This document discusses the simplex method for solving linear programming problems. It begins by providing background on the simplex method, describing it as an iterative analytical method for solving more complex problems than graphical methods. It then covers considerations and steps required before applying the simplex method, including converting inequalities to equations, defining slack and surplus variables, and establishing an initial basic feasible solution. The document concludes by outlining the basic algorithm and iterative process of the simplex method through tableau formatting.
Investigación de Operaciones 021 Programación LinealJorge Pablo Rivas
The document describes a linear programming problem dealing with production planning for a company that produces two types of chocolate - sweet and bitter. The objective is to maximize profits by determining the optimal quantities of each chocolate type to produce, given constraints of available labor hours and minimum demand. Variables are defined as quantities of each chocolate type. The objective function is to maximize total profits. Constraints include labor hours, minimum demand levels, and the relationship between demand for each chocolate type.
Investigación de operaciones 013 ¿Qué es un modelo y sus tipos?Jorge Pablo Rivas
Este documento define qué es un modelo y clasifica los diferentes tipos de modelos. Un modelo representa la realidad de una manera simplificada sin intentar replicarla exactamente. Existen modelos icónicos, analógicos, topológicos, simbólicos y matemáticos. Los modelos económicos describen simplificadamente la realidad para generar hipótesis sobre comportamientos económicos que puedan probarse.
Investigación de Operaciones 022 programación lineal solución gráfica y geogebraJorge Pablo Rivas
This document discusses solving linear programming problems graphically using Geogebra. It begins with definitions of lines, planes, and polygons. It then explains the graphical method of finding the feasible region and optimal solution. Several examples are presented and links provided to interactive Geogebra apps demonstrating how to graph constraints, identify vertices of the feasible region, graph the objective function, and determine the optimal solution.
Investigación de operaciones 025 programación lineal solución e interpretació...Jorge Pablo Rivas
This document discusses linear programming and the interpretation of results from optimization software. It includes screenshots from QM for Windows software during the configuration and solving of a sample linear programming problem. The problem involves maximizing profits from production of two products with limited resources across two processes. The document then interprets the optimal solution values, shadow prices, and sensitivity analysis results from the software output.
Investigación de operaciones 014 Metodología General y sus PasosJorge Pablo Rivas
El documento presenta diferentes metodologías para la investigación de operaciones, incluyendo una metodología simplificada basada en modelos matemáticos, una metodología general, una metodología para la toma de decisiones y una metodología de simulación. Explica también el planteamiento del problema, que implica identificar, comprender y describir el problema, así como el proceso de problematización.
Investigación de Operaciones 015 Construcción y Clasificación de Modelos Mate...Jorge Pablo Rivas
El documento presenta una introducción a la construcción y clasificación de modelos matemáticos. Explica que la construcción de modelos implica identificar y describir cuantitativamente un problema para desarrollar una solución. Luego, clasifica los modelos en determinísticos vs estocásticos, y por tipo de variables, restricciones, función objetivo y procesos estocásticos. Finalmente, resume los pasos para formular un modelo, resolverlo matemáticamente, validar la solución y aplicarla en el mundo real.
Investigación de operaciones 042 análisis y optimización de redes con pomqm y...Jorge Pablo Rivas
Este documento presenta diferentes tipos de problemas de optimización de redes como ruta más corta, flujo máximo y flujo de costo mínimo. Explica las características generales de cada problema y provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo modelar y resolver cada problema usando el software GAMS y POM-QM.
Investigación de operaciones 026 programación lineal Solución Simplex con R S...Jorge Pablo Rivas
This document describes using the simplex method in R to solve linear programming problems. It provides code to:
1) Install necessary packages for simplex method
2) Load libraries and define a sample linear program with objective function and constraints
3) Call the simplex function to solve the sample problem, returning the optimal solution
The document explains the simplex method code and provides an example problem from a textbook to demonstrate setting up and solving a linear program in R.
Investigación de Operaciones 021 Programación LinealJorge Pablo Rivas
The document describes a linear programming problem dealing with production planning for a company that produces two types of chocolate - sweet and bitter. The objective is to maximize profits by determining the optimal quantities of each chocolate type to produce, given constraints of available labor hours and minimum demand. Variables are defined as quantities of each chocolate type. The objective function is to maximize total profits. Constraints include labor hours, minimum demand levels, and the relationship between demand for each chocolate type.
Investigación de operaciones 013 ¿Qué es un modelo y sus tipos?Jorge Pablo Rivas
Este documento define qué es un modelo y clasifica los diferentes tipos de modelos. Un modelo representa la realidad de una manera simplificada sin intentar replicarla exactamente. Existen modelos icónicos, analógicos, topológicos, simbólicos y matemáticos. Los modelos económicos describen simplificadamente la realidad para generar hipótesis sobre comportamientos económicos que puedan probarse.
Investigación de Operaciones 022 programación lineal solución gráfica y geogebraJorge Pablo Rivas
This document discusses solving linear programming problems graphically using Geogebra. It begins with definitions of lines, planes, and polygons. It then explains the graphical method of finding the feasible region and optimal solution. Several examples are presented and links provided to interactive Geogebra apps demonstrating how to graph constraints, identify vertices of the feasible region, graph the objective function, and determine the optimal solution.
Investigación de operaciones 025 programación lineal solución e interpretació...Jorge Pablo Rivas
This document discusses linear programming and the interpretation of results from optimization software. It includes screenshots from QM for Windows software during the configuration and solving of a sample linear programming problem. The problem involves maximizing profits from production of two products with limited resources across two processes. The document then interprets the optimal solution values, shadow prices, and sensitivity analysis results from the software output.
Investigación de operaciones 014 Metodología General y sus PasosJorge Pablo Rivas
El documento presenta diferentes metodologías para la investigación de operaciones, incluyendo una metodología simplificada basada en modelos matemáticos, una metodología general, una metodología para la toma de decisiones y una metodología de simulación. Explica también el planteamiento del problema, que implica identificar, comprender y describir el problema, así como el proceso de problematización.
Investigación de Operaciones 015 Construcción y Clasificación de Modelos Mate...Jorge Pablo Rivas
El documento presenta una introducción a la construcción y clasificación de modelos matemáticos. Explica que la construcción de modelos implica identificar y describir cuantitativamente un problema para desarrollar una solución. Luego, clasifica los modelos en determinísticos vs estocásticos, y por tipo de variables, restricciones, función objetivo y procesos estocásticos. Finalmente, resume los pasos para formular un modelo, resolverlo matemáticamente, validar la solución y aplicarla en el mundo real.
