Downloaded 43 times
![Original sv [compatibility mode]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/originalsv-compatibilitymode-111120222104-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Math m3 [compatibility mode]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/mathm3compatibilitymode-111120221840-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Graph
- 1. ทฤษฎีกราฟเบองต้น ื้ ครูบัญญัติ ศรีประเสริฐ กลุ่มสาระคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศกษาภาคใต้ ึ
- 2. สารบัญ • ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้ • ลักษณะของเส้นเชื่อม จุดยอดประชิด • ดีกรี ของจุดยอด ทฤษฎีบทที่สาคัญ ํ • กราฟออยเลอร์ กราฟเช่ือมโยง วงจรออยเลอร์ • การประยกตของกราฟ ุ ์ วิถีส้ นที่สุด,วฏจกร,ตนไม ้ ั ั ั ้ • กราฟยอย ่ ้ ้ ่ ่ั ตนไมแผทว • การแปลงปัญหาเป็นกราฟถ่วงน้ าหนก ํ ั
- 3. ปัญหา ตัวแบบเชิงคณตศาสตร์ ( mathematicalmodel ) ิ วเิ คราะห์ แก้ปัญหา
- 4. ตัวแบบเชิงคณตศาสตร์ ( mathematicalmodel ) ิ สมการ ความสัม เซต ตรรกศา ทฤษฎี เชิงเส้น พันธ์ และ สตร์ กราฟ แผนภาพ กราฟ ฟังก์ ช้ัน เวนน์ออย ตารางค่า เส้นตรง เลอร์ ความ จริง
- 5.
- 6. ส่วนประกอบของกราฟ (G) • เซตของจุดยอด (vertices) แทนด้วย V(G) • เซตของ เส้นเช่อม (edges) แทนด้วย E(G) ื G = (V, E) V(G) = {A, B, C, D} E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5}
- 7. ข้ อสังเกต • V(G)= ∅ ได้ หรื อไม่ ไม่ ได้ เพราะถ้ าไม่ มีจุดยอดเลย ก็ไม่ มีอะไร ให้พจารณาเป็นกราฟได้เลย ิ • E(G) = ∅ ได้ หรื อไม่ ได้
- 8. ข้อสังเกต • เส้ นเชื่อมเป็ นส่ วนของเส้ นตรง,เส้ นโค้ ง หรื อ เส้ นคดก็ได้
- 9. ข้อสังเกต • เส้ นเชื่อมสองเส้นอาจตัดกันได้ โดยจุดตัดไม่ ถือเป็ นจุดยอด
- 10. แบบฝึ กทักษะ ํ จงหา V(G) และ E(G) เมื่อกาหนด G ดงน้ ี ั 1. a b 2. a b d e1 c c f e2 e4 e3
- 11. ลักษณะของเส้นเช่ ือม ่ • เส้ นเชือมขนาน (parallel edges) • วงวน (loop)
- 12. การจาแนกประเภทของกราฟ ํ Non-directed graph Directed graph กราฟไม่ระบุทศทาง ิ กราฟระบุทศทาง ิ
- 13. กราฟไม่ ระบุทศทาง ิ G H R สังเกต กราฟ H มเส้นเช่ ือมขนาน ี กราฟ R มีวงวน กราฟ G ไม่มเส้นเช่ อมขนาน ไม่มวงวน ี ื ี
- 14. นิยาม G H R กราฟท่ ไม่มเส้นเช่ ือมขนาน และไม่มีวงวน ี ี กราฟเชงเดยว (simple graph) ิ ี กราฟท่ ีมเส้นเช่ อมขนาน หรือมีวงวน ี ื กราฟหลายเชง (multi graph) ิ
- 15.
