1. Äàðààëëûí áîäëîãóóä
4.Òýãø òîîíû äàðààëëûí ãèø¿¿äèéã áè÷, Åðºíõèé ãèø¿¿íèé òîìú¸îã
îë.
5.Ñîíäãîé òîîíû äàðààëëûí ãèø¿¿äèéã áè÷. Åðºíõèé ãèø¿¿íèé
òîìú¸îã îë .
6. Äàðààëëûí ºãºãäºõ àðãóóäûí òóõàé ÿðèëö.Æèøýý ãàðãàæ
òàéëáàðëà .
7. 2, 5, 8, 11, …….äàðààëëûí åðºíõèé ãèø¿¿íèé òîìú¸îã áè÷ .
8 xn  (1)n åðºíõèé ãèø¿¿í á¿õèé äàðààëëûí ýõíèé 6 ãèø¿¿íèéã
áè÷. 9, 15, 20, k-ð ãèø¿¿íèéã îë.
n
1   1
9. an 
åðºíõèé ãèø¿¿í á¿õèé äàðààëëûí ýõíèé 6
n
ãèø¿¿íèéã áè÷. 5, 10, 17, k-ð ãèø¿¿íèéã îë .
10. Äàðààõ äàðààëëûí åðºíõèé ãèø¿¿íèé òîìú¸îã áè÷ .
1) -3, -9, -27,-81,
2) 2, 6, 10, 14, ..........
3) 1, 8, 27, 81,
4)8, 11,14, 17, 20,……
11. Äàðààõ òºãñãºëã¿é äàðààëëûí n-ð ãèø¿¿íèé òîìú¸îã áè÷.
1 1 1 1
1 2 3 4 5
1) 1; ;
2) ; 2 ; 2 ; 4 ; 5 .......
; ; ;......
4 9 16 25
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
1 1 1 1
3) ; ; ; ;
4) ; ; ; ;.......
;.......
3 9 27 81 243
4 10 28 82
1 1 1 1 1
2 4 8
5) ; ; ; ; ;...
6) 1;
;
;
;...
3 6 9 12 15
101 201 301
2
3
4
1 1 1 1 1
1 2 3 4
7) ; ; ; ; ;...
8) ;   ;   ;   ;...
4 7 10 13 16
3 5 7 9
12. Ìîíîòîí äàðààëàë ãýæ þó âý? Æèøýý ãàðãàæ òàéëáàðëà , ÿðèëö .
13. Çààãëàãäñàí äàðààëàë ãýæ þó âý? Æèøýý ãàðãàæ òàéëáàðëà, ÿðèëö .
14. Äýýðýýñýý áîëîí äîîðîîñîî çààãëàãäñàí äàðààëëûí æèøýý ãàðãà .
15. Äàðààëëûí õÿçãààð ãýæ þó âý? Æèøýý ãàðãàæ òàéëáàðëà .
16.Äàðààëëûí õÿçãààðûí ¿íäñýí òåîðåìóóäûã ÿðèëö .
3n  1
8n  3
4n  5
22. 1) lim
2) lim
3) lim
n  n  1
n   7  2n
n  3  7n
5  n  2n 2
3  6n  5n 2
23. 1) lim
2) lim
n   2  n  3n 2
n   3  6n  7 n 2
9  5n
2n  7
24. 1) lim
2) lim 2
n   2  n  2n 2
n   5n  3n  1
n  3n  2
n  35  2n
25. 1) lim
2) lim
n   10  3n  4n 2
n   n  1n  5
 3n  5

n2
5n  4
3n  1 
 2) lim 
 5
26.1) lim 
 2


2 
 2n  7
n 
n   3n  1
11  n  3n 
4  3n  n 2 


 5n 2  3
 n 2  5n  1 n  3 
0,5  1 
 2) lim 



27. 1) lim 
n   1  3n  4n 2 3n  7 
n   2n 2  n
3n  5 




 5n
n2  1 

: 2
28. 1) lim 
n   3  2n 2n  3n 


 n n 2  3n  1 

:
2) lim 
n   n  1
n2 1 


1

2. 
29) 1) lim x  x 2  5 x
n 

2) lim
n 
n 
1
n n 1  n 1
n  4!n  3!
32.1) lim
n  n  4  n  2 
!
!
31) 1) lim
n 


3  2n  2  6n 1
n   2 n  3  6 n 1
33. 1) lim
1. y  x  1
2
2. y  2 x  x
2
3. y  x  5x  6
x 2  5x  6
x 2  6x  8
3x  7
13. y  6
x 1  2
1
14.
2
2 x  5x  3
x3
6. y 
5 x
15. y 
2x  1
x 1
2
2
x x
9. y 
4  3x  x
x4
2
12  x  x
10. y 
x x  2 
2
25. y  x 2  4 x  5  1g x  1
7x
27. y  x 2  4 x  5  1g x  5
26. y  1  x  1g x  1
28. y  1g 5x 2  8x  4  x  1
4 x 2  19 x  12
18. y  x  4  9  x
2
19. y  x 2  x  20 
20. y 
2
24. y  1g x  1

