Integruvannya deyakikh tipiv_funktsiy

2. • В математичному
аналізі інтегралом функції
називають розширене
поняття суми функції. Процес
знаходження інтеграла
називається інтегруванням.

3. Інтегрування раціональних дробів
Раціональним дробом називається відношення
двох многочленів, тобто дробу виду:
де m і n – натуральні числа. Цей дріб
називається правильним раціональним
дробом якщо степінь чисельника менша за
степінь знаменника, в протилежному випадку
він називається неправильним раціональним
дробом .

4. • Випадок 1. Знаменник правильного раціонального
дробу можна записати у вигляді добутку декількох
різних лінійних множників, тобто у вигляді:
Виявляється, що в цьому випадку даний правильний
дріб розкладається на суму
так званих елементарних дробів, де А1 ,А2 ,….Аn -деякі
числа. Для розкладу даного правильного дробу на
елементарні застосовується так званий метод
невизначених коефіцієнтів, потім ці елементарні дроби
інтегруюються.
..

5. Приклад 1. Знайти інтеграл
1. Розкладаємо знаменник на прості дійсні множники (коренями
відповідного квадратного рівняння знаменника є x1 = -4, х2 =2
2. Записуємо схему розкладу підінтегрального дробу на
елементарні доданки
3. Звільняємось від знаменників, приводячи праву частину
останньої рівності до спільного знаменника, і перетворюємо цю
частину:

6. 4. Складаємо систему рівнянь, прирівнюючи коефіцієнти при одна-
кових степенях х обох частин останньої рівності, і розв'язуємо її:
5. Записуємо розклад підінтегрального дробу на суму
елементарних доданків:
6. Знаходимо шуканий інтеграл як суму інтегралів доданків:

7. Випадок 2. Знаменник правильного раціонального дробу
можна записати у вигляді добутку декількох лінійних
множників, причому деякі з них повторюються.
У цьому випадку задача розв'язується аналогічно
попередній, але має ту особливість в схемі розкладу
підінтегрального дробу на елементарні доданки, що
кожний множник знаменника виду
при розкладі дає доданок виду:

8. Приклад 2. Знайти інтеграл
1. Записуємо схему розкладу підінтегрального дробу на
елементарні доданки:
2. Звільняємось від знаменників, приводячи праву частину
останньої рівності до спільного знаменника, і перетворюємо цю
частину:
3. Складаємо систему рівнянь, прирівнюючи коефіцієнти при одна-
кових степенях обох частин останньої рівності, і розв'язуємо її:

9. 4. Записуємо розклад під інтегрального дробу на суму
елементарних доданків:
5. Знаходимо шуканий інтеграл як суму інтегралів доданків:

10. Випадок 3. Чисельник підінтегрального дробу має
вигляд Mx +N: а знаменником є квадратний
тричлен
з комплексними коренями.
В цьому випадку інтеграл обчислюють за
допомогою підстановки z= ax+b/2 (половина
похідної квадратного тричлена позначається
через z .

11. Приклад 3. Знайти інтеграл
1. Перетворемо спочатку знаменник дробу:
x2 +7x+14 = (x2 + 7x + 49/4) +14 = (x +7/2)2 +7/4.
2. Введемо підстановку ,тоді ,

12. Випадок 4. В знаменник правильного
підінтегрального дробу входять множини виду
аi х + b, з яких деякі можуть повторюватись, і
квадратний тричлен ax2 +bx +c з комплексними
коренями.
В цьому випадку інтеграл обчислюють,
використовуючи підходи, зазначені в попередніх
випадках, та приховуючи ту особливість, що
вказаний квадратний тричлен в схемі розкладу
знаменника на множники дає доданок виду

13. Інтегрування методом раціоналізації
полягає в тому, що за допомогою вдало
підібраної підстановки інтегрування дану
функцію приводять до інтегрування
раціональної функції.
Інтегрування методом раціоналізації.
Інтегрування функції виду

14. Нехай інтегральна функція є раціональним виразом
відносно змінної інтегрування x різних коренів деякої
лінійної функції ax+b, тобто має вигляд
Інтеграл від такої функції зводиться до інтеграла від
раціонального дробу постановкою ax + b = tm , де
m – найменше спільне кратне усіх показників
m1, m2,… mk.
тому

15. Інтегрування функції виду
Покажемо, що тригонометричний диференціал
приводиться до раціонального
виду підстановкою

16. Окрім того, з рівності знаходимо, що
Тому інтеграл
є інтегралом від раціональної функції, бо
раціональна функція від раціональної функції є
функцією раціонального.

17. Приклад 4. Зайти інтеграл
Вводимо підстановку ,тоді
Тоді даний інтеграл

18. • Підстановка є універсальною,
оскільки дозволяє проінтегрувати будь-яку
функцію
• Однак, в багатьох випадках вона приводить до
дуже складних обчислень. Застосовуючи більш
вдалі підстановки, можна спростити такі
обчислення. При цьому користуються наступним
правилом.

19. Правила
• Якщо функція при заміні на
змінюється знак , то треба зробити підстановку
• Якщо функція при заміні на
змінюється знак,то треба зробити підстановку
• Якщо функція при одночасній заміні
на і на не змінюється, то
треба зробити підстановку
або
.

20. Інтегрування деяких інших
тригонометричних функцій
Розглянемо інтеграли виду , якщо m –
непарне число, то потрібно зробити підстановку
якщо n – непарне число, то підстановку .
У випадку, коли m і n – парні числа, зручніше замість
підстановки використати тригонометричні
формули
які зводяться до подвійного аргументу.

21. Приклад 5 . Знайти інтеграл

22. При обчисленні інтегралів виду
користуються тригонометричними
формулами: