20170408cvsaisentan6 2 4.3-4.5
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2017年4月8日開催のコンピュータビジョン勉強会＠関東「最先端ガイド6第２章 幾何学的推定のための最適化手法：最小化を超えて」発表資料
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- 1. 2017/04/08 CV最先端ガイド6 第２章 4.3 – 4.5節 超精度くりこみ法 takmin
- 2. 自己紹介 2 テクニカル・ソリューション・アーキテクト 皆川 卓也（みながわ たくや） フリーエンジニア（ビジョン＆ITラボ） 「コンピュータビジョン勉強会＠関東」主催 博士（工学） 略歴： 1999-2003年 日本HP（後にアジレント・テクノロジーへ分社）にて、ITエンジニアとしてシステム構築、プリ セールス、プロジェクトマネジメント、サポート等の業務に従事 2004-2009年 コンピュータビジョンを用いたシステム/アプリ/サービス開発等に従事 2007-2010年 慶應義塾大学大学院 後期博士課程にて、コンピュータビジョンを専攻 単位取得退学後、博士号取得（2014年） 2009年-現在 フリーランスとして、コンピュータビジョンのコンサル/研究/開発等に従事 http://visitlab.jp
- 3. はじめに 3 コンピュータビジョン最先端ガイド６ 第2章「幾何学的推 定のための最適化手法：最小化を超えて」 4.3 – 4.5節 説明の都合上以下の順で解説します 4.5節 最小二乗法ベースの手法のおさらい 最小化に基づかない各手法の位置づけ 4.4節 超精度くりこみ法のアルゴリズム 4.3節 超精度くりこみ法の導出 4.5節 まとめ
- 4. 最小化に基づく手法 4 最小二乗法ベース 最小二乗法（3.1節） Taubin法（3.1節） 超精度最小二乗法（3.1節） 最尤推定ベース 最尤推定（3.2節） バンドル調整（3.3節） サンプソン誤差最小化（3.5, 3.6,節） 修正サンプソン誤差最小化（3.7節）
- 5. 最小二乗法ベースの最小化に基づく手法 5 一般固有値問題 𝑴𝜽 = 𝜆𝑵𝜽 の最小固有値𝜆 𝑘を与える固有ベクトル𝜽 𝑘を求める。 (24) 𝜽 𝑘 は 𝜽, 𝑵𝜽 = 1の元で二乗誤差 𝜽, 𝑴𝜽 を 最小化する 𝑴 = 1 𝑁 σ 𝛼=1 𝑁 𝜉 𝛼 𝜉 𝛼 T 𝑵 : 手法ごとに異なる行列
- 6. 最小二乗法ベースの最小化に基づく手法 6 一般固有値問題 𝑴𝜽 = 𝜆𝑵𝜽 (24) ഥ𝜽 𝜽 𝜽 𝑴はピークの幅を調整 するイメージ 𝑵はズレ（偏差）を調整 するイメージ
- 7. 最小二乗法ベースの最小化に基づく手法 7 一般固有値問題 𝑴𝜽 = 𝜆𝑵𝜽 (24) 手法 𝑵 最小二乗法 𝑰 Taubin法 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑉0 𝜉 𝛼 超精度最小 二乗法 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝜉 𝛼 𝑒 𝛼 T − 1 𝑁2 𝛼=1 𝑁 𝜉 𝛼, 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝑉0 𝜉 𝛼 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝜉 𝛼 T
- 9. 超精度くりこみ法 9 1. 𝑊𝛼 = 1, 𝛼 = 1, ⋯ , 𝑁, 𝜽0 = 𝟎
- 10. 超精度くりこみ法 10 1. 𝑊𝛼 = 1, 𝛼 = 1, ⋯ , 𝑁, 𝜽0 = 𝟎 2. 𝑴, 𝑵 を計算 𝑴 = 1 𝑁 σ 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 𝜉 𝛼 𝜉 𝛼 T 𝑵 = 1 𝑁 σ 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝜉 𝛼 𝑒 𝛼 T − 1 𝑁2 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 2 𝜉 𝛼, 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝑉0 𝜉 𝛼 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝜉 𝛼 T (70) (71)
- 11. 超精度くりこみ法 11 3. 一般固有値問題を解いて𝜽を求める 𝑴𝜽 = 𝜆𝑵𝜽 (72)
- 12. 超精度くりこみ法 12 3. 一般固有値問題を解いて𝜽を求める 𝑴𝜽 = 𝜆𝑵𝜽 4. 𝜽 ≈ 𝜽0 ならば終了。そうでないなら、 𝑊𝛼 ← 1 𝜽, 𝑉0 𝜉 𝛼 𝜽 𝜽0 ← 𝜽 (72) (73)
- 13. 超精度最小二乗法との比較 13 超精度くりこみ法の１回目のサイクルは超精度最小二乗 法と同じ 𝑵 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝜉 𝛼 𝑒 𝛼 T − 1 𝑁2 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 2 𝜉 𝛼, 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝑉0 𝜉 𝛼 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝜉 𝛼 T (71) 𝑊𝛼 = 1の時、超精度最小二乗法の 𝑵と一致
- 14. 実装上の注意 14 一般固有値問題を解く通常のライブラリでは 𝑵が正定値対 象行列である必要 𝑴𝜽 = 𝜆𝑵𝜽 超精度くりこみ法の 𝑵は対称行列であるが、固有値は正負 の値を持つ 𝑵𝜽 = 𝟏 𝜆 𝑴𝜽 以下の式に変形して解くことができる
