1. 1
PH×ÌNG PHÁP CHUYšN VÀ TRONG CHÙNG MINH
B‡T NG THÙC HOÁN VÀ
VÕ QUÈC BÁ C‰N
Hi»n nay có r§t nhi·u ph÷ìng pháp m¤nh và mîi º chùng minh b§t ¯ng thùc nh÷ là
EV cõa Vasile Cirtoaje, SOS cõa Ph¤m Kim Hùng và Tr¦n Tu§n Anh, . . . Nh÷ng các ph÷ìng
pháp này ph¦n lîn ch¿ dùng º gi£i quy¸t các bài toán èi xùng, khi g°p các b§t ¯ng
thùc hoán và thì chúng th÷íng tä ra kém hi»u qu£. Vªy chúng ta có cách nào º gi£i quy¸t
các b§t ¯ng thùc hoán và không? Bài vi¸t này, chúng tôi xin ÷ñc chia s´ cùng các b¤n
mët kinh nghi»m nhä º chùng minh b§t ¯ng thùc hoán và 3 bi¸n (và ôi khi ta cung có
thº áp döng nó cho b§t ¯ng thùc hoán và 4 bi¸n). R§t mong nhªn ÷ñc ý ki¸n óng góp
cõa các b¤n!
Nh÷ ã nói ð trên, các ph÷ìng pháp chùng minh b§t ¯ng thùc èi xùng thì r§t nhi·u
nên n¸u ta có thº chuyºn mët b§t ¯ng thùc hoán và v· d¤ng èi xùng thì vi»c chùng
minh không còn gì khó khan c£. ó chính là kinh nghi»m nhä mà chúng tôi muèn giîi
thi»u cùng b¤n åc, mët kÿ thuªt giúp ta chuyºn mët b§t ¯ng thùc hoán và thành mët
b§t ¯ng thùc èi xùng º gi£i, ta t¤m gåi ó là ph÷ìng pháp chuyºn và.
º hiºu rõ hìn ý t÷ðng cõa nó, chúng ta hãy cùng xét ví dö sau
Example 0.1 Cho các sè thüc không âm a, b, c thäa mãn a + b + c = 4. Chùng minh r¬ng
a2b + b2c + c2a + abc 4.
(Vasile Cirtoaje, Ph¤m Kim Hùng)
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh có d¤ng
a ab + b bc + c ca + abc 4.
Ta th§y r¬ng ây là mët b§t ¯ng thùc hoán và vîi ¯ng thùc x£y ra t¤i a = b = c = 1
và a = 2, b = 1, c = 0 (vîi gi£ thi¸t c = minfa, b, cg). i·u này chùng tä r¬ng vi»c ánh
giá nó là không d¹ dàng chút nào, ch¿ c¦n mët chút quá à thì cung có thº ÷a ¸n k¸t
qu£ không mong muèn. Mët cách tü nhiên, ta nghi ngay ¸n vi»c chuyºn nó v· d¤ng èi
xùng º gi£i. Thông th÷íng, måi ng÷íi th÷íng nghi ¸n vi»c chuyºn v· èi xùng cho ba
bi¸n, nh÷ng vi»c này r§t khó thüc hi»n (vì b§t ¯ng thùc này có ¸n hai iºm ¯ng thùc),
cho nên ta hãy nghi ¸n vi»c ÷a v· èi xùng cho hai bi¸n (mà không ph£i ba). Muèn làm

2. 2
i·u này, các b¤n hãy cùng º ý ¸n hai biºu thùc ÷ñc g¤ch chân ð trên, chúng có i·u
gì kì l¤? À, n¸u ta hoán êi và trí cho nhau thì ta có thº thu ÷ñc mët b§t ¯ng thùc mîi là
a ab + b ca + c bc + abc 4.
