Informe #1 de metodos

Métodos numéricos para ingenieros
2020-I Facultad de Ingeniería
Problemas ingenieriles resueltos por métodos numéricos de raíces, sistemas de ecuaciones
lineales y no lineales.
Engineering problems solved by numerical methods of roots, systems of linear and non-
linear equations.
Juan Pablo Cantero Yepes1, Johan Sánchez Solano2, Andrey David Zuluaga3, Cristian Castro Torres4
1 Ingeniería sanitaria, Escuela ambiental, Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia. Med-Colombia.
2 Ingeniería sanitaria, Escuela ambiental, Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia. Med-Colombia.
3 Ingeniería civil, Escuela ambiental, Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia. Medellín, Colombia.
4 Ingeniería civil, Escuela ambiental, Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia. Medellín, Colombia.
RESUMEN
Desde hace mucho tiempo los métodos numéricos han sido clave en la resolución de problemas físicos y reales
en las sociedades, lo que los hacen de conocimiento obligatorio para profesionales de la ingeniería.
A continuación se plantearán cinco problemas en la labor del ingeniero con el fin de darles solución empleando
algunos métodos numéricos en donde se tendrá en cuenta la exactitud y precisión de cada uno de ellos a la hora
de obtener los resultados y reconocer la variabilidad de los mismos. Para el desarrollo de cada uno de los
problemas se utilizarán herramientas importantes como software de programación (Excel, Matlab, Python),
además de procedimientos estrictamente manuales para la comprensión total de ellos.
Palabras Clave: Ingeniería, Métodos numéricos, Software de programación.
ABSTRACT
For a long time, numerical methods have been key in solving physical and real problems in societies, which makes
them mandatory for engineering professionals.
Next five problems in the work of the engineer will be raised in order to solve them using some numerical methods
where the accuracy and precision of each one of them will be considered when obtaining the results and
recognizing the variability of the results themselves. For the development of each of the problems, important tools
such as programming software (Excel, Matlab, Python) will be used, as well as strictly manual procedures for a
total understanding of them.
Key Words: Engineering, numerical methods, programming software
1

2
1. Introducción
Los métodos de raíces (abiertos y cerrados)
conocidos serán esenciales para este trabajo a la
hora de hallar longitudes, profundidades,
posiciones en el tiempo y el espacio, para esto
utilizaremos técnicas como bisección, falsa
posición, Newton Raphson y secante, que
permitirán obtener una mejor aproximación al
valor verdadero necesitado a partir de conocer un
intervalo inicial en el cual se encuentra
exactamente la incógnita que se necesita para dar
solución a un determinado problema. Por otro lado,
también se utilizarán métodos de solución de
sistemas de ecuaciones lineales y no lineales que
serán importantes cuando se tiene más de una
incógnita, por ejemplo, en un sistema de flujo por
varios canales donde intervienen diferentes
reactores, esto ayudará a determinar
conjuntamente la cantidad exacta de cada uno de
ellos.
Los problemas se resolverán a través de métodos
numéricos, donde se aplicarán conocimientos de
programación, calculo, conocimientos previos de
física, química y matemáticas y donde la parte
analítica será basada de manera lógica y
programada en aproximaciones que hará que se
tengan en cuenta errores de truncamientos,
redondeos y aproximaciones.
Nota: la solución de los ejercicios se encuentra en
los anexos, descargarlos para mejor visualización.
2. Problemas, resultados y análisis
2.1 Errores.
1. Dada la función f (x)= ln (x).
Use la expansión de la serie de Taylor de cero al
cuarto orden para estimar f (3) utilizando como
punto base x =1.
Calcule el error relativo porcentual 𝜀𝑡 para cada
aproximación.
Expansión de Taylor.
Aplicamos a la función la expansión polinómica
de Taylor representada en la siguiente ecuación
enésima.
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓′(𝑥)(ℎ) ∗ +𝑓′′ ℎ2
2!
+ 𝑓′′′ ℎ3
3!
+ 𝑓𝑖𝑣 ℎ4
4!
Derivamos la función dada hasta la cuarta deriva
da para remplazarlo en la anterior formula. Ver
tabla 1.
Evaluamos 𝑥𝑖 en las derivadas de cada orden de
la función original. Ver tabla 1.
El error de truncamiento para cada aproximación
se calcula con la siguiente formula:
𝑒𝑡=(𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙−𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜)∗100%
El análisis de los resultados anteriores de aproxi
mar la función ln(𝑥) en el punto ln(3) se nota
que existe un error de truncamiento que se da
porque la función es infinita. Además, el error
de truncamiento no es estable y aumenta, a medi