- 16. พิจารณากราฟ G และH G H สังเกต
- 17. G สรุ ปว่ า G และ H เป็ น H กราฟเดียวกัน
- 18. กราฟเดียวกัน (identical graphs) กราฟG และกราฟ H เป็น กราฟเดยวกัน ี ก็ต่อเม่ ือ V(G) = V(H) และ E(G) = E(H)
- 19. a f b d c จุดยอด a และจุดยอด b เป็นจุดยอดประชิด จุดยอด a และจุดยอด d เป็นจุดยอดประชิด จุดยอด c และจุดยอด f เป็นจุดยอดประชิด
- 20. v นิยาม u จุดยอด u และจุดยอด v เป็นจุดยอดประชิด ก็ต่ อเมื่อ มเส้นเช่ อมระหว่างจุดทงสอง ี ื ั้
- 21. a f b d c ab และ ad เป็นเส้นเช่ อมท่ ีเกดกับจุดยอด a ื ิ ba และ bc เป็นเส้นเช่ อมท่ ีเกดกับจุดยอด b ื ิ cb,cf และ cd เป็นเส้นเช่ ือมท่เกิดกับจุดยอด ี c fc เป็นเส้นเช่ อมท่ เกดกับจุดยอด f ื ี ิ
- 22. v นิยาม e เส้นเช่ ือม e เกิดกับจุดยอด v ถ้า จุดยอด v เป็นจุดปลายจุดหน่ ึงของเส้นเช่ อม e ื
- 23. พจารณากราฟต่อไปนี ้ ิ จุดยอด จานวนครังทงหมดท่ ี ํ ้ ั้ เส้ นเชื่อมเกิดกับจุดยอด a 2 b 4 c 4 d 2 หมายเหตุ: วงวนมีจานวนครั งที่เส้ นเชื่อมเกิดกับจุดเป็ น 2 ํ ้
- 24. นิยาม • ดก รี(degree) ของจุดยอด v ในกราฟ คือ ี จานวนครังทงหมดท่ เส้นเช่ อมเกดกับจุดยอด v ํ ้ ั้ ี ื ิ • ใช้สัญลักษณ์ deg v แทน ดีกรีของ v
- 25. พจารณากราฟต่อไปนี ้ ิ deg A = 2 deg B = 3 deg C = 2 deg D = 3 deg E = 0
- 26. deg A =2 deg B = 3 deg C = 2 deg D = 3 deg E = 0 ผลรวมของดกรีของจุดยอดทุกจุด = 2+3+2+3+0 ี ∑ deg v = 10 v∈V (G )
- 27.
- 28. หาจํานวนเส้ นเชื่อม และผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด ในกราฟแต่ละกราฟต่อไปนี ้ จานวนเส้นเช่ อม = 4 ํ ื ∑G ) deg v = 8 v∈V ( จานวนเส้นเช่ อม = 5 ํ ื ∑ v∈V ( G ) deg v = 10
- 29. จานวนเส้นเช่ อม =6 ํ ื ∑ v∈V ( G ) deg v = 12 พจารณากราฟอ่ ืน ๆ จากเอกสาร และหาจานวน ิ ํ เส้นเช่ ือมผลรวม และผลรวมของดกรีของจุดยอด ี ทุกจุดในกราฟแต่ ละกราฟ ท่านได้ข้อค้นพบอะไรบ้าง
- 30. ทฤษฎีบทที่ 1 ผลรวมของดกรีของจุดยอดทกจดในกราฟ ี ุ ุ เท่ากับสองเท่าของจานวนเส้นเช่ อมในกราฟ ํ ื หรือ จานวนเส้นเช่ ือมในกราฟ เป็นคร่ ึงหน่ ึงของ ํ ผลรวมของดกรีของจุดยอดทกจดในกราฟ ี ุ ุ
- 31. ให้ G เป็นกราฟท่มจานวนเส้นเช่ อมเป็น m ี ี ํ ื จะได้ ∑ v∈V ( G ) deg v = 2m ∑ v∈V ( G ) deg v เป็ นจํานวนค่ ูเสมอ
