Объем, боковая и полная поверхность пирамиды

1. Объем, боковая и полная
поверхность пирамиды

2. Цель урока:
рассмотреть объем, боковую и полную
поверхность пирамиды и научиться
применять формулы при решении задач

3. Цель обучения:
ГМ 12.1 Умеет вычислять боковую и
полную поверхность многогранника
(пирамида, призма их виды) и тел
вращения (конус, цилиндр, шар)

4. 1 урок

5. А
D
В
С
E
F
А1 B1
C1
D1
F1
E1

6. А
В
С
D
E
F
А1 B1
C1
D1
F1
E1
P
ABCDEF — основание
Р — вершина
∆РАВ, ∆РВС, ∆РСD и др. —
боковые грани
РА, РВ, РС и др. —
боковые рёбра
РABCDEF — пирамида

7. А
В
С
D
E
F
P
ABCDEF — основание
Р — вершина
∆РАВ, ∆РВС, ∆РСD и др. —
боковые грани
РА, РВ, РС и др. —
боковые рёбра
РABCDEF — пирамида

8. А
В
С
P
Треугольная
пирамида —
это тетраэдр

9. А В
С
D
S
А
В
С
D
F
S

10. А В
D
S
С
Определение
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный
из её вершины к основанию
А
В
С
D
F
S
O
O

11. — Сумма площадей боковых граней
пирамиды называется площадью её
боковой поверхности
— Сумма площадей всех граней
(и основания и боковых граней),
называется площадью полной
поверхности пирамиды
Sполн. = Sосн.+ Sбок.

12. Задача 1
РABCD — пирамида
Дано:
ABCD — параллелограмм
SABCD = 360 cм2,
Решение:
1) AB = CD,
АВ = 20 см,
2) BC = AD, PD = PB, АР = РС ⇒ ΔBPC = ΔAPD
3) HQ ⏊ CD, HM ⏊ AD
Ответ: Sбок. = 768 см2
Найти: Sбок.
AD = 36 см
AC ∩ BD = H ⇒ AH = HC, BH = HD
PH = 12 см
7) Sбок. = SAPD + SABP + SBPC + SDPC ⇒Sбок. = 2(SAPD + SDPC) =
= 2 (234 + 150)= 2 (240 + 150) = 2 · 384 = 768 (см2)
P
A
B C
D
20 см
36 см
PH — высота H
12 см
PD = PB, AP = PC ⇒ ΔABP = ΔDPC
⇒ PQ ⏊ CD, PM ⏊ AD
Q
M
F
K

13. Тренировочные
упражнения

14. 2 урок

15. Теорема
Объём пирамиды равен одной трети
произведения площади основания на высоту

16. Теорема
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади
основания на высоту
I. Дано:
V — объём
ОАВС — пирамида
Доказательство:
2) OX: h ∈ OX
ОМ2 = h (высота пирамиды)
S — площадь ΔАВС
∆OA1B1 ∼ ∆OAB ⇒
Теорема доказана
А1В1С1 ∥ ABC
ОМ1 = x, M ∈ ΔА1В1С1
S(x) — площадь сечения
5) ΔОАС: А1С1∥ АС
6) ΔОСB: В1С1∥ ВС
7) ΔОА1М1 и ΔОАМ2 — прямоуг.
(ОМ1 и ОМ2 ∈ h, ∠О — общий)
3) ∆А1В1С1 ∼ ∆ABC
4) ∆OAB: A1B1 ∥ AB ⇒
∆OA1C1 ∼ ∆OAC
∆OB1C1 ∼ ∆OBC
ΔОА1М1 ∼ ΔОАМ2
∆А1В1С1 ∼ ∆ABC
h
O
A1 B1
C1
B
A
C
M2
M1

17. Теорема
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади
основания на высоту
II. Дано:
h — высота пирамиды
OABCDF — пирамида
1) Разобьём пирамиду
OABCDF на треугольные
OABC, OACD, OADF
Доказательство:
S — площадь АВСDF
3) ADCO: ADC — основание
h — высота
Теорема доказана
2) AFDO: AFD — основание
h —высота
4) ABCO: ABC — основания
h — высоту
O
A
B
C
D
F
S
h
V = VAFDO + VADCO + VABCO

18. Задача 1
Дано:
Решение:
Найти: V
правильная
треугольная пирамида
Ответ: V = 0,25
АС = СB = BA = 1
a = b
H
A
S
C
B
1
1
1

19. Задача 2
Дано:
Решение:
Найти: h
пирамида
Ответ: h = 4
Sосн. = a · b
а = 3, b = 4
V = 16
S
A
D C
B
H
3
4

20. Тренировочные
упражнения

21. Рефлексия