deformaciones angulares - vigas conjugadas

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ
FAUSTINO SANCHES CARRIÓN
2021
Alumno: TIBURCIO BAUTISTA JHON
Docente: ING. CHINGA CAMPOS MARCO
Tema: “PROBLEMAS RESUELTOS DE
DEFORMACIONES ANGULARES Y VIGA
CONJUGADA”
EP-FIC
RESISTENCIA DE MATERIALES II

DEFORMACIONES ANGULARES
INTRODUCCIÓN................................................................................................................4
2.OBJETIVOS. .....................................................................................................................5
2.1 Objetivo general..........................................................................................................5
2.2 Objetivos específicos:..................................................................................................5
3. MARCO TEÓRICO.........................................................................................................5
3.1 DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION .............................5
3.1.1 Consideraciones generales...................................................................................5
3.2 CONVENCION DE SIGNOS DE SOLICITACIONES Y DEFORMACIONES
.........................................................................................................................................6
3.3 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE WILSON Y MANEY ..........................8
4. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS PERFECTOS:...........................................9
PARTE 1................................................................................................................................9
5. PROBLEMAS RESUELTOS........................................................................................12

INTRODUCCIÓN
Método utilizado para la resolución de Estructuras Hiperestáticas continuas y a porticadas,
considerando como incógnitas básicas los giros y desplazamientos en los nudos.
Este método se enmarca dentro de los métodos clásicos de solución de una estructura
hiperestática plana, en la cual la principal deformación de la estructura es por flexión.
Existen dos tipos de desplazamientos desconocidos: angulares y lineales. Las incógnitas
angulares son los ángulos de giro de los nudos rígidos del pórtico. Las incógnitas lineales
son los desplazamientos lineales de los nudos del pórtico y su número se determina por
la cantidad de barras adicionales, que son necesarias ingresar al esquema estructural de
rótulas, para convertirlo en un sistema geométricamente invariable. Dicho esquema se
forma introduciendo rótulas en todos los nudos del pórtico.

2.OBJETIVOS.
2.1 Objetivo general
• Identificar, estudiar alternativas, seleccionar, analizar y verificar resultados de la
solución estructural a un problema ingenieril, teniendo presentes los criterios de
funcionalidad, economía y seguridad.
2.2 Objetivos específicos:
• Determinar fuerzas internas (axiales, cortantes, momentos) y deformaciones de una
estructura, sobre la base de: una forma dada de la estructura, del tamaño y propiedades
del material usado en los elementos y de las cargas aplicadas.
• Selección de la forma, de los materiales y detallado (dimensiones, conexiones y
refuerzo) de los componentes que conforman el sistema estructural.
3. MARCO TEÓRICO
3.1 DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION
3.1.1 Consideraciones generales
Las estructuras sufren en general al estar sometidas a un estado de solicitaciones, un estado
de deformaciones, como consecuencia de un estado de cargas. Así las distintas partes que
conforman la estructura tendrán en general traslaciones y rotaciones que conformarán el
estado de deformación de la estructura, dependiendo el mismo del tipo de estructura, sus
características geométricas y elásticas y del estado de cargas. Veamos que sucede con un
pórtico plano sometido a esfuerzos normales, de corte y momentos flectores
a fin de plantear su resolución por el Método de las Deformaciones. A cada estado de
deformación corresponde un estado de solicitación, por lo cual a partir de aquellas podemos
calcular estas últimas.
Llamaremos ahora la atención sobre consideraciones que debemos tener en cuenta para la
aplicación del método que desarrollaremos, en el cual estudiaremos que ocurre con una barra
genérica que forma parte de la estructura, definiendo características y convenciones de signos
a utilizar. Con referencia a estos últimos no existe unanimidad; en el curso trataremos de
utilizar convenciones generales que luego
adaptaremos a los distintos casos.

Hipótesis o condiciones
Se requiere que los elementos que forman la estructura sean:
• Rectos.
• Inercia constante entre tramos.
• Deformaciones pequeñas (giros y desplazamientos).
• Módulo de elasticidad constante entre tramos.
Metodología:
El método de deformaciones angulares se basa en expresar los momentos de extremo de
los miembros de estructuras hiperestáticas en función de los giros y deflexiones observadas
en los nudos, teniendo como supuesto que, si bien los nudos pueden girar o reflectarse, los
ángulos entre los elementos que convergen al nudo se mantienen constantes.
Se enfatiza que este método sólo considera el efecto de la flexión sobre los elementos y
omite el efecto del corte y axial.
3.2 CONVENCION DE SIGNOS DE SOLICITACIONES Y DEFORMACIONES
Utilizaremos las siguientes convenciones de signos:
• Los momentos de acción y reacción entre el extremo de la barra y el nudo se
consideran positivos cuando la acción del NUDO sobre la BARRA tienda a girarla
en sentido contrario a las agujas del reloj, o lo que es lo mismo, cuando la acción de
la BARRA sobre el NUDO tiende a que este gire en el sentido de las agujas del reloj.
Es inmediato por el principio de acción y reacción que las dos figuras representan el
mismo fenómeno, que produce tracción en las fibras superiores de la barra al llegar
al nudo de la figura.
• El esfuerzo de corte Q se considerará positivo cuando en una sección dada, la acción
de la izquierda sobre la derecha tenga sentido hacia arriba.