3
da que el polinomio se expande se observa una
divergencia al alejarse cada vez más del valor real.
Ver tabla 1
.
2.2 Raíces.
1. Una catenaria es una curva ideal que representa
físicamente la curva generada por una cuerda o cable sin
rigidez flexional, suspendida de sus dos extremos y
sometida a un campo gravitatorio uniforme. Este
fenómeno es de gran importancia en la ingeniería y tiene
una amplia aplicación en el diseño de líneas de teleférico,
puentes colgantes, cables de alimentación de energía
eléctrica a trenes (ej. Metro de Medellín), entre otros, de
los cuales es importante determinar los
esfuerzos a los cuales están sometidos, por
acción de su propio peso y demás fuerzas que se puedan
aplicar sobre la misma. Para iniciar el estudio de este
fenómeno de la ingeniería, se le presenta un cable
suspendido. Ver imagen 1.
Su longitud � y el pandeo h están relacionadas con la
extensión L por:
Ecuación 1. 𝑠 =
2
𝛾
𝑠𝑒𝑛ℎ
𝛾𝐿
2
Ecuación 2. ℎ =
1
𝐿
(𝑐𝑜𝑠ℎ
𝛾𝐿
2
− 1)
Donde 𝛾 =
𝑤0
𝑇0
, donde 𝑤0 = peso del cable por unidad
de longitud y 𝑇0 = a la tensión del cable en O.
Determine la longitud del cable S para un L=120 y un
h =10
Por métodos numéricos:
Bisección
Falsa posición
Newton Raphson
Analice respuestas en términos convergencia/divergen-
cia, eficiencia de cada método, error relativo, criterio
de convergencia.
¿Cuál es la principal diferencia entre los métodos?
Valor real Ln(3) 1.098
Valor a
aproximar
𝑿𝒊+𝟏 3
Valor base 𝑿𝒊 1
h 𝑿𝒊+𝟏 − 𝑿𝒊 2
Orden 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙)
Derivada
(𝑿𝒊)
𝒇(𝑿)+ 𝟏
Taylor
0 Ln(x) 0 0 0 100%
1 𝑿−𝟏
1 2 2 82.05%
2 −𝒙−𝟐
-1 -2 0 100%
3 𝟐𝒙−𝟑
2 2,666666 2,666666 142.2%
4 −𝟔𝒙−𝟒
-6 -4 -1,3333333 221.3%
Tabla 1
Tabla 1
Imagen 1

4
Primero debemos relacionar las dos ecuaciones y rem-
plazar los valores de cada parámetro que satisface la longitud
requerida.
Ecuación 3. 𝑠(𝜆) =
2
𝜆
sinh(60𝜆)
Ecuación 4. 0 =
1
𝜆
(cosh(60𝜆) − 1) − 10
Ya se tiene una relación de todos los parámetros en una
sola ecuación, que solamente se encuentra en función de
una sola incógnita (𝜆) que es quien determinara la
longitud de la cuerda.
Lo siguiente que se debe tener presente para emplear los
diferentes métodos a utilizar, es el modelaje grafico de
la ecuación 4 para estimar el intervalo cerrado donde se
encuentra la raíz o valor verdadero que debe tener la
incógnita para que cumpla las necesidades requeridas.
Ver imagen 2
Imagen 2
Se puede evidenciar que el intervalo de estimación se
encuentra la raíz o valor verdadero es [0.0001,10].
Aplicación del método numérico de bisección.
Note que fue necesario hacer 26 iteraciones, luego de
predecir el intervalo de aproximación en la utiliza-
cion del método cerrado de bisección. El valor verda-
dero de la raíz es 0.0055 con un error relativo del
0.00011%.
Aplicación del método numérico de falsa posición o
de regla falsa.
Este método resulta ser mas ligero que el anterior,
Imagen 3

