Chương 5.pdf

Chƣơng 5
DẠNG TOÀN PHƢƠNG
NỘI DUNG CHÍNH
5.1 – Trị riêng, vectơ riêng
5.1.1. Đa thức đặc trƣng
5.1.2. Giá trị riêng, vectơ riêng
5.1.3. Phƣơng pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng
5.2 – Chéo hoá ma trận
5.2.1. Ma trận chéo hóa đƣợc
5.2.2. Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực
giao

Chƣơng 5
DẠNG TOÀN PHƢƠNG
5.3 – Dạng toàn phƣơng
5.3.1. Dạng toàn phƣơng
5.3.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phƣơng
5.3.3. Phân loại dạng toàn phƣơng
5.4 – Đƣa dạng toàn phƣơng về dạng chính
tắc
5.4.1. Phƣơng pháp biến đổi trực giao
5.4.2. Phƣơng pháp Lagrange
5.4.3. Luật quán tính

 Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
5.1. Trị riêng, vectơ riêng
5.1.1. Đa thức đặc trƣng
Định nghĩa 5.1.1. Cho A là ma trận vuông cấp .
n Ta gọi đa thức
đặc trưng của ma trận A là đa thức
( ) det( ).
A n
p A I
Ví dụ 5.1.1. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận
2 2 1
2 2 0 .
3 1 1
A
Giải. Ta có
3 2
3
2 2 1
( ) det( ) 2 2 0 5 7 8.
3 1 1
A
p A I

Định lí 5.1.1. (Cayley – Hamilton) Mỗi ma trận vuông A là
nghiệm của đa thức đặc trưng của nó, tức là
( ) 0.
A
p A
Ví dụ 5.1.2. Cho ma trận
0 1 0
4 4 0
2 1 2
A và
8 7 6 5 4 3 2
( ) 6 12 8 6 12 10 1.
f x x x x x x x x x
Tính ( ).
f A Tìm 1
A (nếu có).

Giải. Đa thức đặc trưng của A là
3 2
3
1 0
( ) det( ) 4 4 0 6 12 8.
2 1 2
A
x
p x A xI x x x x
x
Thực hiện phép chia đa thức ( )
f x cho đa thức ( ),
A
p x ta được
5
( ) ( )( ) 2 1.
A
f x p x x x x
Theo Định lí 5.1.1, ta có ( ) 0.
A
p A Do đó
5
3
( ) ( )( ) 2 1
0 1 0 1 0 0 1 2 0
2 4 4 0 0 1 0 8 9 0 .
2 1 2 0 0 1 4 2 5
A
f A p A A A A I

Để xét tính khả nghịch của ,
A ta thấy
3 2
3
( ) 6 12 +8 0.
A
p A A A A I
Suy ra 3 2 2
3 3
8 6 12 ( 6 12 )
I A A A A A A I
Hay 2 2
3 3 3
1 1
( 6 12 ) ( 6 12 ) .
8 8
I A A A I A A I A
Vậy A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A là
1 2
3
1
( 6 12 ).
8
A A A I
Cuối cùng ta được 1
1
1 0
4
1 0 0 .
1 1 1
2 4 2
A

5.1.2. Giá trị riêng, vectơ riêng
Định nghĩa 5.1.2. Cho A là ma trận vuông cấp .
n Các nghiệm
thực của đa thức đặc trưng ( )
A
p được gọi là giá trị riêng của ma trận
.
A
Nếu 0
là một giá trị riêng của A thì 0
det( ) 0.
n
A I Do đó, hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất
1
0
0
( )
0
n
n
x
A I
x
có vô số nghiệm.

Định nghĩa 5.1.3. Cho 0 là một giá trị riêng của A. Tập hợp
tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
0
( ) 0,
n
A I X
được gọi là không gian con riêng của ma trận A ứng với giá trị
riêng 0 và được kí hiệu là 0
( ).
E
Định nghĩa 5 .1.4. Cho 0 là một giá trị riêng của A. Các
vectơ khác không là nghiệm của hệ
0
( ) 0,
n
A I X
được gọi là các vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng
0
.