Investigación de operaciones 042 análisis y optimización de redes con pomqm y...Jorge Pablo Rivas
Este documento presenta diferentes tipos de problemas de optimización de redes como ruta más corta, flujo máximo y flujo de costo mínimo. Explica las características generales de cada problema y provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo modelar y resolver cada problema usando el software GAMS y POM-QM.
Investigación de operaciones 026 programación lineal Solución Simplex con R S...Jorge Pablo Rivas
This document describes using the simplex method in R to solve linear programming problems. It provides code to:
1) Install necessary packages for simplex method
2) Load libraries and define a sample linear program with objective function and constraints
3) Call the simplex function to solve the sample problem, returning the optimal solution
The document explains the simplex method code and provides an example problem from a textbook to demonstrate setting up and solving a linear program in R.
Investigación de Operaciones 041 Análisis de Redes Terminología Básica Teoría...Jorge Pablo Rivas
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos del análisis de redes. Explica la terminología clave como nodos, arcos, redes dirigidas y no dirigidas, trayectorias y ciclos. También resume brevemente los orígenes históricos del análisis de redes en las matemáticas y ciencias sociales. Finalmente, identifica algunos tipos comunes de redes como redes sociales, de información y biológicas.
Investigación de operaciones 044 gestión de proyectos método cpm y pert funda...Jorge Pablo Rivas
Investigación de operaciones
Fundamentos de Gestión de Proyectos
Optimización de proyectos y políticas
Método de la Ruta Critica: Critical Path Method
Técnica PERT: Program Evaluation and Review Technique
M 041 La Teoría de la Empresa y la Producción Neoclásica.pdfJorge Pablo Rivas
Este documento presenta una discusión sobre la teoría neoclásica de la empresa. Explica que la empresa neoclásica se modela como una función de producción que transforma insumos en productos de manera eficiente. También analiza los costos de la empresa y cómo busca maximizar sus ganancias produciendo donde los costos marginales igualan los ingresos marginales. Finalmente, discute diferentes estructuras de mercado como la competencia perfecta y monopolio, y algunas controversias entre enfoques teóricos de la empresa.
Investigación de Operaciones 045 planeación y control de proyectos con pert c...Jorge Pablo Rivas
Fundamentos de Gestión de Proyectos
Planeación, Control y Optimización de Proyectos y Políticas
Método Ruta Crítica (Critical Path Method)
Técnica de Revisión y Evaluación de Programas (o Proyectos) (Program Evaluation and Review Techniques)
Casos Prácticos resueltos con Software
Clase 12. modelamiento matematico problemas de mezcla en plLucas Mosquera
Este documento describe problemas de mezcla en programación lineal, donde varios insumos se mezclan para producir bienes finales. Explica que una refinería de petróleo desea maximizar sus utilidades mezclando petróleo crudo y gasolina desintegrada para producir tres tipos de gasolina que cumplan con las demandas y especificaciones de octanaje, sujeto a limitaciones de capacidad. Presenta un modelo matemático con variables de producción, restricciones de suministro, demanda, capacidad y calidad, y un objetivo
El modelo de transporte busca encontrar la ruta óptima de distribución de productos entre plantas de fabricación, bodegas de distribución y puntos de venta para minimizar costos. El método consiste en asignar volúmenes de productos de las fuentes a los destinos de acuerdo a los costos de transporte unitarios hasta equilibrar oferta y demanda. Primero se asignan los valores mayores a los costos menores y luego se usan multiplicadores para refinar la solución hacia la óptima.
El documento describe el problema de flujo de costo mínimo, que busca encontrar la asignación de flujo a través de una red con costos asociados a cada arco que minimice el costo total. El problema puede modelizarse como un problema de programación lineal donde las variables son el flujo a través de cada arco y el objetivo es minimizar la suma de los costos de cada arco sujeto a restricciones de capacidad de los arcos y balance de flujo en cada nodo.
La teoría de dualidad introduce el concepto de que todo problema de optimización lineal tiene un problema dual asociado. Describe las dualidades simétrica, asimétrica y mixta y sus propiedades clave, incluida la relación entre las variables primal y dual. Además, explica la interpretación económica de los precios sombra en el problema dual.
Este documento presenta una sopa de letras con conceptos clave de la programación lineal. Incluye definiciones breves de términos como optimización, programación lineal, sensibilidad, restricción, solución, objetivo, región factible, variable y decisión. También menciona a algunos autores importantes en el desarrollo de la programación lineal.
Este documento presenta un manual para usar el software LINDO para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo definir las variables, la función objetivo y las restricciones de un problema de PPL, y cómo ingresar y resolver el problema usando LINDO. Luego muestra un ejemplo de un problema de asignación de tierras a cultivos, resuelto con LINDO siguiendo los pasos explicados.
Este documento presenta el método de programación cuadrática para resolver problemas de optimización no lineal. Explica que la programación cuadrática involucra una función objetivo que es la suma de una forma lineal y cuadrática, con restricciones lineales. Luego describe los pasos del método, incluyendo formar la ecuación lagrangiana y aplicar las condiciones KKT para resolver el problema como un problema lineal de doble fase. Finalmente, resuelve un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento presenta el problema de la diligencia como un ejemplo de programación dinámica. El objetivo es encontrar la ruta óptima para que una diligencia viaje entre las ciudades A y J minimizando el costo total de los seguros. La solución se encuentra resolviendo el problema en etapas, almacenando los costos mínimos de cada etapa para evitar cálculos redundantes. Esto conduce a la generación de tablas que muestran el costo óptimo para llegar a cada ciudad en cada etapa.
El documento describe el Método Simplex para resolver problemas de optimización restringida. El Método Simplex es un proceso iterativo que comienza con una solución básica factible y mejora la solución en cada paso hasta alcanzar la solución óptima. El documento explica las fases del Método Simplex incluyendo estandarizar el modelo, determinar la solución básica inicial, construir la tabla inicial, encontrar la variable que entra y sale en cada iteración, y verificar cuando se alcanza la solución óptima.
Este documento describe los problemas de transporte como un tipo especial de problemas de programación lineal. Explica que los problemas de transporte involucran la distribución de bienes desde orígenes a destinos para minimizar costos, y tienen una estructura matemática única que permite métodos de solución simplificados. También presenta un ejemplo prototipo de un problema de transporte que involucra la distribución de chícharos enlatados entre plantas y almacenes.
El Método Simplex es un método iterativo para resolver problemas de programación lineal mediante la transformación de restricciones de desigualdad a igualdad a través de variables de holgura y exceso. Comienza con una solución factible y mejora la función objetivo en cada paso moviéndose de un vértice a otro adyacente del poliedro de soluciones hasta alcanzar la solución óptima.