5
puesto que se reduce el número de iteraciones se reduce
significativamente.
Note que, a diferencia del método anterior, este solo
necesitó de seis iteraciones para lograr llegar a la
solución, es decir, a la consecución de la raíz con el
mismo error de aproximación. Ver imagen 4.
Imagen 4
Aplicación del método de Newton-Raphson.
El método se analizó desde dos valores iniciales, así
mismo su desarrollo se hizo de manera manual y
programada. Resultó no ser eficiente para la solución de
uno de sus valores puesto que las aproximaciones
divergieron hacia infinito, lo contrario sucedió con un
valor más cercano a la raíz. Ver imagen 5
Imagen 5
Finalmente, para dar solución a este problema después
de hallado la incógnita, es incluirse en la ecuación 2 para
obtener el valor S de longitud.
𝑆(0.0055) =
2
0.0055
sinh(60(0.0055))
𝑆(0.0055) = 𝟏𝟐𝟐.𝟏𝟗𝟒𝟕 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
De acuerdo a este resultado, se puede decir que teni-
endo una extensión de 120 metros con un pandeo
de 10 metros, el cable debe tener una longitud de
122.195 metros.
Los resultados sugieren que el método más eficiente
para calcular las raíces de la ecuación (4) es el
método de la regla falsa, debido a que usa menos
iteraciones que el método de bisección para calcular
la raíz. El método de Newton Raphson puede ser
eficiente mucho mas que los anteriores, si se le da
un buen valor semilla, sino puede caer en la diver-
gencia.
En cuanto al error relativo, los tres métodos tienden
a tener el mismo margen de error pese a la diferen-
cia de iteraciones.
2. La siguiente ecuación es para calcular el nivel de
oxígeno 𝑐 (𝑚𝑔/𝐿) en un río aguas debajo de la
descarga de un drenaje:
𝑐 = 10 – 20(𝑒–0.15𝑥 – 𝑒–0.5𝑥) → 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.
donde x es la distancia aguas abajo en kilómetros.

6
Determine la distancia aguas debajo de la corriente, a la
cual el nivel de oxígeno cae hasta una lectura de 5 mg/L.
(Recomendación: está dentro de 2 km de la descarga.).
Encuentre la respuesta con un error de 1%. Obsérvese
que los niveles de oxígeno por debajo de 5 mg/L por lo
general son dañinos para ciertas especies de pesca
deportiva, como la trucha y el salmón.
Calcule la distancia aguas abajo a la cual el oxígeno se
encuentra al mínimo.
¿Cuál es la concentración en dicha ubicación?
Lo primero que se debe hacer, es tener en cuenta los
parámetros que se conocen en el problema, y hacer un
procedimiento matemático, que nos permita conocer la
incógnita que resulta.
Tomamos la ecuación que está en función de la
concentración del oxigeno y la igualamos a 5 que es la
cantidad de tal compuesto.
� = 10 – 20(�–0.15� – �–0.5�)
5 = 10 – 20(�–0.15� – �–0.5�)
Luego solo quedaría la incógnita (x) distancia, la cual
ya sería fácil hallar igualando la ecuación a cero.
0 = (10 – 20(�–0.15� – �–0.5�))-5 → 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.
Se empleará el modelo grafico para determinar el in-
tervalo de estimación donde la incógnita tiene un va-
lor (raíz) que hace cero a la ecuación. Ver imagen 6
Imagen 6
Note que el intervalo de estimación se encuentra
en [0,2] y será clave a la hora de obtener el valor ver
dero que se necesita para que la ecuación cumpla
con requerido.
Este método irá evaluando por cada iteración un par
de intervalos divididos a su mitad que se van
acercando a la raíz o al valor verdadero.
verdadero.
Se hizo uso del programador Python para calcular el
valor de la raíz. Note que fue necesario de siete
iteraciones para llegar al resultado. Ver imagen 7

