Recommended
More Related Content
More from TeerawutSavangboon
More from TeerawutSavangboon (12)
Integral.pdf
- 2. อิ น ทิ ก รั ล (integral) ห รื อภาษาไทยแบบทางการเ รี ยก ว่ า ป ริ พั น ธ์ ความหมายของ อิ น ทิ ก รั ล มี สองความหมาย 1. การหา ฟั ง ก์ ชั น ก่ อน ถู กอ นุ พั น ธ์ กระบวนการ ย้ อนก ลั บไปเ ป็ น ฟั ง ก์ ชั นเ ดิ ม 2. การ ทำ ใ ห้ เ ป็ น ก้ อน ทำ ใ ห้ เ ป็ น จำ นวนเ ต็ ม การรวบรวมใ ห้ สม บู ร ณ์ ขึ้ น เราจะเ ริ่ ม กั น ที่ ความหมายของ ข้ อ1 ก่ อนเพราะรายละเ อี ยดเยอะ 2
- 3. การ ทำ ความเ ข้ าใจเ บื้ อง ต้ น ของการ อิ น ทิ ก รั ล กำ หนดใ ห้ ฟั ง ก์ ชั น กำ ลั งสอง คื อ ถ้ า ฟั ง ก์ ชั น นี้ ถู กอ นุ พั น ธ์ จะไ ด้ เ ป็ น ดั ง นั้ น ถ้ าเราไ ม่ ทราบอะไรมา ก่ อนและไ ด้ รั บ ข้ อ มู ล ถ้ าเราทราบเ พี ยงแ ค่ เราจะ ต้ อง คิ ดหา วิ ธี การ ว่ าอ นุ พั น ธ์ อะไรไ ด้ ถ้ าเรา มี ทั กษะอ นุ พั น ธ์ มา บ้ างจะ คิ ดออก ว่ า นั่ นเอง f(x) = x2 dy dx = 2x dy dx = 2x 2x d dx x2 = 2x f(x) = x2 3
- 4. ถ้ า ฟั ง ก์ ชั น มี การเป ลี่ ยนแปลงไปเ ล็ ก น้ อย สาเห ตุ ที่ ผล อิ น ทิ ก รั ล ต้ อง ใน ช่ วง ท้ ายเสมอ +c กำ หนดใ ห้ ฟั ง ก์ ชั น กำ ลั งสอง คื อ จะเ ห็ น ว่ า สั ด ส่ วนเห มื อน กั บ แ ต่ ตำ แห น่ ง มี การเป ลี่ ยนแปลง มี การเ ลื่ อน ขึ้ น ด้ านบนไป 3 ช่ อง ดั ง นั้ นเ มื่ อหาอ นุ พั น ธ์ แ ล้ วจะไ ด้ เ ช่ นเ ดิ ม แ ต่ การคาดการ ณ์ จะ ผิ ดพลาดไปเพราะเราจะ คิ ด ว่ า ฟั ง ก์ ชั น ต้ นทาง คื อ ซึ่ ง มั น ผิ ด ดั ง นั้ นกระบวนการจะ ต้ องเ พิ่ มบวก ค่ าคง ที่ เสมอ ไ ด้ เ ป็ น f(x) = x2 + 3 f(x) = x2 dy dx = 2x f(x) = x2 f(x) = x2 + c f(x) = x2 + 3 4
- 6. สู ตร อิ น ทิ ก รั ล ชุ ดแรก สู ตร ที่ ง่ ายและใ ช้ บ่ อยมาก 1. ค่ าคง ที่ -ออกมานอกเค รื่ องหมาย อิ น ทิ ก รั ล (constant) 2.เ ชิ งเ ส้ น-กระจายเค รื่ องหมาย อิ น ทิ ก รั ลใ ห้ ทั้ ว ถึ ง (linearity) 3.การ หั ก ล้ าง-เ มื่ อ อิ น ทิ ก รั ลปะทะ กั บ ดี เ อ็ ก ซ์ ผลการ อิ น ทิ ก รั ลจะเห ลื อเ พี ยง ตั วแปรเ อ็ ก ซ์ ∫ af(x)dx = a ∫ f(x)dx ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ∫ dx = x + c 6