- 32. ตวอย่าง 1 มเส้นเช่อมก่ ีเส้นในกราฟท่ มจุดยอด ั ี ื ี ี 10 จุด แต่ ละจุดยอดมีดีกรีเป็ น 6 แนวคิด ∑ v∈V ( G ) deg v = 2m 6 x 10 = 2m 60 = 2m m = 30
- 33. ตวอย่าง 2 จงหาจานวนจุดยอดของกราฟท่มี ั ํ ี เส้นเช่ ือม 15 เส้น และมจุดยอด 3 จุด ที่มีดีกรี 4 ี ส่วนจุดยอดท่ เหลือมดกรี 3 ี ี ี แนวคิด ให้ n เป็นจานวนจุดยอดท่ มดกรี 3 ํ ี ี ี (3x4)+ 3n = 2x15 3n = 30 - 12 n = 6 ดังนัน กราฟนีมีจานวนจุดยอด 3+6 = 9 จุด ้ ้ ํ
- 34. ตวอย่าง 3 จงพจารณาว่าเป็นไปได้หรือไม่ว่าจะมี ั ิ กราฟที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอดคือ 1, 1, 2 และ 3 แนวคิด 1+1+2+3 = 2m 7 = 2m ขดแย้งกับทฤษฎี ั ดังนัน เป็ นไปไม่ ได้ ท่ จะมีกราฟดังกล่ าว ้ ี
- 35. นิยาม จุดยอดท่ มดกรีเป็นจานวนค่ ูเรียกว่า จุดยอดคู่ ี ี ี ํ จุดยอดท่ มดกรีเป็นจานวนค่ ี เรียกว่า จุดยอดคี่ ี ี ี ํ จุดยอดคู่ : A และ D จุดยอดคี่ : B และ C
- 36. ทฤษฎีบทที่ 2 ทกกราฟจะมจุดยอดค่ ีเป็นจานวนคู่ ุ ี ํ หยุดคดสักสองสามนาทว่าเพราะอะไร ิ ี
- 37. ตวอย่าง 1 ในห้องประชุมแห่งหน่ึงมีผ้ ูเข้าร่วม ั ประชุมทงหมด 23 คน เป็ นไปได้ หรือไม่ ว่า ั้ ผ้ ูเข้าร่วมประชุมแต่ ละคนจบมอทกทายผ้ ูเข้าร่วม ั ื ั ประชุมคนอ่ ืนเพยง 7 คนเท่านัน ี ้ แนวคิด ให้จุดยอดแทนผ้ ูเข้าร่วมประชุม และ เส้นเช่ ือมแทนการจบมอทกทาย ั ื ั จะได้ กราฟมีจุดยอด 23 จุด แต่ ละจุดมีดีกรี 7 น่ ันคือ กราฟมจุดยอดค่ ีเป็นจานวน 23 จุด ี ํ 23 เป็นจานวนค่ ี ขัดแย้งกับทฤษฎบทท่ ี 2 ํ ี
- 38. เราสามารถเดนจากจุด C ไปยังจุดD ได้หลายทาง ิ เช่ น C→B→D เขยนเป็นลาดบได้ว่า C, e7,B, e6,D ี ํ ั
- 39. หรือ C→A→D เขยนเป็นลาดบได้ว่า ี ํ ั C, e1, A, e3,D หรืออ่ ืน ๆ
- 40. หรือ C→B→A→D เขยนเป็นลาดบได้ว่า ี ํ ั C, e7,B, e5, A, e3,D
- 41. นิยาม เรียกลาดบ (ท่ ประกอบด้วยจุดสลับกบเส้น)ดัง เช่ น ํ ั ี ั C, e7,B, e6,D C, e1, A, e3,D C, e7,B, e5, A, e3,D ว่า แนวเดน C–D ิ
- 42. นิยาม กราฟ G เรียกว่ากราฟเช่ อมโยง (connected graph) ื ก็ต่อเม่ ือสาหรับจุดยอด u และ v ท่ เป็นจุดยอดต่างกัน ํ ี ในกราฟ G จะมแนวเดน u-v ี ิ หรือพูดง่ ายๆได้ ว่า ทกๆจุดยอดมแนวเดนถงกัน ุ ี ิ ึ
- 43. H ไม่เป็นกราฟเช่ ือโยง G H G เป็นกราฟเช่ ือมโยง
- 44. เป็นไปได้ไหมท่ จะเร่ ิมต้นจากจุดหน่ึงบนแผ่นดน ี ิ แล้วเดนข้ามสะพานให้ครบทกสะพาน และกลับ ิ ุ มายงจุดเร่ ิมต้นโดยไม่ซาสะพานเดมเลย ั ํ้ ิ