7
Imagen 7
La respuesta es: 0.984 Km para un número de siete
iteraciones con un error del 1 %. Ver imagen 8
Imagen 8
Para hallar la distancia cuando el nivel de concentración
del oxígeno es mínimo se debe derivar a un grado
inferior la ecuación 2 con respecto de la variable x.
0 = (10 – 20(�–0.15� – �–0.5�))-5
0 = −20(−0.15𝑒−0.15𝑥
+ 0.5𝑒−0.5𝑥) → 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.
Así, esta nueva ecuación (ecuación 3.) se convierte en una
recta tangente a la ecuación 2, interpretándose, así como el
punto mas bajo que toca en un solo punto a la función
derivada.
Una ves esto, aplicamos un método para hallar la
raíz o valor que determine el nivel mínimo del
oxigeno.
Se hizo uso del programador Python para
determinar el valor verdadero que dará la solución
al problema. Ver imagen 9
Note que después de nueve iteraciones se pudo ob
tener el resultado de la raíz.
Entonces La distancia aguas abajo a la cual el
oxígeno se encuentra al mínimo es 3.470 Km
Para saber la concentración en dicha ubicación, se
reemplaza la distancia hallada en el paso anterior
en la ecuación 2.
−3.3567 𝑚𝑔/𝐿 = (10 – 20(𝑒–0.15(3.470)
– 𝑒–0.5(3.470)
))-5
La concentración en esa posición cuando el oxi-
geno es mino es de -3.3567 𝑚𝑔/𝐿 .
Imagen 9

8
2.3 Sistemas de ecuaciones lineales.
Se muestran tres reactores conectados por tubos. la
tasa de transferencia de productos químicos a través de
cada tubo es igual a la tasa de flujo (Q, en unidades de
metros cúbicos por segundo) multiplicada por la
concentración del reactor desde el que se origina el
flujo (c, en unidades de miligramos por metro cúbico).
Si el sistema se encuentra en estado estacionario
(estable), la transferencia de entrada a cada reactor
balanceará la de salida. Ver imagen 9
Imagen 9.
Desarrolle las ecuaciones de balance de masas para cada
reactor.
Use el método de eliminación Gaussiana.
Use el método de Cholesky para resolver el sistema de
ecuaciones lineales y encontrar las concentraciones de
cada reactor.
Use el método de Gauss- Seidel.
Compare los resultados de cada método y haga un
análisis de él.
1. Balance para cada reactor
El reactor 1 tiene tres flujos de entrada y dos de
salida. Según el texto el balance de masa es
equilibrado, es decir, lo que entra es igual a lo que
sale por estar en un estado estacionario.
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 = 400
𝑚𝑔
𝑠
+ 𝑄21𝑐2 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 = 400
𝑚𝑔
𝑠
+ 20𝑐2
𝑆𝑎𝑙𝑒 = 𝑄12𝑐1 + 𝑄13𝑐1 𝑆𝑎𝑙𝑒 = 80𝑐1 + 40𝑐1
400
𝑚𝑔
𝑠
+ 20𝑐2 = 80𝑐1 + 40𝑐1
−120𝑐1 + 20𝑐2 = −400
𝑚𝑔
𝑠
← Ecuación 1
El reactor 2 tiene tres flujos, uno de entrada y dos de
salida.
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑄12𝑐1 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 = 80𝑐1
𝑆𝑎𝑙𝑒 = 𝑄21𝑐2 + 𝑄23𝑐2 𝑆𝑎𝑙𝑒 = 20𝑐2 + 60𝑐2
80𝑐1 − 80𝑐2 = 0 ← Ecuación 2.