Este documento describe el algoritmo de programación dinámica. Explica que la programación dinámica evita calcular dos veces la misma información al almacenar resultados parciales. Luego, detalla que la programación dinámica se aplica a problemas de optimización que tienen subestructura óptima y superposición de subproblemas. Finalmente, provee un ejemplo de cómo usar programación dinámica para encontrar el camino más corto entre dos puntos.
El documento describe la programación lineal y su solución mediante el método gráfico. La programación lineal consiste en optimizar una función objetivo lineal sujeto a restricciones lineales. El método gráfico representa geométricamente las restricciones y objetivo para resolver problemas de dos variables. Se presenta un ejemplo de maximizar una función de dos variables sujeto a cuatro restricciones lineales para resolver mediante el método gráfico.
Este documento describe el modelo de transporte, que busca determinar un plan óptimo para transportar mercancías desde varias fuentes a varios destinos minimizando los costos. Presenta un ejemplo con 3 plantas que producen autos y 2 centros de distribución con diferentes demandas, donde el objetivo es asignar la producción de cada planta a los centros para minimizar los costos de transporte basados en la distancia. Finalmente, formula el modelo de programación lineal correspondiente sujeto a restricciones de oferta, demanda y no negatividad.
ProModel es un poderoso software de simulación con animación que permite modelar y optimizar sistemas complejos sin necesidad de programación. El software genera modelos flexibles de sistemas de manufactura, logística y manejo de materiales que pueden ser optimizados para encontrar la mejor configuración y parámetros. ProModel incluye características como simulación 3D, optimización integrada y soporte las 24 horas para apoyar el análisis y mejora de procesos.
The document discusses the simplex method for solving linear programming problems. It begins by introducing the simplex method and explaining that it is an iterative procedure that examines corner points to find an optimal solution. It then defines key terms like slack, surplus, and artificial variables. The majority of the document outlines the step-by-step procedures for using the simplex method to solve maximization and minimization problems. It also discusses how to handle special cases that may arise, such as degeneracy, unbounded problems, and infeasible problems.
For a good business plan creative thinking is important. A business plan is very important and strategic tool for entrepreneurs. A good business plan not only helps entrepreneurs focus on specific steps necessary for them to make business ideas succeed, but it also helps them to achieve short-term and long-term objectives. As an inspiring entrepreneur who is looking towards starting a business, one of the businesses you can successfully start without much stress is book servicing café.
Importance:
Nowadays, network plays an important role in people’s life. In the process of the improvement of the people’s living standard, people’s demand of the life’s quality and efficiency is more higher, the traditional bookstore’s inconvenience gradually emerge, and the online book store has gradually be used in public. The online book store system based on the principle of providing convenience and service to people.
With the online book servicing café, college student do not need to blindly go to various places to find their own books, but only in a computer connected to the internet log on online book servicing café in the search box, type u want to find of the book information retrieval, you can efficiently know whether a site has its own books, if you can online direct purchase, if not u can change the home book store to continue to search or provide advice to the seller in order to supply. This greatly facilitates every college student saving time.
The online book servicing café’s main users are divided into two categories, one is the front user, and one is the background user. The main business model for Book Servicing Café relies on college students providing textbooks, auctions, classifieds teacher evaluations available on website. Therefore, our focus will be on the marketing strategy to increase student traffic and usage. In turn, visitor volume and transactions will maintain the inventory of products and services offered.
Online bookstore system i.e. Book Servicing Café not only can easily find the information and purchase books, and the operating conditions are simple, user-friendly, to a large extent to solve real-life problems in the purchase of the books.
When you shop in online book servicing cafe, you have the chance of accessing and going through customers who have shopped at book servicing café and review about the book you intend to buy. This will give you beforehand information about that book.
While purchasing or selling books at the book servicing café, you save money, energy and time for your favorite book online. The book servicing café will offer discount coupons which help college students save money or make money on their purchases or selling. Shopping for books online is economical too because of the low shipping price.
Book servicing café tend to work with multiple suppliers, which allows them to offer a wider variety of books than a traditional retail store without accruing a large, costly inventory which will help colle
Investigación de Operaciones 041 Análisis de Redes Terminología Básica Teoría...Jorge Pablo Rivas
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos del análisis de redes. Explica la terminología clave como nodos, arcos, redes dirigidas y no dirigidas, trayectorias y ciclos. También resume brevemente los orígenes históricos del análisis de redes en las matemáticas y ciencias sociales. Finalmente, identifica algunos tipos comunes de redes como redes sociales, de información y biológicas.
Investigación de operaciones 044 gestión de proyectos método cpm y pert funda...Jorge Pablo Rivas
Investigación de operaciones
Fundamentos de Gestión de Proyectos
Optimización de proyectos y políticas
Método de la Ruta Critica: Critical Path Method
Técnica PERT: Program Evaluation and Review Technique
M 041 La Teoría de la Empresa y la Producción Neoclásica.pdfJorge Pablo Rivas
Este documento presenta una discusión sobre la teoría neoclásica de la empresa. Explica que la empresa neoclásica se modela como una función de producción que transforma insumos en productos de manera eficiente. También analiza los costos de la empresa y cómo busca maximizar sus ganancias produciendo donde los costos marginales igualan los ingresos marginales. Finalmente, discute diferentes estructuras de mercado como la competencia perfecta y monopolio, y algunas controversias entre enfoques teóricos de la empresa.
Investigación de Operaciones 045 planeación y control de proyectos con pert c...Jorge Pablo Rivas
Fundamentos de Gestión de Proyectos
Planeación, Control y Optimización de Proyectos y Políticas
Método Ruta Crítica (Critical Path Method)
Técnica de Revisión y Evaluación de Programas (o Proyectos) (Program Evaluation and Review Techniques)
Casos Prácticos resueltos con Software
Clase 12. modelamiento matematico problemas de mezcla en plLucas Mosquera
Este documento describe problemas de mezcla en programación lineal, donde varios insumos se mezclan para producir bienes finales. Explica que una refinería de petróleo desea maximizar sus utilidades mezclando petróleo crudo y gasolina desintegrada para producir tres tipos de gasolina que cumplan con las demandas y especificaciones de octanaje, sujeto a limitaciones de capacidad. Presenta un modelo matemático con variables de producción, restricciones de suministro, demanda, capacidad y calidad, y un objetivo
El modelo de transporte busca encontrar la ruta óptima de distribución de productos entre plantas de fabricación, bodegas de distribución y puntos de venta para minimizar costos. El método consiste en asignar volúmenes de productos de las fuentes a los destinos de acuerdo a los costos de transporte unitarios hasta equilibrar oferta y demanda. Primero se asignan los valores mayores a los costos menores y luego se usan multiplicadores para refinar la solución hacia la óptima.
