Presentazione sulla teoria cinetica dei gas

1. LA TEORIA CINETICA
DEI GAS
Studia le grandezze
macroscopiche di un
gas in relazione a
quelle microscopiche
da cui deriva il
comportamento dello
stesso gas

2. studia il comportamento di un gas descrivendolo attraverso
grandezze quali la velocità e l’energia cinetica delle sue
molecole;
collega inoltre tali grandezze, che sono dette microscopiche,
alle grandezze macroscopiche quali volume, temperatura e
pressione;
si occupa quindi di analizzare il comportamento del gas in
relazione a ciò che avviene a livello molecolare;
descrive un gas dal punto di vista statistico, cioè analizza il
comportamento dell’insieme di molecole e non quello delle
singole.
La teoria cinetica dei gas:

3. Si deve immaginare un gas come un sistema formato da un numero enorme di particelle
che si muovono caoticamente urtandosi l'una con l'altra e ognuna contro le pareti del
contenitore; a causa degli urti esse cambiano continuamente direzione e velocità.
Per questo motivo, nello studio della teoria cinetica il gas considerato dal punto di vista
della realtà risulta troppo complesso; si fa in modo di «semplificare» tale studio prendendo
come modello quello del gas perfetto.
Si tratta di un gas molto rarefatto e con temperatura lontana da quella di liquefazione, che
presenta varie caratteristiche:
 le sue molecole sono considerate punti materiali privi di una struttura interna, tutte di
massa uguale e volume trascurabile rispetto a quello del contenitore, e sono presenti nel
gas in numero grandissimo;
 i moti delle molecole sono del tutto casuali, continui e disordinati (moti di agitazione
termica);
 le forze di interazione tra le molecole sono trascurabili (ciò non avviene nella realtà)
 gli urti delle molecole contro le pareti del contenitore sono perfettamente elastici*.
*Urto elastico: urto durante il quale si conservano l’energia cinetica e la quantità di moto.
Il gas come modello meccanico

4. Gli urti tra le molecole e il contenitore sono responsabili della pressione all’interno del
volume del gas, ed è dovuta al vettore forza della molecola perpendicolare alla superficie
del contenitore.
Infatti la pressione è descritta come:
𝑃 =
𝐹
𝑆
Per il principio di azione e reazione, e poiché l’urto è elastico, la forza esercitata dalla
parete sarà esattamente uguale e contraria a quella esercitata dalla molecola- allo stesso
modo l’energia e la quantità di moto si conserveranno durante l’urto.
Per ricavare la pressione negli urti tra molecole e contenitore, si può partire dalla
relazione che lega la velocità alla superficie percorsa nell’unità di tempo- in questo caso
la velocità delle molecole con cui urtano la superficie del contenitore nell’intervallo dato:
𝑣 =
∆𝑠
∆𝑡
La pressione e la velocità negli urti
molecola-contenitore

5. Da qui si può ricavare appunto l’intervallo di tempo, che vale: ∆𝑡 =
∆𝑠
∆𝑣
Se si considera come contenitore un cubo di lato L, dopo l’urto, ogni
molecola avrà un verso opposto a quello iniziale e andrà a urtare
inevitabilmente la parere opposta del contenitore, perciò lo spazio
percorso durante un urto sarà il doppio di quello percorso per urtare la
parete.
Perciò il tempo può essere espresso come: ∆𝑡 =
2𝐿
∆𝑣
Sapendo che la forza esercitata da ogni molecola, per il secondo
principio della dinamica vale 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎, la si può scrivere in funzione
del tempo, cioè:
𝐹 =
𝑚𝑣
𝑡
=
∆𝑝
∆𝑡
Sostituendo i dati ricavati otteniamo che:
𝐹 =
𝑚𝑣
𝑠
𝑣
=
𝑚𝑣2
𝐿
Dove Δp è la quantità di
moto definita come il
prodotto tra la massa e la
velocità

6. Conoscendo la forza è possibile quindi esprimere in modo
diverso la pressione:
Da 𝑃 =
𝐹
𝑆
diventa: 𝑃 =
𝑚𝑣2
𝐿
𝐿2 =
𝑚𝑣2
𝑉
Estendendo questa relazione a tutte le molecole del volume di
gas, bisogna introdurre un parametro che consiste nel numero
di particelle N.
La pressione così espressa diventa:
𝑃 = 𝑁 ∙
𝑚𝑣2
𝑉
Dove 𝑚𝑣2
è il doppio
dell’energia cinetica e V il
volume del gas