5.1.3. Phƣơng pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng
Bƣớc 1: Tìm đa thức đặc trưng ( ) det( ).
A n
p A I
Bƣớc 2: Giải phương trình ( ) 0
A
p để tìm các trị riêng .
i
Bƣớc 3: Đối với mỗi trị riêng ,
i
tìm các vectơ riêng tương ứng
bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ( ) 0.
i n
A I X
Ví dụ 4.1.3. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận
1 3
.
2 4
A
2
1 3
( ) 3 2 0
2 4
A
p

Giải.
Bƣớc 1: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A
2
2
1 3
( ) 3 2.
2 4
A
p A I
Bƣớc 2: Giải phương trình đặc trưng ( ) 0
A
p ta được 2 giá
trị riêng 1 2
1, 2.
Bƣớc 3: Tìm các vectơ riêng
+ 1
1: Để tìm vectơ riêng ta giải hệ phương trình
2
2 3 2x 3 0
( ) 0
2 3 2x 3 0
x x y
A I
y y y

Hay
2 3 0,
2 3 0.
x y
x y
Nghiệm của hệ trên là : 3 , 2 , .
x a y a a
Không gian con riêng của A ứng với 1
1 là
(1) {(3 ,2 )| }.
E a a a
Các vectơ riêng của A ứng với 1
1 có dạng
(3 ,2 ),
x a a với 0.
a
Do đó, dim (1) 1
E và A có 1 vectơ riêng độc lập tuyến tính
ứng với 1
1 là 1
(3,2).
u

 Với 2
2 : Ta giải hệ phương trình
2
( 2 ) 0
x
A I
y
hay
3 3 0,
2 2 0.
x y
x y
Nghiệm của hệ là : , , .
x b y b b
Không gian con riêng của A ứng với trị riêng 2
2 là
(2) {( , )| }.
E b b b
Các vectơ riêng của A ứng với 2
2 có dạng ( , ),
b b với 0.
b
Ta có dim (2) 1
E và A có một vectơ riêng độc lập tuyến
tính ứng với 2
2 là 2
(1,1).
u

Định lí 5.1.2. Nếu 1 2
, ,..., m
u u u lần lượt là m vectơ riêng ứng
với m trị riêng phân biệt 1 2
, ,..., ( )
m
m n của ma trận vuông
A cấp n thì hệ vectơ 1 2
{ , ,..., }
m
u u u là độc lập tuyến tính.
Nói cách khác, các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của
A tạo thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính.

Chứng minh. Ta chứng minh hệ vectơ 1 2
{ , ,..., }
m
u u u độc lập tuyến
tính bằng quy nạp như sau:
Nếu 1
m thì hệ gồm một vectơ 1
{ }
u độc lập tuyến tính vì
1
0.
u
Giả sử định lí đúng trong trường hợp 1.
m k Ta sẽ chứng
minh nó cũng đúng trong trường hợp 1,
m k nghĩa là hệ
1 2 1
{ , ,..., , }
k k
u u u u độc lập tuyến tính, trong đó i
u là vectơ riêng ứng
với trị riêng , 1, 1.
i
i k

Thật vậy, giả sử
1
1
[ ] 0,
k
i i
i
u
Vì i
u là vectơ riêng ứng với trị riêng , 1, 1
i
i k nên
1 1
1 1 1
1 1 1
[ ] [ ] [ ] [ ] 0.
k k k
i i i i i i i i k k k
i i i
Au u u u (*)
Mặt khác, nhân hai vế của đẳng thức
1
1
[ ] 0
k
i i
i
u cho 1
k
, ta
được
1
1 1 1 1 1
1 1
[ ] [ ] [ ] 0.
k k
i k i i k i k k k
i i
u u u (**)
Từ (*)và (**), suy ra