El documento describe el problema de flujo de costo mínimo, que busca encontrar la asignación de flujo a través de una red con costos asociados a cada arco que minimice el costo total. El problema puede modelizarse como un problema de programación lineal donde las variables son el flujo a través de cada arco y el objetivo es minimizar la suma de los costos de cada arco sujeto a restricciones de capacidad de los arcos y balance de flujo en cada nodo.
La teoría de dualidad introduce el concepto de que todo problema de optimización lineal tiene un problema dual asociado. Describe las dualidades simétrica, asimétrica y mixta y sus propiedades clave, incluida la relación entre las variables primal y dual. Además, explica la interpretación económica de los precios sombra en el problema dual.
Este documento presenta una sopa de letras con conceptos clave de la programación lineal. Incluye definiciones breves de términos como optimización, programación lineal, sensibilidad, restricción, solución, objetivo, región factible, variable y decisión. También menciona a algunos autores importantes en el desarrollo de la programación lineal.
Este documento presenta un manual para usar el software LINDO para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo definir las variables, la función objetivo y las restricciones de un problema de PPL, y cómo ingresar y resolver el problema usando LINDO. Luego muestra un ejemplo de un problema de asignación de tierras a cultivos, resuelto con LINDO siguiendo los pasos explicados.
Este documento presenta el método de programación cuadrática para resolver problemas de optimización no lineal. Explica que la programación cuadrática involucra una función objetivo que es la suma de una forma lineal y cuadrática, con restricciones lineales. Luego describe los pasos del método, incluyendo formar la ecuación lagrangiana y aplicar las condiciones KKT para resolver el problema como un problema lineal de doble fase. Finalmente, resuelve un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento presenta el problema de la diligencia como un ejemplo de programación dinámica. El objetivo es encontrar la ruta óptima para que una diligencia viaje entre las ciudades A y J minimizando el costo total de los seguros. La solución se encuentra resolviendo el problema en etapas, almacenando los costos mínimos de cada etapa para evitar cálculos redundantes. Esto conduce a la generación de tablas que muestran el costo óptimo para llegar a cada ciudad en cada etapa.
El documento describe el Método Simplex para resolver problemas de optimización restringida. El Método Simplex es un proceso iterativo que comienza con una solución básica factible y mejora la solución en cada paso hasta alcanzar la solución óptima. El documento explica las fases del Método Simplex incluyendo estandarizar el modelo, determinar la solución básica inicial, construir la tabla inicial, encontrar la variable que entra y sale en cada iteración, y verificar cuando se alcanza la solución óptima.
Este documento describe los problemas de transporte como un tipo especial de problemas de programación lineal. Explica que los problemas de transporte involucran la distribución de bienes desde orígenes a destinos para minimizar costos, y tienen una estructura matemática única que permite métodos de solución simplificados. También presenta un ejemplo prototipo de un problema de transporte que involucra la distribución de chícharos enlatados entre plantas y almacenes.
El Método Simplex es un método iterativo para resolver problemas de programación lineal mediante la transformación de restricciones de desigualdad a igualdad a través de variables de holgura y exceso. Comienza con una solución factible y mejora la función objetivo en cada paso moviéndose de un vértice a otro adyacente del poliedro de soluciones hasta alcanzar la solución óptima.
Este documento describe el algoritmo de programación dinámica. Explica que la programación dinámica evita calcular dos veces la misma información al almacenar resultados parciales. Luego, detalla que la programación dinámica se aplica a problemas de optimización que tienen subestructura óptima y superposición de subproblemas. Finalmente, provee un ejemplo de cómo usar programación dinámica para encontrar el camino más corto entre dos puntos.
El documento describe la programación lineal y su solución mediante el método gráfico. La programación lineal consiste en optimizar una función objetivo lineal sujeto a restricciones lineales. El método gráfico representa geométricamente las restricciones y objetivo para resolver problemas de dos variables. Se presenta un ejemplo de maximizar una función de dos variables sujeto a cuatro restricciones lineales para resolver mediante el método gráfico.
Este documento describe el modelo de transporte, que busca determinar un plan óptimo para transportar mercancías desde varias fuentes a varios destinos minimizando los costos. Presenta un ejemplo con 3 plantas que producen autos y 2 centros de distribución con diferentes demandas, donde el objetivo es asignar la producción de cada planta a los centros para minimizar los costos de transporte basados en la distancia. Finalmente, formula el modelo de programación lineal correspondiente sujeto a restricciones de oferta, demanda y no negatividad.
ProModel es un poderoso software de simulación con animación que permite modelar y optimizar sistemas complejos sin necesidad de programación. El software genera modelos flexibles de sistemas de manufactura, logística y manejo de materiales que pueden ser optimizados para encontrar la mejor configuración y parámetros. ProModel incluye características como simulación 3D, optimización integrada y soporte las 24 horas para apoyar el análisis y mejora de procesos.
The document discusses the simplex method for solving linear programming problems. It begins by introducing the simplex method and explaining that it is an iterative procedure that examines corner points to find an optimal solution. It then defines key terms like slack, surplus, and artificial variables. The majority of the document outlines the step-by-step procedures for using the simplex method to solve maximization and minimization problems. It also discusses how to handle special cases that may arise, such as degeneracy, unbounded problems, and infeasible problems.
For a good business plan creative thinking is important. A business plan is very important and strategic tool for entrepreneurs. A good business plan not only helps entrepreneurs focus on specific steps necessary for them to make business ideas succeed, but it also helps them to achieve short-term and long-term objectives. As an inspiring entrepreneur who is looking towards starting a business, one of the businesses you can successfully start without much stress is book servicing café.
Importance:
Nowadays, network plays an important role in people’s life. In the process of the improvement of the people’s living standard, people’s demand of the life’s quality and efficiency is more higher, the traditional bookstore’s inconvenience gradually emerge, and the online book store has gradually be used in public. The online book store system based on the principle of providing convenience and service to people.
With the online book servicing café, college student do not need to blindly go to various places to find their own books, but only in a computer connected to the internet log on online book servicing café in the search box, type u want to find of the book information retrieval, you can efficiently know whether a site has its own books, if you can online direct purchase, if not u can change the home book store to continue to search or provide advice to the seller in order to supply. This greatly facilitates every college student saving time.
The online book servicing café’s main users are divided into two categories, one is the front user, and one is the background user. The main business model for Book Servicing Café relies on college students providing textbooks, auctions, classifieds teacher evaluations available on website. Therefore, our focus will be on the marketing strategy to increase student traffic and usage. In turn, visitor volume and transactions will maintain the inventory of products and services offered.
Online bookstore system i.e. Book Servicing Café not only can easily find the information and purchase books, and the operating conditions are simple, user-friendly, to a large extent to solve real-life problems in the purchase of the books.