- 45. ให้แผ่นดนและเกาะเป็นจุดยอด ิ และให้สะพานเป็นเส้นเช่ ือม ลักษณะของปัญหา เหมอนกับ “การลากเส้ น ื วาดรูปโดยไม่ยกดนสอ” ิ
- 46. นิยาม วงจร คือ แนวเดนท่เส้นเช่ อมทงหมดแตกต่างกัน ิ ี ื ั้ โดยมีจุดเริ่มต้ นและจุดสุดท้ ายเป็ นจุดยอดเดียวกัน หรือ วงจร คือ แนวเดนซ่ งเร่ ิมและจบท่ จุดยอดเดยวกัน ิ ึ ี ี โดยไม่ใช้เส้นเช่ อมซากันเลย ื ํ้
- 47. แนวเดิน A-A (ลําดับA, e2, C, e7, B, e6, D, e4 ,A) เป็ นวงจร สังเกตว่า วงจรนีไม่ผ่านเส้นเช่ อม e1 และ e3 ้ ื
- 48. นิยาม วงจรท่ ผ่านจุดยอดทกจุด และผ่านเส้นเช่อมทกเส้น ี ุ ื ุ ของกราฟ เรียกว่ า วงจรออยเลอร์ กราฟที่มีวงจรออยเลอร์ เรียกว่ า กราฟออยเลอร์
- 49. ปัญหาสะพานนี ้ ถูกแก้โดย นักคณิตศาสตร์ ช่ อ ื เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี ค.ศ.1736 การแก้ ปัญหาก็เพียง พจารณาว่ากราฟทางขวา ิ “เป็ นกราฟออยเลอร์หรือไม่”
- 50. ตวอย่าง 1 กราฟG เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่ ั B B G A C A C F D F D E E มวงจรออยเลอร์ ี เป็นกราฟออยเลอร์
- 51. G G G 1 2 3 จะทราบได้อย่างไรว่ากราฟใดเป็นกราฟออยเลอร์
- 52. ทฤษฎีบทที่ 3 กําหนดให้ Gเป็ นกราฟเชื่อมโยง G จะเป็นกราฟออยเลอร์ กต่อเม่ ือ ็ จุดยอดทุกจุดของ G เป็ นจุดยอดคู่
- 53. กราฟใดเป็นกราฟออยเลอร์ G G G 1 2 3
- 54. กราฟใดเป็นกราฟออยเลอร์ G1 G2 G3 G1 เป็นกราฟออยเลอร์ เพราะทกจุดยอดเป็นจุดยอด ุ คู่ G2 ไม่เป็นกราฟออยเลอร์ G3 ไม่เป็นกราฟออยเลอร์ เพราะไม่ เป็ นกราฟเชื่อมโยง
- 55. การประยุกต์ของกราฟ วถีท่ สันท่ สุด ิ ี ้ ี กราฟนีเ้ ป็นกราฟถ่วงนาหนัก ซึ่งจําลองจากแผนที่เมือง ํ้ โดยให้จุดยอดแทนเมอง และเส้นเช่ อมแทน ื ื ถนน และค่านําหนักเส้นเช่ อมแทนระยะทางระหว่าง ้ ื เมืองสองเมือง
- 56. วถีท่ สันท่ สุด ิ ี ้ ี ภารกิจ: ต้องการหาระยะทางท่ สันท่ สุดจาก ี ้ ี เมือง A ไปยังเมือง E (เขยนรูปลงกระดาษ) ี
- 57. หาเส้ นทาง (แนวเดิน)ทงหมดจาก A ไป E ั้ (ท่ ไม่ผ่านเมองซากน) ี ื ํ้ ั 1: A, B, D, E 2+1+3 = 6 กม. 2: A, B, D, F, E 2+1+2+2 = 7 กม. 3: A, B, D, C, F, E 2+1+3+6+2 = 14 กม. 4: A, C, F, E 5+6+2 = 13 กม. 5: A, C, F, D, E 5+6+2+3 = 16 กม. 6: A, C, D, E 5+3+3 = 11 กม. 7: A, C, D, F, E 5+3+2+2 = 12 กม.