• El esfuerzo normal N se considerará positivo
Respecto a los desplazamientos u, v, w en una barra sobre la cual aplicamos un par de
ejes locales x, y, como se indican en la figura, se adoptan como positivos los señalados
en la misma.
u > 0 Desplazamiento en la dirección y sentido del eje x.
• v > 0 Desplazamiento en la dirección y sentido del eje y.
• w > 0 Rotación en sentido contrario a las agujas del reloj Las acciones Fx , Fy, M en
los extremos de las barras serán también positivas cuando coincidan con el sentido
positivo de u, v, w.

3.3 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE WILSON Y MANEY
La ecuación siguiente es para secciones constantes
𝐌𝐢𝐣 =
𝟐 ∗ 𝐄 ∗ 𝐈
𝐋𝐢𝐣
∗ (𝟐 ∗ 𝛉𝐢 + 𝛉𝐣 −
𝟑 ∗ 𝚫𝐋𝐢𝐣
𝐋𝐢𝐣
) + 𝐌𝐢𝐣°
𝐌𝐣𝐢 =
𝟐 ∗ 𝐄 ∗ 𝐈
𝐋𝐣𝐢
∗ (𝟐 ∗ 𝛉𝐢 + 𝛉𝐣 −
𝟑 ∗ 𝚫𝐋𝐣𝐢
𝐋𝐣𝐢
) + 𝐌𝐣𝐢°
Definiciones:
• 𝛉𝐢, 𝛉𝐣 = angulos de giro de los empotramientos.
• 𝝋𝐢𝐣 =
𝚫𝐋𝐢𝐣
𝐋𝐢𝐣
, 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎.
• 𝚫𝐋𝐢𝐣, 𝚫𝐋𝐣𝐢: desplazamiento lineal de los nudos a y b de la barra, uno respecto al otro.
•
𝐄∗𝐈
𝐋𝐢𝐣
= rigidez por metro lienal de la barra a − b
• 𝐌𝐢𝐣, 𝐌𝐣𝐢 = los momentos flectores.
• 𝐌𝐢𝐣°, 𝐌𝐣𝐢° = los momentos flectores de empotramientos perfectos.
Las ecuaciones anteriores no permiten primeramente calcular los giros en
los apoyos o en nudos de pórticos y desplazamientos de los nudos de pórticos
o sistemas donde existen rotulas.

4. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS PERFECTOS:
PARTE 1

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VIGAS CONJUGADAS
INTRODUCCIÓN................................................................................................................3
2. OBJETIVOS .....................................................................................................................4
2.1 OBJETIVO GENERAL............................................................................................4
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS....................................................................................4
3. MARCO TEÓRICO.........................................................................................................4
3.1 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA.................................................................4
3.2 APOYOS DE VIGA CONJUGADA ........................................................................5
3.3 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS.........................................................................5

INTRODUCCIÓN
El presente trabajo se basa en la aplicación de la viga conjugada, mediante problemas
resueltos; para conocer un poco más sobre otro de los métodos que permite encontrar giros y
desplazamiento en cualquier punto de la elástica en una viga; me refiero al método de la viga
conjugada.
En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve,
como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una
viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este método con el
que ya estudiamos anteriormente (área de momentos), y por último procederemos a resolver
los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría.
En la definición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos
teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de
tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en
cualquier punto de la elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente
determinadas. También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella
que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente
guardan relación de donde se obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios.

2. OBJETIVOS
2.1 OBJETIVO GENERAL
• Saber aplicar el método de la viga conjugada.
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga real
utilizando una viga ficticia para ello.
• Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real para
poder crear así nuestra viga ficticia.
• Resolver los ejercicios dados a través de las relaciones estudiadas entre una viga
real y ficticia.
3. MARCO TEÓRICO
3.1 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA
El método de la viga conjugada es un método de análisis estructural para determinar
pendientes y deflexiones de una viga. Fue desarrollado por Christian O. Mohr. En esencia,
requiere la misma cantidad de cálculo que los teoremas del momento de área para
determinar la pendiente de una viga o su deflexión; aun así, este método aplica solo los
principios de la estática, por lo que su aplicación puede resultar más familiar. La viga
conjugada se define como una viga imaginaria con las mismas dimensiones (longitud) que
la viga original, pero una carga en cualquier punto de la viga conjugada es igual al
momento flector en ese punto de la viga original dividido por EI.
Aquí el cortante V se compara con la pendiente θ, el momento M se compara con la
deflexión v, y la carga externa w compara con el diagrama M/EI. En la figura se muestra un
diagrama de cortante, momento y otro diagrama de deflexión. El diagrama M/EI es un
diagrama de momento dividido por el producto del módulo de Young de la viga y
su momento de inercia.