7. Considerando la velocità dal punto di vista vettoriale, composta da tre
vettori uguali tra loro, otteniamo tre valori 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 e 𝑣𝑧 di cui
consideriamo solo il vettore 𝑣 𝑥 ad esempio, perché il moto delle
particelle avviene, nel gas perfetto in un’unica direzione.
Tale valore sarà
1
3
del vettore risultante v.
Sapendo inoltre che il fattore 𝑚𝑣2 altro non è che il doppio
dell’energia cinetica, possiamo quindi esprimere diversamente la
relazione che lega pressione, volume, numero di molecole ed energia
cinetica.
𝑃 =
2
3
∙
𝑁
𝑉
∙
1
2
𝑚𝑣2

8. E’ stata ricavata la relazione che lega pressione e volume,
che sono grandezze macroscopiche, con il numero di
molecole e l’energia cinetica delle stesse, grandezze invece
microscopiche.
E’ possibile esprimere tale relazione come:
𝑃𝑉 =
2
3
𝑁𝐸𝑐
in modo da metterla in relazione con l’equazione di stato
del gas perfetto
𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇
Dove T è la temperatura del
gas e k è la costante di
Boltzmann relativa a ogni
particella di gas (𝑘 =
𝑅
𝑁 𝐴𝑉
)

9. Mettendo a confronto le due relazioni, otteniamo che:
𝑁𝑘𝑇 =
2
3
𝑁𝐸𝑐
E, risolvendola, otteniamo esattamente la definizione
di energia cinetica secondo una relazione che la lega
alla temperatura del gas e quindi, alle grandezze
macroscopiche.
𝐸𝑐 =
3
2
𝑘𝑇
L’energia cinetica nella teoria
microscopica della materia

10. Nella realtà, in un gas le particelle non hanno tutte la stessa
velocità: nel modello del gas ideale si tiene conto di una velocità
media che è approssimativamente uguale per tutte le molecole.
Tale valore è la velocità quadratica media, strettamente legata
all’energia cinetica, ed è intesa come la velocità media delle
molecole di un gas in stato di equilibrio* a una certa
temperatura.
E’ espressa come: 𝑣 𝑚 =
3𝑘𝑇
𝑚
*Stato di equilibrio: un sistema raggiunge lo stato di equilibrio quando tutte le
grandezze macroscopiche che lo descrivono (le variabili di stato) si mantengono
costanti nel tempo.
La velocità quadratica media

11. In una data quantità di gas, la velocità più probabile che si può
trovare tra le particelle è un valore abbastanza vicino alla velocità
quadratica media, ma non coincide con essa. Questa relazione può
essere infatti espressa graficamente ed è rappresentata da una
curva asimmetrica, in cui la zona della velocità quadratica media
sarà molto vicina a quella della velocità più probabile, ma non la
stessa. In generale, la velocità più probabile tra le molecole è
addirittura inferiore alla velocità quadratica media.
Essa vale infatti: 𝑣 𝑚 =
2𝑘𝑇
𝑚
La distribuzione maxwelliana delle
probabilità
Il punto più alto della curva è la velocità
più probabile: in quel punto ci sono
moltissime molecole che hanno una velocità
simile a quella media e quadratica media.

12. La velocità quadratica media è
legata anche alla variazione di
temperatura.
All’aumentare della temperatura,
la curva si abbassa ma si fa sempre
più estesa perché aumenta il
numero di particelle che hanno
velocità simile a quella quadratica
media.
L’altezza della curva diminuisce
perché c’è sempre meno differenza
tra le velocità delle molecole, che
quindi sono tutte più probabili.
La distribuzione maxwelliana delle
probabilità

13. Il moto browniano
 In un gas all’equilibrio le sue grandezze
macroscopiche- pressione, volume e temperatura si
mantengono costanti nel tempo.
 Dal punto di vista microscopico, invece, a parità di
temperatura e di volume, si nota che la pressione a
piccolissimi intervalli di tempo subisce delle
variazioni, o fluttuazioni, che non rendono possibile
considerarla costante come può essere fatto a livello
microscopico.

14. Questo perché essendo i moti
delle molecole del tutto casuali,
casuale sarà l’intensità degli urti
che esse compiono e casuale
sarà il loro effetto, cioè la
pressione
La teoria del moto browniano
studia le traiettorie e i moti
casuali delle molecole
 L’effetto delle fluttuazioni è
tanto più piccolo quanto più
grande è N, ossia il numero
di molecole contenute,
perché più esso è grande,
meno differenze ci sono tra
le intensità degli urti e più la
pressione di ogni urto sarà
simile al valore medio di
pressione all’interno del gas.
Riguarda corpuscoli
molto piccoli in
sospensione in un
fluido
Le molecole hanno moti
totalmente imprevedibili:
due molecole vicine possono
avere moti del tutto diversi

15. Il moto browniano dipende
da:
La particella: le particelle più piccole si muovono con
moto più deciso e intenso; esso non dipende dalla
natura della particella né dalla sua massa.
Il fluido e la sua viscosità: più esso è viscoso più lento è
il movimento delle molecole.
La temperatura: la velocità delle particelle aumenta
con la temperatura e i moti si fanno più intensi.