1. Лекция 5
Резонансная
теория возмущений
Малышев А.И.
Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского

2. Как известно, каноническая теория возмущений в многомерном
случае не работает вблизи резонансов, т.е. в областях, где
 
  
m   I  0.
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы и на примере
отдельного резонанса построим резонансную теорию возмущений.
Итак, гамильтониан в переменных действие-угол невозмущенной
системы:
H I1,I2 ,1, 2   H0 I1,I2   V I1,I2 ,1, 2 .
Невозмущенные частоты: 1,2  H0 I1,2 .
Рассмотрим резонанс nω1 – mω2 = 0, где n и m – положительные
целые числа.
Вблизи этого резонанса фаза nθ1 – mθ2 является медленной (по
сравнению с θ1 и θ2). На этом и построим каноническое
преобразование…
2

3. Введем новые переменные:
медленную фазу
 n1  m 2
2 
n2  m2
и быструю фазу
m1  n 2
1 
n2  m2
Соответствующее
каноническое преобразование
имеет вид:
I1  mJ1  nJ 2  n 2  m 2

m1  n 2  n1  m 2 I2  nJ1  mJ2  n  m
2 2
F2  J1  J2 
n m
2 2
n m
2 2 1  m 1  n 2  n 2  m 2

 2  n 1  m 2  n  m
2 2
3

4. Разложим возмущение в ряд Фурье с нулевым средним (для
простоты)
V I1,I2 ,1, 2   Vn,m I1,I2   e i n  m  .
  1 2
n,m0
и запишем гамильтониан в новых переменных:
n m 1 n 2  m n 1  m 2 
i
H  H0 J1, J 2    Vn,m J1, J2   e n 2 m2

n,m0
Усредним его по быстрой фазе ψ1 …
n 2
i n  m 2  2
 H0 J1, J 2    V m J1, J2   e n

n, n
n 0 n
и оставим в сумме гармоники с n′ = n и –n…
 H0 J1, J2   Vn, m J1, J2   e i n 2 m2  2
 Vn,m J1, J2   e i n 2 m2  2
.
4

5. Обе оставшиеся гармоники обычно примерно равны друг другу.
Положим далее для простоты
V J , J 
Vn, m J1, J2   Vn,m J1, J2    0 1 2 ,
2
тогда

H  H0 J1, J2   V0 J1, J2  cos n 2  m 2  2 . 
Из канонических уравнений следует:
J1  0,

 2 2 2 2

J 2  V0 J1, J 2  n  m sin n  m  2   , 
т.е. J1(t) = J10, а J2(t) меняется медленно на фоне J20:
~
J2 (t )  J20  J (t ).
~
Произведем в гамильтониане разложение по J в ряд Тейлора с
точностью до величин второго порядка:
H  H0 J10 , J20  
H0 ~ 1  2H0 ~2
J2
J
2 J2 2
 
J  V0 J10 , J20  cos n 2  m 2  2 .
5

6. В правой части полученного выражения
H  H0 J10 , J20  
H0 ~ 1  2H0 ~2
J2
J
2 J2 2

J  V0 J10 , J20  cos n 2  m 2  2 
первое слагаемое может быть опущено как постоянная, а второе
слагаемое на резонансе равно нулю:
H0
  2  0.

J2 J J ,
1 10
J2  J20
В оставшемся слагаемом вторую производную обозначим за K.
В итоге получим резонансный гамильтониан (гамильтониан
эффективно одномерной системы):
~ K~

H  J 2  V0 cos n 2  m 2  2 .
2

Получили известный гамильтониан математического маятника!
6

7. Из гамильтониана легко
найти уравнение
сепаратрисы резонанса
~ V0  n2  m2 
J 2 cos
 2 

K  2 
и ширину резонанса
~ V0
J  4  .
K
Частота малых колебаний
вблизи его центра найдется
из уравнения:
2  V0K n 2  m 2 

 
 sin n 2  m 2  2  0
   V0K n 2  m 2  .
~
7

8. Сформулируем ряд итоговых замечаний:
 Если бы ранее выбрали Vn, m J1, J2   Vn,m J1, J2   e i , где α –
некоторая фаза, то получили бы качественно ту же картину
резонанса, лишь сдвинутую вдоль оси ψ2.
 Каноническая теория возмущений работает вдали от резонанса
(вне его), а в области порядка    необходима резонансная
теория возмущений.
 Рассмотренный резонанс – резонанс между двумя степенями
свободы – называют также внутренним резонансом или
резонансом связи.
8

