This is chapter 4 of the entire Linear Algebra course organized in Ho Chi Minh city University of Technology - Vietnam National University

1. Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ môn Toán ứng dụng
------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính
Tuần 4: Tọa độ véctơ
Không gian con
Giảng viên TS Đặng Văn Vinh

2. 1 2 1 1
3 1 0 5
2 4 1 6
A

 
 

 
 

 
{(1,2,1, 1);(3,1,0,5);( 2,4,1,6)}
M   
Họ véctơ hàng của A
Họ véctơ cột của A
1 2 1 1
3 , 1 , 0 , 5
2 4 1 6
N

 
       
 
       
  
       
       
 

       
 
Định nghĩa hạng của họ véctơ
Hạng của họ véctơ M là số véctơ độc lập tuyến tính cực
đại trong M, ký hiệu r(M).

3. Định lý về hạng:
Cho A là ma trận cở mxn trên tập số K.
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ hàng A.
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ cột của A.

4. Ví dụ
Tìm hạng của họ véctơ sau
{(1,1,1,0);(1,1, 1,1);(2,3,1,1),(3,4,0,2)}
M  

5. Nếu tập hợp M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính.
1/ 
Tính chất của không gian véctơ
---------------------------------------------------------------------------------------
Tập hợp M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véctơ
là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.
2/ 
Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu
được một họ phụ thuộc tuyến tính.
3/ 
Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được
họ độc lập tuyến tính.
4/ 
Cho họ véctơ M chứa m véctơ 1 2
{ , ,..., }
m
M x x x

Cho họ véctơ N chứa n véctơ 1 2
{ , ,..., }
n
N y y y

Nếu mỗi véctơ yk của N là tổ hợp tuyến tính của M và
n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.
5  / Bổ đề cơ bản

6. Giả sử V là không gian hữu hạn chiều.
Định lý.
1. Tồn tại vô số cơ sở của không gian vectơ V.
2. Số lượng vectơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau.

7. Định lý 3.2.2. Cho biết dim(V) =n
2/ Mọi tập con M của V chứa ít hơn n véctơ không sinh ra V.
1/ Mọi tập con M của V chứa nhiều hơn n véctơ là tập
hợp phụ thuộc tuyến tính.
3/ Mọi tập con, độc lập tuyến tính, có đúng n véctơ là cơ
sở của V.
4/ Mọi tập sinh của V có đúng n véctơ là cơ sở của V
5/ Tập con M là tập sinh của V khi và chỉ khi hạng của M
bằng số chiều của V.

8. Dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở
dim( ) .
n
R n

(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,0,...,1)
{ }
E 
Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở
dim( ) 1.
[ ]
n
P x n
 
1
, ,..., ,1
{ }
n n
E x x x


Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở
2
dim( ) .
[ ]
n
M R n

1 0 ... 0 0 1 ... 0
0 0 0 0 , 0 0 0 0 ,...
0 0 0 0 0 0 0 0
E
 
   
 
   
  
   
   
 
   
 

9. Toạ độ của véctơ
---------------------------------------------------------------------

10. Toạ độ của véctơ
---------------------------------------------------------------------
Cho E ={e1, e2, …, en} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V
Định nghĩa toạ độ của véctơ
1 1 2 2 ...
     n n
x x e x e x e
1
2
[ ]E
n
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
x V
 
Bộ số được gọi là tọa độ của véctơ x trong
cơ sở E và được ký hiệu bởi
1 2
( , ,..., )
n
x x x

11. 2 2 2
Cho { 1; 2 1; 2}
E x x x x x x
      
Ví dụ
Tìm véctơ p(x), biết toạ độ trong cơ sở E là
3
[ ( )] 5
2
E
p x
 
 
 
 
 
 
là cơ sở của không gian 2[x]
P

12. Cho {(1,2, 1);(2,5, 3);(3,7, 5)}
E    
Ví dụ
Tìm tọa độ của véctơ x = (3;1;2) trong cơ sở E.
là cơ sở của R3
.

13.    
1 1 2 2 1 2
... , ,...,
T
n n n
E
x x e x e x e x x x x
     
Tính chất của tọa độ véctơ
Cho hai véctơ và y , biết
x
1/ Tọa độ của véctơ x trong cơ sở E là duy nhất.
   