1
1
( ) [ ] 0.
k
k i i i
i
u
Theo giả thiết quy nạp, 1 2
{ , ,..., }
k
u u u độc lập tuyến tính nên
1
( ) 0, 1, .
k i i
i k
Vì các trị riêng phân biệt, tức 1
k i
nên 0, 1, .
i
i k
Thay kết quả này vào lại đẳng thức
1
1
[ ] 0
k
i i
i
u , ta được
1 1
[ ] 0.
k k
u
Vì vectơ 1
[ ] 0
k
u nên 1
0.
k
Vậy
0, 1, 1,
i
i k
điều này có nghĩa là hệ 1 2 1
{ , ,..., , }
k k
u u u u độc lập tuyến tính.

5.2. Chéo hóa ma trận
5.2.1. Ma trận vuông chéo hóa đƣợc
Định nghĩa 5.2.1. Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo
hóa được nếu tồn tại ma trận P vuông cấp n khả nghịch sao cho
1
P AP là ma trận chéo.
Khi đó, ma trận P được gọi là ma trận làm chéo hóa A hay
ma trận A được chéo hóa bởi ma trận .
P
Câu hỏi đặt ra là những ma trận vuông nào là chéo hóa được,
trong trường hợp chéo hóa được thì tìm ma trận P như thế nào?
Định lí sau sẽ trả lời câu hỏi đó.

Chƣơng 5. Dạng toàn phƣơng
Định lí 5.2.1. (Điều kiện chéo hóa được) Ma trận ( )
n
A M
chéo hóa được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lập
tuyến tính, tức là
1
dim ( ) ,
k
i
i
E n
với 1
,..., k là tất cả các giá trị riêng của .
A Hơn nữa, ma trận P
làm chéo hóa A là ma trận có các cột là n vectơ riêng độc lập
tuyến tính của .
A
Nói cách khác, các cột của P là các vec tơ cơ sở của các
không gian con riêng của .
A
Từ Định lí 5.2.1, suy ra phương pháp chéo hóa ma trận
vuông A như sau.

Bƣớc 1: Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng độc lập tuyến
tính của .
A
Bƣớc 2: Nếu tổng số các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bé
hơn n thì A không chéo hóa được.
Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì A
chéo hóa được. Khi đó, ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của
nó chính là các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột và
1
1 2
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... n
P AP
là ma trận chéo, trong đó i là giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng

Ví dụ 4.2.1. Chéo hóa ma trận
1 3
2 4
A (nếu được).
Giải. Ma trận A có 2 giá trị riêng là 1 2
1, 2 và có 2
vectơ riêng độc lập tuyến tính là
1
(3,2) và 2
(1,1).
Do số các vectơ riêng bằng cấp của A nên A chéo hóa được.
Ma trận P cần tìm là
3 1
.
2 1
P Khi đó, ta có
1 1 0
.
0 2
P AP
Nếu chọn
1 3
1 2
P thì 1 2 0
.
0 1
P AP

Ví dụ 5.2.2. Chéo hóa ma trận
3 1 1
7 5 1
6 6 2
A (nếu được).
2
3
3 1 1
7 5 1 ( 2) (4 ).
6 6 2
A I
Các trị riêng của A là 2(bội 2), 4 (bội 1). Theo Định
lí 5.2.1, dim (4) 1.
E
Tiếp theo, ta giải hệ phương trình 3
( 2 ) 0
A I X để tìm
( 2).
E Biến đổi ma trận mở rộng

2 2 1
3 3 1 3 3 2
7
6
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
7 7 1 0 0 0 6 0 0 0 6 0
6 6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
d d d
d d d d d d
Không gian E(-2) là tập các vectơ 1 2 3
( , , )
x x x x
 thỏa
1
1 2 3
2
3
3
1 1 1
0
0 0 6 ( , ,0), .
6x 0
0 0 0
x
x x x
x O x t t t
x
( , , 0) (1
,1
, 0), .
x t t t t
Do đó, một cơ sở của ( 2)
E là {(1,1, 0)} và dim ( 2) 1.
E
Tổng số chiều của E(-2) và E(4) là 2 < 3 = n, nên ma trận A không chéo hóa
được.

