta
Obiective diactice OP2, OP3, OP4
Timp 15 minute
Tip de interactiune cu Observare, problematizare , modelare,
elevul simulare
Descriere - prin jocul prezentat se insista
asupra reprezentarii sub forma de
graf neorienat a unei prbleme
practice
- elevul este condus spre notiunea
de incidenta
- in interactiunea cu calculatorul
elevul particpa activ la intelegerea
notiunii de grad al unui varf
M4- Graf partial
Obiective diactice OP2, OP3, OP4, OP5
Timp 6 minute
Tip de interactiune cu Problematizare, descoperire, exercitiu ,
elevul modelare si simulare
Descriere - modulul contine un joc prin care
este pusa in evidenta o succesiune
de operatii mentale care duc
elevul spre intelegerea clara a
notiunii de graf partial;
- se prezinta elevului sub o forma
atractiva si animata notiunea de
graf partial.
12. M5 – Subgraf
Obiective diactice OP2, OP3, OP4, OP5
Timp 10 minute
Tip de interactiune cu Problematizare, descoperire, exercitu,
elevul modelare si simulare
Descriere - modulul contine un joc prin care
elevul este condus spre
construirea unui subgraf al unui
graf dat, intr-o problema practica.
- In continuare elevului i se explica
partea tehnica a notiunii de
subgraf pe care l-a intalnit deja la
jocul anterior
-
M6 – Graf bipartite
Obiective diactice OP2, OP3, OP4, OP5
Timp 6 minute
Tip de interactiune Problematizare, descoperire, exercitu,
modelare si simulare
Descriere - modulul este interactiv
- pe baza unei scheme elevul este
condus spre notiunea de graf
bipartit
- dupa realizarea cerintei se dau
detalii asupra teoriei.
13. M7 – Graf complet
Obiective diactice OP2, OP3, OP4, OP5
Timp 8 minute
Tip de interactiune cu problematizare, descoperire, exercitiu,
elevul modelare si simulare
Descriere - este un modul interactiv de tip joc
- prin acest joc elevul descopera
notiunea de graf complet
- se trece la o pagina de continut
care pune bazele teoretice ale
grafului complet
M3 – Graf conex
Obiective diactice OP2, OP3, OP4, OP5
Timp 5 minute
Tip de interactiune cu problematizare, descoperire, exercitiu,
elevul modelare si simulare
Descriere - notiunea de graf conex este
introdusa prin intermediul unui
joc care mentine o interactiune
permanenta a elevului cu
calculatorul
14. 4.2. Recomandari de structurare si predare
Imbinarea modulelor realizate pentru aceasta lectie este la
latitudinea fiecarui profesor, in functie de particularitatile psiho-
individuae ale clasei.
1. Lectia 1 (Notiuni introductive in teoria grafurilor)
Obiect de continut Timp (minute)
M1 5 minute
M2 15 minute
M3 15 minute
Test 1 10 minute
Tema 1 5 minute
2. Lectia 2 (Tipuri de grafui)
Obiect de continut Timp (minute)
M4 6 minute
M5 10 minute
M6 6 minute
M7 8 minute
M8 5 minute
Test 2 10 minute
Tema 2 5 minute
15. 5. Stuctura detaliata a contnutului
5.1. Introducere – Drumul lui Napoleon
Este un obiect interactiv care se prezinta sub forma de joc .
Elevul trebuie sa gaseasca drumul pe care trebuie sa-l parcurga
Napoleon din orasul Nancy pana la Viena. Se stie cati soldati poate
pierde Napoleon daca parcurge un traseu sau altul.
Se cere elevului sa determine drumul dintre Nancy si Viena
astfel incat sa se piarda un numar minim de soldati. Este un
exemplu practic de utilizare a grafurilor.
Folosind butonul (resetare) jocul poate fi reluat.
Prin parcurgerea acestui modul se pune in evidenta o
succesiune de operatii mintale care conduc elevul la descoperirea
notiunii de graf.
16. 5.2. Constructie –Istoricul grafurilor
Acest obiect familiarizeaza elevul cu notiunea de graf.
Obiectul este interactiv si se prezinta pentru inceput sub forma
unui joc “problema celor sapte poduri din orasul Kaliningrad”.
