Gtafuri neorientate.Notiuni introductive

1. Lanţ. Ciclu.
Conexitate

2. Lanț
Definiţie.
Se numeşte lanţ în G, succesiunea de vârfuri L={xi1,
xi2,..., xik} cu proprietatea că orice două noduri
consecutive din L sunt adiacente, adică [xi1, xi2], [xi2,
xi3],..., [xik-1, xik]  E.
Lungimea lantului este egala cu numarul de muchii care il
compun, k-1.
Daca nodurile din lant sunt distincte, atunci lantul este
elementar, in caz contrar este neelementar.
Exemplu:
1,2,3,1,4 – Lanț neelementar (lungime 4)
1,2,3,4 – Lanț elementar (lungime 3)
1,2,3,1,2,5 – Lanț neelementar (lungime
5)
1,2,3,5 - Nu este lanț

3. Ciclu
Definiţie.
Se numeşte ciclu în G un lanţ L pentru care
xi1=xik şi toate muchiile adică [xi1, xi2], [xi2,
xi3],..., [xik-1, xik] sunt diferite două câte două.
Definiţie.
Se numeşte ciclu elementar un ciclu care are
proprietatea că oricare două vârfuri ale sale, cu
excepţia primului şi ultimului, sunt diferite două
câte două.
Exemplu:
1,2,3,4,1 - Ciclu elementar
2,3,4,1,2 - Ciclu elementar
1,2,3,4,2,3,1 - Nu este ciclu
1,2,3,4,2,5,1 - Ciclu neelementar

4. GRAF CONEX
Definitie: Un graf este conex, daca oricare ar fi doua vârfuri ale sale, exista un lant care le leaga.
Exemple:
Fig. 1
Cele 2 grafuri G1 și G2 din fig.1 sunt
conexe pentru ca oricum am lua doua
noduri putem ajunge de la unul la
celalalt pe un traseu de tip lant.
G1 G2

5. COMPONENTĂ CONEXĂ
Definitie:Componenta conexa a unui graf G=(V, E), reprezinta un subgraf G1=(V1, E1) conex, a lui
G, cu proprietatea ca nu exista nici un lant care sa lege un nod din V1 cu un nod din V-V 1 (pentru
orice nod, nu exista un lant intre acel nod si nodurile care nu fac parte din subgraf).
Exemple:
G=(V,E) ;
V={1,2,3,4,5,6}
E={[1,2], [2,3], [3,1], [4,5], [5,6]};
De exemplu graful din fig. 3 nu
este conex , insa in el distingem
doua componente conexe:
G1 =(V1, E1), unde
V1={1,2,3} si
E1={[1,2], [2,3], [3,1]}; si G2=(V2,
E2), unde
V2={4,5,6} si
E2={[4,5], [5,6]}.
Componente
conexe

6. Fig.4
Componentele conexe din graful G=(V,E) din figura 4 sunt:
- G1=(V1,E1), cu V1= {1, 2, 3, 4, 5} si E1=[1,2][2,3][3,5][5,4][4,1];
- G2=(V2,E2), cu V2= {6, 7, 8, 9}si E2=[6,7][7,9][9,8][8,6].
Faptul ca G1=(X1,U1) este o componenta conexa a lui G, se demonstreaza foarte simplu:
- În primul rând, G1 este un subgraf al lui G
- G1 este conex, deoarece oricare ar fi doua noduri ale sale, exista un lant care le
leaga.
- Pentru V1={1, 2, 3, 4, 5} , avem V-V1={6,7,8,9}. Se observa ca nu exista nici un lant
care sa lege un vârf din V1 cu un vârf din V-V1. Un astfel de lant ar trebui sa plece dintr-
un vârf aflat în V1, sa treaca prin mai multe noduri pe un traseu format din muchii, si sa
ajunga într-un vârf aflat în V-V1, dar nu exista muchii care sa aiba o extremitate în V1 si
cealalta în V-V1 (de genul [3,6], [5,8], etc), deci practic nu se poate trece din V1 în V-V1.
Demonstratia este similara pentru G2=(V2,E2).
made
by
Ema&Cristiana
cuprins
G1
G2
G

7. OBSERVAŢII
Orice varf izolat este considerat componenta conexa.
Daca numarul componentelor conexe dintr-un graf este mai mare decât 1, atunci graful nu este conex.
Un graf conex are o singura componenta conexa, care cuprinde toate nodurile sale.
În teoria grafurilor, un graf conex este un graf neorientat în care există un lant între oricare
două noduri distincte.
Numarul minim de muchii necesare ca un graf neorientat sa fie conex este n-1 ( n=numarul de noduri ) .
Pentu a obtine dintr-un graf neorientat conex , 2 componente conexe ,numarul minim de muchii care
trebuie eliminate este egal cu gradul minim din graf .
Unui graf neorientat i se poate verifica conexitatea cu ajutorul parcurgerii în lăţime (BF)
ATENTIE!