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Elasticidad
- 1. Elasticidad En capítulos anterioresse ha tratado sobre la acción de fuerzas en cuerpos rígidos, los mismos que han sido: trasladados, rotados, trasladados y rotados, como un todo sin cambiar su forma o dimensiones ( excepto el resorte). Cualquier cambio en su forma o dimensión no se tomó en consideración. Ahora vamos a tomar en cuenta los cambios que experimenta un cuerpo en su configuración normal, sea este en su dimensión o en su forma será considerado como una deformación. Fuerza Resultado de la medida de una interacción entre dos o más cuerpos. Efectos de una fuerza a)Movimiento: Movimiento de traslación ( F=ma ) Movimiento de rotación ( T=Iα ) Movimiento compuesto ( Mov giroscópico,trompo. Yoyo, Bolero. b) Deformación: esto vamos a estudiar I
- 2. El cambio fraccionarioen una dimensión se denomina deformación, alargamiento o elongación Ɛ, y se define como la razón de cambio de la longitud (variación de la longitud) entre la longitud original, esto es: ɛ= Δ𝐿 𝐿0 Δ𝐿 = 𝐿 − 𝐿o. ( esto se llama alargamiento ) Fatiga o esfuerzo ( 𝛿 = 𝜎 ) Sea una fuerza ∆𝐹 que actúa sobre un área ∆𝐴, entonces la fatiga sobre el área A es: 𝜹 = 𝝈 = 𝑳𝒊𝒎 ∆𝑨→𝟎 = ∆𝑭 ∆𝑨 Esfuerzo normal en un punto Cuando la fuerza está distribuida uniformemente sobre el área ΔA, entonces la fatiga sobre el área A es: 𝛿 = 𝜎 = 𝐹 𝐴 Esfuerzo normal medio Según la forma de aplicación de la fuerza sobre el área de la sección recta del material, se puede definir las clases de fatiga L F Lo
- 3. Clases de Fatigao esfuerzo ( 𝛿 = 𝜎 ) 1 Fatiga normal tensora ( Tensión a la rotura ) La barra esta sometida en sus extremos a tensiones normales iguales y opuestas T; T es perpendicular al área o sección de la barra, se dice T es una fuerza axial. ( de axis= eje en inglés ) 2 Fatiga normal compresora ( Resistencia a la rotura ) La barra esta sometida por ambos extremos a fuerzas normales de compresión, F es axial. 3 Fatiga tangencial o de corte 4 Fatiga o esfuerzo de aplastamiento ( 𝜎𝑎𝑝 ) 5 Esfuerzo de corte medio 6 Esfuerzo cortante en superficies curvas 7 Esfuerzo de adherencia
- 4. Clases de Fatigao esfuerzo ( 𝛿 = 𝜎 ) 1 Fatiga normal tensora ( Tensión a la rotura ) La barra esta sometida en sus extremos a tensiones normales iguales y opuestas T; T es perpendicular al área o sección de la barra, se dice T es una fuerza axial. ( de axis= eje en inglés ) 2 Fatiga normal compresora ( Resistencia a la rotura ) La barra esta sometida por ambos extremos a fuerzas normales de compresión, F es axial. 3 Fatiga tangencial o de corte
- 6. Para describir lasrelaciones fatiga-deformación es necesario dividir a los materiales en isotrópicos y anisotrópicos materiales isotrópicos La fatiga en cualquier punto del cuerpo es independiente de la dirección, es decir, las propiedades elasto-mecánicas son las mismas en cualquier dirección. Están compuestos por muchos cristales microscópicos llamados fibra, las mismas que están entrelazadas en sus fronteras: “policristalinos”. Mediante procedimientos metalúrgicos adecuados, es posible orientar las fibras en sustancias policristalinas, mas o menos en una misma dirección. Es decir, estas fibras se ordenan cuando actúa un campo externo.
- 7. Materiales anisotrópicos. En estosmateriales las propiedades elasto-mecánicas del material en cualquier punto son diferentes para direcciones diferentes, alrededor del mismo punto. Son “monocristalinos”, las celdas están ordenadas por ejm un vidrio al final se quiebra y no se ordena. El estudio es complicado y lo dejamos para estudios mas avanzados. Solo trataremos de materiales isotrópicos y a la vez homogéneos.