- 7. สู ตร อิ น ทิ ก รั ล ชุ ดแรก จำ เ ป็ น ที่ สุ ด ต้ องใ ช้ งานใ ห้ เ ป็ น 4. ตั วแปรยก กำ ลั ง ตั วเลข (ยกเ ว้ นยก กำ ลั ง ) 5. ตั วแปรยก กำ ลั งเ ท่ า กั บ เ ท่ า นั้ น บางค รั้ ง จั ด รู ปอ ยู่ ใน ลั กษณะ n = − 1 ∫ xn dx = xn+1 n + 1 + c n = − 1 ∫ x−1 dx = ln|x| + c ∫ 1 x dx = ln|x| + c ∫ dx x = ln|x| + c 7
- 8. ตั วอ ย่ างเ พื่ อความเ ข้ าใจ สำ ห รั บการใ ช้ สู ตร อิ น ทิ ก รั ล ชุ ดแรก ∫ 2dx = ∫ 2dx ∫ x2 dx = x2+1 2 + 1 + c ∫ 2x3 dx = 2 ∫ x3 dx = 2[x] + c = x3 3 + c = 2 [ x3+1 3 + 1 ] + c = 2x + c = 2x4 4 + c = x4 2 + c 8
- 9. ตั วอ ย่ างเ พื่ อความเ ข้ าใจ สำ ห รั บการใ ช้ สู ตร อิ น ทิ ก รั ล ชุ ดแรก ∫ (2 + x2 + 2x3 ) dx = ∫ 2dx + ∫ x2 dx + ∫ 2x3 dx = 2x + c1 + x3 3 + c2 + x4 2 + c3 = 2x + x3 3 + x4 2 + c1 + c2 + c3 = 2x + x3 3 + x4 2 + c 9
- 10. ตั วอ ย่ างเ พื่ อความเ ข้ าใจ สำ ห รั บการใ ช้ สู ตร อิ น ทิ ก รั ล ชุ ดแรก คิ ดรวบ รั ด คิ ด ทั้ งก ลุ่ มไ ด้ เลย ∫ (2 + x2 + 2x3 ) dx = 2x + x3 3 + x4 2 + c 10
- 11. ข้ อ สั งเกต พิ จารณา ดู ดี ๆ พบ ว่ า ถ้ า ตั วแปร มี มากก ว่ า การเ ป็ น ตั วแปร “ ” เ ช่ น เ ป็ นก ลุ่ มพจ น์ ฟั ง ก์ ชั นพ หุ นาม เ ช่ น • ถ้ ามาใน รู ปแบบของการหาผล อิ น ทิ ก รั ล เราจะ กำ หนดใ ห้ ตั วแปร ยู “ ” ขึ้ นมาเองโดย ที่ สิ่ ง ที่ เรา กำ หนดมาเอง นี้ ส่ งผลใ ห้ โจท ย์ เป ลี่ ยนเ ป็ น แ ต่ ! เรา ยั ง ทำ โจท ย์ นี้ ทั น ที ไ ม่ ไ ด้ เพราะ เ ที ยบ ตั วแปร ยั งคงเ ป็ นเ อ็ ก ซ์ “ ” เราจะ ต้ องเป ลี่ ยนเ ป็ น x (2x − 7)5 ∫ (2x − 7)5 dx u u = 2x − 7 ∫ u5 dx x du 11
- 12. การเป ลี่ ยน เ ป็ น dx du เป ลี่ ยนโดยใ ช้ การหาอ นุ พั น ธ์ เ ที ยบ ตั วแปร u x กำ หนด ตั วแปร ยู “ ” ขึ้ นมาเอง อ นุ พั น ธ์ ทั้ งสอง ข้ างของสมการ นี้ ดั ง นั้ น ย้ าย ข้ างใ ห้ อ ยู่ ใน รู ปแบบทาง ซ้ ายเ ป็ น ห รื อ u u = 2x − 7 d dx (u) = d dx (2x − 7) du dx = 2 dx = . . . dx = du 2 dx = d(2x − 7) 2 12