5.2.2. Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao
Định nghĩa 5.2.2. Ma trận vuông P cấp n được gọi là ma trận
trực giao nếu P khả nghịch và 1
.
T
P P
Khi đó, .
T T
n
P P PP I
Định lí 5.2.2. Ma trận vuông P cấp n là ma trận trực giao khi và
chỉ khi các cột của P lập thành một hệ vectơ trực chuẩn với tích vô
hướng trên .
n
Tiếp theo chúng ta nghiên cứu vấn đề chéo hóa ma trận trong
trường hợp A là ma trận đối xứng và ma trận làm chéo hóa A là ma
trận trực giao .
P
Ta biết rằng không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được,
tuy nhiên đối với ma trận đối xứng chúng ta có kết quả sau.

Định lí 5.2.3. Ma trận vuông A là ma trận đối xứng khi và chỉ khi
tồn tại một ma trận trực giao P làm chéo hóa .
A
Định lí 5.2.4. ChoA là ma trận đối xứng. Khi đó, các vectơ riêng
thuộc những không gian riêng khác nhau sẽ trực giao theo tích vô
hướng Euclide trong .
n
Chứng minh. Giả sử , là hai giá trị riêng phân biệt của ma trận
A và
1 1 1 1
( , ,..., ) ( ), ( , ,..., ) ( ).
n n
v v v v E w w w w E
Khi đó, ta có
,
Av v Aw w

và
1 1 2 2
, ... [ ] [ ].
t
n n
v w v w v w v w v w
Ta sẽ chứng minh , 0.
v w Thật vậy, do A là ma trận đối xứng
nên
, , , [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ,
, , .
t
t t t
v w v w Av w Av w
v A w v Aw v Aw
v w v w
Do đó
( ) , 0,
v w
vì nên suy ra , 0.
v w

Nhận xét 5.2.1. 1) Trong Định lí 5.2.3, ma trận P có thể chọn là
ma trận có các cột là hệ vectơ trực chuẩn các vectơ riêng của A thu
được bằng cách trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ các vectơ riêng độc
lập tuyến tính của .
A
2) Theo Định lí 5.2.4, ta chỉ cần áp dụng quá trình trực chuẩn hóa
Gram-Schmidt vào mỗi cơ sở của các không gian con riêng của A để
được một cơ sở trực chuẩn cho mỗi không gian riêng
Ví dụ 5.2.3. Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận đối
xứng
4 2 2
2 4 2 .
2 2 4
A

2
3
4 2 2
2 4 2 ( 2) (8 ).
2 2 4
A I
Các trị riêng của A là 2, 8.
+ Một cơ sở của (2)
E là
1 2
( 1,1,0), ( 1,0,1).
X X
Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ vectơ 1 2
{ , }
X X ta được hệ vectơ trực
chuẩn là : 1 2
1 1 1 1 2
, ,0 , , , .
2 2 6 6 6
X X

+ Một cơ sở của (8)
E là 3
(1,1,1)
X . Trực chuẩn hóa Gram-
Schmidt hệ vectơ 3
{ }
X , ta được vectơ
3
1 1 1
, , .
3 3 3
X
Ma trận trực giao P làm chéo hóa A là
1 1 1
2 6 3
1 1 1
.
2 6 3
2 1
0
6 3
P

5.3. Dạng toàn phƣơng
5.3.1. Dạng toàn phƣơng
Định nghĩa 5.3.1. Một dạng toàn phương trên n
là
đa thức đẳng cấp bậc hai của n biến 1 2
, ,..., n
x x x , có dạng
1 1
( ) ,
n n
ij i j
i j
Q x a x x
với , , 1, .
ij ji
a a i j n
Đặt
1 2
[ ... ], ( )
T
n ij n
X x x x A a .

Khi đó ( )
Q x được viết lại dưới dạng ma trận
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
( ) ( ) ,
n
T
n
n
n n nn n
a a a x
a a a x
Q x x x x X AX
a a a x
trong đó A là ma trận đối xứng và được gọi là ma trận của dạng toàn
phương.
Ví dụ 5.3.1.
1) 2 2
1
1 2 1 1 2 2
2
3 2
( ) ( ) 3 4 5
2 5
T x
Q x X AX x x x x x x
x
là dạng toàn phương trên 2
với ma trận
3 2
.
2 5
A

2) ( ) T
Q x X AX
1
1 2 3 2
3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 3 2 3
1 1 3
( ) 1 4 2
3 2 4
2 6 4 4 4
x
x x x x
x
x x x x x x x x x
là dạng toàn phương trên 3
với ma trận
1 1 3
1 4 2 .
3 2 4
A

Ví dụ 5.3.2. Tìm ma trận của dạng toàn phương
2 2 2
1 1 2 2 1 3 3 2 3
( ) 2 2 6 3 2 .
Q x x x x x x x x x x
Giải. Ta viết lại
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 2
( ) 2 3 3 3
Q x x x x x x x x x x x x x x x x
Do đó ma trận của dạng toàn phương là
2 1 3
1 1 1
3 1 3
A

5.3.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phƣơng
Dạng toàn phương ( )
Q x được gọi là ở dạng chính tắc
nếu
2 2 2
1 1 2 2
( ) .
n n
Q x a x a x a x
Khi đó, ma trận của ( )
Q x là ma trận chéo
1
2
0 0
0 0
.
0 0 n
a
a
a

Ví dụ 5.3.3. Trong 3
các dạng toàn phương sau ở dạng
chính tắc
1) 2 2 2
1 2 3
( ) 2
Q x x x x ma trận tương ứng 1
1 0 0
0 2 0 .
0 0 1
A
2) 2 2
1 2
( ) 2
Q x x x ma trận tương ứng 2
2 0 0
0 1 0 .
0 0 0
A
3) 2 2
2 3
( ) 3
Q x x x ma trận tương ứng 3
0 0 0
0 1 0 .
0 0 3
A

5.3.3. Phân loại dạng toàn phƣơng
Định nghĩa 5.3.2. Dạng toàn phương ( )
Q x được gọi là
1) xác định dương nếu ( ) 0, 0;
Q x x
2) nửa xác định dương nếu ( ) 0, 0
Q x x và tồn tại 0
0
x
sao cho
0
( ) 0;
Q x
3) xác định âm nếu ( ) 0, 0;
Q x x
4) nửa xác định âm nếu ( ) 0, 0
Q x x và tồn tại 0
0
x sao
cho
0
( ) 0.
Q x
5) nếu ( )
Q x có thể nhận giá trị âm và cũng có thể nhận giá trị
dương thì ta nói ( )
Q x không xác định dấu.

Ví dụ 5.3.4.
1) 2 2
1 2
( ) 2
Q x x x là dạng toàn phương xác định dương trên 2
.
2) 2 2
1 3
( ) 2
Q x x x là dạng toàn phương nửa xác định dương trên
3
.
3) 2 2
1 2
( ) 2
Q x x x là dạng toàn phương không xác định dấu trên
2
.