- 8. Ley de Hookey elasticidad A la relación fundamental entre la fatiga y la deformación, se conoce como ley de Hooke, es decir La fatiga o esfuerzo, produce u ocasiona deformación. Mientras no se alcance el limite elástico del material, se cumple: 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝛼 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Ley de Hooke Introduciendo una constante de proporcionalidad se tiene la ecuación 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 = (𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑)(𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛) Constante de proporcionalidad= Módulo de elasticidad y no se ordena. El estudio es complicado y lo dejamos para estudios mas avanzados. Solo trataremos de materiales isotrópicos y a la vez homogéneos. Nota: esta ley se cumple mientras no se supere el límite de elasticidad del material, porque pasa a otra fase, la plasticidad.
- 9. Elasticidad Es la capacidadde un cuerpo deformado por un sistema de fuerzas que recobra su configuración original al cesar la acción deformante. Límite de elasticidad: es el valor numérico que indica el esfuerzo unitario máximo que soporta un cuerpo sin que en el se produzca una deformación permanente, suele expresarse en Nota: la ley de Hooke sirve para probar la elasticidad de un resorte Nota: Resiliencia, es una aplicación de la elasticidad en el ser humano. Es decir: capacidad de un ser humano de superar una dificultad
- 10. Características elásticas deun material Los cuerpos son: rígidos (si se deforma hasta antes de superar el limite de elasticidad, se rompe o quiebra); Plásticos (si se deforma hasta antes de superar el limite de elasticidad, se queda allí deformado); elásticos (si se deforma hasta antes de superar el limite de elasticidad, luego vuelve a su forma original). Histéresis elástica: cuando un material elástico se somete a esfuerzos durante algún tiempo largo, no recobra inmediatamente su forma original.
- 11. Módulos de elasticidad( ME ): Se define como la razón de la fatiga y la deformación producida por ésta, esto es: 𝑀𝐸 = 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 (σ) 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (ɛ) Según la clase de deformación, se define tres módulos simples de elasticidad: Young, Volumétrico y de corte o cizalla. 1 Modulo de Young “Y” razón de Poisson Rp. Esta relacionado con el estiramiento producido por una tensión. El valor del modulo de Young caracteriza la resistencia de un material ante una elongación o alargamiento 𝑌 = 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝛿 𝜖 = 𝐹 𝐴 ∆𝐿 𝐿𝑜 = 𝐹𝐿𝑜 𝐴∆𝐿 ΔL L Lo Fuerza axial
- 12. Elasticidad por tracción:Al fenómeno de la variación temporal de la longitud de un cuerpo, por efecto de una fuerza, se llama elasticidad por tracción, experimentalmente: ∆𝐿 = 𝐹𝐿𝑜 𝑌𝐴 (incremento, alargamiento, elongación) Realmente ¿que ocurre? Deformaciones 1) 𝝐𝑳𝒐𝒏𝒈 = ∆𝑳 𝑳𝟎 = 𝑳−𝑳𝟎 𝑳𝟎 2) 𝝐𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍 = ∆𝑫 𝑫𝟎 = 𝒅−𝒅𝟎 𝒅𝟎 Razón de Poisson (Rp): es la razón de las deformaciones transversal y longitudinal, esto es: 𝑅𝑃 = 𝜖𝑇 𝜖𝐿 = ∆𝑑 𝑑0 ∆𝐿 𝐿0 = ∆𝑑𝐿0 ∆𝐿𝑑0 Nota: para los materiales diversos tenemos que: 0,5 ≥ 𝑅𝑃 ≥ 0,25
- 13. Módulo de elasticidad:se definen tres módulos 2 Modulo volumétrico ( Kv ) (Módulo de elasticidad de volumen, modulo de compresibilidad volumétrico) Los estados de la materia son: Sólidos: trasmiten fuerza Líquidos: trasmiten presión Gases: trasmiten presión Plasma: ejm el sol Condensado Bose-Einstein Consensado de Fermi Supersólido, etc.