- 13. ดำ เ นิ นการหา อิ น ทิ ก รั ล ด้ วยการเป ลี่ ยน ตั วแปรเ ป็ น ตั วแปร ยู “ ” u ∫ (2x − 7)5 dx = ∫ (2x − 7)5 d(2x − 7) 2 = ∫ u5 du 2 = 1 2 ∫ u5 du = 1 2 [ u6 6 ] + c = (2x − 7)6 12 + c u = 2x − 7 du dx = 2 dx = du 2 dx = d(2x − 7) 2 13
- 14. ห ลั งจาก นี้ การ นำ เสนอ สู ตร อิ น ทิ ก รั ล จะไ ม่ ใ ช้ ตั วแปรเ อ็ ก ซ์ “ ” แ ต่ จะเป ลี่ ยนเ ป็ น ตั วแปร ยู “ ” x u 4. ตั วแปรยก กำ ลั ง ตั วเลข (ยกเ ว้ นยก กำ ลั ง ) 5. ตั วแปรยก กำ ลั งเ ท่ า กั บ เ ท่ า นั้ น n = − 1 ∫ un du = un+1 n + 1 + c n = − 1 ∫ u−1 du = ln|u| + c 14
- 15. ห ลั งจาก นี้ การ นำ เสนอ สู ตร อิ น ทิ ก รั ล จะไ ม่ ใ ช้ ตั วแปรเ อ็ ก ซ์ “ ” แ ต่ จะเป ลี่ ยนเ ป็ น ตั วแปร ยู “ ” x u 15
- 16. ฝึ ก ทำ โจท ย์ อิ น ทิ ก รั ล ระ ดั บเ บื้ อง ต้ น แปลงเ ป็ น ตั วแปร ยู “ ” แ ล้ วใ ช้ ทั กษะแ ก้ ปั ญหา u 16
- 19. สู ตร อิ น ทิ ก รั ล ต รี โกณ มิ ติ 10. อิ น ทิ ก รั ล ฟั ง ก์ ชั นแทนเจน ต์ tangent ห รื อ tan 19
- 20. ฝึ ก ทำ โจท ย์ อิ น ทิ ก รั ล ระ ดั บกลาง จะ ต้ องใ ช้ ทั กษะทางต รี โกณ มิ ติ เ ข้ า ช่ วยแ ก้ ปั ญหา จงหาผล อิ น ทิ ก รั ลของโจท ย์ ปั ญหาเห ล่ า นี้ (ใ ช้ คุ ณสม บั ติ ทางต รี โกณ มิ ติ แ ก้ ปั ญหา ร่ วม ด้ วย) 1. 2. 3. ∫ sin [ π 2 + x ] dx ∫ cos [ π 2 − x ] dx ∫ cos [ π 2 − 2x ] dx 20
- 21. ฝึ ก ทำ โจท ย์ อิ น ทิ ก รั ล ระ ดั บกลาง (เฉลย) จะ ต้ องใ ช้ ทั กษะทางต รี โกณ มิ ติ เ ข้ า ช่ วยแ ก้ ปั ญหา จงหาผล อิ น ทิ ก รั ลของโจท ย์ ปั ญหาเห ล่ า นี้ (ใ ช้ คุ ณสม บั ติ ทางต รี โกณ มิ ติ แ ก้ ปั ญหา ร่ วม ด้ วย) 1. ย่ อ รู ปไ ด้ เ ป็ น 2. ย่ อ รู ปไ ด้ เ ป็ น 3. ย่ อ รู ปไ ด้ เ ป็ น ∫ sin [ π 2 + x ] dx = − cos ( π 2 + x ) + c +sin x + c ∫ cos [ π 2 − x ] dx = − sin ( π 2 − x ) + c −cos x + c ∫ cos [ π 2 − 2x ] dx = − 1 2 sin ( π 2 − 2x ) + c − 1 2 cos 2x + c 21