When you shop in online book servicing cafe, you have the chance of accessing and going through customers who have shopped at book servicing café and review about the book you intend to buy. This will give you beforehand information about that book.
While purchasing or selling books at the book servicing café, you save money, energy and time for your favorite book online. The book servicing café will offer discount coupons which help college students save money or make money on their purchases or selling. Shopping for books online is economical too because of the low shipping price.
Book servicing café tend to work with multiple suppliers, which allows them to offer a wider variety of books than a traditional retail store without accruing a large, costly inventory which will help colle
The document provides an overview of the simplex algorithm, which is used to solve linear programming problems. It defines key terms like standard form, slack variables, basic and non-basic variables, and pivoting. The simplex algorithm involves writing the problem in standard form, selecting a pivot column and row, and performing row operations to find an optimal solution. An example problem is worked through in multiple iterations to demonstrate how the algorithm progresses from an initial tableau to the optimal solution. Potential issues like cycling are also discussed, along with software tools to implement the simplex method.
A brief study on linear programming solving methodsMayurjyotiNeog
This document summarizes linear programming and two methods for solving linear programming problems: the graphical method and the simplex method. It outlines the key components of linear programming problems including decision variables, objective functions, and constraints. It then describes the steps of the graphical method and simplex method in solving linear programming problems. The graphical method involves plotting the feasible region and objective function on a graph to find the optimal point. The simplex method uses an algebraic table approach to iteratively find the optimal solution.
Chapter 3.Simplex Method hand out last.pdfTsegay Berhe
This document provides material on solving linear programming problems using the simplex method. It begins with an introduction to the simplex method and how it can be used to solve linear programming problems analytically. It then presents the steps for solving a problem using the simplex method, including determining a starting basic feasible solution, selecting entering and leaving variables, and performing elementary row operations to arrive at the optimal solution. An example problem is also presented to illustrate how to set up and solve a linear programming problem using the simplex method.
The document provides an introduction to the simplex method for solving linear programming problems. It begins by explaining the limitations of graphical methods for problems with more than two decision variables or constraints. The simplex method, developed by George Dantzig, overcomes these limitations through an algebraic approach. The document then outlines the standard form and characteristics of a linear programming problem before explaining how to transform problems into standard form. Finally, it provides a high-level overview of the simplex algorithm, including setting up the initial tableau, pivoting to improve the objective function, and determining the entering and exiting variables at each step.
The document discusses the concept of duality in linear programming. There is a primal linear programming problem (LPP) and its dual LPP. The optimal solution of one problem reveals information about the optimal solution of the other. Every LPP has an associated dual problem that is formed by transposing the constraint coefficients and objective function. Solving the dual may be easier in some cases. Duality ensures that if one problem is feasible and bounded, then so is the other, and they have the same optimal value.
The document discusses linear programming, which is a method for optimizing a linear objective function subject to linear equality and inequality constraints. It describes how to formulate a linear programming problem by defining the objective function and constraints in terms of decision variables. It also discusses graphical and algebraic solution methods, including identifying an optimal solution at an extreme point of the feasible region. Applications of linear programming are mentioned in areas like business, industry, and marketing.
This document outlines the steps of the simplex method to solve linear programming problems. It begins with putting the problem into standard form and introducing slack variables to transform inequality constraints into equalities. A tableau is then set up to perform row operations. The optimal solution is checked by ensuring all values in the objective row are greater than or equal to zero. If not optimal, a pivot variable is identified and a new tableau is created by optimizing the pivot variable. This process repeats, identifying new pivot variables and creating new tableaus, until an optimal solution is reached where all objective row values are non-negative. Finally, the optimal values of the variables are determined based on their classification as basic or non-basic in the final optimal tableau
The document explains the steps of the Simplex method for solving linear programs: 1) Transform the problem into standard form; 2) Introduce slack variables; 3) Create a Simplex tableau; 4) Use pivot variables and row operations to optimize variables until the optimal solution is found where all objective values are positive. The method involves iteratively creating new tableaus until the optimal values are identified.
The document explains the steps of the Simplex method for solving linear programs: 1) Transform the problem into standard form, 2) Introduce slack variables, 3) Create a Simplex tableau, 4) Check for optimality and identify a pivot variable if not optimal, 5) Create a new tableau to optimize the pivot variable, 6) Repeat until an optimal solution is found, then 7) Identify the optimal values. The Simplex method uses tableaus and pivot variables to iteratively find an optimal solution satisfying all constraints.
The document provides an overview of the simplex algorithm for solving linear programming problems. It begins with an introduction and defines the standard format for representing linear programs. It then describes the key steps of the simplex algorithm, including setting up the initial simplex tableau, choosing the pivot column and pivot row, and pivoting to move to the next basic feasible solution. It notes that the algorithm terminates when an optimal solution is reached where all entries in the objective row are non-negative. The document also briefly discusses variants like the ellipsoid method and cycling issues addressed by Bland's rule.
The Big M Method is a variant of the simplex method for solving linear programming problems. It introduces artificial variables and a large number M to convert inequalities into equalities. The transformed problem is then solved using the simplex method, eliminating artificial variables until an optimal solution is found. However, the method has drawbacks in determining a sufficiently large M value and not knowing feasibility until optimality is reached. It is inferior to the two-phase method and not used in commercial solvers.
The document discusses the simplex algorithm for solving linear programming problems. It begins with an introduction and overview of the simplex algorithm. It then describes the key steps of the algorithm, which are: 1) converting the problem into slack format, 2) constructing the initial simplex tableau, 3) selecting the pivot column and calculating the theta ratio to determine the departing variable, 4) pivoting to create the next tableau. The document provides examples to illustrate these steps. It also briefly discusses cycling issues, software implementations, efficiency considerations and variants of the simplex algorithm.
Linear programming class 12 investigatory projectDivyans890
This document provides an introduction to linear programming, including its definition, characteristics, formulation, and uses. Linear programming is a technique for determining an optimal plan that maximizes or minimizes an objective function subject to constraints. It involves expressing a problem mathematically and using linear algebra to determine the optimal values for the decision variables. Common applications of linear programming include production planning, portfolio optimization, and transportation scheduling.
The document describes the steps of the simplex method algorithm for solving linear programming problems. It begins by converting the linear programming model into standard form by adding slack, surplus, and/or artificial variables. It then sets up an initial simplex table to obtain the initial solution and computes various values. Based on whether the problem is a minimization or maximization type, it selects the key column with the most negative or positive value. The key row is then selected and the simplex table is updated through elementary row operations. The process is repeated until an optimal solution is found.