- 58. นิยาม วถี คือ แนวเดินในกราฟที่จุดยอดทังหมดแตกต่างกัน ิ ้ วิถท่สันที่สุด จากจุดยอด A ถง Z ในกราฟถ่ วงนําหนัก ี ี ้ ึ ้ คือวิถี A-Z ที่ผลรวมของค่ านําหนักในวิถี A-Z น้อยท่ สุด ้ ี
- 59. นิยาม วัฏจักร คือ วงจรท่ไม่มีจุดยอดซากัน ี ํ้ ยกเว้ นจุดเริ่มต้ นและจุดสุดท้ าย ต้นไม้ คือ กราฟเชื่อมโยงที่ไม่ มีวัฏจักร
- 60. ตัวอย่ าง ต้นไม้
- 61. C ไม่เป็นต้นไม้เพราะ มีวัฎจักร Dไม่เป็นต้นไม้เพราะ ไม่ใช่กราฟเช่ อมโยง ื
- 62. ความสัมพันธ์ ระหว่ างต้นไม้ จุดยอด และ เส้ นเชื่อม ต้นไม้ จานวนจุดยอด ํ จานวนเส้นเช่ อม ํ ื 1 0 2 1
- 63. ต้นไม้ จานวนจุดยอด ํ จานวนเส้นเช่ อม ํ ื 3 2 4 3 5 4 6 5
- 64. ต้นไม้ จานวนจุดยอด ํ จานวนเส้นเช่ อม ํ ื 7 6 8 7 9 8
- 65. ข้อสังเกต 1. ต้ นไม้ไม่มเี ส้นเช่ือมขนาน และ ไม่มวงวน ี 2. ต้ นไม้ ที่มี n จุด จะมี n – 1 เส้นเสมอ
- 66.
- 67. นิยาม กราฟย่ อย ของกราฟG คือกราฟท่ ประกอบด้วย ี จุดยอดและเส้นเช่ ือมใน G กล่าวคือ กราฟ H เป็ นกราฟย่ อยของกราฟ G ถ้า V(H) ⊂ V(G) และ E(H) ⊂ E(G)
- 68. V(G) = {A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D } E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD} จะได้ ว่า กราฟ H เป็ นกราฟย่ อยของกราฟ G
- 69.
- 70.
- 71. กราฟ H1, H2, H3 , H4 และ H5 กราฟใดเป็น กราฟย่อยของกราฟ G ท่ บรรจุทุกจุดของกราฟ G ี ท่ ีเป็นต้นไม้ G: เขียนลงกระดาษไว้
- 72. H1: H2: H3: H4: H5:
- 73. นิยาม ต้นไม้แผ่ท่ว คือต้นไม้ซ่ งเป็นกราฟย่อยของ ั ึ กราฟเช่ ือมโยง G ที่บรรจุจุดยอดทุกจุดยอด
- 74.
