https://app.box.com/s/6hu4xtjdkviaumciqbcgnc6e6qx94yf0

1. ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 LỚP 12 NĂM
HỌC 2023-2024 (ĐỀ 6-10) (50 CÂU TRẮC
NGHIỆM CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
CHI TIẾT) (Đề thi được cập nhật liên tục bởi
đội ngũ Dạy Kèm Quy Nhơn)
WORD VERSION | 2024 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Đ Ề K I Ể M T R A G I Ữ A K Ỳ M Ô N
T O Á N
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
vectorstock.com/28062405

2. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
ĐỀ 6 - KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 LỚP 12 NĂM HỌC 2023-2024
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số   2024
f x x
 là
A. 2025
2025x C
 . B. 2024
2025x C
 . C. 2025
1
2024
x C
 . D. 2025
1
2025
x C
 .
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số   2
1
sin
f x
x

 là
A. tan x C
 . B. tan x C
  . C. cot x C
  . D. cot x C
 .
Câu 3: Cho   2024x
f x  . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.  
2024
ln 2024
x
f x dx C
 
 . B.   2024 ln 2024
x
f x dx C
 
 .
C.  
1
2024
1
x
f x dx C
x

 

 . D.   1
2024x
f x dx C

 
 .
Câu 4: Cho   sin
f x dx x C
  
 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.   cos
f x x
 . B.   cos
f x x
  . C.   sin
f x x C
  . D.   sin
f x x C
   .
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số
3
y
x
 là
A. 3x C
 . B. 2
3
C
x

 . C. 3ln x C
 . D. 3ln x C
 .
Câu 6: Cho    
,
f x g x là các hàm số xác định và liên tục trên  . Mệnh đề nào sau đây sai?
A.        
f x g x dx f x dx g x dx
  
 
 
   .
B.        
.
f x g x dx f x dx g x dx

   .
C.    
2 2
f x dx f x dx

  .
D.        
f x g x dx f x dx g x dx
  
 
 
   .
Câu 7: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.    
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

  
  B.    
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

  
 
C.    
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

   
  D.    
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

   
 
Câu 8: Cho hàm số  
y f x
 liên tục trên  
,
a b . Diện tích hình phẳng  
H giới hạn bởi đồ thị hàm số
 
y f x
 , trục hoành và hai đường thẳng ;
x a x b
  được tính theo công thức
A.  
2
d
b
a
S f x x

  
 
 . B.  d
b
a
S f x x
  . C.   d
b
a
S f x x

  . D.   d
b
a
S f x x
  .

3. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 9: Cho hàm số  
f x liên tục trên  và  
F x là nguyên hàm của  
f x , biết  
0 3
F  và
 
9 12
F  . Tích phân  
9
0
d
I f x x
  bằng
A. 4
I  . B. 9
I  . C. 9
I   . D. 15
I  .
Câu 10: Tích phân
3
2
4
d
sin
x
I
x


  bằng?
A. cot cot
3 4
 
 . B. cot cot
3 4
 
 . C. cot cot
3 4
 
  . D. cot cot
3 4
 
  .
Câu 11: Cho
 
2
1
d 2
f x x 

và
 
3
2
d 2
f x x  

. Giá trị của
 
3
1
d
f x x

bằng
A. 1. B. 4
 . C. 0 . D. 4 .
Câu 12: Cho
 
2
0
d 2
f x x 

và
 
2
0
d 3
g x x  

thì
   
2
0
3 2 d
f x g x x

 
 

bằng
A. 13
 . B. 0 . C. 12. D. 1
 .
Câu 13: Cho hai hàm số  
f x ,  
g x liên tục trên đoạn  
;
a b và số thực k . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A.        
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
  
 
 
   .
B.        
. d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x

 
 
   .
C.        
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
  
 
 
   .
D.    
f d d
b b
a a
k x x k f x x

  .
Câu 14: Cho hàm số  
f x liên tục và có đạo hàm trên  
0;1 thỏa mãn    
1 0 4
f f
  . Tính tích phân
 
1
0
d
I f x x

  .
A. 1
I   . B. 1
I  . C. 4
I  . D. 0
I  .
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho 3 2
OA k i j
  

   
. Tọa độ điểm A là
A.  
3; 2;1
A  . B.  
3;2; 1
A   . C.  
1; 2;3
A  . D.  
2;1;3
A  .
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho 2
OM i k
 

  
. Tọa độ của OM


là
A.  
2;1;0
OM 


. B.  
2; 1;0
OM   


. C.  
1;2;0
OM 


. D.  
2;0;1
OM 


.
Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho  
1;2;3 , (0; 1;2)
a b
  
 
. Tọa độ của 2
c a b
 
  
là

4. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
A.  
1;0;1
c 

. B.  
1;4;1
c 

. C.  
1;0; 1
c  

. D.  
1;4; 1
c  

.
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu      
2 2
2
: 1 2 4
S x y z
     . Đường kính của mặt cầu là
A. 16. B. 2 . C. 8 . D. 4 .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  : 3 2z 4
P x y
   . Điểm nào sau đây không thuộc
 
P ?
A. (4;0;0). B.  
1; 1;0
 . C.  
3;1;2
C . D.  
1;1;1
D .
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  : 3 2z 4
P x y
   . Mặt phẳng nào sau đây song song
với ( )
P ?
A. 3 2 0
x y
   . B. 2 6 4 3 0
x y z
    .
C. 2 6 4 8 0
x y z
    . D. 3
y  .
Câu 21: Họ nguyên hàm của hàm số   2
3 .4
x x
f x  là
A.
2
3 .4
ln3.ln 4
x x
C
 . B.
36
ln36
x
C
 . C.
2
6
ln 6
x
C
 . D.
9 .4
ln9.ln 4
x x
C
 .
Câu 22: Cho hàm số  
2 2
2
sin 3cos 1
sin 2
x x
f x
x
 
 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.  d cot
f x x x C
 
 . B.  d tan
f x x x C
  
 .
C.  d tan
f x x x C
 
 . D.  d cot
f x x x C
  
 .
Câu 23: Một nguyên hàm của hàm số   5
3 2
2
4
f x x
x
  trên khoảng  
0; là
A. 6 3
2 2
3 3
x x
 . B. 6 3
2 2
3 3
x x
 . C. 6 3
2
6
3
x x
 . D. 6 3
2
6
3
x x
 .
Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
3 2
( )
x
f x
x
 

  
 
là
A. 3 4
3x C
x
  . B. 3 4
3 12
x x C
x
   .
C. 3 4
3 12
x x C
x
   . D. 3 4
3x C
x
  .
Câu 25: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   3
sin cos
f x x x
 là
A.
4
sin
4
x
C
 . B.
4
cos
4
x
C
 . C. 4
sin cos
x x C
 . D.
2
sin
2
x
.
Câu 26: Cho   2
F x x
 là một nguyên hàm của hàm số  
f x . Tính  
1
0
d
I f x x
  .
A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3.

5. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 27: Tính tích phân  
1
0
3 2
I x x dx
 
 .
A. 5 . B. 4 . C. 1. D. 2.
Câu 28: Cho
 
1
0
2
f x dx 

, tích phân
 
 
1
0
2
f x x dx


bằng
A. 3. B. 1. C. 2 . D. 0 .
Câu 29: Biết hàm số  
f x liên tục trên  và  
7
1
15
f x dx


 . Khi đó giá trị của  
4
0
2 1
f x dx

 là
A.
15
2

. B. 15. C. 30. D.
15
2
.
Câu 30: Tính tích phân  
3
2
1
4 2
I x x xdx
  
 bằng cách đặt 2
t x x
  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
6
2
0
4 .
I t dx
  . B.
6
0
4 .
I t dx
  . C.
6
2
0
4 .
I t dx
  . D.
6
2
0
.
I t dx
  .
Câu 31: Khi tính tích phân  
3
1
3 5 ln d
I x x x

 , bằng cách đặt
 
ln
3 5 d
u x
dv x x




 


. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.    
2
2
1
3
3 5 ln 3 5 d
1
I x x x x x
   
 . B.
2
2
1
3
3 3
5 ln 5 d
1
2 2
I x x x x x
   
   
   
   
 .
C.
2
2
1
3
3 3
5 ln 5 d
1
2 2
I x x x x x
   
   
   
   
 . D.    
2
2
1
3
5 ln 5 d
1
I x x x x x
   
 .
Câu 32: Trong không gian Oxyz cho 2 3 , 2 4
OM i j k ON i j k
     

       
. Khoảng cách giữa hai điểm
M và N là
A. 35
MN  . B. 35
MN  . C. 11
MN  . D. 11
MN  .
Câu 33: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm  
1; 2; 5
A   và  
3;0; 1 .
B  Mặt cầu đường
kính AB có phương trình
A.      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      . B.      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      .
C.      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      . D.      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      .
Câu 34: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm  
1; 4; 3
A  và  
3; 0; 5
B  . mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình
A. 2 2 0
x y z
    . B. 2 2 0
x y z
    . C. 2 2 0
x y z
    . D. 2 2 0
x y z
    .
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ ,
Oxyz cho hai điểm  
2;0; 3 ,
A   
1; 2;2
B  và mặt phẳng
 :3 2 2 0.
P x y z
    Mặt phẳng  
 đi qua ,
A B và vuông góc với  
P có một vectơ pháp
tuyến

6. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
A.  
9;13;7
n 

. B.  
9; 13;7
n  

. C.  
9;13;7
n  

. D.  
9; 13; 7
n   

.
Câu 36: Cho hàm số
 
f x
xác định trên
 
1
R
thỏa mãn  
1
1
f x
x
 

,
 
0 2022
f 
,
 
2 2023
f 
.
Tính
 
   
 
2023 1 2022
3
S f f
   
.
A.
2
ln 2 1
S   . B. 2
ln 2
S  . C. ln 2
S  . D. 2
1 ln 2
S   .
Câu 37: Cho ( )
F x là một nguyên hàm của hàm số   4 3 2
2 1
2
x
f x
x x x


 
trên khoảng  
0; thỏa mãn
 
1
1
2
F  . Giá trị của biểu thức        
1 2 3 2023
S F F F F
    thuộc khoảng nào dưới
đây?
A.  
2021;2022 . B.  
2022;2023 . C.  
2023;2024 . D.  
2023; 2022
  .
Câu 38: Cho hàm số  
y f x
 đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn
 
   
2 2
. ,
x
f x f x e x
    và  
0 4
f  . Khi đó  
2
f thuộc khoảng nào sau đây?
A.  
20;22 . B.  
26; 28 . C.  
24;26 . D.  
28 30
; .
Câu 39: Biết
6
0
3
1 sin
dx a b
x c




 , với , ,
a b c 
 
  và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị
của tổng a b c
  bằng
A. 5. B. 12. C. 7. D. 1.

Câu 40: Cho hàm số   2
1, 0
2 3 , 0
x
e khi x
f x
x x khi x
  

 
 


. Biết    
1
1
3 , ,
f x dx ae b c a b c

   
  . Tổng
3
T a b c
   bằng
A. 15. B. 10.
 C. 19.
 D. 17.

Câu 41: Cho hàm số  
f x liên tục, có đạo hàm trên  ,  
2 16
f  và  
2
0
4.
f x dx 
 Tích phân
4
0
2
x
xf dx
 
 
 
 bằng
A. 144. B. 12. C. 56. D. 112.
Câu 42: Biết
2
2
0
3
ln
1 6
d
x
x a b c
x x

 
 
 với , ,
a b c là các số nguyên và 1
c  . Giá trị của a b c
  bằng
A. 8 . B. 10 . C. 9 . D. 4 .
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho hình thang ABCD với tỉ lệ giữa hai đáy là : 3: 2
AB CD  . Biết
   
2; 1; 2 ; 1;2;1
A B
   và  
3; 2;5
C  . Trọng tâm G của tam giác ACD có tọa độ là
A.
10 7
; ;2
3 3
 
 
 
. B.
10 7
; ;2
3 3
 

 
 
. C.
10
2; 1;
3
 

 
 
. D.
10
2;1;
3
 
 
 
.

7. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hình bình ABCD có  
1; 2;2
A  và  
3;6; 2
C   . Điểm K thỏa
3
BC KC


 
, I là giao điểm của AC và DK . Tọa độ điểm I là
A.  
2;4; 1
I   . B.  
5;10; 4
I   . C.  
2; 4;1
I  . D.  
5; 10;4
I  .
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  : 1 0
P x y z
    . Viết phương trình
mặt cầu  
S có tâm thuộc mặt phẳng  
Oxy và tiếp xúc với mặt phẳng  
P tại điểm  
1;1;3
A .
A.    
2 2 2
4 4 27
x y z
     . B.    
2 2 2
2 2 27
x y z
     .
C.    
2 2 2
4 2 27
x y z
     . D.    
2 2 2
4 4 27
x y z
     .
Câu 46: Cho hàm số  
y f x
 liên tục trên đoạn  
3;2
 và có đồ thị là đường gấp khúc ABC trong hình
bên dưới.
Biết  
F x là nguyên hàm của  
f x thỏa mãn  
1 2
F  . Giá trị của    
2 1
F F
   bằng
A. 1
 . B.
13
3
 . C.
5
3
. D.
14
3
 .
Câu 47: Cho hàm số ( ) 4 3 2
f x ax bx cx dx e
= + + + + có đồ thị ( )
C , biết rằng ( )
C đi qua điểm ( )
1;0
M -
và tiếp tuyến d tại điểm M cắt ( )
C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 2 ; diện tích hình
phẳng giới hạn bởi d , đồ thị ( )
C và hai đường thẳng 1; 2
x x
= = có diện tích bằng
21
40
. Tính
( )
1
1
d
f x x
-
ò .
A. 3 . B.
16
5
. C.
11
3
. D.
11
4
.

8. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 48: Cho hàm số ( ) 0
f x ¹ , ( ) ( ) ( )
2
2 3
f x x f x
¢ =- + và thỏa mãn điều kiện ( )
1
0
2
f = . Gọi
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
ln 0 ln 2 1 ... ln 2023 2022
g x f f f x
é ù
= + + +
ê ú
ë û . Tính ( )
1
0
d
g x x
ò .
A. 0 . B.
ln 2023!
2
. C.
1
2
. D.
ln 2024!
2

.
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  
1;1; 3
A ,  
4; 5; 3
B  . Xét các điểm M , N di động trên
mặt phẳng  
Oxy sao cho 1
MN  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
2 3
MA NB
 bằng
A.
327
5
. B.
321
5
. C.
129
2
. D.
323
5
.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ ,
Oxyz cho mặt cầu      
2 2 2
: 2 2 9
S x y z
     và hai điểm
 
2;6;0
A ,  
1;2;0
B . Điểm M di động trên mặt cầu  
S . Giá trị lớn nhất của 3 4
MA MB
 là
A. 93 . B. 2 97 . C. 97 . D. 2 93 .
---------------------HẾT---------------------

9. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
BẢNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C
11.C 12.C 13.B 14.C 15.D 16.D 17.D 18.D 19.D 20.B
21.B 22.A 23.D 24.C 25.A 26.C 27.D 28.B 29.D 30.C
31.C 32.C 33.A 34.D 35.A 36.B 37.B 38.B 39.A 40.C
41.D 42.A 43.B 44.A 45.D 46.B 47.B 48.D 49.B 50.C
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số   2024
f x x
 là
A. 2025
2025x C
 . B. 2024
2025x C
 . C. 2025
1
2024
x C
 . D. 2025
1
2025
x C
 .
Lời giải
Áp dụng công thức 1
1
1
x dx x
 




 , ( 1
   ) với 2024
  .
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số   2
1
sin
f x
x

 là
A. tan x C
 . B. tan x C
  . C. cot x C
  . D. cot x C
 .
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm cơ bản 2
1
cot
sin
dx x C
x

 
 .
Câu 3: Cho   2024x
f x  . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.  
2024
ln 2024
x
f x dx C
 
 . B.   2024 ln 2024
x
f x dx C
 
 .
C.  
1
2024
1
x
f x dx C
x

 

 . D.   1
2024x
f x dx C

 
 .
Lời giải
Ta có:  
2024
ln 2024
x
f x dx C
 

Câu 4: Cho   sin
f x dx x C
  
 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.   cos
f x x
 . B.   cos
f x x
  . C.   sin
f x x C
  . D.   sin
f x x C
   .
Lời giải
Ta có    
sin cos
f x x C x

     .
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số
3
y
x
 là
A. 3x C
 . B. 2
3
C
x

 . C. 3ln x C
 . D. 3ln x C
 .
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm cơ bản và tính chất của nguyên hàm ta có

10. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
3 1
3 3ln
dx dx x C
x x
  
  .
Câu 6: Cho    
,
f x g x là các hàm số xác định và liên tục trên  . Mệnh đề nào sau đây sai?
A.        
f x g x dx f x dx g x dx
  
 
 
   .
B.        
.
f x g x dx f x dx g x dx

   .
C.    
2 2
f x dx f x dx

  .
D.        
f x g x dx f x dx g x dx
  
 
 
   .
Lời giải
Mệnh đề sai là        
.
f x g x dx f x dx g x dx

   .
Câu 7: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.    
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

  
  B.    
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

  
 
C.    
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

   
  D.    
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

   
 
Lời giải
Áp dụng công thức            
d d
u x v x x u x v x u x v x x
 
 
  ta được:
   
sin d sin sin d .
x x x
e x x e x e x x

  
 
Câu 8: Cho hàm số  
y f x
 liên tục trên  
,
a b . Diện tích hình phẳng  
H giới hạn bởi đồ thị hàm số
 
y f x
 , trục hoành và hai đường thẳng ;
x a x b
  được tính theo công thức
A.  
2
d
b
a
S f x x

  
 
 . B.  d
b
a
S f x x
  . C.   d
b
a
S f x x

  . D.   d
b
a
S f x x
  .
Lời giải
Hàm số )
(x
f
y  liên tục trên  
b
a; . Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
)
(x
f
y  , trục hoành và hai đường thẳng b
x
a
x 
 ; được tính theo công thức  d
b
a
S f x x
  .
Câu 9: Cho hàm số  
f x liên tục trên  và  
F x là nguyên hàm của  
f x , biết  
0 3
F  và
 
9 12
F  . Tích phân  
9
0
d
I f x x
  bằng
A. 4
I  . B. 9
I  . C. 9
I   . D. 15
I  .
Lời giải
 
9
0
d
f x x
  
9
0
F x
    
9 0 12 3 9.
F F
    

11. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 10: Tích phân
3
2
4
d
sin
x
I
x


  bằng?
A. cot cot
3 4
 
 . B. cot cot
3 4
 
 . C. cot cot
3 4
 
  . D. cot cot
3 4
 
  .
Lời giải
Ta có
3
2
4
d
sin
x
I
x


 
3
4
cot x


  cot cot
3 4
 
   .
Câu 11: Cho
 
2
1
d 2
f x x 

và
 
3
2
d 2
f x x  

. Giá trị của
 
3
1
d
f x x

bằng
A. 1. B. 4
 . C. 0 . D. 4 .
Lời giải
Ta có        
3 2 3
1 1 2
d d d 2 2 0
f x x f x x f x x
     
   .
Câu 12: Cho
 
2
0
d 2
f x x 

và
 
2
0
d 3
g x x  

thì
   
2
0
3 2 d
f x g x x

 
 

bằng
A. 13
 . B. 0 . C. 12. D. 1
 .
Lời giải
Ta có:          
2 2 2
0 0 0
3 2 d 3 d 2 d 3.2 2. 3 12
f x g x x f x x g x x
      
 
 
   .
Câu 13: Cho hai hàm số  
f x ,  
g x liên tục trên đoạn  
;
a b và số thực k . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A.        
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
  
 
 
   .
B.        
. d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x

 
 
   .
C.        
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
  
 
 
   .
D.    
f d d
b b
a a
k x x k f x x

  .
Lời giải
       
. d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x

 
 
   là khẳng định sai.

12. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 14: Cho hàm số  
f x liên tục và có đạo hàm trên  
0;1 thỏa mãn    
1 0 4
f f
  . Tính tích phân
 
1
0
d
I f x x

  .
A. 1
I   . B. 1
I  . C. 4
I  . D. 0
I  .
Lời giải
Ta có:        
1
1
0
0
d 1 0 4
I f x x f x f f

    
 .
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho 3 2
OA k i j
  

   
. Tọa độ điểm A là
A.  
3; 2;1
A  . B.  
3;2; 1
A   . C.  
1; 2;3
A  . D.  
2;1;3
A  .
Lời giải
Ta có 3 2
OA k i j
  

   
2 3
OA i j k
    

   
 
2;1;3
A
  .
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho 2
OM i k
 

  
. Tọa độ của OM


là
A.  
2;1;0
OM 


. B.  
2; 1;0
OM   


. C.  
1;2;0
OM 


. D.  
2;0;1
OM 


.
Lời giải
 
2 2;0;1
OM i k OM
   

   

Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho  
1;2;3 , (0; 1;2)
a b
  
 
. Tọa độ của 2
c a b
 
  
là
A.  
1;0;1
c 

. B.  
1;4;1
c 

. C.  
1;0; 1
c  

. D.  
1;4; 1
c  

.
Lời giải
 
2 1;4; 1
c a b
   
  
.
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu      
2 2
2
: 1 2 4
S x y z
     . Đường kính của mặt cầu là
A. 16. B. 2 . C. 8 . D. 4 .
Lời giải
     
2 2
2
: 1 2 4
S x y z
     có bán kính 2
R  nên đường kính mặt cầu là 4 .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  : 3 2z 4
P x y
   . Điểm nào sau đây không thuộc
 
P ?
A. (4;0;0). B.  
1; 1;0
 . C.  
3;1;2
C . D.  
1;1;1
D .
Lời giải
Điểm  
1;1;1
D không thuộc mặt phẳng  
P vì 1 3.1 2.1 4
   .
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  : 3 2z 4
P x y
   . Mặt phẳng nào sau đây song song
với ( )
P ?
A. 3 2 0
x y
   . B. 2 6 4 3 0
x y z
    .

13. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
C. 2 6 4 8 0
x y z
    . D. 3
y  .
Lời giải
 : 3 2z 4
P x y
   song song với mặt phẳng  : 2 6 4 3 0
Q x y z
    vì
1 3 2 4
2 6 4 3

  

.
Câu 21: Họ nguyên hàm của hàm số   2
3 .4
x x
f x  là
A.
2
3 .4
ln3.ln 4
x x
C
 . B.
36
ln36
x
C
 . C.
2
6
ln 6
x
C
 . D.
9 .4
ln9.ln 4
x x
C
 .
Lời giải
Ta có   2 36
d 3 .4 d 9 .4 d 36 d
ln36
x
x x x x x
f x x x x x C
    
    .
Câu 22: Cho hàm số  
2 2
2
sin 3cos 1
sin 2
x x
f x
x
 
 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.  d cot
f x x x C
 
 . B.  d tan
f x x x C
  
 .
C.  d tan
f x x x C
 
 . D.  d cot
f x x x C
  
 .
Lời giải
Ta có  
2 2 2
2 2 2 2
sin 3cos 1 4cos 1
d d d d cot
sin 2 4sin cos sin
x x x
f x x x x x x C
x x x x
   
    
    .
Câu 23: Một nguyên hàm của hàm số   5
3 2
2
4
f x x
x
  trên khoảng  
0; là
A. 6 3
2 2
3 3
x x
 . B. 6 3
2 2
3 3
x x
 . C. 6 3
2
6
3
x x
 . D. 6 3
2
6
3
x x
 .
Lời giải
Với  
0;
x 
Ta có  
2 1
5 5 6 6 3
3 3
3 2
2 1 2
d 4 d 4 d 2 d 4. 2.3 6
6 3
f x x x x x x x x x x C x x C
x

 
         
 
 
    .
Suy ra một nguyên hàm của hàm số   5
3 2
2
4
f x x
x
  trên khoảng  
0; là 6 3
2
6
3
x x
 .
Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
3 2
( )
x
f x
x
 

  
 
là
A. 3 4
3x C
x
  . B. 3 4
3 12
x x C
x
   .
C. 3 4
3 12
x x C
x
   . D. 3 4
3x C
x
  .
Lời giải
Ta có  
2 2
2
2 3
2
3 2 2 4 4
d d 3 d 9 12 d 3 12
x
f x x x x x x x x x C
x x x x
 
    
         
     
   
 
    .

14. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 25: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   3
sin cos
f x x x
 là
A.
4
sin
4
x
C
 . B.
4
cos
4
x
C
 . C. 4
sin cos
x x C
 . D.
2
sin
2
x
.
Lời giải
Tính 3
sin cos d
x x x
 .
Đặt sin d cos d
t x t x x
   .
4 4
3 3 sin
sin cos d dt
4 4
t x
x x x t C C
    
  .
Câu 26: Cho   2
F x x
 là một nguyên hàm của hàm số  
f x . Tính  
1
0
d
I f x x
  .
A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3.
Lời giải
Theo định nghĩa tích phân:      
1
0
d 1 0 1 0 1
I f x x F F
     
 .
Câu 27: Tính tích phân  
1
0
3 2
I x x dx
 
 .
A. 5 . B. 4 . C. 1. D. 2.
Lời giải
     
1 1
1
2 3 2
0
0 0
3 2 3 2 2 0 2
I x x dx x x dx x x
        
  .
Câu 28: Cho
 
1
0
2
f x dx 

, tích phân
 
 
1
0
2
f x x dx


bằng
A. 3. B. 1. C. 2 . D. 0 .
Lời giải
 
     
1 1 1
1
2
0
0 0 0
2 2 2 2 1 1
f x x dx f x dx xdx x
       
   .
Câu 29: Biết hàm số  
f x liên tục trên  và  
7
1
15
f x dx


 . Khi đó giá trị của  
4
0
2 1
f x dx

 là
A.
15
2

. B. 15. C. 30. D.
15
2
.
Lời giải
Đặt
1
2 1 2
2
t x dx dx dx dt
     
Với 0 1
x t
    ; 4 7
x t
  

15. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
       
4 7 7 7
0 1 1 1
1 1 1 15
2 1 .
2 2 2 2
f x dx f t dt f t dt f x dx
  
    
   
Câu 30: Tính tích phân  
3
2
1
4 2
I x x xdx
  
 bằng cách đặt 2
t x x
  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
6
2
0
4 .
I t dx
  . B.
6
0
4 .
I t dx
  . C.
6
2
0
4 .
I t dx
  . D.
6
2
0
.
I t dx
  .
Lời giải
Ta có:    
2 2 2
2 2 1 4 4 2
t x x t x x tdt x dx tdt x dx
          
Với 1 0; 3 6
x t x t
     
3 6
2
1 0
.4 . 4 .
I t t dx t dx
 
 
Câu 31: Khi tính tích phân  
3
1
3 5 ln d
I x x x

 , bằng cách đặt
 
ln
3 5 d
u x
dv x x




 


. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.    
2
2
1
3
3 5 ln 3 5 d
1
I x x x x x
   
 . B.
2
2
1
3
3 3
5 ln 5 d
1
2 2
I x x x x x
   
   
   
   
 .
C.
2
2
1
3
3 3
5 ln 5 d
1
2 2
I x x x x x
   
   
   
   
 . D.    
2
2
1
3
5 ln 5 d
1
I x x x x x
   
 .
Lời giải
Đặt
 
2
2
1
2
1
d d
ln 3
3 3
5 ln 5 d
d 3 5 d 1
3 2 2
5
2
u x
u x x
I x x x x
v x x
v x x





     
     
     
     

   



Câu 32: Trong không gian Oxyz cho 2 3 , 2 4
OM i j k ON i j k
     

       
. Khoảng cách giữa hai điểm
M và N là
A. 35
MN  . B. 35
MN  . C. 11
MN  . D. 11
MN  .
Lời giải
Ta có    
2 3 , 2 4 2; 3;1 , 1; 2;4
OM i j k ON i j k M N
        

       
Khoảng giữa hai điểm M và N là      
2 2 2
1 2 2 3 4 1 11
MN        
Câu 33: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm  
1; 2; 5
A   và  
3;0; 1 .
B  Mặt cầu đường
kính AB có phương trình
A.      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      . B.      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      .
C.      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      . D.      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      .

16. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Lời giải
Mặt cầu  
S có đường kính AB nên tâm của mặt cầu là trung điểm I của AB và bán kính mặt
cầu là
2
AB
R  .
Ta có  
2, 1, 3
I   và bán kính mặt cầu
     
2 2 2
3 1 0 2 1 5
6
2 2
AB
R
     
   .
Phương trình mặt cầu là      
2 2 2
2 1 3 6
x y z
      .
Câu 34: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm  
1; 4; 3
A  và  
3; 0; 5
B  . mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình
A. 2 2 0
x y z
    . B. 2 2 0
x y z
    . C. 2 2 0
x y z
    . D. 2 2 0
x y z
    .
Lời giải
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm  
2;2; 4
I  của AB và có một VTPT là
 
2; 4; 2
AB   


nên có phương trình
     
2 2 4 2 2 4 0
x y z
      2 2 0
x y z
     .
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ ,
Oxyz cho hai điểm  
2;0; 3 ,
A   
1; 2;2
B  và mặt phẳng
 :3 2 2 0.
P x y z
    Mặt phẳng  
 đi qua ,
A B và vuông góc với  
P có một vectơ pháp
tuyến
A.  
9;13;7
n 

. B.  
9; 13;7
n  

. C.  
9;13;7
n  

. D.  
9; 13; 7
n   

.
Lời giải
Ta có  
1; 2;5
AB   


.
Mặt phẳng  
P có một vectơ pháp tuyến là  
3; 1; 2
P
n   


.
Mặt phẳng  
 đi qua ,
A B và vuông góc với  
P nên có một vectơ pháp tuyến là
 
, 9;13;7
Q P
n AB n
 
 
 

 
 

.
Câu 36: Cho hàm số
 
f x
xác định trên
 
1
R
thỏa mãn  
1
1
f x
x
 

,
 
0 2022
f 
,
 
2 2023
f 
.
Tính
 
   
 
2023 1 2022
3
S f f
   
.
A.
2
ln 2 1
S   . B. 2
ln 2
S  . C. ln 2
S  . D. 2
1 ln 2
S   .
Lời giải
Ta có  
1
d
1
f x x
x


 ln 1
x C
  
 
 
1
2
ln 1 khi 1
ln 1 khi 1
x C x
x C x
   

 
  


.
Lại có  
0 2022
f    2
ln 1 0 2022
C
    2 2022
C
  .
 
2 2023
f    1
ln 2 1 2023
C
    1 2023
C
  .
Do đó    
 
ln 3 1 2023 2023 ln 1 1 2022 2022
S  
 
       
   
2
ln 2
 .

17. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 37: Cho ( )
F x là một nguyên hàm của hàm số   4 3 2
2 1
2
x
f x
x x x


 
trên khoảng  
0; thỏa mãn
 
1
1
2
F  . Giá trị của biểu thức        
1 2 3 2023
S F F F F
    thuộc khoảng nào dưới
đây?
A.  
2021;2022 . B.  
2022;2023 . C.  
2023;2024 . D.  
2023; 2022
  .
Lời giải
Ta có  
 
 
 
2
2 2
4 3 2 2
2 2
2 1 2 1 1 1 1
2 1
d x x
x x
F x dx dx C C
x x x x x x x
x x x x

 
         
   
 
  
Do  
1
1
2
F  nên
1 1
1
2 2
C C
     .
       
1 2 3 2023
S F F F F
    
1 1 1 1 1
2023 1 ....
2 2 3 2022 2023
      
1 1
2023 1 2022
2023 2023
     .
Câu 38: Cho hàm số  
y f x
 đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn
 
   
2 2
. ,
x
f x f x e x
    và  
0 4
f  . Khi đó  
2
f thuộc khoảng nào sau đây?
A.  
20;22 . B.  
26; 28 . C.  
24;26 . D.  
28 30
; .
Lời giải
Ta có    
0, 0,
f x f x x

   
Nên    
 
 
 
 
 
 
.
2 2
2
x x
x x
f x f x e e
f x e f x e f x
f x f x
  
       
 
1
2
x
f x e C
   .
 
0 4
f   
2
0
3 3
2
2 2 2
x
e e
C C f x
 

        
 
. Vậy  
2
2
3
2 26.983
2
e
f
 

  
 
 .
Câu 39: Biết
6
0
3
1 sin
dx a b
x c




 , với , ,
a b c 
 
  và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị
của tổng a b c
  bằng
A. 5. B. 12. C. 7. D. 1.

Lời giải
Ta có
2
2
6 6 6 6
2 2 2
0 0 0 0
1
1 tan
cos
2
2 .
1 sin
cos sin 1 tan 1 tan
2 2 2 2
x
x
dx dx
I dx dx
x x x x x
     

 
 
   
      
  
     
     
   

18. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Đặt 2
1 tan 2 1 tan .
2 2
x x
t dt dx
 
    
 
 
Đổi cận 0 1; 3 3.
6
x t x t

      
3 3 3 3
2
1
1
2 2 3 3
.
3
dt
I
t t
 
 
   

Suy ra 1, 3, 3
a b c
    nên 5.
a b c
  
Câu 40: Cho hàm số   2
1, 0
2 3 , 0
x
e khi x
f x
x x khi x
  

 
 


. Biết    
1
1
3 , ,
f x dx ae b c a b c

   
  . Tổng
3
T a b c
   bằng
A. 15. B. 10.
 C. 19.
 D. 17.

Lời giải
Ta có      
1 0 1
1 2
1 1 0
f x dx f x dx f x dx I I
 
   
  
     
1 0
0 0
2 2 2 2 2
2
1 1 1
1
2 16
2 3 3 3 3 3 2 3 .
3 3
I x x dx x d x x x
 

         
 
   
1
1
2 0
0
1 2.
x x
I e dx e x e
     

Suy ra  
1
1 2
1
22
2 3 .
3
f x dx I I e

    
 Suy ra
22
1; 2; .
3
a b c
   
Vậy 3 1 2 22 19.
T a b c
       
Câu 41: Cho hàm số  
f x liên tục, có đạo hàm trên  ,  
2 16
f  và  
2
0
4.
f x dx 
 Tích phân
4
0
2
x
xf dx
 
 
 
 bằng
A. 144. B. 12. C. 56. D. 112.
Lời giải
Đặt 2 2 .
2
x
t x t dx dt
    
Đổi cận
0 0
.
4 2
x t
x t
  


  

Do đó    
4 2 2
0 0 0
4 4 .
2
x
xf dx tf t dt xf x dx
 
  
 
 
 
  
Đặt
   
4 4
.
u x du dx
dv f x dx v f x
 
 
 

 

 
 
 
Suy ra          
2 2 2
2
0
0 0 0
4 4 4 8 2 4 8.16 4.4 112.
xf x dx xf x f x dx f f x dx
       
 
 
  

19. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 42: Biết
2
2
0
3
ln
1 6
d
x
x a b c
x x

 
 
 với , ,
a b c là các số nguyên và 1
c  . Giá trị của a b c
  bằng
A. 8 . B. 10 . C. 9 . D. 4 .
Lời giải
Đặt
2
2
0
3
1 6
d
x
I x
x x


 

Đổi biến: Đặt 2 2 2
6 6 ( 3)
t x x t x x t t x x
       
d d
Đổi cận 0 0; 2 4
x t x t
     
Vậy
 
 
4 4
4
0
0 0
1 1
ln 1 4 ln5
1 1
d
d t t
t t
I t t
t t
 
      
 
 
Do đó 4; 1; 5
a b c
    .
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho hình thang ABCD với tỉ lệ giữa hai đáy là : 3: 2
AB CD  . Biết
   
2; 1; 2 ; 1;2;1
A B
   và  
3; 2;5
C  . Trọng tâm G của tam giác ACD có tọa độ là
A.
10 7
; ;2
3 3
 
 
 
. B.
10 7
; ;2
3 3
 

 
 
. C.
10
2; 1;
3
 

 
 
. D.
10
2;1;
3
 
 
 
.
Lời giải
Hình thang ABCD có tỉ lệ giữa hai đáy là : 3: 2
AB CD  nên 2 3
AB DC


 
   
   
   
2 1 2 3 3
2 2 1 3 2
2 1 2 3 5
D
D
D
x
y
z
   


    


  

5
4
3
D
D
D
x
y
z



  

 

Suy ra  
5; 4;3
D  .
Do đó trọng tâm G của tam giác ACD có tọa độ là
10 7
; ;2
3 3
 

 
 
.
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hình bình ABCD có  
1; 2;2
A  và  
3;6; 2
C   . Điểm K thỏa
3
BC KC


 
, I là giao điểm của AC và DK . Tọa độ điểm I là
A.  
2;4; 1
I   . B.  
5;10; 4
I   . C.  
2; 4;1
I  . D.  
5; 10;4
I  .
Lời giải
Ta có K nằm trên cạnh BC và CK chiếm
1
3
BC .
Áp dụng định lý Thalet ta có 3
IA AD BC
IC CK CK
   và IC

ngược hướng với IA


nên ta được
3
IA IC
 

 
 
 
 
1 3 3 2
2 3 6 4
1
2 3 2
I I I
I I I
I
I I
x x x
y y y
z
z z
    
  

 
       
 
   
     

.

20. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Vậy  
2;4; 1
I   .
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  : 1 0
P x y z
    . Viết phương trình
mặt cầu  
S có tâm thuộc mặt phẳng  
Oxy và tiếp xúc với mặt phẳng  
P tại điểm  
1;1;3
A .
A.    
2 2 2
4 4 27
x y z
     . B.    
2 2 2
2 2 27
x y z
     .
C.    
2 2 2
4 2 27
x y z
     . D.    
2 2 2
4 4 27
x y z
     .
Lời giải
Gọi d là đường thẳng đi qua  
1;1;3
A và vuông góc với  
P . Khi đó đường thẳng d có phương
trình tham số:
1
1
3
x t
y t
z t
 


 

  

.
Gọi I là tâm mặt cầu  
S thì  
I d Oxy
  , suy ra  
4;4;0
I .
Bán kính mặt cầu  
S là 27
R IA
  .
Vậy phương trình mặt cầu  
S là:    
2 2 2
4 4 27
x y z
     .
Câu 46: Cho hàm số  
y f x
 liên tục trên đoạn  
3;2
 và có đồ thị là đường gấp khúc ABC trong hình
bên dưới.
Biết  
F x là nguyên hàm của  
f x thỏa mãn  
1 2
F  . Giá trị của    
2 1
F F
   bằng
A. 1
 . B.
13
3
 . C.
5
3
. D.
14
3
 .
Lời giải
Từ đồ thị của hàm số ta xác định được  
2
2 khi 3 0
3
2 khi 0 2
x x
f x
x

   

 
  

.
Do  
F x là nguyên hàm của  
f x nên  
2
1
2
1
2 khi 3 0
3
2 khi 0 2
x x C x
F x
x C x

    

 
   

.
Ta có   2 2
1 2 2 2 0
F C C
      .

21. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Hàm số  
y f x
 liên tục trên đoạn  
3;2
  
F x
 liên tục trên đoạn  
3;2

 
F x
 liên tục tại 0
x 
      1 2 1
0 0
lim lim 0 0
x x
F x F x F C C C
 
 
       .
Suy ra  
2
1
2 khi 3 0
3
2 khi 0 2
x x x
F x
x x

   

 
  

.
Vậy    
13
2 1
3
F F
     .
Câu 47: Cho hàm số ( ) 4 3 2
f x ax bx cx dx e
= + + + + có đồ thị ( )
C , biết rằng ( )
C đi qua điểm ( )
1;0
M -
và tiếp tuyến d tại điểm M cắt ( )
C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 2 ; diện tích hình
phẳng giới hạn bởi d , đồ thị ( )
C và hai đường thẳng 1; 2
x x
= = có diện tích bằng
21
40
. Tính
( )
1
1
d
f x x
-
ò .
A. 3 . B.
16
5
. C.
11
3
. D.
11
4
.
Lời giải
Gọi tiếp tuyến d : ( ) 1 1
g x a x b
= + .
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )
f x và ( )
g x là: 4 3 2
1 1
ax bx cx dx e a x b
+ + + + = +
( )
4 3 2
1 1 0
ax bx cx d a x e b
Û + + + - + - = .
Dựa vào đồ thị ta thấy ( )
f x và ( )
g x có các giao điểm tại 1
x =- (nghiệm kép), 1
x = và 2
x =
Do đó: ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
4 3 2 4 3 2
1 1 1 1 2 3 2
ax bx cx d a x e b a x x x a x x x x
+ + + - + - = + - - = - - + +

22. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Mặt khác: ( ) ( )
( )
2
1
21 21
d
40 40
S f x g x x
= Þ - =-
ò
( )
2
4 3 2
1
21 1
3 2 d
40 2
a x x x x x a
Þ - - + + =- Þ =
ò .
Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
4 3 2
1 1 1 1
1 6
d d d 3 1 d
2 5
f x x g x x f x g x x x x x x x
- - - -
- = - = - - + + =
ò ò ò ò .
Vậy ( )
1
1
6 16
d 2
5 5
f x x
-
= + =
ò .
Câu 48: Cho hàm số ( ) 0
f x ¹ , ( ) ( ) ( )
2
2 3
f x x f x
¢ =- + và thỏa mãn điều kiện ( )
1
0
2
f = . Gọi
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
ln 0 ln 2 1 ... ln 2023 2022
g x f f f x
é ù
= + + +
ê ú
ë û . Tính ( )
1
0
d
g x x
ò .
A. 0 . B.
ln 2023!
2
. C.
1
2
. D.
ln 2024!
2

.
Lời giải
Ta có: ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2 3 2 3
f x
f x x f x x
f x
¢
¢ =- + Û =- +
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1
d 2 3 d 3
f x
x x x x x C
f x f x
¢
Þ =- + Þ- =- + +
ò ò .
Mặt khác: ( )
1
0
2
f = , suy ra 2
C =- .
Khi đó:
( )
( )( ) ( )
( )( )
2
1 1
3 2 1 2
1 2
x x x x f x
f x x x
= + + = + + Û =
+ +
.
Suy ra: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
ln 0 ln 2 1 ... ln 2023 2022 ln 0 .2 1 ....2023 2022
f f f f f f
+ + + =
1 2 3 2023
ln . . ..... ln 2024!
1.2 2.3 3.4 2023.2024
æ ö
÷
ç
= =-
÷
ç ÷
ç
è ø
.
Vậy ( )
1 1 2
1
0
0 0
ln 2024!
d ln 2024! d ln 2024!
2 2
|
x
g x x x x
-
= - =- =
ò ò .
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  
1;1; 3
A ,  
4; 5; 3
B  . Xét các điểm M , N di động trên
mặt phẳng  
Oxy sao cho 1
MN  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
2 3
MA NB
 bằng
A.
327
5
. B.
321
5
. C.
129
2
. D.
323
5
.
Lời giải
Gọi ,
H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,
A B lên mặt phẳng  
Oxy .
Ta có    
1;1; 0 , 4; 5; 0
H K và 3
HA BK
  .

23. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Theo định lí Pitago có
2 2 2 2
2 2 2 2
9
.
9
MA MH HA MH
NB NK KB NK
    


   


Đặt 2 2 2 2
, 2 3 2( 9) 3( 9).
MH a NK b MA NB a b
       
Mặt khác theo bất đẳng thức đường gấp khúc ta có:
5 1 5 4 .
HM MN NK HK a b b a
          
Do đó
   
2 2 2 2
2
2
2 3 2 9 3 (4 ) 9
12 321 321
5 24 93 5
5 5 5
MA NB a a
a a a
     
 
      
 
 
Vậy giá trị nhỏ nhất 2 2
2 3
MA NB
 bằng
321
5
khi
12 8
;
5 5
a b
  và các điểm ,
M N thuộc đoạn
thẳng HK .
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ ,
Oxyz cho mặt cầu      
2 2 2
: 2 2 9
S x y z
     và hai điểm
 
2;6;0
A ,  
1;2;0
B . Điểm M di động trên mặt cầu  
S . Giá trị lớn nhất của 3 4
MA MB
 là
A. 93 . B. 2 97 . C. 97 . D. 2 93 .
Lời giải
Mặt cầu  
S có tâm  
2;2;0
I và bán kính 3
R  .
Ta có:  
0;4;0
IA


,  
1; 0; 0
IB 


.Suy ra
4
4 , 1
3
IA R IB
   .

24. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Suy ra điểm A nằm ngoài mặt cầu  
S , điểm B nằm trong mặt cầu  
S .
Gọi E là giao điểm của đoạn IA với mặt cầu  
S ,  
; ;
K x y z là điểm thuộc đoạn IE sao cho
4
3
IE IK
 .
3 3 3 9 9 9
.3
4 4 4 4 16 16
IK IE R IK IA IK IA
        
 

.
Ta có:  
2; 2;
IK x y z
 

;  
0;4;0
IA


.
9
2 .0
2
16
9 17 17 9
2 .4 2; ;0 1; ;0
16 4 4 4
0
9
.0
16
x
x
y y K BK
z
z

 
 

 
     
      
     
   
 

 





.
Ta có IAM
 và IMK
 là hai tam giác đồng dạng vì 
MIK chung và
4
3
IA IM
IM IK
  .
4
3 4 3 4 4 4 4 4
3
MA
MA MK MA MB MK MB MK MB BK
MK
           .
Mà
2
2 2
9 97
1 0
4 4
BK
 
   
 
 

. Vậy 3 4 97
MA MB
  .
---------------------HẾT---------------------

25. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
ĐỀ 7 - KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 LỚP 12 NĂM HỌC 2023-2024
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số   3
2
f x x
 là
A.
4
4
x
C
 . B. 2
6x C
 . C.
5
2
x
C
 . D.
4
2
x
C
 .
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số   cos
f x x
 là
A. sin x C
  . B.
1
sin
C
x
  . C. sin x C
 . D.
1
sin
C
x
 .
Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
ln
dx x C
x
 
 . B.
1
3
3
1
x
x
dx C
x

 

 .
C.
1
2
xdx C
x
 
 . D. 2
1 1
dx C
x x
  
 .
Câu 4: Tìm  
f x biết  
3
sin 2
f x dx x C
x
  

A.   2
3
2cos2
f x x
x
  . B.  
1
cos2 3ln
2
f x x x
   .
C.   2
3
2cos2
f x x
x
   . D.  
1
cos2 3ln
2
f x x x
  .
Câu 5: Cho hàm số   3
2023 x
f x  . Một nguyên hàm của hàm số  
f x là
A. 3
1
.2023 .ln 2023
3
x
. B. 3
1
.2023
3ln 2023
x
. C. 3
1
.2023
2023ln3
x
. D. 3
1
.2023 .ln3
2023
x
.
Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.    
d d
kf x x k f x x

  với k là hằng số khác 0.
B.        
. d d . d
f x g x x f x x g x x

   .
C.        
d d d
f x g x x f x x g x x
  
 
 
   .
D.        
d d d
f x g x x f x x g x x
  
 
 
   .
Câu 7: Biết    
d .
f u u F u C
 
 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.    
2 1 d 2 2 1
f x x F x C
   
 . B.    
2 1 d 2 1
f x x F x C
   
 .
C.    
2 1 d 2 1
f x x F x C
   
 . D.    
1
2 1 d 2 1
2
f x x F x C
   
 .
Câu 8: Cho hàm số  
y f x
 liên tục trên  
; .
a b Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong
 ,
y f x
 trục hoành và các đường ,
x a
 x b
  
a b
 được xác định bởi công thức nào sau
đây?
A.  d
b
a
S f x x
  . B.  d
a
b
S f x x
  . C.   d
a
b
S f x x
  . D.   d
b
a
S f x x
  .

26. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 9: Cho hai hàm số  
1 ,
y f x
  
2
y f x
 liên tục trên  
; .
a b Diện tích hình phẳng S giới hạn các
bởi đường cong  
1 ,
y f x
  
2
y f x
 và các đường ,
x a
 x b
  
a b
 được xác định bởi
công thức nào sau đây?
A.    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 
 . B.    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 
 .
C.    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 
 
 
 . D.    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 
 
 
 .
Câu 10: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng  
H giới hạn bởi các đồ thị hàm số  ,
y f x

 
y g x
 và hai đường ,
x a
 x b
 (như hình vẽ bên dưới).
A.        
d d
c b
a c
S f x g x x g x f x x
   
   
   
  .
B.        
d d
c b
a c
S g x f x x f x g x x
   
   
   
  .
C.     d
b
a
S g x f x x
 
 
 
 .
D.     d
b
a
S f x g x x
 
 
 
 .
Câu 11: Cho
 
1
0
d 2
f x x 

và
 
1
0
d 5
g x x 

. Khi đó tích phân
   
1
0
d
f x g x x

 
 

bằng
A. 10. B. 7
 . C. 10
 . D. 7 .
Câu 12: Cho
 
2
1
d 3
f x x 

và
 
2
1
d 5
g x x 

. Tính tích phân
   
2
1
2 d
f x g x x

 
 

A. 8. B. 13. C. 8
 . D. 13
 .
Câu 13: Cho  
3
1
d 2
f x x 
 và  
4
3
d 8
f x x 
 . Tính tích phân  
4
1
d
f x x
 .
A. 10. B. 16. C. 15. D. 6
 .
Câu 14: Cho hàm số
 
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
 
2;5
, và
 
2 1
f 
,
 
5 2
f 
. Tính  
5
2
d
f x x


A. 1. B. 1
 . C. 10. D. 3.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm  
1;2;5
A ,  
0;4;7
B . Véctơ AB


có tọa
độ là

27. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
A.  
1;2;5 . B.  
1;2; 2
  . C.  
1; 2;2
  . D.  
1;2;2
 .
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho 3 7
a i k
 
  
. Toạ độ của vectơ a

là
A.  
3; 7;0
a  

. B.  
0;3; 7
a  

. C.  
3;0; 7
a  

. D.  
3;7;0
a 

.
Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho    
1; 1;1 , 3;0;2
a b
   
 
. Toạ độ của vectơ 2
a b

 
là
A.  
2; 1;3
  . B.  
4; 1; 1
  . C.  
5; 1;5
  . D.  
7; 1; 3
  .
Câu 18: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm  
3;1; 2
I   bán kính bằng 2 là
A.      
2 2 2
3 1 2 2
x y z
      . B.      
2 2 2
3 1 2 2
x y z
      .
C.      
2 2 2
3 1 2 4
x y z
      . D.      
2 2 2
3 1 2 4
x y z
      .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  :3 2 5 2 0
x y z
     . Một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng  
 là
A.  
3; 2;5
n  

. B.  
2; 5;2
n   

. C.  
3;2;5
n 

. D.  
3; 2; 5
n   

.
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  : 2 4 1 0
x y z
     . Mặt phẳng nào dưới đây song
song với mặt phẳng  
 ?
A. 2 4 1 0
x y z
    . B. 2 4 8 2 0
x y z
    .
C. 2 4 1 0
x y z
     . D. 2 4 1 0
x y z
    .
Câu 21: Tìm họ nguyên hàm của hàm số    
2
1 2sin
f x x
  .
A. 2
sin
x x C
  . B. 3 4cos sin 2
x x x C
   .
C.
 
3
2sin 1
3
x
C

 . D. 3 4cos sin 2
x x x C
   .
Câu 22: Cho hàm số   2
3
3 2
x
f x
x x


 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.  d 2ln 2 ln 1
f x x x x C
    
 . B.  d 2ln 1 ln 2
f x x x x C
    
 .
C.  d ln 1 2ln 2
f x x x x C
    
 . D.  d 2ln 1 ln 2
f x x x x C
    
 .
Câu 23: Cho  
F x là một nguyên hàm của hàm số   2
e 3
x
f x x
  thỏa mãn  
4
0
3
F  . Tìm  
F x .
A.   3 4
e
3
x
F x x
   . B.   3 2
2e
3
x
F x x
   .
C.   3 5
e
3
x
F x x
   . D.   3 1
e
3
x
F x x
   .
Câu 24: Tìm họ nguyên hàm của hàm số   3
3 5
f x x
  .
A.     3
1
d 3 5 3 5
4
f x x x x C
   
 . B.   3
d 3 5
f x x x C
  
 .
C.   3
1
d 3 5
3
f x x x C
  
 . D.     3
d 3 5 3 5
f x x x x C
   
 .

28. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 25: Họ các nguyên hàm của hàm số  
( ) 1 x
f x x e
  là
A.  
2
1
2
x
x
x e C
   . B.  
2
1 x
x x e C
   . C.  
2
1
2
x
x
x e C
   . D.
2
2
x
x
xe C
  .
Câu 26: Hàm số  
y f x
 có đồ thị như hình vẽ bên.
Giá trị của  
3
4
d
f x x

 bằng
A. 8. B. 4
 . C. 6
 . D. 10.
Câu 27: Biết
2 2
1
2 5 1
d ln
x x
x b
x a
 
 
 với ,
a b . Tính M a b
 
A. 14. B. 30. C. 16. D. 34.
Câu 28: Cho
 
1
3
d 7
f x x



và  
3
1
d 2
g x x

 
 . Tính
   
1
3
5 3 2 d
I x f x g x x

  
 
 

bằng
A. 5
 . B. 45 . C. 3
 . D. 37 .
Câu 29: Tích phân 2
0
cos .sin d
x x x

 bằng
A.
2
3
 . B.
2
3
. C.
3
2
. D. 0 .
Câu 30: Cho hàm số  
f x thỏa mãn  
2023
0
d 3
f x x 
 . Tính tích phân  
1
0
2023 d
I f x x
  .
A. 0.
I  B. 1.
I  C.
3
.
2023
I  D. 2023.
I 
Câu 31: Cho tích phân  
1
0
1 e d e
x
x x a b
  
 , với ;
a b . Tổng a b
 bằng
A. 1. B. 3
 . C. 5. D. 1
 .
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ: (1; 2;3)
a  

,  
0; 2;2
b  

,  
1;5;3
c  

. Tọa độ vectơ
1
4 3
2
u a b c
  
   
là
A.  
7; 22;2 .
u  

B.  
1;8;20 .
u 

C.  
1;6;22 .
u 

D.  
7; 24;4 .
u  


29. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 33: Trong không gian ,
Oxyz cho mặt cầu   2 2 2
2 4 2010
: 6 0
S x y z x y z
       . Khi đó tâm I
và bán kính R của mặt cầu  
S là
A. (1;3; 2); 2024
I R
  . B. ( 1; 3;2); 2024
I R
   .
C. (1;3; 2); 2024
I R
  . D. ( 1; 3;2); 2024
I R
   .
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm  
2; 1;3
E  ,  
4;0;1
F và  
10;5;3
G 
không thẳng hàng. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  
EFG ?
A.  
1;2;0
n 

. B.  
1;2;2
n 

. C.  
1; 2;2
n  

. D.  
1;8;2
n 

.
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ  
Oxyz .Tìm một vec tơ pháp tuyến n

của mặt phẳng  
 biết
 
 đi qua hai điểm  
1;5;2
M  và  
4;0;3
N  đồng thời  
 song song với giá của vetơ
 
0;1;1
u 

.
A.  
2;1;1
n 

. B.  
2; 1;1
n  

. C.  
2; 1;3
n   

. D.  
2;1;1
n  

.
Câu 36: Nguyên hàm của hàm số  
4
5
1 x
f x
x x



là
A.  
4
1
ln ln 1
2
x x C
   . B.  
4
ln ln 1
x x C
   .
C.  
4
1
ln ln 1
2
x x C
   . D.  
4
1
ln ln 1
2
x x C
   .
Câu 37: Cho hs
   
; 0
y f x f x
 
thỏa mãn 2020
y xy
  và
 
1 1
f 
thì giá trị
 
0
f
là
A.   1010
1
0
e
f  . B.   1010
0 e
f  . C.  
0 0
f  . D.  
0 2020
f  .
Câu 38: Cho
2
(4 )d 3
f x x x x c
  
 . Mệnh đề nào sau đây đúng
A.
2
( 2)d 2
4
x
f x x x C
   
 . B.
2
( 2)d 7
f x x x x C
   
 .
C.
2
( 2)d 4
4
x
f x x x C
   
 . D.
2
( 2)d 4
2
x
f x x x C
   

Câu 39: Họ nguyên hàm của hàm số 3
( ) ln
f x x x
 là
A.
4
4
1
ln
4 16
x
x x C
  . B.
4
4
1
ln
4 16
x
x x C
  . C.
4
4
1
ln
4 12
x
x x C
  . D. 4
1 3
ln
4 4
x x C
 
 
 
 
.
Câu 40: Cho ( )
f x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn
2
( ) (2 ) . ,
x
f x f x x e x
     . Tính tích phân
2
0
( )
I f x dx
  .
A.
4
1
4
e
I

 . B.
2 1
2
e
I

 . C. 4
2
I e
  . D. 4
1
I e
  .

30. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 41: Cho hàm số  
f x liên tục trên đoạn  
1;9 và thỏa mãn  
2
2
0
. 2 1 d 2
x f x x
 
 . Khi đó
 
9
1
d
I f x x
  có giá trị là
A. 8. B. 4. C. 2. D. 1.
Câu 42: Hàm số ( )
f x liên tục trên  và thỏa mãn    
1
0
2 10, 2 d 2
f f x x
 
 . Khi đó tích phân
 
2
0
d
x f x x

 bằng
A. 16. B. 18. C. 24 . D. 12.
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm  
3;5; 1
A  ,  
7; ;1
B x và  
9;2;
C y thẳng hàng. Tính
x y
 .
A. 5. B. 6 . C. 4 . D. 7 .
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  
3;1; 2
A  ,  
2; 3;5
B  . Điểm  
; ;
M a b c thuộc đoạn
AB sao cho 3
MA MB
 . Tính a b c
  .
A. 3
 . B. 5. C. 2
 . D. 3.
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ ,
Oxyz cho      
0;1; 1 , 1;1; 2 , 1;3;1 .
A B C
   Viết phương trình
mặt cầu có tâm thuộc trục ,
Ox đi qua A và cắt mặt phẳng  
ABC theo một đường tròn có bán
kính nhỏ nhất.
A.
2
2 2
6 86
5 25
x y z
 
   
 
 
. B.
2
2 2
6 86
5 25
x y z
 
   
 
 
.
C.  
2 2 2
1 3
x y z
    . D.  
2 2 2
1 3
x y z
    .
Câu 46: Cho hàm số  
y f x
 thỏa mãn   0, 1
f x x
   và có đạo hàm  
f x
 liên tục trên khoảng
 
1; thỏa mãn      
2
2 1 0, 1
f x x f x x
      và  
1
2
2
f  . Tính
     
2 3 ... 2023
f f f
  
.
A.
1
2023
. B.
2022
2023
 . C.
2022
2023
. D.
1
2023
 .
Câu 47: Xét hàm số  
f x liên tục trên đoạn  
0;1 và thỏa mãn điều kiện
     
2 2
4 3 1 1 , 0;1
xf x f x x x
      . Tích phân  
1
0
d
I f x x
  bằng.
A.
20
I

 . B.
6
I

 . C.
4
I

 . D.
16
I

 .
Câu 48: Cho hàm số  
f x có đồ thị  
y f x

 cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c
  như hình
vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

31. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
A.      
f a f b f c
  . B.      
f c f a f b
  .
C.      
f c f b f a
  . D.      
f b f a f c
  .
Câu 49: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho 3 điểm  
1;2;0
A  ,  
1;3;4
B ,  
3;1; 7
C  và mặt phẳng
 : 2 3 2 23 0
P x y z
    . Biết rằng điểm  
; ;
M a b c trên  
P sao cho độ dài vectơ
u MA MB MC
  
   

có độ dài ngắn nhất. Khi đó a b c
  bằng
A. 1. B. 1
 . C. 2. D. 2
 .
Câu 50: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba mặt phẳng  : 5 0
P x y z
    ;
 : 1 0
Q x y z
    ;  : 2 0
R x y z
    . Ứng với mỗi cặp điểm ,
A B lần lượt thuộc 2 mặt
phẳng    
,
P Q thì mặt cầu đường kính AB luôn cắt  
R tạo thành một đường tròn. Tìm bán
kính nhỏ nhất của đường tròn đó.
A.
2
3
. B.
1
2
. C. 1. D.
1
3
.
--------------------------HẾT--------------------------

32. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
BẢNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.D 8.D 9.A 10.A
11.D 12.B 13.A 14.A 15.D 16.C 17.D 18.C 19.D 20.D
21.D 22.B 23.D 24.A 25.C 26.C 27.B 28.C 29.B 30.C
31.A 32.D 33.A 34.B 35.B 36.C 37.A 38.C 39.A 40.A
41.A 42.A 43.A 44.A 45.B 46.C 47.A 48.B 49.B 50.C
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số   3
2
f x x
 là
A.
4
4
x
C
 . B. 2
6x C
 . C.
5
2
x
C
 . D.
4
2
x
C
 .
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm cơ bản và tính chất cơ bản của nguyên hàm, ta có
4 4
3
2 2.
4 2
x x
x dx C C
   
 .
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số   cos
f x x
 là
A. sin x C
  . B.
1
sin
C
x
  . C. sin x C
 . D.
1
sin
C
x
 .
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm cơ bản, ta có cos sin
xdx x C
 

Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
ln
dx x C
x
 
 . B.
1
3
3
1
x
x
dx C
x

 

 . C.
1
2
xdx C
x
 
 . D. 2
1 1
dx C
x x
  
 .
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm cơ bản, ta có 2
1 1
dx C
x x
  

Câu 4: Tìm  
f x biết  
3
sin 2
f x dx x C
x
  

A.   2
3
2cos2
f x x
x
  . B.  
1
cos2 3ln
2
f x x x
   .
C.   2
3
2cos2
f x x
x
   . D.  
1
cos2 3ln
2
f x x x
  .
Lời giải
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có   2
3 3
sin 2 2cos2
f x x C x
x x