The steps of the simplex method for solving a linear programming problem are:
1) Convert the problem to one of maximization and make the right-hand sides of constraints non-negative.
2) Introduce slack/surplus variables to convert inequalities to equations.
3) Obtain an initial basic feasible solution and compute net evolutions.
4) If a negative net evolution exists, select the most negative column and row ratios to identify a new basis.
5) Iterate steps 5-8 until an optimum solution is found or the problem is determined to be unbounded.
The document defines linear programming and its key components. It explains that linear programming is a mathematical optimization technique used to allocate limited resources to achieve the best outcome, such as maximizing profit or minimizing costs. The document outlines the basic steps of the simplex method for solving linear programming problems and provides an example to illustrate determining the maximum value of a linear function given a set of constraints. It also discusses other applications of linear programming in fields like engineering, manufacturing, energy, and transportation for optimization.
This document outlines greedy algorithms, their characteristics, and examples of their use. Greedy algorithms make locally optimal choices at each step in the hopes of finding a global optimum. They are simple to implement and fast, but may not always reach the true optimal solution. Examples discussed include coin changing, traveling salesman, minimum spanning trees using Kruskal's and Prim's algorithms, and Huffman coding.
The document summarizes key concepts regarding linear programming problems. It discusses:
1. Linear programming problems aim to optimize an objective function subject to constraints. They can model many practical operations research problems.
2. The document provides an example problem of determining production levels to maximize profit. It demonstrates formulating the problem as a mathematical model and solving it graphically and with the simplex method.
3. The simplex method solves linear programming problems by examining vertex points of the feasible solution space. It involves setting up the problem in standard form and using minimum ratio and pivot element calculations to systematically search for an optimal solution.
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The Rise and Fall of Ponzi Schemes in America.pptxDiana Rose
Ponzi schemes, a notorious form of financial fraud, have plagued America’s investment landscape for decades. Named after Charles Ponzi, who orchestrated one of the most infamous schemes in the early 20th century, these fraudulent operations promise high returns with little or no risk, only to collapse and leave investors with significant losses. This article explores the nature of Ponzi schemes, notable cases in American history, their impact on victims, and measures to prevent falling prey to such scams.
Understanding Ponzi Schemes
A Ponzi scheme is an investment scam where returns are paid to earlier investors using the capital from newer investors, rather than from legitimate profit earned. The scheme relies on a constant influx of new investments to continue paying the promised returns. Eventually, when the flow of new money slows down or stops, the scheme collapses, leaving the majority of investors with substantial financial losses.
Historical Context: Charles Ponzi and His Legacy
Charles Ponzi is the namesake of this deceptive practice. In the 1920s, Ponzi promised investors in Boston a 50% return within 45 days or 100% return in 90 days through arbitrage of international reply coupons. Initially, he paid returns as promised, not from profits, but from the investments of new participants. When his scheme unraveled, it resulted in losses exceeding $20 million (equivalent to about $270 million today).
Notable American Ponzi Schemes
1. Bernie Madoff: Perhaps the most notorious Ponzi scheme in recent history, Bernie Madoff’s fraud involved $65 billion. Madoff, a well-respected figure in the financial industry, promised steady, high returns through a secretive investment strategy. His scheme lasted for decades before collapsing in 2008, devastating thousands of investors, including individuals, charities, and institutional clients.
2. Allen Stanford: Through his company, Stanford Financial Group, Allen Stanford orchestrated a $7 billion Ponzi scheme, luring investors with fraudulent certificates of deposit issued by his offshore bank. Stanford promised high returns and lavish lifestyle benefits to his investors, which ultimately led to a 110-year prison sentence for the financier in 2012.
3. Tom Petters: In a scheme that lasted more than a decade, Tom Petters ran a $3.65 billion Ponzi scheme, using his company, Petters Group Worldwide. He claimed to buy and sell consumer electronics, but in reality, he used new investments to pay off old debts and fund his extravagant lifestyle. Petters was convicted in 2009 and sentenced to 50 years in prison.
4. Eric Dalius and Saivian: Eric Dalius, a prominent figure behind Saivian, a cashback program promising high returns, is under scrutiny for allegedly orchestrating a Ponzi scheme. Saivian enticed investors with promises of up to 20% cash back on everyday purchases. However, investigations suggest that the returns were paid using new investments rather than legitimate profits. The collapse of Saivian l
How to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete GuideDaniel
Cryptocurrency is digital money that operates independently of a central authority, utilizing cryptography for security. Unlike traditional currencies issued by governments (fiat currencies), cryptocurrencies are decentralized and typically operate on a technology called blockchain. Each cryptocurrency transaction is recorded on a public ledger, ensuring transparency and security.
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China’s official organizer of the Expo, CCPIT (China Council for the Promotion of International Trade https://en.ccpit.org/) has chosen Dr. Alyce Su as the Cover Person with Cover Story, in the Expo’s official magazine distributed throughout the Expo, showcasing China’s New Generation of Leaders to the World.
University of North Carolina at Charlotte degree offer diploma Transcripttscdzuip
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Fabular Frames and the Four Ratio ProblemMajid Iqbal
Digital, interactive art showing the struggle of a society in providing for its present population while also saving planetary resources for future generations. Spread across several frames, the art is actually the rendering of real and speculative data. The stereographic projections change shape in response to prompts and provocations. Visitors interact with the model through speculative statements about how to increase savings across communities, regions, ecosystems and environments. Their fabulations combined with random noise, i.e. factors beyond control, have a dramatic effect on the societal transition. Things get better. Things get worse. The aim is to give visitors a new grasp and feel of the ongoing struggles in democracies around the world.
Stunning art in the small multiples format brings out the spatiotemporal nature of societal transitions, against backdrop issues such as energy, housing, waste, farmland and forest. In each frame we see hopeful and frightful interplays between spending and saving. Problems emerge when one of the two parts of the existential anaglyph rapidly shrinks like Arctic ice, as factors cross thresholds. Ecological wealth and intergenerational equity areFour at stake. Not enough spending could mean economic stress, social unrest and political conflict. Not enough saving and there will be climate breakdown and ‘bankruptcy’. So where does speculative design start and the gambling and betting end? Behind each fabular frame is a four ratio problem. Each ratio reflects the level of sacrifice and self-restraint a society is willing to accept, against promises of prosperity and freedom. Some values seem to stabilise a frame while others cause collapse. Get the ratios right and we can have it all. Get them wrong and things get more desperate.
Madhya Pradesh, the "Heart of India," boasts a rich tapestry of culture and heritage, from ancient dynasties to modern developments. Explore its land records, historical landmarks, and vibrant traditions. From agricultural expanses to urban growth, Madhya Pradesh offers a unique blend of the ancient and modern.