9
El reactor 3 tiene cuatro flujos, tres de entrada y uno
de salida.
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑄13
𝑐1 + 𝑄23
𝑐2 + 200
𝑚𝑔
𝑠
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 = 40𝑐1 + 60𝑐2 + 200
𝑚𝑔
𝑠
𝑆𝑎𝑙𝑒 = 𝑄33𝑐3 𝑆𝑎𝑙𝑒 = 120𝑐3
40𝑐1 + 60𝑐2 + 200
𝑚𝑔
𝑠
= 120𝑐3
40𝑐1 + 60𝑐2 − 120𝑐3 = −200
𝑚𝑔
𝑠
← Ecuacion 3
2. Resolvamos por eliminación Gaussiana
Armamos la matriz con el sistema de ecuaciones 3x3
Matriz de coeficientes Incógnitas Terms Ind.
j1 j2 j3
i1 -120 20 0 C1 -400
i2 80 -80 0 C2 0
i3 40 60 -120 C3 -200
De acuerdo a los resultados por el método presente,
se llegó a que la concentración del reactor 1 son 4
𝑚𝑔
𝑚3
para el reactor 2 son 4
𝑚𝑔
𝑚3 , y para el reactor 3 la
concentración es de 5
𝑚𝑔
𝑚3
3. Resolvamos por el método de Cholesky.
De acuerdo a los criterios establecidos para poder
emplear este método, claramente la matriz no cumple
con ellos, ya que no es una matriz simétrica.
Matriz aumentada
j1 j2 j3 j4
i1 -120 20 0 -400
i2 80 -80 0 0
i3 40 60 -120 -200
1. Eliminación hacia adelante
(Triangularizacion)
j1 j2 j3 j4
i1 -120 20 0 -400
Pivote 1 i2 0 -66,6666667 0 -266,666667
-0,666667 i3 0 66,6666667 -120 -333,333333
Pivote 2
-0,333333
j1 j2 j3 j4
Pivote 3 i1 -120 20 0 -400
-1 i2 0 -66,6666667 0 -266,666667
i3 0 0 -120 -600
2. Sustitución hacia atrás
C3 5
C2 4
C1 4
j1 j2 j3
i1 -120 20 0
i2 80 -80 0
i3 40 60 -120

1
0
4. Resolvamos por método de Gauss- Seidel
Claramente la matriz principal cumple con el criterio
para poder emplear este método, ya que es una matriz
diagonalmente dominante.
En este método se partirá desde 𝐴𝑋 = 𝑏 → 𝐴𝑋 − 𝑏 = 0
−120𝑐1 + 20𝑐2 = −400
80𝑐1 − 80𝑐2 = 0
40c1+ 60c2 – 120c3= -200
Se despeja del sistema de ecuaciones para cada
variable empleando para cada renglón de la matriz la
siguiente formula:
𝑋𝑖 =
𝑏𝑖 − ∑ 𝑗 = 1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗≠𝑖
𝑎𝑖𝑗
𝑐1 =
−400−20𝑐2
−120
𝑐2 =
−80𝑐1
−80
𝑐3 =
−200 − 40𝑐1 − 60𝑐2
−120
Para dar lugar a una solución, se necita de una serie
de iteraciones y de un valor inicial (matriz de solu-
cion inicial). Ver imagen 10
Imagen 10
Se puede observar que fue necesario de un valor inicial
(vector nulo) y de ocho iteraciones para llegar al
mismo resultado del método anterior.
Por último, se calculó que el error de tolerancia fuese
mayor que el error aproximado de la última iteración
posible.
5. Paralelo de los métodos utilizados y su respectivo
análisis.
0 0,001
0
0
C1 C2 C3
0 0 0
3,33333 3,3333 4,44444 100 100 100
3,88889 3,8889 4,90741 14,286 14,28571 9,433962
3,98148 3,9815 4,98457 2,3256 2,325581 1,547988
3,99691 3,9969 4,99743 0,3861 0,3861 0,257334
3,99949 3,9995 4,99957 0,0643 0,064309 0,042871
3,99991 3,9999 4,99993 0,0107 0,010717 0,007145
3,99999 4 4,99999 0,0018 0,001786 0,001191
4 4 5 0,0003 0,000298 0,000198
MATRIZ DE SOLUCION INCIAL (VALOR INICIAL)
𝑋
𝑋
𝑋
𝑒𝑎1 𝑒𝑎2 𝑒𝑎3
𝑒𝑡
OK
OK
OK
𝑒𝑡 𝑒𝑎1
𝑒𝑡 𝑒𝑎2
𝑒𝑡 𝑒𝑎3
j1 j2 j3
i1 -120 20 0 C1 -400
i2 80 -80 0 C2 0
i3 40 60 -120 C3 -200