 
    
 
 
.
Câu 5: Cho hàm số   3
2023 x
f x  . Một nguyên hàm của hàm số  
f x là

33. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
A. 3
1
.2023 .ln 2023
3
x
. B. 3
1
.2023
3ln 2023
x
. C. 3
1
.2023
2023ln3
x
. D. 3
1
.2023 .ln3
2023
x
.
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm cơ bản và tính chất cơ bản của nguyên hàm, ta có
3
3 1 2023
2023 .
3 ln 2023
x
x
dx C
 
 .
Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.    
d d
kf x x k f x x

  với k là hằng số khác 0.
B.        
. d d . d
f x g x x f x x g x x

   .
C.        
d d d
f x g x x f x x g x x
  
 
 
   .
D.        
d d d
f x g x x f x x g x x
  
 
 
   .
Lời giải
Mệnh đề        
. d d . d
f x g x x f x x g x x

   là mệnh đề sai.
Câu 7: Biết    
d .
f u u F u C
 
 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.    
2 1 d 2 2 1
f x x F x C
   
 . B.    
2 1 d 2 1
f x x F x C
   
 .
C.    
2 1 d 2 1
f x x F x C
   
 . D.    
1
2 1 d 2 1
2
f x x F x C
   
 .
Lời giải
Đặt 2 1 d 2d .
u x u x
  
  Khi đó
         
d 1 1 1
2 1 d d 2 1
2 2 2 2
u
f x x f u f u u F u C F x C
       
   .
Câu 8: Cho hàm số  
y f x
 liên tục trên  
; .
a b Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong
 ,
y f x
 trục hoành và các đường ,
x a
 x b
  
a b
 được xác định bởi công thức nào sau
đây?
A.  d
b
a
S f x x
  . B.  d
a
b
S f x x
  . C.   d
a
b
S f x x
  . D.   d
b
a
S f x x
  .
Lời giải
Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong  ,
y f x
 trục hoành và các đường ,
x a

x b
  
a b
 được xác định bởi công thức   d
b
a
S f x x
 
Câu 9: Cho hai hàm số  
1 ,
y f x
  
2
y f x
 liên tục trên  
; .
a b Diện tích hình phẳng S giới hạn các
bởi đường cong  
1 ,
y f x
  
2
y f x
 và các đường ,
x a
 x b
  
a b
 được xác định bởi
công thức nào sau đây?

34. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
A.    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 
 . B.    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 
 .
C.    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 
 
 
 . D.    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 
 
 
 .
Lời giải
Diện tích hình phẳng S giới hạn các bởi đường cong  
1 ,
y f x
  
2
y f x
 và các đường ,
x a

x b
  
a b
 được xác định bởi công thức    
1 2 d
b
a
S f x f x x
 

Câu 10: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng  
H giới hạn bởi các đồ thị hàm số  ,
y f x

 
y g x
 và hai đường ,
x a
 x b
 (như hình vẽ bên dưới).
A.        
d d
c b
a c
S f x g x x g x f x x
   
   
   
  .
B.        
d d
c b
a c
S g x f x x f x g x x
   
   
   
  .
C.     d
b
a
S g x f x x
 
 
 
 .
D.     d
b
a
S f x g x x
 
 
 
 .
Lời giải
Diện tích S của hình phẳng  
H giới hạn bởi các đồ thị hàm số  ,
y f x
  
y g x
 và hai
đường ,
x a
 x b
 như trong hình vẽ được tính bởi công thức
       
d d
c b
a c
S f x g x x g x f x x
   
   
   
 
Câu 11: Cho
 
1
0
d 2
f x x 

và
 
1
0
d 5
g x x 

. Khi đó tích phân
   
1
0
d
f x g x x

 
 

bằng
A. 10. B. 7
 . C. 10
 . D. 7 .
Lời giải
Ta có    
1
0
d
f x g x x

 
 
 =  
1
0
d
f x x
 +  
1
0
d
g x x
 =7.

35. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 12: Cho
 
2
1
d 3
f x x 

và
 
2
1
d 5
g x x 

. Tính tích phân
   
2
1
2 d
f x g x x

 
 

A. 8. B. 13. C. 8
 . D. 13
 .
Lời giải
Ta có:    
2
1
2 d
f x g x x

 
 
 =  
2
1
d
f x x
 +  
2
1
2. d
g x x
 13
 .
Câu 13: Cho  
3
1
d 2
f x x 
 và  
4
3
d 8
f x x 
 . Tính tích phân  
4
1
d
f x x
 .
A. 10. B. 16. C. 15. D. 6
 .
Lời giải
Ta có      
4 3 4
1 1 3
d d d
f x x f x x f x x
 
   2 8 10
   .
Câu 14: Cho hàm số
 
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
 
2;5
, và
 
2 1
f 
,
 
5 2
f 
. Tính  
5
2
d
f x x


A. 1. B. 1
 . C. 10. D. 3.
Lời giải
Ta có        
5
5
2
2
' d 5 2 1
f x x f x f f
   
 .
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm  
1;2;5
A ,  
0;4;7
B . Véctơ AB


có tọa
độ là
A.  
1;2;5 . B.  
1;2; 2
  . C.  
1; 2;2
  . D.  
1;2;2
 .
Lời giải
 
1;2;2
AB 


.
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho 3 7
a i k
 
  
. Toạ độ của vectơ a

là
A.  
3; 7;0
a  

. B.  
0;3; 7
a  

. C.  
3;0; 7
a  

. D.  
3;7;0
a 

.
Lời giải
3 7
a i k
 
  
nên  
3;0; 7
a  

.
Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho    
1; 1;1 , 3;0;2
a b
   
 
. Toạ độ của vectơ 2
a b

 
là
A.  
2; 1;3
  . B.  
4; 1; 1
  . C.  
5; 1;5
  . D.  
7; 1; 3
  .
Lời giải
   
1; 1;1 , 3;0;2
a b
   
 
 
2 7; 1; 3
a b
    
 
.
Câu 18: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm  
3;1; 2
I   bán kính bằng 2 là

36. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
A.      
2 2 2
3 1 2 2
x y z
      . B.      
2 2 2
3 1 2 2
x y z
      .
C.      
2 2 2
3 1 2 4
x y z
      . D.      
2 2 2
3 1 2 4
x y z
      .
Lời giải
Phương trình mặt cầu tâm  
3;1; 2
I   bán kính bằng 2 là      
2 2 2
3 1 2 4
x y z
      .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  :3 2 5 2 0
x y z
     . Một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng  
 là
A.  
3; 2;5
n  

. B.  
2; 5;2
n   

. C.  
3;2;5
n 

. D.  
3; 2; 5
n   

.
Lời giải
Mặt phẳng  :3 2 5 2 0
x y z
     có 1 vtpt là  
3; 2; 5
n   

.
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  : 2 4 1 0
x y z
     . Mặt phẳng nào dưới đây song
song với mặt phẳng  
 ?
A. 2 4 1 0
x y z
    . B. 2 4 8 2 0
x y z
    .
C. 2 4 1 0
x y z
     . D. 2 4 1 0
x y z
    .
Lời giải
Mặt phẳng song song với mặt phẳng  
 là mặt phẳng có phương trình 2 4 1 0
x y z
    .
Câu 21: Tìm họ nguyên hàm của hàm số    
2
1 2sin
f x x
  .
A. 2
sin
x x C
  . B. 3 4cos sin 2
x x x C
   .
C.
 
3
2sin 1
3
x
C

 . D. 3 4cos sin 2
x x x C
   .
Lời giải
Ta có:  
2
1 2sin d
x x

  
2
1 4sin 4sin d
x x x
  

1 cos2
1 4sin 4. d
2
x
x x

 
  
 
 
  
3 4sin 2cos2 d
x x x
  
 3 4cos sin 2
x x x C
    .
Câu 22: Cho hàm số   2
3
3 2
x
f x
x x


 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.  d 2ln 2 ln 1
f x x x x C
    
 . B.  d 2ln 1 ln 2
f x x x x C
    
 .
C.  d ln 1 2ln 2
f x x x x C
    
 . D.  d 2ln 1 ln 2
f x x x x C
    
 .
Lời giải
  2
3
d d
3 2
x
f x x x
x x


 
 
2 1
d
1 2
x
x x
 
 
 
 
 
 2ln 1 ln 2
x x C
     .

37. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 23: Cho  
F x là một nguyên hàm của hàm số   2
e 3
x
f x x
  thỏa mãn  
4
0
3
F  . Tìm  
F x .
A.   3 4
e
3
x
F x x
   . B.   3 2
2e
3
x
F x x
   .
C.   3 5
e
3
x
F x x
   . D.   3 1
e
3
x
F x x
   .
Lời giải
Ta có  
2 3
e 3 d e
x x
x x x C
   
 .
Vì  
4
0
3
F 
4
1
3
C
  
1
3
C
  . Vậy   3 1
e
3
x
F x x
   .
Câu 24: Tìm họ nguyên hàm của hàm số   3
3 5
f x x
  .
A.     3
1
d 3 5 3 5
4
f x x x x C
   
 . B.   3
d 3 5
f x x x C
  
 .
C.   3
1
d 3 5
3
f x x x C
  
 . D.     3
d 3 5 3 5
f x x x x C
   
 .
Lời giải
Ta có   3
d 3 5d
f x x x x
 
   
1
3
3 5 d
x x
 
      
1
3
3
1 1
3 5 d 3 5 3 5 3 5
3 4
x x x x C
      
 .
Câu 25: Họ các nguyên hàm của hàm số  
( ) 1 x
f x x e
  là
A.  
2
1
2
x
x
x e C
   . B.  
2
1 x
x x e C
   . C.  
2
1
2
x
x
x e C
   . D.
2
2
x
x
xe C
  .
Lời giải
Ta có    
2
1 d d d
2
x x x
x
x e x x xe x xe x
    
   .
Xét d
x
xe x
 , đặt:
d d
d d
x x
u x u x
v e x v e
 
 

 
 
 
. Suy ra d d
x x x x x
xe x xe e x xe e C
    
  .
Vậy    
2 2
1 d 1
2 2
x x x x
x x
x e x xe e C x e C
        
 .
Câu 26: Hàm số  
y f x
 có đồ thị như hình vẽ bên.

38. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Giá trị của  
3
4
d
f x x

 bằng
A. 8. B. 4
 . C. 6
 . D. 10.
Lời giải
Gọi    
2 2
1
4 4
d d
S f x x f x x
 
 
 
  ; 1
1
.2.2 2
2
S   .
     
0 0 0
2
2 2 2
d d d
S f x x f x x f x x
  
    
   ; 2
1
.2.2 2
2
S   .
     
3 3 3
3
0 0 0
S f x dx f x dx f x dx
    
   ; 3 3.2 6
S   .
       
3 2 0 3
1 2 3
4 4 2 0
6
f x dx f x dx f x dx f x dx S S S

  
        
    .
Câu 27: Biết
2 2
1
2 5 1
d ln
x x
x b
x a
 
 
 với ,
a b . Tính M a b
 
A. 14. B. 30. C. 16. D. 34.
Lời giải
Ta có:
2
2 2
2 2
1 1 1
2 5 5 1 1
d 2 d 2 5ln 5ln 2 ln32
2 2 2
x x x
x x x x x
x x
 
   
          
 
 

   
  .
Khi đó: 2, 32 30
a b M a b
       .
Câu 28: Cho
 
1
3
d 7
f x x



và  
3
1
d 2
g x x

 
 . Tính
   
1
3
5 3 2 d
I x f x g x x

  
 
 

bằng
A. 5
 . B. 45 . C. 3
 . D. 37 .
Lời giải
Ta có
   
1
3
5 3 2 d
I x f x g x x

  
 
 
    
1 1 1
3 3 3
5 d 3 d 2 d
x x f x x g x x
  
  
      
5. 4 3.7 2. 2
    
3
 

39. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 29: Tích phân 2
0
cos .sin d
x x x

 bằng
A.
2
3
 . B.
2
3
. C.
3
2
. D. 0 .
Lời giải
Đặt cos t dt sin d
x x x
    .
Với 1
x t

    ; 0 1
x t
  
1
2 2
0 1
2
cos sin d d
3
x x x t t
 
   
  .
Câu 30: Cho hàm số  
f x thỏa mãn  
2023
0
d 3
f x x 
 . Tính tích phân  
1
0
2023 d
I f x x
  .
A. 0.
I  B. 1.
I  C.
3
.
2023
I  D. 2023.
I 
Lời giải
Đặt:
1
2023 d 2023d d d
2023
t x t x x t
    
Đổi cận: 0 0; 1 2023
x t x t
      .
Khi đó:  
2023
0
1 1 3
d . 3
2023 2023 2023
f t
t
I   
 .
Câu 31: Cho tích phân  
1
0
1 e d e
x
x x a b
  
 , với ;
a b . Tổng a b
 bằng
A. 1. B. 3
 . C. 5. D. 1
 .
Lời giải
Đặt
1 d d
d e d e
x x
u x u x
v x v
  
 

 
 
 
.
Ta có    
1 1
1 1
0 0
0 0
1 e d 1 e e d 2e 1 e
x x x x
x x x x e
       
  .
Vậy 1; 0 1
a b a b
     .
Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ: (1; 2;3)
a  

,  
0; 2;2
b  

,  
1;5;3
c  

. Tọa độ vectơ
1
4 3
2
u a b c
  
   
là
A.  
7; 22;2 .
u  

B.  
1;8;20 .
u 

C.  
1;6;22 .
u 

D.  
7; 24;4 .
u  

Lời giải
Ta có: 4 (4; 8;12)
a  

,  
1
0; 1;1
2
b  

,  
3 3; 15; 9
c
   

 
1
4 3 7; 24;4
2
u a b c
     
   
.

40. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 33: Trong không gian ,
Oxyz cho mặt cầu   2 2 2
2 4 2010
: 6 0
S x y z x y z
       . Khi đó tâm I
và bán kính R của mặt cầu  
S là
A. (1;3; 2); 2024
I R
  . B. ( 1; 3;2); 2024
I R
   .
C. (1;3; 2); 2024
I R
  . D. ( 1; 3;2); 2024
I R
   .
Lời giải
Gọi mặt cầu  
S có tâm  
; ;
I a b c , bán kính R , khi đó
  2 2 2
2 2 1
2 6 3
1;3; 2 , 1 3 2 2010 2024
2 4 2
2010 2010
a a
b b
I R
c c
d d
   
 
 
   
 
       
 
   
 
 
   
 
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm  
2; 1;3
E  ,  
4;0;1
F và  
10;5;3
G 
không thẳng hàng. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  
EFG ?
A.  
1;2;0
n 

. B.  
1;2;2
n 

. C.  
1; 2;2
n  

. D.  
1;8;2
n 

.
Lời giải
Ta có Ta có  
2;1; 2
EF  


,  
12;6;0
EG  


.
Mặt phẳng  
EFG có một vectơ pháp tuyến là    
, 12;24;24 12 1;2;2
EF EG
   
 


.
Suy ra  
1;2;2
n 

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  
EFG .
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ  
Oxyz .Tìm một vec tơ pháp tuyến n

của mặt phẳng  
 biết
 
 đi qua hai điểm  
1;5;2
M  và  
4;0;3
N  đồng thời  
 song song với giá của vetơ
 
0;1;1
u 

.
A.  
2;1;1
n 

. B.  
2; 1;1
n  

. C.  
2; 1;3
n   

. D.  
2;1;1
n  

.
Lời giải
Ta có  
 đi qua hai điểm  
1;5;2
M  và  
4;0;3
N  nên n MN

 

và  
3; 5;1
MN   


Vì  
 song song với giá của vetơ  
0;1;1
u 

nên n u

 
Vậy n

cùng phương với ,
MN u
 
 

 
.
Mà    
, 6;3; 3 3 2; 1;1
MN u
       
 

 
. Chọn  
2; 1;1
n  

Câu 36: Nguyên hàm của hàm số  
4
5
1 x
f x
x x



là
A.  
4
1
ln ln 1
2
x x C
   . B.  
4
ln ln 1
x x C
   .

41. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
C.  
4
1
ln ln 1
2
x x C
   . D.  
4
1
ln ln 1
2
x x C
   .
Lời giải
Ta có:
 
 
 
4 4
4 3
4
5 4
4
1 2
1 1 2 1
ln ln 1
1 2
1
x x
x x
dx dx dx dx x x C
x x x x
x x
 

      
 

    .
Câu 37: Cho hs
   
; 0
y f x f x
 
thỏa mãn 2020
y xy
  và
 
1 1
f 
thì giá trị
 
0
f
là
A.   1010
1
0
e
f  . B.   1010
0 e
f  . C.  
0 0
f  . D.  
0 2020
f  .
Lời giải
Ta có
2020
y xy
  2020
y
x
y

  d 2020 d
y
x x x
y

 
 
2
ln 1010
y x C
  
2
1010
e x C
y 
  .
Theo giả thiết  
1 1
f  nên 1010
e 1 1010
C
C

    .
 
2
1010 1010
=e x
y f x 
  . Do đó   1010
1
0
e
f  .
Câu 38: Cho
2
(4 )d 3
f x x x x c
  
 . Mệnh đề nào sau đây đúng
A.
2
( 2)d 2
4
x
f x x x C
   
 . B.
2
( 2)d 7
f x x x x C
   
 .
C.
2
( 2)d 4
4
x
f x x x C
   
 . D.
2
( 2)d 4
2
x
f x x x C
   

Lời giải
Từ giả thiết bài toán 2
(4 ) d 3
f x x x x c
  
 .
Đặt 4 d 4d
t x t x
   từ đó ta có
2 2
1
( )d 3 ( )d 3
4 4 4 4
t t t
f t t c f t t t c
   
      
   
   
  .
Xét
2 2 2
( 2)
( 2)d ( 2)d( 2) 3( 2) 4 7 4
4 4 4
x x x
f x x f x x x c x c x C

              
  .
Vậy mệnh đề đúng là
2
( 2)d 4
4
x
f x x x C
   
 .
Câu 39: Họ nguyên hàm của hàm số 3
( ) ln
f x x x
 là
A.
4
4
1
ln
4 16
x
x x C
  . B.
4
4
1
ln
4 16
x
x x C
  . C.
4
4
1
ln
4 12
x
x x C
  . D. 4
1 3
ln
4 4
x x C
 
 
 
 
.
Lời giải
Xét 3
ln d
I x x x
 
Đặt 3
ln
d d
u x
v x x





4
1
d d
4
u x
x
x
v




 
 



42. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
4 3 4 4
.ln d .ln
4 4 4 16
x x x x
I x x x C
     
 .
Câu 40: Cho ( )
f x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn
2
( ) (2 ) . ,
x
f x f x x e x
     . Tính tích phân
2
0
( )
I f x dx
  .
A.
4
1
4
e
I

 . B.
2 1
2
e
I

 . C. 4
2
I e
  . D. 4
1
I e
  .
Lời giải
Đặt 2
x t dx dt
    .
       
0 2 2
2 0 0
2 2 2
I f t dt f t dt f x dx
       
   .
     
2 2 2
2 2 2 4
2 2
0
0 0 0
1 1 1
2 2
2 2 2
x x x e
I f x f x dx xe dx e d x e

       
 
 
   .
Vậy
4
1
4
e
I

 .
Câu 41: Cho hàm số  
f x liên tục trên đoạn  
1;9 và thỏa mãn  
2
2
0
. 2 1 d 2
x f x x
 
 . Khi đó
 
9
1
d
I f x x
  có giá trị là
A. 8. B. 4. C. 2. D. 1.
Lời giải
Xét tích phân  
2
2
0
. 2 1 d 2
x f x x
 
 .
Đặt 2 1
2 1 dt 4 .d .d dt
4
t x x x x x
      .
Đổi cận:
Với 0 1
x t
   .
Với 2 9
x t
   .
Khi đó    
2 9
2
0 1
1
2 . 2 1 d d
4
x f x x f t t
  
   
9
1
d 8
f t t
 
 .
Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên  
9
1
d 8
f x x 
 .
Câu 42: Hàm số ( )
f x liên tục trên  và thỏa mãn    
1
0
2 10, 2 d 2
f f x x
 
 . Khi đó tích phân
 
2
0
d
x f x x

 bằng

43. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
A. 16. B. 18. C. 24 . D. 12.
Lời giải
Ta có:          
1 1 2 2
0 0 0 0
1 1
2 d 2 d 2 dt 2 dt 4
2 2
f x x f x x f t f t
    
    .
 
2
0
dx
I x f x

  .
Đặt
   
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
 
 
 

 

 
 
 
   
2
2
0
0
. d 2.10 4 16.
I x f x f x x
 
     
 
 

Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm  
3;5; 1
A  ,  
7; ;1
B x và  
9;2;
C y thẳng hàng. Tính
x y
 .
A. 5. B. 6. C. 4. D. 7.
Lời giải
Ta có  
4; 5;2
AB x
 


,  
6; 3; 1
AC y
  

.
Ba điểm A , B , C thẳng hàng  : .
k AB k AC
  

 

 
4 6
5 3
2 1
k
x k
k y
 

   

  

2
3
3
2
k
x
y




 

 


.
Vậy 5
x y
  .
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  
3;1; 2
A  ,  
2; 3;5
B  . Điểm  
; ;
M a b c thuộc đoạn
AB sao cho 3
MA MB
 . Tính a b c
  .
A. 3
 . B. 5. C. 2
 . D. 3.
Lời giải
Gọi  
; ;
M x y z .
Vì điểm M thuộc đoạn AB sao cho 3
MA MB
 3
AM MB
 

 
 
 
 
9
3 3 2 4
9 13
1 3 3 2 ; 2;
4 4
13
2 3 5
4
x
x x
y y y M
z z z


  
 
   
         
   
 
 
  
  

.
Vậy 9 13
2 3
4 4
a b c
       .
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ ,
Oxyz cho      
0;1; 1 , 1;1; 2 , 1;3;1 .
A B C
   Viết phương trình
mặt cầu có tâm thuộc trục ,
O x đi qua A và cắt mặt phẳng  
ABC theo một đường tròn có bán
kính nhỏ nhất.
A.
2
2 2
6 86
5 25
x y z
 
   
 
 
. B.
2
2 2
6 86
5 25
x y z
 
   
 
 
.

44. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
C.  
2 2 2
1 3
x y z
    . D.  
2 2 2
1 3
x y z
    .
Lời giải
Gọi mặt cầu  
S tâm     2
;0;0 ;1; 1 2
I a Ox IA a IA a
      


.
Mặt phẳng  
ABC có vectơ pháp tuyến  
; 2; 1; 2
n AB AC
 
  
 
 
 
Phương trình  :2 2 3 0
ABC x y z
    .
Mặt phẳng  
ABC cắt mặt cầu  
S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r .
 
 
2 3
,
3
a
d d I ABC

  
   
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 5 12 9
2 2
9 9 3
a a a a
R d r a r r a
   
           
Để r nhỏ nhất 2
5 12 9
a a
   đạt giá trị nhỏ nhất 6
5
a

  .
6 86
;0;0
5 5
I R IA

 
   
 
 
.
Phương trình mặt cầu  
2
2 2
6 86
:
5 25
S x y z
 
   
 
 
.
Câu 46: Cho hàm số
 
y f x

thỏa mãn
  0, 1
f x x
  
và có đạo hàm
 
f x

liên tục trên khoảng
 
1;
thỏa mãn
     
2
2 1 0, 1
f x x f x x
     
và  
1
2
2
f  . Tính
     
2 3 ... 2023
f f f
  
.
A. 1
2023
. B. 2022
2023
 . C. 2022
2023
. D. 1
2023
 .
Lời giải
Ta có:      
 
 
 
2
2
2 1 0 2 1
f x
f x x f x x
f x

        .
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
 
 
 
 
 
   
 
2
2 2
1 1
d 2 1 d d 2 1 d
f x
x x x f x x x x x C
f x f x f x

            
    .
Vì  
1
2 2 4 2 0
2
f C C
          
 
2
1 1 1 1
1 1
f x
x x x x x x
    
  
     
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2022
2 3 ... 2023 ... 1
1 2 2 3 3 4 2022 2023 2023 2023
f f f
                .
Câu 47: Xét hàm số  
f x liên tục trên đoạn  
0;1 và thỏa mãn điều kiện

45. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
     
2 2
4 3 1 1 , 0;1
xf x f x x x
      . Tích phân  
1
0
d
I f x x
  bằng.
A.
20
I

 . B.
6
I

 . C.
4
I

 . D.
16
I

 .
Lời giải
Theo giả thiết ta có        
2 2
4 3 1 1 , 0;1 *
xf x f x x x
      .
Lấy tích phân hai vế của  
* ta được    
1 1 1
2 2
0 0 0
4 d 3 1 d 1 d
xf x x f x x x x
   