17. y  1  x 2  x 2  2 x
x 2  7 x  12
11. y 
x 2  2x  3
31.
x
17  15 x  2 x 2
x3
16. y 
8. y 
 3x  10 1g 2 x  3
x3
22. y  1g
x 1
x5
23. y 
1g 9  x 
21. y 
12. y 
4. y  x  1  6  x
5. y  1  x  x  1
7. y 
2
2x2  1  x2  1
2) lim
n 
x 1
2
2 n  n 1  n2 1
2) lim
n 
n2 1
n!n  2!
2) lim
n 
n  1!
3  4n 1  3n
2) lim
n   4  2 2 n 1
Ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
x 1  x
x 1
2
30. 1) lim
 x  1  x
29. y  1g 1  4  x 2
2
1
x  5 x  14
y
30.

1g 3  2 x  x 2


x
2
x  3x  x  7
1
x 4  2x 2  1
4
2
Ôóíêöèéí òýãø ñîíäãîéã òîãòîîõ
√
√
3.
√
√
√
|
|
2

3. Ôóíêöèéí õÿçãààð
x2  9
2x2  x  1
3x  1
1) lim
2) lim 2
3) lim 2
x2 x  4
X 0 x  x  1
x  1 x  1
2
2
x 4
x x2
x2  x  6
1) lim
2) lim
3) lim
X  1
X  2 x  2
X 3
x3
x 1
1
x2 
8  x3
2x  1
9
1) lim
2) lim
3) lim
1
1
X 2 4  x2
1
2
X  1  3x
X
3
2 x 
4
x3 3
5 x
x 2
1) lim
2) lim
3) lim
X 6
X  25 x  25
X 4 x  4
x6
3
8 x
2x  4
1) lim 4
2) lim
3)
X  2 x  16
X 4
4 x
6
2
2
x  10 x  21
6 x  5x  6
x2  3
1) lim
2) lim 2
3) lim
2
1
X  4 x  8 x  15
X 5
x5
X  3x  x  2
3
2x  3  1
5 x 2
4
x  3x  2
1) lim 5
X 1 x  4 x  3
x4  1
1) lim 2
X 1 x  1
1) lim
2) lim
X  1
X 0
1 x 1
x
x  3x  2
x2  4
x4  2x2  1
3) lim
X 1
x3  1
x7  1
3) lim 8
X 1 x  1
3) lim
X 2
x 3  2x  1
X 1 x 5  2 x  1
x6  1
2) lim 3
X 1 x  1
2) lim
Ôóíêöèéí óëàìæëàë
(
(
(
(
(
(
)(
(
y  x  2x  4
1
21.1) y  4 8 x 3  x
4
2
22.1) y  x  ( x  2)
23.1) y  x  ( x  3) 5
3
2)
2)
2)
)
(
(
2)
(
)(
)
)(
√
4
(
)
(
(
√
20.1)
(
)
√(
y  2 x  3x 2  x  1
1
y  3 2x 2  2x
2
y  x  ( x  2)
y  ( x  1) 2  ( x  4)
3
3

4. y  x  1  (2 x  1)
24.1)
26.1)
2x  3
x 1
4
y  x x 1
27.1)
y  4  3x
28.1)
y  ( x  3)
29.1)
y  (x  x )3
25.1)
y  x  2  (3x  1)
2)
y
2)
2)
3x  2
x 1
2
y  x x 1
y
2)
2) y  ( x  2 x ) 4
3
1 
y    1
x 
31) 1) y  x 2 3x  2


2)


2) y  2 x  x 3 2
33) 1)
y  x 2 3x  1
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.


x2
y x
 3


4


1
1
1
y 
3
x
x
x
2)
3

3


4
y   x 3 4 x  1 3
7.
8.
9.
10.
 1
y  1  
x

2
y  4  x 3x 2
2)
32) 1)
35) 1)
x2 1
2x  1
y  (4  x ) 5
30.1)
34) 1)
y
y  9  2x
2)
4
3)