- 14. Módulo de elasticidad:se definen tres módulos 2 Modulo volumétrico ( Kv ) (Módulo de elasticidad de volumen, modulo de compresibilidad volumétrico) La primera capa Experimenta presión y trasmite al resto de capas La deformación volumétrica simple es el cambio en el volumen por unidad volumétrica por acción de fatigas normales presentes en toda la superficie. Estas pueden producirse fácilmente al sumergir un cuerpo en un liquido a una presión determinada, el modulo volumétrico se define por: VVo VV
- 15. De define por:𝐾𝑉 = 𝛿 𝜖0 = 𝐹 𝐴 ∆𝑉 𝑉0 = 𝐹𝑉𝑜 𝐴∆𝑉 = 𝑃 𝑉0 ∆𝑉 𝑲𝑽 = −𝑽𝟎 𝒅𝑷 𝒅𝑽 P = incremento de la presión que produce el decrecimiento del volumen (-ΔV) En general: 𝐾𝑉 = −𝑉0 𝑑𝑃 𝑑𝑉 Definición del coeficiente de compresibilidad ( β ) 𝜷 = 𝟏 𝑲𝑽 = − 𝟏 𝑽𝟎 𝒅𝑽 𝒅𝑷 Unidades 𝒎𝟐 𝑵 ; 𝒄𝒎𝟐 𝒅𝒊𝒏𝒂 ; 𝑷𝒂−𝟏 ; 𝒂𝒕𝒎−𝟏
- 16. Módulo de elasticidad:se definen tres módulos 3 Módulo de corte, Rigidez transversal o cizalladura ( η ) La deformación tangencial: cuando sucesivas capas del material son movidas. Cortadas o deslizadas por fuerzas tangenciales o superficiales. La deformación se mide mediante la razón del desplazamiento horizontal (dx) de cualquier capa entre su distancia a la superficie fija (h) η = 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜) 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝛿 𝜀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝐹 𝐴 𝑑𝑥 ℎ = ℎ𝑑𝐹 𝐴𝑑𝑥 𝜀𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝑑𝑥 ℎ = 𝑇𝑎𝑔 𝜃 𝜃 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑇𝑎𝑔𝜃 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 Casos: 1) Metales: en la mayoría de metales se cumple: η = 𝑌 2 𝑜 𝑌 3 2) Fluidos: no tiene sentido hablar de modulo de corte, porque ellos no ofrecen resistencia 3) En general: η = 𝐹 𝐴 𝑑𝑥 ℎ = ℎ𝑑𝐹 𝐴𝑑𝑥
- 17. Módulos de elasticidadpara varios materiales en 𝑁 𝑚2 Sustancia Modulo10 Young x1010 Módulo de volumen x1010 Módulo de corte x1010 Aluminio 7 7 2,5 Latón 9 7,5 3,5 cobre 11 12 3,8 vidrio 5,7 4 2,4 Hierro 15 12 6 Acero 20 15 8,2 Alcohol etil 1 Glicerina 0,45 Mercurio 2,6 Agua 0,22 V K Y
- 18. Materia Modulo de Young Yx1011 Modulo volumétrico KV X1011 Modulo de corte η X1011 Razón de Poisson: Aluminio 7 7.5 2.4 0.34 Bronce 8,1 9.6 3.4 0.18 Cobre 12,3 13.6 4.5 0.34 Oro 8,0 16.6 2.8 0.42 Plomo 1,6 5.0 0.54 0.45 Plata 7,8 10.9 2.8 0.37 Acero 20,6 18.1 8.9 0.33 Estaño 4,5 5.1 1.67 0.31 Vidrio 7,0 5.0 3.0 0.24 2 cm dina 2 cm dina 2 cm dina valores aproximados de los módulos elásticos
- 19. Teóricamente, para cuerposisotrópicos homogéneos, los módulos elásticos se relacionen por: 𝑌 = 3𝐾𝑉 1 − 2𝑅𝑃 = 2 1 + 𝑅𝑃 = 9𝐾𝑉𝑛 3𝐾𝑉+𝑛 Para sustancias anisotrópicas no existen estas relaciones tan simples. Se demuestra en textos mas avanzados que para sustancias anisotrópicas hay 21 constantes elásticas. Las expresiones generales para esfuerzos y deformaciones se denominan (diadas o tensores) y cada una contiene nueve términos. Estos por su puesto se reducen a la simple expresión que hemos obtenido para sustancias isotrópicas.