  
     
1 1 1
2 2 2
0 0 0
2 d 3 1 d 1 1 d
f x x f x x x x
     
  
   
2 1 1 1
2
1
0 0 0
2 d 3 d 1 d
t x
u x
f t t f u u x x

 
   
    
1 1
2
0 0
5 d 1 d
f x x x x
  
  .
Đặt sin , ;
2 2
x t t
 
 
  
 
 
d cos d
x t t
  .
Đổi cận: 0 0; 1
2
x t x t

      .
Suy ra
1 2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0 0
1 cos2 1 sin 2
1 d 1 sin costdt= cos tdt= dt
2 2 4 4
t t
x x t t
   


   
     
   
   
    .
Vậy  
1
0
d
20
f x x


 .
Câu 48: Cho hàm số  
f x có đồ thị  
y f x

 cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c
  như hình
vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.      
f a f b f c
  . B.      
f c f a f b
  .
C.      
f c f b f a
  . D.      
f b f a f c
  .
Lời giải

46. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Gọi 1
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , 0, ,
y f x y x a x b

    ; 2
S là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi  , 0, ,
y f x y x b x c

    .
Từ đồ thị ta có 1 2
0 S S
     
0 d d
b c
a b
f x x f x x
 
  
     
0 d d
b c
a b
f x x f x x
 
   
 
             
0 f b f a f c f b f b f a f c
         .
Câu 49: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho 3 điểm  
1;2;0
A  ,  
1;3;4
B ,  
3;1; 7
C  và mặt phẳng
 :2 3 2 23 0
P x y z
    . Biết rằng điểm  
; ;
M a b c trên  
P sao cho độ dài vectơ
u MA MB MC
  
   

có độ dài ngắn nhất. Khi đó a b c
  bằng
A. 1. B. 1
 . C. 2. D. 2
 .
Lời giải
Gọi G là điểm thỏa mãn 0
G A G B G C
  

 
  
ta có  
1;2; 1
G  .
Khi đó 3
u MG GA MG GB MG GC MG
      
 
 
 
 
 
  

Do vậy độ dài 3 3
u MG MG
 
 

Gọi H là hình chiếu vuống góc của G lên  
P , ta có MG GH
 với mọi  
M P
 ; do vậy MG
ngắn nhất khi và chỉ khi M H
 là hình chiếu của G trên  
P .
Ta có đường thẳng GH nhận vec tơ  
2;3;2
n 

làm vectơ chỉ phương, do đó phương trình tham
số của
1 2
: 2 3
1 2
x t
GH y t
z t
 


 

   

.
Xét phương trình      
2 1 2 3 2 3 2 1 2 23 0 17 17 0 1
t t t t t
             .
Tọa độ của điểm  
3;5;1
H suy ra  
3;5;1
M là điểm cần tìm, lúc đó 1
a b c
    .
Câu 50: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba mặt phẳng  : 5 0
P x y z
    ;
 : 1 0
Q x y z
    ;  : 2 0
R x y z
    . Ứng với mỗi cặp điểm ,
A B lần lượt thuộc 2 mặt
phẳng    
,
P Q thì mặt cầu đường kính AB luôn cắt  
R tạo thành một đường tròn. Tìm bán
kính nhỏ nhất của đường tròn đó.
A.
2
3
. B. 1
2
. C. 1. D.
1
3
.

47. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Lời giải
Ta thấy các mặt phẳng      
// //
P Q R và  
R nằm giữa  
P và  
Q .
Gọi O là tâm mặt cầu đường kính AB , khi đó  : 3 0
O T x y z
     .
Gọi ;
r r lần lượt là bán kính mặt cầu đường kính AB và bán kính đường tròn giao tuyến, khi
đó ta có    
 
2
2
2
;
r r d O R
 

   
.
Mà  
     
   
2
2
1 1
; ;
3
3
d O R d T R r r
     .
Vậy r nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất.
Ta có    
 
min min
2
;
3
r OA d T P
   .
Vậy min 1
r  .
----------------------------HẾT----------------------------

48. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
ĐỀ 8 - KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 LỚP 12 NĂM HỌC 2023-2024
Câu 1: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  
S có tâm  
1; 4;0
I  bán kính 3
R  . Phương trình của  
S là?
A.    
2 2 2
1 4 9
x y z
     B.    
2 2 2
1 4 9
x y z
    
C.    
2 2 2
1 4 3
x y z
     D.    
2 2 2
1 4 3
x y z
    
Câu 2: Trong không gianOxyz cho    
5; 4;2 ; 1;2;4
A B
 mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có
phương trình?
A. 3 3 13 0
x y z
    B. 2 3 8 0
x y z
   
C. 2 3 20 0
x y z
    D. 3 3 25 0
x y z
   
Câu 3: Trong không gianOxyz cho    
1;1; 2 ; 2;2;1
A B
 AB


có toạ độ là
A.  
3;1;1 B.  
1; 1; 3
   C.  
3;3; 1
 D.  
1;1;3
Câu 4: Cho    
,
F x G x là hai nguyên hàm của hàm số  
f x trên  , biết    
2 2 2
F G
  . Khi đó
   
0 0
F G
 bằng?
A. 1. B. 2
 . C. 2 D. 0 .
Câu 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm      
2;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;3
A B C
 . Mặt phẳng  
ABC có
phương trình là:
A. 1
2 1 3
x y z
  

B. 1
2 1 3
x y z
  

. C. 1
2 1 3
x y z
   D. 1
2 1 3
x y z
  

.
Câu 6: Cho  
F x là nguyên hàm của hàm số  
f x trên  và    
2 1; 1 2
F F
  . Khi đó  
2
1
f x dx
 bằng?
A. 2
 . B. 1. C. 2 D. 1
 .
Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu        
2 2 2
: 2 4 1 9
S x y z
      . Tâm của mặt cầu  
S
có tọa độ là:
A.  
2;4; 1 .
  B.  
2; 4;1 .
 C.  
2; 4; 1 .
   D.  
2;4;1 .
Câu 8: Cho
 
1
0
d 2
f x x 

và
 
1
0
d 5
g x x 

khi đó
   
1
0
2 d
f x g x x

 
 

bằng
A. 12. B. 3.
 C. 1. D. 8.

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình tổng quát của mặt phẳng
 :3 3 6 1 0
P x y z
    . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )
P có tọa độ là:
A.  
1; 1;2 .
 B.  
3;3;6 . C.  
1;1;2 . D.  
3; 3; 6 .
 

49. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 10: Cho
 
2
0
5
f x dx



. Tính
 
2
0
2sin
I f x x dx

 
 
 

.
A. 5
2
I

  . B. 7
I  . C. 3
I  . D. 5
I 
  .
Câu 11: Cho hàm số   x
f x e x
  . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.  
2
2
x x
f x dx e C
  
 . B.   2
x
f x dx e x
 
 .
C.   1
x
f x dx e C
  
 . D.  
2
2
x x
f x dx e
 
 .
Câu 12: Nếu
 
2
1
2
f x dx 

thì
 
2
1
4 f x dx

bằng?
A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. 6 .
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu    
2
2 2
: 1 16
S x y z
    . Bán kính của  
S là:
A. 4 . B. 32. C. 16. D. 8.
Câu 14: Cho    
,
F x G x là hai nguyên hàm của hàm số  
f x , biết    
0 0 2
F G
  . Khi đó
   
 
1
0
F x G x dx

 bằng:
A. 1. B. 2 . C. 2
 . D. 1
 .
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  : 2 5 0
P x y z
    . Điểm nào dưới đây thuộc  
P
A.  
0;0; 5
P  . B.  
5;0;0
N  . C.  
2; 1;5
Q  . D.  
1;1;6
P .
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng :
x y z
d
- + -
= =
-
2 5 2
3 4 1
. Vecto nào sau đây là một vecto
chỉ phương của d ?
A. ( )
; ;
u = -
1 2 5 2

. B. ( )
; ;
u = -
1 2 5 2

. C. ( )
; ;
u =
1 3 4 1

. D. ( )
; ;
u = -
1 3 4 1

.
Câu 17: Cho hàm số
( )
f x
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
;
1 2
,
( )
f =
1 1
và
( )
f =
2 2
. Tính ( )
I f x dx
¢
= ò
2
1
.
A. I = 3. B. I =
7
2
. C. I =1. D. I = -1.
Câu 18: Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. x x
e dx e C
+ +
= +
ò
2 1 2 1
1
2
. B. x x
e dx e C
+ +
= +
ò
2 1 2 1
.
C. x x
e dx e C
x
+ +
= +
+
ò
2 1 2 1
1
2 1
. D. x x
e dx e C
+ +
= +
ò
2 1 2 1
2 .

50. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 19: Cho hàm số   2 4
f x x
x
  Giá trị của  
2
1
d
f x x

 bằng
A. 3. B. 5. C.
7
3
. D.
7
ln 2
3
 .
Câu 20: Cho hình phẳng  
H giới hạn bởi các đường 2
3
y x
  , 0
y  , 0
x  , 2
x  . Gọi V là thể tích của
khối tròn xoay được tạo thành khi quay  
H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.  
2
2
0
3
V x dx
 
 . B.  
2
2
0
3
V x dx

 
 . C.  
2
2
2
0
3
V x dx

 
 . D.  
2
2
2
0
3
V x dx
 
 .
Câu 21: Cho  
2
dx F x C
x
 
 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.  
' 2ln
F x x C
  . B.   2
2
'
F x
x
  . C.  
2
'
F x
x
 . D.  
' 2ln
F x x C
  .
Câu 22: Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( ) 2 2 2
: 4 6 3 0
S x y z x y
+ + - + - = có diện tích bằng
A. 120p . B. 40p . C. 32p . D. 64p .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm  
1;0;0
A ,  
0;2;0
B ,  
0;0; 4
C  có phương
trình là
A. 0
1 2 4
x y z
   . B. 1
1 2 4
x y z
   . C. 1
1 2 4
x y z
   . D. 1
1 2 4
x y z
    .
Câu 24: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. cos sin
x x x C
  
 d . B. 5 6
1
5
x x x C
 
 d .
C.
1
, 1
1
x
x
x C x
x

    


e
e d . D.
1
ln 2024
x x C
x
 
 d .
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho  
2;3;2
a 

và  
1;1; 1
b  

. Vectơ a b

 
có toạ độ là
A.  
1; 2;3
  . B.  
3;5;1 . C.  
3;4;1 . D.  
1;2;3 .
Câu 26: Hàm số   sin 2
F x x x
  là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A.   2
cos .
f x x x C
    B.   2
cos .
f x x x C
  
C.   cos 2.
f x x
   D.   cos 2.
f x x
 
Câu 27: Cho  
H là hình phẳng giới hạn bởi các đường 0; 1; 5; x
y x x y e
    . Thể tích V của khối tròn
xoay tạo thành khi quay  
H quanh trục Ox là
A.
5
1
1
d
x
V e x

 
 . B.
2
5
1
d
x
V e x
 
 . C.
5
2
1
d .
x
V e x
 
 D.
5
2
1
d
x
V e x
 
 .

51. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
Câu 28: Cho hàm số  
y f x
 có đồ thị như hình vẽ. Khi đó diện tích S của miền gạch chéo bằng?
A.    .
S f b f a
  B.   .
b
a
f x dx
S 
  C.  
2
.
b
a
f x dx
S   D.   .
b
a
f x dx
S  
Câu 29: Cho
 
1
0
1
f x dx 

và  
2
1
2 4
f x dx 
 thì
 
2
0
f x dx

bằng?
A. 6. B. 3. C. 5. D. 4.
Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  : 2 1 0,
x y z
    
 : 2 0
x y z
    và điểm  
1;2; 1
A  . Đường thẳng  đi qua điểm A và song song với cả hai
mặt phẳng  
 ,  
 có phương trình là
A.
1 2 1
2 4 2
x y z
  
 
 
. B.
1 2 1
1 2 1
x y z
  
 
 
.
C.
2 3
1 2 1
x y z
 
  . D.
1 2 1
1 3 5
x y z
  
  .
Câu 31: Cho
 
6
0
12
f x dx 

. Tính
 
2
0
3
I f x dx
 
.
A. 8
I  . B. 5
I  . C. 4
I  . D. 6
I  .
Câu 32: Kết quả của phép tính ( 1) x
x e dx

 là
A. 2 x
xe C
 . B.
x
x e C
  . C.
x
xe C
 . D.
x
xe .
Câu 33: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?