1
1
Al término de la evaluación del problema desarrollado
los resultados fueron los mismos por cada uno de los
métodos utilizados (eliminación Gaussiana y Gauss
Seidel). Se pudo observar que para el método de Gauss-
Seidel se necesitó de un mayor procedimiento al utilizar
un número determinado de iteraciones para conseguir
que el error aproximado no pasara el error de tolerancia.
El método de eliminación Gaussiana por el contrario fue
más efectivo, aunque tuvo operaciones de mucho cui-
dado secuencial.
2.4 Sistema de ecuaciones no lineales
La presión requerida para sumergir un objeto pesado y
grande en un terreno suave y homogéneo, que se
encuentra sobre un terreno de base dura puede predecir
se a partir de la presión requerida para sumergir objetos
más pequeños en el mismo suelo. En particular la
presión P requerida para sumergir una lámina circular de
radio R, a una distancia D, en el terreno suave, donde el
terreno de base dura se encuentra a una distancia D>d
debajo de la superficie, puede aproximarse media La
ecuación:
𝑃 = 𝑘1𝑒(𝑘2𝑟)
+ 𝑘3𝑟
Donde 𝐾1,𝐾2,𝐾3 son constantes que con 𝐾2 > 0,
dependen de d yla consistencia del terreno, pero no
del radio de la lámina.
Encuentre los valores de 𝐾1,𝐾2,𝐾3,sise supone que
una lámina de radio de 1 pulgada requiere una
presión de 10 lb/ pulg2 para sumergirse 1 pie en el
terreno lodoso; una lamina de radio 2 pulgadas,
requiere una presión de 12 lb/pulg2 para
sumergirse 1 pie; y una lámina de radio 3 pulgadas
requiere una presión de 15 lb/pulg2 para
sumergirse la misma profundidad. Suponga que
el lodo tiene una profundidad mayor a un pie.
Al sustituir los valores de r y P en la ecuación 1
tenemos:
10 = 𝐾1𝑒𝐾2 + 𝐾3 (2)
12 = 𝐾1𝑒2𝐾2 + 2𝐾3 (3)
15 = 𝐾1𝑒3𝐾2 + 3𝐾3 (4)
De la ecuación (2) despejamos 𝐾3 y las sustituimos
en las ecuaciones (3) y (4) y tenemos:
12 = 𝐾1𝑒𝐾2 + 2(10 − 𝐾1𝑒𝐾2 ) (5)
15 = 𝐾1𝑒2𝐾2 + 3(10− 𝐾1𝑒𝐾2 ) (6)
Estas ecuaciones se pueden rescribir como:
12 = 𝐾1𝑒2𝐾2 + 2(10 − 𝐾1𝑒𝐾2 )
→ −12 + 𝐾1𝑒2𝐾2 + 20 − 2𝐾1𝑒𝐾2 = 0
15 = 𝐾1𝑒3𝐾2 + 3(10 − 𝐾1𝑒𝐾2 ) → −15 +
𝐾1𝑒3𝐾2 + 30 − 3𝐾1𝑒𝐾2 = 0