Và thªt thú và, ây l¤i là mët b§t ¯ng thùc èi xùng cho hai bi¸n a và c. Vì vªy, n¸u ta
có mët ánh giá kiºu nh÷ a ab + b bc + c ca + abc a ab + b ca + c bc + abc thì ó
là mët i·u tuy»t víi! May m­n thay, i·u này t÷ìng ÷ìng vîi c(a b)(b c) 0 và
chúng ta hoàn toàn có thº ¤t ÷ñc i·u này b¬ng cách gi£ sû b là sè h¤ng n¬m giúa a và
c. ¸n ây, ta tìm ÷ñc líi gi£i cho bài toán nh÷ sau:
Không m§t tính têng quát, gi£ sû b là sè h¤ng n¬m giúa a và c. Khi ó, ta có
a ab + b bc + c ca + abc a ab + b ca + c bc + abc
= b(a + c)2
1
2
2b + a + c + a + c
3
3
= 4.
Bài toán ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi và ch¿ khi a = b = c = 1 và
a = 2, b = 1, c = 0 (cùng các hoán và t÷ìng ùng).
ây là mët ví dö quen thuëc, và có l³ nhi·u b¤n s³ cho r¬ng nó quá quen thuëc, hiºn
nhiên. Và n¸u b¤n, nào tinh ý thì s³ th§y r¬ng vi»c ánh giá a ab + b bc + c ca + abc a ab + b ca + c bc + abc ð trên thüc ra chính là vi»c sû döng b§t ¯ng thùc s­p x¸p l¤i
cho hai bë sè ìn i»u cùng chi·u (a, b, c) và (ab, ca, bc) (vîi gi£ thi¸t b là sè h¤ng n¬m
giúa). Tuy nhiên, chúng tôi ¸n vîi ý t÷ðng chuyºn và này hoàn toàn ëc lªp vîi b§t ¯ng
thùc s­p x¸p l¤i. Chúng ta hãy cùng i ¸n ví dö sau º th§y rõ ÷ñc i·u ó
Example 0.2 Cho các sè không âm x, y, z có têng b¬ng 1. Chùng minh b§t ¯ng thùc sau
q
x + y2 +
q
y + z2 +
p
z + x2 2.
(Phan Thành Nam)
Rõ ràng vîi bài toán này, vi»c sû döng b§t ¯ng thùc s­p x¸p l¤i là r§t khó (có thº nói là
không thº), nh÷ng vi»c sû döng phép chuyºn và nh÷ trên thì ta v¨n có thº áp döng ÷ñc.
Và mët i·u thú và núa là, vîi nhúng cách phân tích khác nhau thì chúng ta l¤i có nhúng
phép chuyºn và khác nhau, giúp ÷a bài toán i ¸n k¸t qu£. Ch¯ng h¤n, ð ví dö này,
chúng ta có hai cách chuyºn và sau
Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc này có d¤ng çng bªc (ð v¸ trái) là
q
x2 + y2 + xy + xz +
q
y2 + z2 + yz + yx +
q
z2 + x2 + zx + zy 2.
Ta th§y r¬ng b§t ¯ng thùc này chùa can và hoán và cho 3 bi¸n x, y, z nên vi»c ánh giá nó
s³ g°p r§t nhi·u khó khan, cho nên ý t÷ðng cõa ta ð ây chính là chuyºn nó v· d¤ng èi

3. 3
xùng, ch¯ng h¤n cho y và z. º thüc hi»n, ta hãy º ý 2 biºu thùc yx và zy ÷ñc g¤ch chân
ð trên, n¸u ta chuyºn và 2 biºu thùc này thì s³ thu ÷ñc mët b§t ¯ng thùc mîi
q
x2 + y2 + xy + xz +
q
y2 + z2 + yz + yz +
q
z2 + x2 + zx + xy 2.
Và thªt thú và, nó là mët b§t ¯ng thùc èi xùng cho y và z. Vîi ý t÷ðng nh÷ vªy, chúng
ta c¦n có
q
y2 + z2 + yz + yx +
q
z2 + x2 + zx + zy
q
y2 + z2 + yz + yz +
q
z2 + x2 + zx + xy.