9. Система с 1.5 степенями свободы
Рассмотрим теперь другой по происхождению тип резонанса –
резонанс одномерной нелинейной системы с периодическим во
времени внешним полем:
H I, ,t   H0 I   V I, ,t .
Пусть возмущение имеет характерный период T  2  , тогда
V I, ,t   Vn,m I e i n mt .
n,m
Резонанс: n IR   m . Рассмотрим случай, когда n = m = 1. С
помощью производящей функции
F2    t J  IR 
введем медленную вблизи резонанса фазу ψ = θ – Ωt, и сдвинем
начало отсчета по действию: J = I – IR.
9

10. Гамильтониан при этом:
F
H  H  2  H0 J  IR    Vn,m J  IR   e i n  n m t     J  IR  .
~
t n,m
Разложим далее H0 в ряд Тейлора по J << IR , исключим из
гамильтониана постоянные составляющие, а также усредним по
быстрой фазе Ωt :
K
H   IR   J  J 2   Vn, n IR   e in  J .
~
2 n 0
Здесь, как и ранее, K   2H0 I 2 I I . Первое и последнее слагаемые
далее сокращаются.
R
Оставим в сумме самые медленные слагаемые с n = ±1 и, как и
ранее, примем V1,1IR   V1,1IR   V0 IR  2, тогда снова придем к
гамильтониану математического маятника:
~ K 2
H  J  V0 cos .
2
10

11. Перекрытие резонансов
Если в возмущении можно
выделить две характерные
частоты – Ω1 и Ω2, то
I   i  IRi
У каждого резонанса своя ширина
(ΔJ)i , а «расстояние» между ними
по действию равно |IR1 – IR2|.
Критерий перекрытия резонансов
(критерий Чирикова) – касание
невозмущенных сепаратрис:
1
J 1  1 J 2  IR1  IR 2 .
2 2
11

12. Перекрытие резонансов: замечания
 Критерий Чирикова дает значение амплитуды возмущения ε, при
котором происходит перекрытие резонансов, лишь по порядку
величины. Реально перекрытие наступает при меньшей
амплитуде вследствие взаимодействия резонансов между собой,
а также с резонансами более высокий порядков.
 С ростом амплитуды возмущения сепаратрисы резонансов
разрушаются, образуя тонкие стохастические слои – малые
области с хаотической динамикой.
 С ростом амплитуды возмущения заметную роль начинают играть
резонансы более высоких порядков, а также вторичные
резонансы (см. пример далее).
12

13. Пример
Рассмотрим нелинейный осциллятор во внешнем слабом
электрическом поле:
p2 x 4
H   f0 x cos 1t  cos  2t .
2 4
В переменных действие-угол ввиду небольшой степени
нелинейности положим x(I, θ) ≈ a(I)·cosθ, где a(I) – амплитуда
колебаний, тогда
 f0aI  cos   cos 1t  cos  2t ,
4
H  AI 3
где a  4 A  I
1 1
4 3 , а также A ≈ 0.8671.
Пренебрежем также и высокочастотными слагаемыми, в итоге:
4 A
1
cos  1t   cos  2t .
4 4 1
H  AI 3
 f0 I 3
2
13

14. Из гамильтониана видно, что возмущение создает два основных
резонанса на частотах Ω1 и Ω2. Рассматривая их независимо, найдем
для каждого их положение 3
 3 i 
IRi   
 4A 
и ширину
f0  IRi
Ii  6 .
24 A 4
3
Теперь по критерию Чирикова найдем критическое значение
амплитуды внешнего поля f0, при котором происходит перекрытие
резонансов:
~ 24 A 4 IR 2  IR1 
3
f0  IR1 f0  IR 2
2
3 3  IR 2  IR 1  f0  .
24 A 24 A 9  IR 1  IR 2 
3 3 2
4 4
Далее представлены фрагменты фазовых портретов осциллятора
для Ω1 = 1, Ω2 = 1.2 и разных амплитуд f0…
14

15. f0 = 0.001 f0 = 0.003 f0 = 0.01
15

16. На рисунке показан увеличенный
фрагмент фазового портрета системы
при f0 = 0.003.
Видно, что возрастание амплитуды
возмущения приводит к проявлению
большого количества резонансов.
Например, в центре рисунка – резонанс
на частоте
  2
 1 .
2
? Каким резонансным частотам
соответствуют остальные резонансы,
видимые на рисунке?
16

17. Задания по теме
1. Определить частоту малых колебаний на резонансе и ширину
резонанса для системы с гамильтонианом:
а ). H (I, , t )  AI 2   I cos  cos t
 
б ). H (I , )  I x  I y    cos x  2 y 
A 2 2
2
2. При каком значении параметра α резонансы в системе с
гамильтонианом
H I, , t   AI 2   cos cos 1t  cos  2t 
перекроются?
17