Aceasta problema celebra a fost enuntata de matematicianul
Euler, care impreuna cu Hamilton au fost cei care au pus bazele
teoriei grafurilor. Punand mouse-ul pe cuvintele Euler si respectiv
Hamilton se deschide o fereasta in care elevul afla mai multe
detalii despre cei doi matematicieni.
In partea de jos a ecranului , prin apasarea pe cuvintele Legile
lui Kirchoff si respectiv reprezentarea unor harti se face link la
doua pagini distincte care dau explicatii asupra unor aplicatii
practice a teoriei grafurilor.
In partea de jos a ecranului, dreapta, se afla doua butoane
importante:
Definitie – prin accesarea acestui buton se trece la
prezentarea definitiei notiunii de graf. Animatia folosita conduce si
mai bine la intelegerea acestei definitii. In acest moment in patea
de jos a ecranului exista doua butoane care au semnificatia ( )
inainte, respectiv ( ) inapoi.
17. Constructie – prin accesarea acestui buton se trece la
constructia interactiva a unui graf cu noduri si muchii prestabilite
Elevul are la dispozitie trei ferestre de meniuri cu care construieste
nodurile, muchiile si verfica , respectiv reseteaza, rezolvarea
cerintei, daca aceasta s-a facut gresit , sau daca elevul doreste sa
reia problema.
18. 5.3. Incidenta
Acest modul este interactiv. In definirea notiunilor
elementare legate de graf , se pleaca de la un joc, pe care elevul il
are descris in partea stanga-sus a ecranului.
Prin participarea efectiva a elevului la rezolvarea jocului
acesta se familiarizeaza cu notiunile teoriei grafurilor: incidenta,
grad, adiacenta.
In partea de jos-dreapta a ecranului se afla doua butoane:
Grad
-La accesarea acestui buton se dau explicatii legate
de gradul unui graf. In acelasi context este enuntata o teorema a
carei demonstratie este data prin accesarea butonului
.
19. Incidenta
- La accesarea acestui buton se dau explicatii legate
de notiunile de adiaenta, incidenta.
5.4. Graf partial
Acest obiect este interactiv si are ca scop familiarizarea
elevului cu notiunea de graf partial.
Pentru antrenarea optima a elevului la insusirea cunostintelor,
modulul incepe cu un “joc – problema “ care cere determinarea
unui graf partial obtinut prin eliminarea unui numar optim de
muchii astfel incat un turist sa poata vizita oricare cabana.
Folosind aceasta metoda activ-participativa , elevul nu
asimileaza “mecanic” notiunea, ci beneficiaza direct de intelegerea
logica a ei.
20. In continuare se prezinta partea teoretica a notiunii de graf
partial. Elevul poate interactiona cu aplicatia folosind butoanele
prezente in partea de sus a ecranului, stabilindu-se un ritm propriu
de intelegre.
5.5 Subgraf
Este un obiect interactiv de tip “joc”, care-l determina pe elev
sa caute, sa investigheze si sa descopere un subgraf.
Acesta este o prezentare animata care , obsevata cu atentie , in
ritmul de intelegere al elevului, pune bazele teoretice si practice ale
notiunii de subgraf.
21. 5.6 Graf Bipartit
Este un moment de tip exercitiu interactiv care pune elevul in
situatia de a construi un graf bipartit.
22. Dupa rezolvarea exercitiului, se trece la partea teoretica a
acestuia, definindu-se riguros notiunea de graf bipartit.
23. 5.7 Graf complet
Prin parcurgerea acestui modul, elevul se familiarizeaza cu
notiunea de graf complet.
Obiectul acesta de continut este interactiv si contine un joc.
Elevul are posibilitatea sa verifice daca rezolvarea cerintei este
Verificare
corecta sau nu prin intermediul a doua butoane : si
Resetare
.
Dupa incheierea jocului se trece la o noua pagina de continut
unde se explica elevului notiunea de graf complet si proprietatile
acestuia.
24. 5.8 Graf conex
Acest obiect de continut are rolul de a defini notiunea de graf
conex. Este un modul interactiv care demareaza cu un joc
interactiv si captivant. Jocul poate fi reluat folosind butonul
Resetare
sau elevul poate sa-si verifice modul de rezolvare a
Verificare
cerintei folosind butonul .