5.4. Đƣa dạng toàn phƣơng về dạng chính tắc
Ta thấy rằng, một dạng toàn phương ở dạng chính tắc có biểu thức
và ma trận đơn giản, do đó dễ nghiên cứu và phân loại.
Trong phần còn lại của chương này, chúng ta xét một vài phương
pháp đổi biến số để đưa dạng toàn phương ( )
Q x về dạng chính tắc.
5.4.1. Phƣơng pháp biến đổi trực giao
Định lí 5.4.1. Cho dạng toàn phương ( ) .
T
Q x X AX Giả sử
1 2
, , , n là các giá trị riêng của ma trận A và P là ma trận trực
giao làm chéo hóa A (tức là 1
P AP D là ma trận chéo). Khi đó,
bằng cách đổi biến X PY ta được
2 2 2
1 1 2 2
.
T T
n n
X AX Y DY y y y

Chứng minh. Ta có
( ) ( ) .
T T T T
X AX PY A PY Y P APY
Vì P là ma trận trực giao làm chéo hóa A nên 1
T
P P và
1
P AP D là ma trận chéo.
Do đó
1 2 2 2
1 1 2 2
.
T T T
n n
X AX Y P APY Y DY y y y

Từ Định lí 5.4.1, ta có thể đưa ra các bước để đưa dạng toàn
phương ( )
Q x về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao
như sau:
Bƣớc 1: Viết ma trận A của dạng toàn phương.
Bƣớc 2: Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (tức là tìm ma trận
trực giao P sao cho 1
P AP D là ma trận chéo).
Bƣớc 3: Kết luận dạng chính tắc cần tìm là
2 2 2
1 1 2 2
( ) ,
T
n n
Q y Y DY y y y
với 1 2
, , , n
là các trị riêng của .
A
Chú ý ở bước 2, ma trận trực giao P làm chéo A phải có các cột
là các vectơ trực chuẩn, do đó ta phải trực chuẩn hóa hệ các vectơ
riêng độc lập tuyến tính của .
A

Ví dụ 5.4.1. Đưa dạng toàn phương
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
( ) 2 2 2 2 3
Q x x x x x x x x
về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao.
Giải. Ma trận của ( )
Q x là
2 0 1
0 2 1 .
1 1 3
A
Ma trận A có các trị riêng 1 2 3
1, 2, 4 , với 3 vectơ riêng đã chuẩn
hóa bằng phương pháp Gram-Schmidt là
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2
, , ; , ,0 ; , , .
3 3 3 2 2 6 6 6
u u u

Ma trận trực giao P làm chéo hóa A là
1 1 1
3 2 6
1 1 1
.
3 2 6
1 2
0
3 6
P
Thực hiện phép đổi biến số ,
X PY hay
1 1
2 2
3 3
1 1 1
3 2 6
1 1 1
.
3 2 6
1 2
0
3 6
x y
x y
x y
Ta được dạng chính tắc là 2 2 2
1 2 3
( ) 2 4 .
Q y y y y

5.4.2. Phƣơng pháp Lagrange
Nội dung của phương pháp Lagrange là biến đổi biểu thức tọa
độ của dạng toàn phương thành các tổng bình phương. Thuật
toán Lagrange có thể chia làm các bước sau:
Bƣớc 1: Chọn một số hạng có chứa 2
k
x ( 0)
kk
a .
Nếu không có số hạng nào như vậy trong biểu thức tọa độ của
dạng toàn phương thì có thể tìm được 0,
ij
a ta đổi biến
; ; , ( , ).
2 2
i j i j
i j k k
x x x x
y y y x k i k j
Khi đó, sẽ xuất hiện số hạng chứa 2
.
i
y

Bƣớc 2: Tách biểu thức tọa độ của dạng toàn phương thành
hai nhóm, một nhóm có chứa ,
k
x nhóm còn lại không chứa .
k
x
Bƣớc 3: Trong nhóm thứ nhất ta lập thành tổng bình phương.
Bƣớc 4: Quay lại bước 1, 2, 3 cho nhóm thứ hai và cứ thế
tiếp tục cho đến khi tìm được dạng chính tắc.