4
y  2  3x 2 2 x

2)
y  x 2 2 x
2)
y

4
1
1
1
4 5
2
x
x
x
Ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýë
y=x
ïàðàáîëûí x=0,x=-1 öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýë¿¿äèéí áè÷.
3
y=x
êóá ïàðàáîëûí x=2 öýã òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
2
y=x +2 ôóíêöèéí ãðàôèêèéí x=2 öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
y=x 2 -2x ôóíêöèéí ãðàôèêèéí x=3 öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷.
2
y=
ìóðóéí x=-3 öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷.
x2
y=x 2 +4 ôóíêöèéí ãðàôèêèéí x=1 öýã òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
y=(x-1) 2 +4 ôóíêöèéí ãðàôèêèéí x=2 öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
1
y=
ìóðóéí x=1 öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷.
3  2x
1
y=3x 2 -2x+ ôóíêöèéí ãðàôèêèéí ÿìàð öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ àáñöèññ òýíõëýãòýé ïàðàëåëëü áàéõ âý
3
2
y=x -8 áà y=(x-4) 2 ìóðóéã òýäãýýðèéí îãòëîëöëûí öýãò ø¿ðãýã÷ øóëóóíû òýãøèòãýëèéã áè÷.
y=3x 2 -1 ìóðóéí y=2 öýãò ø¿ðãýã÷ øóëóóíû ºíöãèéí êîýôôèöèåíòèéã îë.
y  3x 2  1 ìуðуéã y  2 цэãò ø¿ðãэã÷ øуëууíû ºíцãèéí кîэффèцèåíòèéã îë.

цэãò òàòсàí ø¿ðãэã÷ øуëууíû òэãøèòãэëèéã áè÷.
y  sin 2 x фуíкцèéí ãðàфèкèéí x 
12

y  sin x  1 Фуíкцèéí ãðàфèкèéí x  цэãò òàòсàí ø¿ðãэã÷ øуëууíû òэãøèòãэëèéã áè÷.
2
y  2 x 2  4 x Фуíкцèéí ãðàфкèéí àáцèсс òэíõëэãòэé îãòëîëцсîí цэãò òàòсàí ø¿ðãэã÷ øуëууíû òэãøèòãэëèéã
áè÷.
2
4

5. 22.
23.
y  x 2  2 x  5 Фуíкцèéí ãðàфèкèéí îðäèíàò òэíõëэãòэé îãòëîëцсîí цэãò òàòсàí ø¿ðãэã÷ øуëууíû
òэãøèòãэëèéã áè÷.
y  6  3x Фуíкцèéí ãðàфèкèéí x  1 цэãò òàòсàí ø¿ðãэã÷èéí òэãøèòãэëèéã áè÷
24.
25.
26.
27.
y  10  2 x Фуíкцèéí ãðàфèкèéí x  3 цэãò òàòсàí ø¿ðãэã÷èéí òэãøèòãэëèéã áè÷
y  4  x 2 ìуðуé ø¿ðãэã÷ ОХ òэíõëэãòэé 7500 -ûí ºíцºã ¿¿сãэж áàéв. Ш¿ðãэã÷èéí цэãèéí кîîðäèíàòûã îë.
y  x 2  kx  4 ìуðуé ОХ òэíõëэãèéã ø¿ðãэж áàéõ к кîэффèåíòèéí уòãûã îë.
y  x 2  x  1 ìуðуé ø¿ðãэã÷ y  3x  1 øуëууíòàé пàðàëëåëь áîë ø¿ðãэã÷èéí цэãèéí кîîðäèíàòûã îë.
7x
28. y 
ìóðóéí x  4 öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
x3
29. y  cos 2 x ìóðóéí x 

öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
4

30. y  sin 3x ìóðóéí x  öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
4


31. y  tg (2 x  ) ìóðóéí x  öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
6
3