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To identify the best crypto to buy in 2024, analyze market trends, assess the project's fundamentals, review the development team and community, monitor adoption rates, and evaluate risk tolerance. Stay updated with news, regulatory changes, and expert opinions to make informed decisions.
3. Método
Simplex
-
• Es un método analítico de solución de problemas de programación
lineal, capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos
mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
• Es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso.
La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en
caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que
aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea
maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un
poliedro solución es finito siempre se hallará solución.
3
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Definicióngeneral
4. Consideraciones
Previas
alMétodo
Simplex
-
Se requiere manejo de conceptos y técnicas fundamentales del algebra lineal.
“La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es fundamental,
dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus
problemas”(Salazar, 2019)
• Matrices
• Vectores
• Operaciones con matrices
• Algoritmos
• Tipos especiales de matrices
• etc.
4
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Algebralineal
https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-operaciones/metodo-simplex/
5. Consideraciones
Previas
alMétodo
Simplex
-
• El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones
iniciales que se modelan mediante programación lineal
• Para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas
variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al
cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa
el «Slack or surplus». Estas variables adquieren un gran valor en el análisis
de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz
identidad base del Simplex.
• Estas variables suelen estar representadas por la letra «S», se suman si la
restricción es de signo «<= » y se restan si la restricción es de signo «>=».
5
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Variablesdeholgurayexceso
6. Consideraciones
Previas
alMétodo
Simplex
-
• Una variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones
«>=» en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original,
la característica principal de estas variables es que no deben formar parte
de la solución, dado que no representan recursos. El objetivo fundamental
de estas variables es la formación de la matriz identidad.
• Estas variables se representa por la letra «A», siempre se suman a las
restricciones, su coeficiente es M (por esto se le denomina Método de la M
grande, donde M significa un número demasiado grande muy poco
atractivo para la función objetivo), y el signo en la función objetivo va en
contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximización su
signo es menos (-) y en problemas de Minimización su signo es (+), con el
objetivo de que su valor en la solución sea cero (0).
6
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Variableartificial/Métododela«M»
10. Consideraciones
Previas
alMétodo
Simplex
-
10
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Elmodelodebecumplirlassiguientescondiciones:
• El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la
función objetivo (por ejemplo, incrementar ganancias o reducir
pérdidas, respectivamente).
• Todas las restricciones deben ser ecuaciones de igualdad
(identidades matemáticas).
• Todas las variables (xi) deben tener valor positivo o nulo
(condición de no negatividad).
• Los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser
no negativos.
11. Consideraciones
Previas
alMétodo
Simplex
-
11
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Tipodeoptimización(MinMax)
• Existen diferencias en el algoritmo entre el objetivo de maximización y
el de minimización en cuanto al criterio de condición de parada para
finalizar las iteraciones y a las condiciones de entrada y salida de la
base.
•Objetivo de maximizaciónCondición de
parada: cuando en la fila Z no aparece
ningún valor negativo.
•Condición de entrada a la base: el menor
valor negativo en la fila Z (o el de mayor
valor absoluto entre los negativos) indica la
variable Pj que entra a la base.
•Condición de salida de la base: una vez
obtenida la variable entrante, la variable
que sale se determina mediante el menor
cociente P0/Pj de los estrictamente
positivos.
•Objetivo de minimizaciónCondición de
parada: cuando en la fila Z no aparece
ningún valor positivo.
•Condición de entrada a la base: el
mayor valor positivo en la fila Z indica la
variable Pj que entra a la base.
•Condición de salida de la base: una vez
obtenida la variable entrante, la variable
que sale se determina mediante el menor
cociente P0/Pj de los estrictamente
negativos.
http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
12. Consideraciones
Previas
alMétodo
Simplex
-
12
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Cambiodesignodelostérminosindependientes
• los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser no negativos para
poder emplear el método Simplex. A tal fin, si alguna de las restricciones presenta
un término independiente menor que 0 habrá que multiplicar por "-1" ambos lados
de la inecuación (teniendo en cuenta que esta operación también afecta al tipo de
restricción).
• Ventajas: Con ésta simple modificación de signos en las restricciones
correspondientes se posibilita la aplicación del método Simplex al problema
modelado.
• Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que
modificar los signos de las constantes, los tipos de desigualdad fueran "≤"
(quedando tras la operación del tipo "≥") siendo necesario desarrollar el método de
las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque podría ocurrir el caso
contrario y resultar beneficioso si los términos independientes negativos se
presentan en todas aquellas restricciones con desigualdad de tipo "≥". Si existe
alguna restricción del tipo "=" no supondría ninguna ventaja ni desventaja puesto
que siempre sería de necesaria aplicación el método a 2 fases
http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
13. 13
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Normalizacióndelasrestricciones
• el problema es que todas las restricciones sean ecuaciones de igualdad (también llamadas restricciones de
igualdad), por lo que hay que convertir las restricciones de desigualdad o inecuaciones en dichas identidades
matemáticas.
La condición de no negatividad de las variables (x1,..., xn ≥ 0) es la única excepción y se mantiene tal cual.
Restricción de tipo "≤"
Restricción de tipo "≥"
Restricción de tipo “="
14. Consideraciones
Previas
alMétodo
Simplex
-
14
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Desarrollo
Una vez estandarizado el modelo
puede ocurrir que sea necesario
aplicar el método Simplex o
el método a dos fases para llegar
a la solución del problema
modelado
http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
16. Método
Simplex
-
16
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Simplex
el método Simplex opera iterativamente a través de los
siguientes pasos:
Test de
optimalidad
En problemas de maximización, el P.L. es óptimo si todos los costes reducidos 𝒄𝒋 − 𝒛𝒋 son menores o
iguales que cero. En problemas de minimización cada coste reducido debe ser mayor o igual que cero.
Regla de
entrada en la
base
La variable que entra en la base debe ser aquella que tenga el mayor coste reducido positivo en el caso
de maximización (o mayor coste reducido negativo, en el caso de minimización), ya que ésta es la que
aumenta (disminuye) más rápidamente el valor de la función objetivo. Supongamos que la variable
entrante es la k-ésima.
Regla de salida
de la base.
Después de decidir qué variable entra en la base, es preciso determinar qué variable sale de la base. El
criterio consiste en seleccionar aquélla que tiene un menor cociente entre su valor y el coeficiente de k y
correspondiente a la columna k-ésima, siempre y cuando este coeficiente sea estrictamente positivo. La
interpretación de este cociente es clara: representa el máximo valor que puede tomar la variable
entrante antes de que la variable que se está considerando viole su restricción de no negatividad. Si
todos los coeficientes de la columna k-ésima son nulos o negativos, estaríamos en el caso de solución no
acotada o ilimitada, ya que la variable entrante puede crecer indefinidamente sin pérdida de factibilidad.