Bình ph÷ìng 2 v¸, và thu gån, ta th§y b§t ¯ng thùc này t÷ìng ÷ìng vîi
y(x y)(x z)(x + y + z) 0.
i·u này có thº ¤t ÷ñc n¸u ta gi£ sû x = min fx, y, zg ho°c x = max fx, y, zg . Vîi
nhúng phân tích này, ta i ¸n líi gi£i cõa bài toán nh÷ sau:
Không m§t tính têng quát, gi£ sû x = min fx, y, zg , khi ó theo trên, ta có ngay
q
y2 + z2 + yz + yx +
q
z2 + x2 + zx + zy
q
y2 + z2 + yz + yz +
q
z2 + x2 + zx + xy,
nên b§t ¯ng thùc cõa ta ÷ñc ÷a v·
q
x + y2 +
p
x + z2 + y + z 2,
t֓ng ֓ng q
x + y2 +
p
x + z2 2x + y + z.
Áp döng b§t ¯ng thùc Minkowski, ta có
q
x + y2 +
p
x + z2
qpx + px
2
+ (y + z)2 =
q
4x + (y + z)2
=
q
4x(x + y + z) + (y + z)2 = 2x + y + z.
Do ó, b§t ¯ng thùc cõa ta ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi và ch¿ khi
x = y = z = 1
3 ho°c x = 1, y = z = 0 và các hoán và t÷ìng ùng.
Líi gi£i 2. N¸u các b¤n không thích phép chuyºn và nh÷ trên, chúng ta có thº thû chån
phép chuyºn và kiºu khác nh÷ sau: Hãy chú ý ¸n 2 biºu thùc ÷ñc g¤ch d÷îi trong b§t
¯ng thùc
q
x2 + y2 + xy + xz +
q
y2 + z2 + yz + yx +
q
z2 + x2 + zx + zy 2.

4. 4
N¸u ta thüc hi»n phép chuyºn và cho 2 biºu thùc này thì s³ thu ÷ñc mët b§t ¯ng thùc
mîi èi xùng cho x và z là
q
x2 + y2 + xy + xz +
q
z2 + y2 + zx + zy +
q
x2 + z2 + yz + yx 2.
Nh÷ vªy, ta c¦n có
q
y2 + z2 + yz + yx +
q
z2 + x2 + zx + zy
q
x2 + z2 + yz + yx +
q
z2 + y2 + zx + zy,
hay là
x(x2 y2)(y z) 0.
i·u này có thº ¤t ÷ñc n¸u ta gi£ sû y là sè h¤ng n¬m giúa x và z. ¸n ây, ta thu ÷ñc
mët líi gi£i mîi nh÷ sau:
Gi£ sû y là sè h¤ng n¬m giúa x và z, khi ó d¹ th§y
q
y2 + z2 + yz + yx +
q
z2 + x2 + zx + zy
q
x2 + z2 + yz + yx +
q
z2 + y2 + zx + zy,
nên ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
q
x2 + y2 + xy + xz +
q
y2 + z2 + zx + zy +
q
x2 + z2 + yz + yx 2,
t֓ng ֓ng q
x + y2 +
q
z + y2 + px + z 2xz 2,
hay là
x + z + 2y2 + 2
q
(x + y2)(z + y2)
2 px + z 2xz
2
.
°t t = xz (0 t y(1 2y)) thì b§t ¯ng thùc trên ÷ñc vi¸t l¤i là
f (t) = 2t + 2y2 4 + 2
q
t + (1 y + y2)y2 + 4
p
1 y 2t 0.
Ta có
f 00(t) =
1
2 [t + y2(1 y + y2)]3/2
4
(1 y 2t)3/2 0,
nên f (t) là hàm lõm, suy ra f (t) min f f (0), f (y(1 2y))g nên ta ch¿ c¦n chùng minh
÷ñc f (0) 0 và f (y(1 2y)) 0. i·u này çng nghia vîi vi»c chùng minh b§t ¯ng
thùc trên khi xz = 0 và (x y)(z y) = 0.

5. 5
+ N¸u xz = 0, ta gi£ sû z = 0, khi ó x = 1 y và b§t ¯ng thùc trên trð thành
q
1 y + y2 +
p
1 y + y 2.