Para hacer uso de esta comparación ahora consideraremos una viga que tiene la misma
longitud que la viga real, pero llamada aquí como la «viga conjugada». La viga conjugada
está "cargada" con el diagrama M/EI derivado de la carga en la viga real. Con estas
comparaciones, podemos declarar dos teoremas relacionados con la viga conjugada:
• Teorema 1: La pendiente en un punto en la viga real es numéricamente igual al valor
del cortante en el punto correspondiente de la viga conjugada.
• Teorema 2: La deflexión de un punto en la viga real es numéricamente igual al valor
del momento en el punto correspondiente de la viga conjugada.
3.2 APOYOS DE VIGA CONJUGADA
Al dibujar la viga conjugada, es importante que el cortante y el momento desarrollado en
los apoyos de la viga conjugada consideren la pendiente y la deflexión de la viga real en sus
apoyos, como consecuencia de los teoremas 1 y 2. Por ejemplo, como se muestra debajo, en
una articulación o un rodillo en un extremo de la viga real no hay deflexión, pero sí hay una
pendiente. Por consiguiente, a partir de los teoremas 1 y 2, la viga conjugada debe estar
apoyada en una articulación o un rodillo, pues estos apoyos no tienen momento, pero sí un
cortante o reacción. Cuando la viga real está empotrada, tanto la pendiente como la
deflexión son cero. La viga conjugada correspondiente tiene un extremo libre en este punto,
pues allí tanto el momento como el cortante son cero. En las tablas debajo, se muestran los
apoyos correspondientes a una viga conjugada a partir de los de una viga real. Se hace notar
que, como regla general, despreciando las fuerzas axiales, las vigas isostáticas tienen vigas
conjugadas isostáticas, mientras que las vigas hiperestáticas tienen vigas conjugadas
inestables. Aunque ocurra esto, la carga de M/EI provee el "equilibrio" necesario para que
la viga conjugada sea estable
3.3 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
El siguiente procedimiento provee un método que puede ser utilizado para determinar la
pendiente y la deflexión en un punto de la curva elástica usando el método de la viga
conjugada.

Viga conjugada
• Dibuje la viga conjugada correspondiente a la viga real. Esta viga tiene la misma
longitud que la viga original y sus apoyos se corresponden con la tabla de arriba.
• En general, si el apoyo real permite una pendiente, el apoyo de la viga conjugada debe
desarrollar un cortante, y si el apoyo de la viga real permite desplazamiento, el apoyo
de la viga conjugada debe desarrollar un momento.
• Se carga la viga conjugada con el diagrama M/EI de la viga real. Esta carga se asume
distribuida a lo largo de la viga conjugada y su sentido es hacia arriba cuando M/EI
es positivo y hacia abajo cuando M/EI es negativo. En otras palabras, la carga siempre
actúa en un sentido hacia afuera de la viga.
Equilibrio
• Utilizando las ecuaciones de la estática, determine las reacciones en los apoyos de la
viga conjugada.
• Realice un corte en la viga conjugada en el punto donde la pendiente θ y la deflexión
Δ de la viga real se van a determinar. En la sección, calcule el cortante V y el momento
M y estos valores serán iguales a θ y Δ, respectivamente.

Apoyos en la viga real vs apoyos en la viga conjugada
Viga real Viga conjugada
Empotramiento Extremo libre
• 𝒗 = 𝟎
• 𝜽 = 𝟎
• M = 0
• Q = 0
Extremo libre Empotramiento
• 𝒗 ≠ 𝟎
• 𝜽 ≠ 𝟎
• M ≠ 0
• Q ≠ 0
Apoyo articulado Apoyo articulado
• 𝒗 = 𝟎
• 𝜽 ≠ 𝟎
• M = 0
• Q ≠ 0
Articulación o rodillo
interno
Articulación interna o
bisagra
• 𝒗 = 𝟎
• 𝜽 =
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎
• M = 0
• Q ≠
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜
Articulación interna o
bisagra
Articulación o rodillo
interno
• 𝒗 = 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊.
• 𝜽 = 𝒅𝒊𝒔.
• M
= continuo
• Q =
discontinuo

Ejemplos de vigas conjugadas
Viga real Viga conjugada
Viga
sencilla
Viga en
voladizo
Viga con
vuelo en el
lado
izquierdo
Viga con
vuelos en
ambos
lados
Viga
Gerber (2
segmentos
)
Viga
Gerber (3
segmentos
)

UN EJEMPLO DE LA VIGA CONJUGADA

PROBLEMAS RESUELTOS DE VIGA
CONJUGADA

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