- 20. Energía de deformación:𝑬𝒊 Para deformar un cuerpo, es necesario aplicar fuerzas que realizan un trabajo durante el proceso de deformación. En consecuencia, la energía interna de un cuerpo deformado aumenta. Primer caso: varilla sometida a tensión 𝑌 = 𝐹 𝐴 ∆𝐿 𝐿0 = 𝐹𝐿0 𝐴∆𝐿 → 𝐹 = 𝑌𝐴 ∆𝐿 𝐿0 𝑑𝑊 = 𝐹𝑑∆𝑙 𝑊 = 0 ∆𝐿 𝐹𝑑∆𝐿 = 0 ∆𝐿 𝑌𝐴 ∆𝐿 𝐿0 𝑑∆𝐿 = 𝑌𝐴 𝐿0 0 ∆𝐿 ∆𝐿𝑑∆𝐿 = 𝑌𝐴 𝐿0 ∆𝐿2 2 − 0 = 1 2 𝑌𝐴𝐿0 ∆𝐿 𝐿0 2 2 = 1 2 𝑌𝑉(𝜀𝐿)2 𝐸𝑖 = 𝑊 𝑉 = 1 2 𝑌(𝜀𝐿)2 𝐸𝑖 = 𝑊 𝑉 = 1 2 𝐾𝑉(𝜀𝑉)2 (segundo caso: tip: W=PdV ; P=KvΔV/Vo) 𝐸𝑖 = 𝑊 𝑉 = 1 2 η(𝜀𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒)2 (tercer caso: tip: W=Fdx; F=nax/h)
- 21. Energía de deformación:𝑬𝒊 Para deformar un cuerpo, es necesario aplicar fuerzas que realizan un trabajo durante el proceso de deformación. En consecuencia, la energía interna de un cuerpo deformado aumenta. Primer caso: varilla sometida a tensión 𝑌 = 𝐹 𝐴 ∆𝐿 𝐿0 = 𝐹𝐿0 𝐴∆𝐿 → 𝐹 = 𝑌𝐴 ∆𝐿 𝐿0 𝑑𝑊 = 𝐹𝑑∆𝑙 𝑊 = 0 ∆𝐿 𝐹𝑑∆𝐿 = 0 ∆𝐿 𝑌𝐴 ∆𝐿 𝐿0 𝑑∆𝐿 = 𝑌𝐴 𝐿0 0 ∆𝐿 ∆𝐿𝑑∆𝐿 = 𝑌𝐴 𝐿0 ∆𝐿2 2 − 0 = 1 2 𝑌𝐴𝐿0 ∆𝐿 𝐿0 2 2 = 1 2 𝑌𝑉(𝜀𝐿)2 𝐸𝑖 = 𝑊 𝑉 = 1 2 𝑌(𝜀𝐿)2 𝐸𝑖 = 𝑊 𝑉 = 1 2 𝐾𝑉(𝜀𝑉)2 (segundo caso: tip: W=PdV ; P=KvΔV/Vo) 𝐸𝑖 = 𝑊 𝑉 = 1 2 η(𝜀𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒)2 (tercer caso: tip: W=Fdx; F=nax/h)
- 22. Ejercicios 1. El diámetrode una varilla de bronce es de 8mm. Determinar la fuerza en N y dinas que produce una extensión (alargamiento, elongación, incremento de longitud) del 3% de su longitud. El módulo de Young del bronce es 𝑌 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 9. 1011 𝑑𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑚2 . Solución: r=4mm 𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋(4. 10.−1𝑐𝑚) Elongación: ∆𝐿 = 3%𝐿0 = 3 100 𝐿0 𝑌 = 𝛿 𝜀 = 𝐹 𝐴 ∆𝐿 𝐿0 = 𝐹𝐿0 𝐴∆𝐿 F = 𝑌𝐴∆𝐿 𝐿0 = (9𝑥1011𝑑𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑚2 ) 𝜋(4𝑥10−1𝑐𝑚)2 ( 3 100 𝐿0) 𝐿0 = 1,35648𝑥1010 𝑑𝑖𝑛𝑎 = 1,35648𝑥105 𝑁
- 23. Ejercicios 2. ¿Cuál esla presión necesaria para comprimir un cubo de hule al 90% de su volumen original?. Compare esta presión con la presión atmosférica, la compresibilidad es de 𝛽 = 1 𝐾𝑉 = 40. 10−11 𝑁 𝑚2. Solución: 𝐾𝑉 = 2,5. 109 𝑁 𝑚2 V = 90% = 9 100 = 0,90 −∆𝑉 = 𝑉 − 𝑉0 = 10% = 10 100 = 0,10 (es negativo) 𝑉0 = 𝑉 + ∆𝑉 = 0,9𝑉0 + ∆𝑉 0,1𝑉0 = ∆𝑉 𝐾𝑉 = 𝛿 𝜀𝑉 = 𝐹 𝐴 ∆𝑉 𝑉0 = 𝐹𝑉0 𝐴∆𝑉 = 𝑃 𝑉0 ∆𝑉 𝑃 = 𝐾𝑉 ∆𝑉 𝑉0 = 2,5𝑥109 𝑁 𝑚2 (0,1) = 2,5𝑥108 𝑁 𝑚2 Comparando con la presión atmosférica 𝑃0 = 1,013. 105 𝑁 𝑚2 Por tanto: La presión aplicada al problema es mayor que la presión atmosférica