32. y  ctg (  3x) ìóðóéí x  öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã
3
6
áè÷.
x 1
33. y 
ôóíêöèéí ãðàôèêèéí ÿìàð öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ y  x  5
x2
øóëóóíòàé ïàðàëëåëü áàéõ âý?
34. y  sin 2 x ôóíêöèéí ãðàôèêèéí ÿìàð öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ y  x  3
øóëóóíòàé ïàðàëëåëü áàéõ âý?
35. y  x 2  4 x  3 ôóíêöèéí ãðàôèêèéí ÿìàð öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ OX
òýíõëýãòýé 45 0 -ûí ºíöºã ¿¿ñãýõ âý?
36. y  2 x 2  3x  1 ôóíêöèéí ãðàôèêèéí ÿìàð öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ OX
òýíõëýãòýé 60 0 -ûí ºíöºã ¿¿ñãýõ âý?
37. y  3x  4 x 2  2 ôóíêöèéí ãðàôèêèéí ÿìàð öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷ OX
òýíõëýãòýé 45 0 -ûí ºíöºã ¿¿ñãýõ âý?
38. y  x 3  x  1 áà y  3x 2  4 x  1 ìóðóéíóóäàä òàòñàí ø¿ðãýã÷¿¿ä
ïàðàëëåëü áàéõ ø¿ðãýëòèéí öýã¿¿äèéã îë. Ø¿ðãýã÷èéí òýãøèòãýëèéã áè÷.
39. y  x 3  4 x 2  3x  1 ôóíêöûí ãðàôèêèéí x  0, x  1 öýã¿¿äýä òàòñàí
ø¿ðãýã÷¿¿äèéí õîîðîíäîõ ºíöãèéã îë.
40. y  x 2 áà y   x 2  3x  2 ïàðàáîëóóäûí åðºíõèé ø¿ðãýã÷èéí
òýøèòãýëèéã áè÷.
9.
10.
11. 1.
12. 1.
13. 1.
14. 1.
Äàðààõ ôóíêóóäûí ºñºõ áóóðàõ çàâñàð îë.
2.
2.
2
2.
2
2
5

6. 15. 1.
16. 1.
17. 1.
2
2
2
18. 1.
2
(
2x  3
5x  1
1
20. 1) y  4  6 x  9 x 2  20 x 3
2) y  1 
3x  1
1
21 1) y  3x 4  4 x 3  12 x 2
2) y  2 
1  4x
4x  1
22. 1) y  3x 4  4 x 3  36 x 2  5
2) y 
3x  1
3
4
x
x
x3 3 4
23.1. ) y  1  3x 2 
2) y  2  x 2 

 x
3
4
3 4
Äàðààõ ôóíêöóóäûí ýêñòðåìóìûã îë.
24. 1) y  3x  4
2) y  2  x 3) y  1 2 x
19. 1) y  1 
5 2
x  x  2x3
2
2) y 
y  x 2  2x  6
25.
26.
27.
28.
1)
1)
1)
1)
29.
30.
33.
34.
1) y  2 x 4  x
1)
y  3x 2  x 3
3
1)
y  x3  x2
2
x
1)
y  x4 
2
4
2
1) y  x  8x  8
1) y  x 4  32 x  1
35.
1) y 
36.
1)
31.
32.
y  5  4x  4x 2
y  x  x3
y  x 3  9x
x3 x2

 2x  1
3
2
x2 2 3
 x 1
y=6x+
2 3
3. 1. y  x 2  2 x  8
2) y  3x 2  6 x  7
2)
y  3  2x  x 2
2) y  2 x 3  9 x 2  24 x  1
2) y  2 x 3  6 x 2  18x  5
2) y  4 x 3  3x 2  18x  12
2)
y  2 x 3  5x 2  4 x  3
2)
y  2  18x  15x 2  4 x 3
2) y  2  54 x  27 x 2  8x 3
2) y  3  36 x  51x 2  10 x 3
2) y   x 4  4 x  3
x3
 x 2  3x  5
3
x2 2 3
 x
2) y  1  x 
2 3
Ôóíêöèéã øèíæèëæ ãðàôèê áàéãóóëàõ
3
2. y   x  3x  2
3. y  3x 2  x 3
2) y 
4. 1. y  x 4  2 x 3  3 2. y  x  2  x
3. y  x 2 3  x 
1
2
5. 1. y  2 x 2  3x
2. y   x 2  3.5 x  4.5 3. y  x 2 x  2
2
3
4
2
6. 1. y  x  4x
2. y  x  3x 2  9 x
3. y  x 3  3x 2  1
1
7. 1. y  x 2  x 2
2. y  x  4  x 3. y  x 4  5 x 2  4.5
2
6

7. 8. 1. y  x 3  3x 2  2
2. y  8  2 x 2  x 4
3. y 
9. 1. y  2 x 3  15x 2  366 x
2. y  x 6  3x 4  9 x 2
10. 1. y  24 x 2  9 x 4  2 x 6
1 5
x  4x 2
5
2. y  x  1  x  2
11. 1. y  x  12  x  22
12.
√
(
(
13.
(
14) a. y 
6x  1
x2  3
15. a.
4
x2
x  22
17) a. y  2
x 4
16.) a. y  x 
2
2
2. y  x  15 * x  34
(
2.
√
b. y 
2x
1 x2
b.
b. y 
b. y 
1
x  8x
5
2
x  22  1
82 x  1
x2  6
1
c. y  x 2 
x
x
c. y  2
x 1
1
c. y  x 2 
x
c. y 
7