- 15. 超精度くりこみ法の行列𝑵の算出 15 超精度くりこみ法の𝑵 𝑵 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝜉 𝛼 𝑒 𝛼 T − 1 𝑁2 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 2 𝜉 𝛼, 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝑉0 𝜉 𝛼 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝜉 𝛼 T (71) くりこみ法の𝑵 𝑵 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 どこから来た？
- 16. 超精度くりこみ法の行列𝑵の算出 16 𝜉 𝛼、 𝑴、𝑵、𝜽、𝜆を全て真値と𝑂 𝜎2 のノイズ/誤差にま で分解 𝜉 𝛼 = 𝜉 𝛼 + ∆1 𝜉 𝛼 + ∆2 𝜉 𝛼 真値 𝑂 𝜎2 の ノイズ 𝑂 𝜎 の ノイズ
- 17. 超精度くりこみ法の行列𝑵の算出 17 𝜉 𝛼、 𝑴、𝑵、𝜽、𝜆を全て真値と𝑂 𝜎2 のノイズ/誤差にま で分解 𝑴𝜽 = 𝜆𝑵𝜽 ഥ𝑴 + ∆1 𝑴 + ∆2 𝑴 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 = ҧ𝜆 + ∆1 𝜆 + ∆2 𝜆 ഥ𝑵 + ∆1 𝑵 + ∆2 𝑵 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽
- 18. 超精度くりこみ法の行列𝑵の算出 18 右辺と左辺で同じオーダーの項を等値 ഥ𝑴 + ∆1 𝑴 + ∆2 𝑴 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 = ҧ𝜆 + ∆1 𝜆 + ∆2 𝜆 ഥ𝑵 + ∆1 𝑵 + ∆2 𝑵 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 ∆1 𝑴ഥ𝜽 + ഥ𝑴∆1 𝜽 = ∆1 𝜆 ഥ𝑵ഥ𝜽 + ҧ𝜆 ∆1 𝑵 ഥ𝜽 + ҧ𝜆ഥ𝑵 ∆1 𝜽 1次の項
- 19. 超精度くりこみ法の行列𝑵の算出 19 右辺と左辺で同じオーダーの項を等値 ഥ𝑴 + ∆1 𝑴 + ∆2 𝑴 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 = ҧ𝜆 + ∆1 𝜆 + ∆2 𝜆 ഥ𝑵 + ∆1 𝑵 + ∆2 𝑵 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 ∆1 𝑴ഥ𝜽 + ഥ𝑴∆1 𝜽 = ∆1 𝜆 ഥ𝑵ഥ𝜽 + ҧ𝜆 ∆1 𝑵 ഥ𝜽 + ҧ𝜆ഥ𝑵 ∆1 𝜽 1次の項
- 20. 超精度くりこみ法の行列𝑵の算出 20 右辺と左辺で同じオーダーの項を等値 ഥ𝑴 + ∆1 𝑴 + ∆2 𝑴 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 = ҧ𝜆 + ∆1 𝜆 + ∆2 𝜆 ഥ𝑵 + ∆1 𝑵 + ∆2 𝑵 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 ∆1 𝑴ഥ𝜽 + ഥ𝑴∆1 𝜽 = ∆1 𝜆 ഥ𝑵ഥ𝜽 + ҧ𝜆 ∆1 𝑵 ഥ𝜽 + ҧ𝜆ഥ𝑵 ∆1 𝜽 1次の項 ∆1 𝜽 = −𝑴−1 ∆1 𝑴ഥ𝜽 (63)
- 21. 超精度くりこみ法の行列𝑵の算出 21 右辺と左辺で同じオーダーの項を等値 ഥ𝑴 + ∆1 𝑴 + ∆2 𝑴 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 = ҧ𝜆 + ∆1 𝜆 + ∆2 𝜆 ഥ𝑵 + ∆1 𝑵 + ∆2 𝑵 ഥ𝜽 + ∆1 𝜽 + ∆2 𝜽 2次の項 ∆2 ⊥ 𝜽 = ഥ𝑴− ഥ𝜽, 𝑻ഥ𝜽 ഥ𝜽, ഥ𝑵ഥ𝜽 ഥ𝑵ഥ𝜽 − 𝑻ഥ𝜽 (63) 𝑻 ≡ ∆2 𝑴 − ∆1 𝑴 ഥ𝑴−∆1 𝑴 (64) ただし、
- 22. 超精度くりこみ法の行列𝑵の算出 22 2次の項の期待値 E ∆2 ⊥ 𝜽 が0になるように 𝑵を調節 2次の項 ∆2 ⊥ 𝜽 = ഥ𝑴− ഥ𝜽, 𝑻ഥ𝜽 ഥ𝜽, ഥ𝑵ഥ𝜽 ഥ𝑵ഥ𝜽 − 𝑻ഥ𝜽 (63) 𝑵 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝜉 𝛼 𝑒 𝛼 T − 1 𝑁2 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 2 𝜉 𝛼, 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝑉0 𝜉 𝛼 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝜉 𝛼 T (71)
- 23. まとめ 23 最小化に基づかない手法 一般固有値問題を重みを更新しながら繰り返し計算 手法 𝑵 重み反復法 𝑰 くりこみ法 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 超精度くりこ み法 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝜉 𝛼 𝑒 𝛼 T − 1 𝑁2 𝛼=1 𝑁 𝑊𝛼 2 𝜉 𝛼, 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝑉0 𝜉 𝛼 + 2𝒮 𝑉0 𝜉 𝛼 𝑴 𝑛−1 − 𝜉 𝛼 𝜉 𝛼 T 𝑴𝜽 = 𝜆𝑵𝜽
- 24. まとめ 24 最小化に基づかない手法は最小二乗法ベースの手法に 対応 誤差はおおよそ以下の順 最小二乗法 > 重み反復法 > Taubin法 > くりこみ法 > 最尤推定 > 超精度繰り込み法