B§t ¯ng thùc này hiºn nhiên úng, bði vì theo b§t ¯ng thùc Minkowski, ta có
q
1 y + y2 +
p
1 y =
rp
1 y
2
+ y2 +
rp
1 y
2
+ 02
rp
1 y +
p
1 y
2
+ (y + 0)2 = 2 y.
+ N¸u (x y)(z y) = 0, ta gi£ sû y = z, khi ó x = 12y 0 và b§t ¯ng thùc trên
trð thành q
1 2y + y2 +
q
y + y2 +
q
1 y 2y(1 2y) 2,
t֓ng ֓ng q
y + y2 +
q
1 3y + 4y2 1 + y.
Nh÷ng b§t ¯ng thùc này cung hiºn nhiên úng, bði vì theo b§t ¯ng thùc
Minkowski, ta có
q
y + y2 +
q
1 3y + 4y2 =
q
(py)2 + y2 +
q
(py)2 + (1 2y)2
q
(py + py)2 + (y + 1 2y)2 = 1 + y.
Phép chùng minh cõa ta ÷ñc hoàn t§t.
Vîi ý t÷ðng chuyºn và nh÷ vªy, chúng ta có thº gi£i ÷ñc khá nhi·u bài toán µp và khó.
Sau ây là hai ví dö khác
Example 0.3 Cho các sè không âm x, y, z thäa mãn x + y + z = 1. Chùng minh r¬ng
q
3
x y + z3 + 3
q
y z + x3 + 3
q
z x + y3 1.
(Phan Thành Nam)
Líi gi£i. Ta th§y b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh có d¤ng p3 A + p3 B + p3 C 1, vîi
A = x y + z3 = x3 + x2y xy2 y3 + 2z(x2 y2) + z2(x y) + z3,
B = y z + x3 = y3 + y2z yz2 z3 + 2x(y2 z2) + x2(y z) + x3,
C = z x + y3 = z3 + z2x zx2 x3 + 2y(z2 x2) + y2(z x) + y3.

6. 6
N¸u có 2 sè trong 3 sè A, B, C có têng không d÷ìng thì b§t ¯ng thùc cõa ta hiºn nhiên
úng. Thªt vªy, gi£ sû A + B 0 thì do C = z x + y3 z x + y 1, nên
p3 A + p3 B + p3 C p3 B + p3 B + p3 C = p3 C 1.
Bây gií ta s³ xét tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i, tùc là lúc này ta có A + B 0, B + C 0 và
C + A 0. Khi ó, gi£ sû z = min fx, y, zg , và °t
D = y3 + y2x yx2 x3 + 2z(y2 x2) + z2(y x) + z3, và E = x3 + y3 z3.
Lúc này, ta có 2 tính ch§t sau: D + E = B + C 0, và
DE BC = (a c)(b c)(a2 + 2ab + 2ac + bc)(2a2 + b2 + 2c2 + 2bc + 3ca + 2ab) 0.
Vîi nhúng tính ch§t này, ta d¹ dàng chùng minh ÷ñc p3 B + p3 C p3 D + p3 E, và ta có
thº ÷a b§t ¯ng thùc v· chùng minh
p3 A + p3 D + p3 E 1,
t֓ng ֓ng
q
3
x y + z3 + 3
q
y x + z3 + 3
q
x3 + y3 z3 1.
Thüc hi»n t÷ìng tü nh÷ trên, ta cung có
q
3
x y + z3 + 3
q
y x + z3 p3 z3 +
p3 z3 = 2z,
nên ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
q
x3 + y3 z3.
x + y z 3
ây là mët b§t ¯ng thùc hiºn nhiên úng vì
(x + y z)3 (x3 + y3 z3) = 3(x z)(y z)(x + y) 0.
Phép chùng minh cõa ta ÷ñc hoàn t§t. ¯ng thùc x£y ra khi và ch¿ khi x = y = z = 13
ho°c x = 1, y = z = 0 và các hoán và t÷ìng ùng.
Example 0.4 Cho các sè không âm a, b, c có têng b¬ng 3. Chùng minh r¬ng
(3a2 + bc + 3b2)(3b2 + ca + 3c2)(3c2 + ab + 3a2) 900.