25. In final, dupa incheierea jocului, se deschide o fereastra care
aminteste elevului notiunea de graf conex.
26. 5. Tema pentru acasa
tema1
1. Reprezentaţi grafic toate grafurile neorientate cu 3 noduri;
2. Să se calculeze numărul grafurilor neorientate cu n vârfuri date;
3. Să se demonstreze că orice graf neorientat are un număr par de vârfuri cu grad impar;
4. Determinaţi un graf G=(X,U) cu 5 noduri astfel încăt oricare două vârfuri a,b X, a
<>b să fie adiacente
tema2
1. Determinaţi numărul nodurilor corespunzătoare unui graf neorientat complet cu 36 de
muchii;
n( n ? 3)
2
2. Să se demonstreze că un poligon convex cu n vârfuri are diagonale;
3. Fiind dat un graf G neorientat cu n vârfuri si m muchii cu m> , să se demonstreze
că G nu are vârfuri izolate;
4. Graful G=(X,U) se numeşte bipartit complet dacă între orice vârf Xi din A şi orice vârf
Xk din B există muchia [Xi,Xk]. Pentru un graf bipartit complet, pentru care mulţimea A
are p elemente si mulţimea B are q elemente, să se determine numărul total de muchii.
27. 6. Teste de evaluare
Test1
1. Apreciaţi prin adevarat sau fals următoarea afirmaţie:
Într-un graf neorientat, o muchie u este o pereche ordonata de noduri din X
Adevarat
Fals
raspuns corect : fals
2. Fiind dată următoarea reprezentare grafică pentru un graf neorientat, atunci pentru
graful G=(X,U), mulţimile X şi U sunt:
a) X={1,2,3,4,5}
U={[1,2];[1,3];[2,3];[2,4];[2,5];[2,6];[3,4]}
b) X={1,2,3,4,5,6}
U={[1,2];[1,3];[2,4];[2,5];[2,6];[2,3];[3,4]}
c) X={1,2,3,4,5,6}
U={[1,2];[1,3];[2,4];[2,5];[5,6];[2,3]}
d) X={1,2,3,4,5,6}
U={[1,2];[1,3];[2,4];[2,5];[2,6];[2,3];[4,5]}
raspuns corect b)
3. Precizaţi care din următoarele noţiuni se referă la grafuri neorientate:
a) muchie
b) arc
c) legătură
d) punct final
4. Apreciaţi cu adevărat sau fals următoarea afirmaţie:
Două muchii sunt incidente dacă au o extremitate comună.
Adevarat
Fals
raspuns corect : Adevarat
28. 5. Apreciaţi cu adevărat sau fals următoarea afirmaţie:
Un nod izolat are gradul 1.
Adevarat
Fals
raspuns: fals
6. Apreciaţi cu adevărat sau fals următoarea afirmaţie:
Un nod terminal are gradul 1.
Adevarat
Fals
raspuns: Fals
7. Un nod este nod terminal dacă:
a) nu există muchii incidente cu el
b) este incident cu o singură muchie
c) este izolat în graful neorientat
raspuns : b
8. Un nod este nod izolat intr-un graf neorientat dacă:
a) este nod terminal in graf
b) nu există muchii incidente cu el
c) există cel puţin o muchie incidentă cu el
raspuns : b)