2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
( ) 2 2 2 2 3
Q x x x x x x x x
về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange.
Giải. Thực hiện phép biến đổi
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
2 2 2 2
1 1 3 3 2 2 3 3
2
2 2 2
1 3 2 2 3 3 3
( ) 2 2 2 2 3
(2 2 ) (2 2 3 )
1 1 5
2 2 2 2
2 4 2
1 1 1
2 2 2 2
2 2 4
Q x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
2 2
2
1 3 2 3 3
1 1
2 2 2 .
2 2
x x x x x

Đặt 1 1 3 2 2 3 3 3
1 1
, , ,
2 2
y x x y x x y x ta được dạng chính
tắc
2 2 2
1 2 3
( ) 2 2 2 .
Q y y y y
Nếu đặt
1 1 3 2 2 3 3 3
1 1
, , 2 ,
2 2
y x x y x x y x
thì dạng chính tắc là 2 2 2
1 2 3
( ) 2 2 .
Q y y y y
Do đó ta thấy rằng dạng chính tắc của dạng toàn phương là
không duy nhất.

1 2 1 3 2 3
( ) 2 2 6
Q x x x x x x x
về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange.
Giải. Đặt
1 2 1 2
1 2 3 3
, , .
2 2
x x x x
y y y x
1 1 2 2 1 2 3 3
, , .
x y y x y y x y
Khi đó, ( )
Q x trở thành
2 2
1 2 1 3 2 3
( ) 2 2 4 8 .
Q y y y y y y y
Thực hiện tương tự như trên, ta được
2 2 2
1 2 3
( ) 2z 2z 6z .
Q z   

Như trên ta đã thấy, một dạng toàn phương có thể có nhiều
dạng chính tắc khác nhau. Tuy nhiên, các dạng chính tắc này đều
có đặc điểm chung là số các hệ số dương và âm không đổi, được
gọi là chỉ số quán tính dương (hoặc âm).
5.4.3. Luật quán tính
Định lí 5.4.2. Chỉ số quán tính dương (âm) trong dạng chính
tắc của một dạng toàn phương không phụ thuộc vào phương
pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.
Định lí 5.4.3. Cho dạng toàn phương ( )
Q x trên .
n
( )
Q x xác
định dương (âm) khi và chỉ khi chỉ số quán tính dương (âm) bằng
.
n

Ví dụ 4.4.4. 1) Trong 3
, dạng toàn phương
2 2 2
1 2 3
( ) 2 4
Q x x x x
có chỉ số quán tính dương bằng 3 nên nó xác định dương.
2) Trong 4
, dạng toàn phương 2 2 2 2
1 2 3 4
( ) 5 2 3
Q x x x x x
có chỉ số quán tính âm bằng 4 nên nó xác định âm.

Nhận xét 4.4.1. 1) Một dạng toàn phương xác định dương
(âm) khi và chỉ khi ma trận của nó chỉ có các trị riêng dương
(âm).
2) Một dạng toàn phương là nửa xác định dương (âm) khi và chỉ khi
ma trận của nó có trị riêng bằng không và các trị riêng còn lại đều
dương (âm).
Cho ma trận vuông
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
.
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
Ta gọi các định thức 1 11
,
a 11 12
2
21 22
, ..., n
a a
A
a a
là các định thức con chính của ma trận .
A

Định lí 5.4.4. (Sylvester) Cho dạng toàn phương Q có ma
trận là .
A Khi đó, ta có
1) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính
k của A đều dương;
2) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính của
A đan dấu với 1
0.

Ví dụ 4.4.5. Xác định dấu của dạng toàn phương
2 2 2
1 1 2 2 2 3 3 1 3
( ) 2 2 2 2 2 .
Q x x x x x x x x x x
Giải. Ma trận của dạng toàn phương là
1 1 1
1 2 1 .
1 1 2
A
Các định thức con chính
1 2 3
1 1
1 0; 1 0; 1 0.
1 2
A
Vậy ( )
Q x là dạng toàn phương xác định âm.

Chương 5.pdf

More Related Content

What's hot

Similar to Chương 5.pdf

Chương 5.pdf