17. Método
Simplex
-
17
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
DiagramadeflujodelalgoritmodelSimplex.
http://www.mate.unlp.edu.ar/practicas/66_13_0804200912835.pdf
el método Simplex opera
iterativamente a través de
los siguientes pasos:
18. Método
Simplex
-
18
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
MétododelSimplexenformadeTableau
Construcción de la primera tabla
Condición de parada:
Elección de la variable que entra a la base:
Elección de la variable que sale de la base:
Elemento pivote:
Actualización de la tabla:
http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
20. 20
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
El problema Maximizar utilidades modificando los niveles
de la producción
La empresa el SAMÁN Ltda (CARPINTERÍA). actualmente fabrica mesas, sillas, camas y
bibliotecas.
• Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines.
• Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines,
• Cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases
trapezoidales de 2 pines y finalmente
• Cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2
pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines.
• Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000,
• Cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $
20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $
60000.
• El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades.
22. 22
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 1:
Modelación mediante del sistema de
ecuaciones (programación lineal)
23. 23
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 2:
Convertir inecuaciones en
ecuaciones
En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las restricciones
son «<=».
De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las
cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de holgura «S1» solo tiene
coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1.
24. 24
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 3:
Definir solución básica inicial
El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica
inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz identidad
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Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 4:
Tabulado de matriz simplex
Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables,
lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición
de restricciones.
Cj = La fila «Cj» hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila «solución» en la
función objetivo.
Variable Solución = En esta columna se consigna la solución básica inicial, y a partir de esta en cada iteración se
van incluyendo las variables que formarán parte de la solución final.
Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha «Variable solución»
en la función objetivo.
Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la suma de los productos entre término y Cb.
Cj – Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un «Shadow price», es
decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable correspondiente que no forme parte de
la solución.
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Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 5:
Realizar las iteraciones necesarias
Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste en realizar intentos
mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro.
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Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 5: inicio de la primera iteración
1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima:
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Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 5:
2. El hecho de que una variable
distinta forme parte de las
variables solución implica una serie
de cambios en el tabulado Simplex,
cambios que se explicarán a
continuación.
Paso 5: intermedio primera iteración
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Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 5:
Paso 5: fin de la primera iteración
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Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 5:
Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores
Paso 5: iteraciones consecutivas
32. 32
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 5:
Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores
Paso 5: iteración final
En esta última iteración podemos observar que se cumple con la
consigna Cj – Zj <= 0, para ejercicios cuya función objetivo sea
«Maximizar», por ende hemos llegado a la respuesta óptima.
una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz
identidad en el rectángulo determinado por las variables de decisión
34. 34
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 5:
finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz identidad en el rectángulo determinado por las
variables de decisión, el hecho de que en este caso no se muestre la matriz identidad significa que existe una
solución óptima alterna.
Caso sin matriz identidad
La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el
orden en que cada una de las variables entró a la solución
básica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido
a la igualdad en el Cj – Zj del tabulado inicial.
36. 36
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Paso 5:
Caso sin matriz identidad
Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación de
variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se
encuentre la variable «S1» en la solución óptima con un coeficiente de «3» significa que se
presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines).
38. Minimización con el Método Simplex
• Se basa en un artificio aplicable al algoritmo fundamentado en la lógica matemática que dicta que «para cualquier
función f(x), todo punto que minimice a f(x) maximizará también a – f(x)». Por lo tanto el procedimiento a aplicar es
multiplicar por el factor negativo (-1) a toda la función objetivo
2 • pretende conservar la minimización consiste en aplicar los criterios de decisión que hemos esbozado con
anterioridad, en los casos de la variable que entra, que sale y el caso en el que la solución óptima es
encontrada. Aquí recordamos los procedimientos según el criterio dado el caso «minimizar».
38
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
1
40. Soluciones
-
40
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Identificandotiposdesoluciones
http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
Solución óptima: cuando se cumple la condición de parada y no hay variables artificiales en la base con valor
positivo (los valores se indican en la columna P0), se ha conseguido la optimización. El valor Z0 actual es la
solución óptima del problema, cumpliéndose para las variables que se encuentran en la base. Si se trata de un
problema de minimización, el valor óptimo obtenido se multiplicará por "-1".
Infinitas soluciones: cumplida la condición de parada, si alguna variable de decisión no básica tiene un valor 0
en la fila Z, significa que existe otra solución que aporta el mismo valor óptimo para la función objetivo. Es este
caso el problema admite infinitas soluciones, estando todas ellas comprendidas dentro del segmento (o porción
del plano, región del espacio, etc. dependiendo del número de variables del problema) definido por A·X1 + B·X2 =
Z0. Mediante una nueva iteración y haciendo que la variable de decisión que tiene el 0 en la fila Z entre en la base
se obtendrá otra solución diferente para el mismo valor óptimo.
Solución ilimitada (no acotada): si toda la columna de la variable que entra a la base tiene todos sus elementos
negativos o nulos se trata de problema no acotado, es decir, que tiene solución ilimitada. No hay valor óptimo
concreto para la función objetivo sino que a medida que se aumenta el valor de las variables también se
incrementa el valor Z sin violar ninguna restricción.
No existe solución: cuando ningún punto satisface todas las restricciones del problema se produce la
infactibilidad no existiendo ninguna solución posible para él. En este caso, una vez terminadas todas las
iteraciones del algoritmo, existen en la base variables artificiales cuyo valor es superior a cero.
41. Casos
Anómalos
-
41
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Identificandocasos
http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
Empate de variable entrante: cuando se produce un empate en la condición de decisión de
la variable entrante se puede optar por cualquiera de ellas sin que esto afecte a la solución
final. Por contra si influye en el número de iteraciones necesarias para obtener dicha
solución. Se aconseja optar a favor de las variables básicas ya que ellas son las que
formarán parte de la solución óptima.
Empate de variable saliente: se puede nuevamente optar por cualquiera de ellas. Sin
embargo, a fin de no alargar el problema y evitar la entrada en un bucle infinito (caso
degenerado), se discrimina a favor de las variables de decisión haciendo que permanezcan
en la base. En el caso de estar en la primera fase del método de las Dos Fases, se optará
por sacar de la base las variables artificiales.
Curiosidad en la Fase 1: al finalizar la fase 1, si el problema original tiene solución, todas
las variables artificiales en la fila indicadora deben tener el valor "1".
¿El elemento pivote puede ser nulo?: No, el elemento pivote siempre será estrictamente
positivo ya que únicamente se realizan los cocientes entre valores no negativos y mayores
que cero (ante un problema de maximización).