9. Determinaţi răspunsurile corecte pentru graful din figura alăturată:
a) nodul 1 are gradul 2
b) nodul 2 are gradul 4
c) nodul 3 are gradul 3
d) nodul 5 este nod terminal
e) nodul 6 este nod izolat
raspuns :a,c,d
10. Care este suma gradelor vârfurilor unui graf neorientat cu n vârfuri si m muchii?
a) 2*m
b) 2*(m-1)
c) 2*n
d) m
raspuns a)
29. Test2
1. Într-un graf neorientat G=(X,U):
Într-un graf neorientat, o muchie u este o pereche ordonata de noduri din X
a) Un graf parţial al său se obţine prin suprimarea unor vârfuri
b) Un subgraf se obţine prin suprimarea unor muchii
c) Un graf parţial al său este se obţine prin suprimarea unor muchii
d) Orice graf parţial este subgraf al grafului G
raspuns corect c)
2. Se consideră graful definit prin mulţimile X={1,2,3,4,5} şi
U={[1,2] ;[1,3] ;[2,3];[2,4];[3,4];[4,5]}. Eliminând muchiile [1,2] şi [3,4] se obţine:
a) Un subgraf definit prin X={5}
b Un graf parţial definit prin X şi U={[1,3];[2,3];[2,4];[3,4];[4,5]}
c) Un graf parţial definit prin X şi U={[1,2];[3,4]}
d) Un subgraf definit prin X şi restul muchiilor
e) Un graf parţial definit prin X şi restul muchiilor
raspuns corect e)
3. Un graf neorientat G complet cu n noduri are proprietatea:
a) Conţine noduri izolate
b) Are n*m muchii
c) Oricare două noduri distincte sunt adiacente
d) Conţine noduri terminale
raspuns c)
4. Care este numărul total al muchiilor unui graf neorientat complet cu n vârfuri?:
a) n
b) n*(n-1)/2
c) n*(n-1)
d) 2*n
raspuns b)
5. Un graf complet are 15 muchii. Câte noduri are?:
a) 10
b) 6
c) 5
d) 12
raspuns b)
30. 6. Fie graful neorientat G=(X,U) cu X={1,2,3,4,5} şi
U={[1,2];[2,3];[1,5];[1,4];[2,5];[3,4];[4,5]}. Dacă se elimină muchiile [1,2], [3,4] şi [4,5]
se obţine:
a) Un graf parţial al grafului iniţial
b) Un subgraf al grafului iniţial
c) Un graf complet
d) Un graf bipartit
raspuns : a,d
7. Fie graful neorientat G=(X,U) cu X={1,2,3,4,5,6} şi
U={[1,2];[2,3];[3,4];[4,5];[5,6];[6,1];[1,3];[1,5];[2,5];[3,5]}. Care este numărul maxim de
muchii ce se pot elimina astfel încât graful să rămână conex?
a) 8
b) 4
c) 5
d) 6
raspuns : c
8. Fie graful neorientat G=(X,U), X={1,2,3,4,5,6}, U={[1,2];[1,3];[2,3];[4,5]}. Care este
numărul minim de muchii care trebuiesc adăugate grafului pentru a deveni conex?
a) Nici una, graful este conex;
b) 3
c) 2
raspuns : c)
9. Fie G=(X,U) unde X este mulţimea nodurilor iar U este mulţimea muchiilor. Graful
din dreapta este:
a) Un graf complet
b) Un subgraf al grafului dat
c) Un graf parţial al grafului dat
d) Un graf bipartit complet
raspuns :a,b
10. Care Un graf neorientat G=(X,U) este conex dacă:
a) Între oricare două vârfuri a,b din X, a<>b, există o muchie;
b) Între oricare două vârfuri a,b din X, a<>b, există lanţ;
c) Nu conţine vârfuri izolate.
raspuns b)
31. 7.BIBLIOGRAFIE
1. N. Nedita , St Niculescu, C. Zidaroiu Matematici aplicate la
tehnici de calcul.Editura didactica si pedagogica , Bucuresti
1979
2. C. Achinca, A. Breaz , A. Demco , M. Gradinescu, D.
Grigoriu , L. Toca, C. Balanescu, R. Motruna , Bacalaureat
Informatica teste grila , Editura Nedion , Bucuresti, 2003
3. M. Gheorghe , C . Golli , Roxana Carmen Marin , I. Oprea ,
Informatica , Editura Corint , Bucuresti 2003
4. I . Tomescu , A. Leu , Matemtica aplicata in tehnica de
calcul, Editura Didactica si Pedagogica Bucuresti 1982
5. G. D. Mateescu , P. F. Moraru , Informatica pentru clasa a
XI-a , Editura Niculescu 2003
6. C. Ivasc , M. Pruna Bazele informaticii , Editura Petrion ,
Bucuresti
7. I. Tomescu , Grafuri si programare liniara , Editura Didactica
si Pedagogica Bucuresti , 1975
8. T. Sorin , Tehnici de programare ., Editura Teora , Bucuresti
1994
9. L Toca , A. Demco , C. Opincaru , A. Sindile, Informatica –
manual pentru clasa a X-a , Editura Niculescu , Bucuresti
2000