1
2
𝑓1(𝐾1,𝐾2) = 8 + 𝐾1(𝑒2𝐾2 − 2𝑒𝐾2 )
𝑓2(𝐾1,𝐾2) = 15 + 𝐾1(𝑒3𝐾2 − 3𝑒𝐾2 )
Este sistema se puede representar como un sistema de
ecuaciones no lineales.
Luego se calculará el vector de funciones y el Jacobiano:
= (
𝑓1(𝐾1,𝐾2))
𝑓2(𝐾1,𝐾2))
) ; 𝐽 =
(
𝜕𝑓1
𝜕𝐾1
𝜕𝑓1
𝜕𝐾2
𝜕𝑓2
𝜕𝐾1
𝜕𝑓2
𝜕𝐾1)
𝐹 = (
8 + 𝐾1(𝑒2𝐾2 − 2𝑒𝐾2 )
15 + 𝐾1(𝑒3𝐾2 − 3𝑒𝐾2 )
)
𝐽 = (
𝑒2𝐾2 − 2𝑒𝐾2 , 𝐾1 ∗ (2𝑒2𝐾2 − 2𝑒𝐾2 )
𝑒2𝐾2 − 3𝑒𝐾2 , 𝐾1 ∗ (3𝑒2𝐾2 − 3𝑒𝐾2 )
)
F(k1,k2)+
𝜕𝑓1
𝜕𝐾1
𝑑𝑘1 +
𝜕𝑓1
𝜕𝐾2
𝑑𝑘2=0
F(k1,k2)+
𝜕𝑓2
𝜕𝐾1
𝑑𝑘1 +
𝜕𝑓2
𝜕𝐾2
𝑑𝑘2=0
F(k)+ J dk=0 dk= (-J) *-1 F
Aplicación del método Newton Raphson.
Se apicarará Newton Raphson con una tolerancia de 10-
6 y con unos valores semillas de [8,1].
Imagen 11
𝑲𝟏 = 𝟖.𝟕𝟕𝟏𝟑 𝑲𝟐 = 𝟎.𝟐𝟓𝟗𝟕
𝑲𝟑= -1.3724
Use los cálculos de los valores de 𝐾1, 𝐾2, 𝐾3 para
predecir cuál es la lámina circular de radio mínimo
que se necesitaría para sostener un peso de 500 lb
en este terreno, con hundimiento de menos de 1 pie.
Se necesita calcular el radio de un disco para sostener
500 lb entonces, la presión es 𝑃 =
𝐹
𝐴
=
500𝑙𝑏
𝜋𝑟2 :
Igualando la presión a la ecuación 1 tenemos:
𝑃 =
500𝑙𝑏
𝜋𝑟2 = 𝐾1𝑒(𝑘2𝑟)
+ 𝐾3𝑟
𝑓(𝑟) = 𝐾1𝑒(𝑘2𝑟)
+ 𝐾3𝑟 −
500𝑙𝑏
𝜋𝑟2 = 0
𝑓(𝑟) = 8.7713𝑒(0.2597𝑟)
− 1.3724𝑟 −
500𝑙𝑏
𝜋𝑟2
Se usará el modelo grafico que ayude a estimar
el intervalo donde se encuentre la raíz.
Ver imagen 12.
Luego remplazamos los valores de 𝐾1, 𝐾2 en la ecuación
1 para calcular 𝐾3
𝐾3 = 10 − 𝐾1𝑒𝐾2 = 10 − (8.7713)𝑒0.2597
= −1.3722

1
3
Imagen 12 Imagen #13
En la gráfica anterior se puede evidenciar que
el intervalo en donde posiblemente esté la raíz es
[0,10].
Aplicación del método de bisección.
Se hizo uso del programador Python para hallar la
raíz.
Note que hasta la iteración 23 se pudo obtener el
valor que se necesitaba para la situación dada.
La respuesta es: 3.1851 In con una tolerancia de
10-6.
Imagen 14

Laboratorio Integrado de Física 2020-I
Facultad de Ingeniería
14
3. Conclusiones
Con los resultados expuestos en el presente
trabajo, observamos la gran utilidad, eficiencia e
importancia que tienen los distintos métodos
numéricos para los ingenieros y para cualquier
profesional que se enfrente a situaciones prácticas
reales donde se puedan aplicar.
Ayuda al profesional a entender la lógica que
tienen por debajo estos, ayudando a despertar el
interés de conocer a profundidad de ellos para
querer innovar e implementar nuevas ideas que
ayuden fácilmente, de una manera lógica,
secuencia y más rápida la consecución de
resultados para problemáticas reales muy
complejas.
4. Anexos.
La programación de cada uno de los ejercicios los
puede observar mediante software como Python,
Matlab y Excel adheridos con este documento.

Laboratorio Integrado de Física 2020-I
Facultad de Ingeniería
15

Informe #1 de metodos

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Informe #1 de metodos

Similar to Informe #1 de metodos (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Informe #1 de metodos