1 1 2 2 1 2
... , ,...,
T
n n n
E
y y e y e y e y y y y
     
2/
1 1
2 2
n n
x y
x y
x y
x y


 

  

 

4/    
1 1 2 2
, ,...,
T
n n
E
x y x y x y x y
    
3/        
1 2 1 2
, , ,..., , ,...,
T T
n n
E E
K x x x x x x x x
      
    

14. Cho hai cơ sở của kgvt V:    
1 2 1 2
, , ,
E e e F f f
 
  1
1 1 2 2
2
, E
x
x V x x e x e x
x
 
       
 
  1
1 1 2 2
2
F
y
x y f y f x
y
 
     
 
  11
1 11 1 21 2 1
21
E
a
f a e a e f
a
 
     
 
  12
2 12 1 22 2 2
22
E
a
f a e a e f
a
 
     
 
   
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2
x a y a y e a y a y e
   
   
1 11 1 21 2 2 12 1 22 2
x y a e a e y a e a e
    
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
a y a y x
a y a y x
 

 
 

11 12 1 1
21 22 2 2
a a y x
a a y x
    
 
    
    
   
E F
x A x
 
Ma trận A được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ E sang F.
Cấu trúc của A:    
 
1 2
E E
A f f
  
1 1
1 2
E f E f
 
  
1
1 2
E f f


1
A E F



15. Tính chất của ma trận chuyển cơ sở:
1/ Ma trận chuyển cơ sở A là một ma trận khả nghịch.
2/ Nếu A là ma trận chuyển từ E sang F, thì là ma trận chuyển
1
A
cơ sở từ F sang E.
3/ Nếu A là ma trận chuyển từ E sang F và B là ma trận chuyển cơ
sở từ F sang G, thì AB là ma trận chuyển từ E sang G.

16. 3/ Tìm biết
Trong R3 cho hai cơ sở: E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)}
1/ Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang F.
F = {(1,1,2); (1,2,1); (1,1,1)}
Tìm tọa độ của véctơ trong E:

1 (1,1,2)
f
 
 

 
 



1
[
2
0
1
]E
f
Tương tự :
 
 

 
 



2
[
2
1
0
]E
f
 
 

 
 
 
3
[ ]
1
0
0
E
f
 
 
 
 
 

 

2
1
0
1
0
0
2
0
1
A
Ví dụ
2/ Tìm biết
[ ]F
y
 
[ ] (2;1; 1)T
F
x

[ ] (1;4;3)T
E
y
[ ]E
x

17. Không gian con
-------------------------------------------------------------------------------
Cho F là tập hợp con của K-kgv V.
Nếu F cùng với hai phép toán có sẵn trong V là một K-kgv
thì F được gọi là không gian con của V.
Định nghĩa (không gian con)

18. Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V
khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa.
1 2 1 2
1/ , :
f f F f f F
   
2 / , :
f F K f F
 
    
Định lý (không gian con)

19.  
1 2 3 3 1 2 3
( , , ) | 2 0
F x x x R x x x
    
Ví dụ
1. Chứng tỏ F là không gian con của R3
2. Tìm một cơ sở và số chiều của F.

20.  
1 2 1 1 2 2
, ,..., m m m k
F v v v v v v K
   
      
Không gian con được sinh ra bởi một họ véctơ
Cho tập hợp con của K-kgv V.
 
1 2
, ,..., m
M v v v

1/ F là không gian con của V
2/ dim(F) = Hạng của họ véctơ M.
Gọi F là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của M.

21. Cho .
 
(1,1,2,1);(2,3,1,4);(3,4,7,1);(5,7,4,9)
M 
Tìm một cơ sở và số chiều của kgian con F được sinh ra bởi M.
Ví dụ

22. Không gian nghiệm của hệ thuần nhất
 , 0
m n
A M K AX

 
0
E là tập hợp các nghiệm của hệ
0
1/ E  
2/ Tổng hai nghiệm là một nghiệm
3/ Tích của một nghiệm với một số là một nghiệm
0
E là không gian con của
n
K
0
E được gọi là không gian nghiệm của hệ thuần nhất
 
0
dim ( )
E n r A
 

23. 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
2 5 4 0
5 12 9 0
x x x
x x x
x x x
  


  

   

Ví dụ
Tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của hệ
phương trình