- 76. a c a c a c b d b d b d a c a c a c b b d b d d a c a c a c b d b d b d
- 77. นิยาม ต้นไม้แผ่ท่วท่ีน้อยทสุด คือ ต้นไม้แผ่ท่วท่ มี ั ่ี ั ี ผลรวมของค่านําหนักของแต่ละเส้นเช่ ือมน้อยท่ สุด ้ ี 2 2 7 3 5 2 4 1 6
- 78. จงหาต้นไม้แผ่ท่ วท่ น้อยท่สุด ั ี ี 1 2 1 1
- 79. หาต้นไม้แผ่ท่ วทงหมด (มไม่ก่ีแบบ) ั ั้ ี 1 2 1 1+2+1 = 4 H1 2 1 H2 1+2+1 = 4 1
- 80. 1 H3 1 1+1+1 = 3 1 ดังนัน H3 เป็นต้นไม้แผ่ท่ วท่ น้อยท่ สุด ้ ั ี ี
- 81. ตวอย่าง ปัญหาการวางสายโทรศัพท์ ั • บริษัทรับเหมาตดตงโทรศัพท์แห่งหน่ ึง ต้องการวาง ิ ั้ สายโทรศัพท์เช่ ือมระหว่างหม่ ูบ้าน A, B, C, D, E และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถ้าค่าใช้จ่ายใน การวางสายโทรศัพท์ขนอย่ กับความยาวของสาย ึ้ ู โทรศพ ท์ บริษัทนีจะวางสายโทรศัพท์อย่างไรให้เสีย ั ้ ค่าใช้จ่ายน้อยท่ ีสุด เม่ ือกาหนดตารางแสดง ํ ระยะทาง (กิโลเมตร) ของถนนท่ เช่ อมระหว่าง ี ื หม่ ูบ้านดังนี ้
- 82. หม่ บ้าน A ู B C D E F A - 30 - - - 40 B 30 - 10 - 50 20 C - 10 - 20 30 - D - - 20 - 10 20 E - 50 30 10 - 60 F 40 20 - 20 60 -
- 83. แปลงปัญหาเป็นกราฟถ่วงนาหนัก ํ้ B C 10 20 30 30 D 50 10 A 20 20 E 40 60 F
- 84. ขันท่ ี 1 ้ • จดลาดบเส้นเช่ ือม ั ํ ั • เรียงค่านําหนักของเส้นเช่ ือมจากน้อยไปมาก ้ • 10, 10, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 60
- 85. ขันท่ ี 2 ้ 3 5 4 B C 10 20 30 30 D 50 10 A 20 20 E 40 60 F
- 86. ขันท่ ี 6 ้ • เลือกเส้นเช่ ือมท่ เหลือท่ มีค่านําหนักต่าสุด ี ี ้ ํ • ในท่ ีนีเ้ หลือ BF ซ่ งมีค่านําหนัก 20 ึ ้ • แต่ เลือกไม่ ได้ เพราะถ้าเลือกแล้วจะเกิดวัฏจกรั • จึงต้ องเลือกค่ านําหนักเส้ นเชื่อมเป็ น 30 แทน ้ • มีสองทางคือ AB และ CE • แต่ ถ้าเลือก CE แล้วจะเกิดวัฏจกร จงเลือก AB ั ึ
- 87. B C 10 20 30 30 D 50 10 A 20 20 E 40 60 F และเลือกต่ อไปไม่ ได้ แล้ ว
- 88. ได้ ต้นไม้ แผ่ท่ วน้ อยที่สุดที่มีผลรวมของค่ านําหนักเส้ นเชื่อม ั ้ 10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90 B C 10 20 30 D A 10 20 E F ดังนันบริษัทรับเหมาแห่ งนีต้องวาง ้ ้ สายโทรศัพท์ ตามถนน ซึ่งมีระยะทาง 90 กิโลเมตร
- 89. ข้ อสังเกต B 10 C ต้นไม้แผ่ท่ วท่ น้อยท่ ีสุดของ ั ี 30 20 D 20 10 กราฟอาจจะมีได้ มากกว่ า 1 แบบ E A F B C 10 30 D 20 10 A 20 E F
- 90. ผลการเรียนร้ ูท่ คาดหวง ี ั 1. เขยนกราฟเม่ อกาหนดจุดยอด (Vertex) และ ี ื ํ เส้นเช่ อม(Edge) ให้ และระบุได้ว่ากราฟท่ ี ื กาหนดให้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่ ํ 2. นาความร้ ูเร่ ืองกราฟไปใช้แก้ปัญหาบาง ํ ประการได้
- 91. กราฟชนิดอ่ ืน ๆท่ น่าสนใจศกษา ี ึ • Complete graph กราฟบริบูรณ์ • Planar graph กราฟเชงระนาบ ิ • Bipartile graph กราฟสองส่วน • Perfect graph กราฟสมบูรณ์ • Line graph กราฟเส้น • Cograph โคกราฟ
- 92. จัดเก็บเก้าอีให้ เข้ าที่ ้ ก่อนออกจากห้องด้วยครับ ขอบคุณครับ