(Võ Quèc Bá C©n)

7. 7
Líi gi£i. Không m§t tính têng quát, ta có thº gi£ sû b là sè h¤ng n¬m giúa a và c. Khi ó,
vîi chú ý ð ¯ng thùc sau
(3b2 + ca + 3c2)(3c2 + ab + 3a2) (3b2 + ab + 3c2)(3c2 + ca + 3a2) =
= 3a(b c)(b a)(a + b) 0,
ta có thº ÷a b§t ¯ng thùc v· chùng minh
(3a2 + bc + 3b2)(3b2 + ab + 3c2)(3c2 + ca + 3a2) 900.
¸n ây, ta th§y
(3a2 + bc + 3b2)(3b2 + ab + 3c2) =
= 9b4 + 3(a + c)b3 + (9a2 + ac + 9c2)b2 + 3(a3 + c3)b + 9a2c2
= 9b4 + 3(a + c)b3 + 9(a + c)2b2 + 3(a + c)3b + 9ac(ac ab bc) 17b2ac
9b4 + 3(a + c)b3 9a c2b2
+ (+ )
+ 3(a + c)3b
= 3b(a + 3b + c)
b2 + (a + c)2,
và
3c2 + ca + 3a2 3(a + c)2,
nên ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
9x2b(x + 3b)(x2 + b2) 900,
vîi x = a + c.
Áp döng b§t ¯ng thùc AM – GM, ta có
9x2b(x + 3b)(x2 + b2)
9
10
5xb + x(x + 3b) + 2(x2 + b2)
3
3
,
mà
5xb + x(x + 3b) + 2(x2 + b2) =
10
3
(x + b)2
1
3
(x 2b)2
10
3
(x + b)2 = 30,
nên tø trên, ta ÷ñc
9x2b(x + 3b)(x2 + b2)
9
10 103 = 900.
B§t ¯ng thùc cõa ta ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi và ch¿ khi a = 0, b =
1, c = 2 và các hoán và t÷ìng ùng.

8. 8
Nhªn xét 1 B¬ng cách t÷ìng tü, ta có thº gi£i ÷ñc bài toán sau:
Vîi a, b, c là các sè không âm có têng b¬ng 3 và k là mët sè cho tr÷îc
p2 k 13
, tìm giá trà
lîn nh§t cõa biºu thùc sau
P(a, b, c) = (a2 + kbc + b2)(b2 + kca + c2)(c2 + kab + a2).
Không ch¿ có các b§t ¯ng thùc hoán và ba bi¸n mîi sû döng ÷ñc phép chuyºn và này
mà mët ph¦n ông các b§t ¯ng thùc hoán và bèn bi¸n cung có thº áp döng ÷ñc nó. ¦u
tiên, chúng ta s³ sû döng phép chuyºn và º ÷a v· mët b§t ¯ng thùc hoán và cho ba
bi¸n, rçi dùng nhúng ánh giá thích hñp º chùng minh bài toán. Míi các b¤n cùng i
¸n ví dö sau º rõ hìn ý t÷ðng này (ây là mët bài toán r§t khó)
Example 0.5 Cho các sè không âm a, b, c, d thäa mãn a + b + c + d = 4. Chùng minh r¬ng
a3b + b3c + c3d + d3a + 23abcd 27.
(Ph¤m Kim Hùng)
Líi gi£i. Tr÷îc h¸t, ta s³ chùng minh bê · sau
Bê · 0.1 N¸u a, b, c là các sè không âm thì
a3b + b3c + c3a +
473
256
abc(a + b + c)
27
256
(a + b + c)4.
Chùng minh. B¤n åc có thº tü chùng minh l§y b¬ng cách sû döng phép chuyºn và cho 3
bi¸n.
Quay trð l¤i bài toán. Do tính hoán và vòng quanh nên không m§t tính têng quát, ta có thº
gi£ sû d là sè h¤ng nhä nh§t trong các sè a, b, c, d. Khi ó, ta có
c3d + d3a (c3a + d4) = (c3 d3)(a d) 0,
nên º chùng minh b§t ¯ng thùc ã cho, ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
a3b + b3c + c3a + d4 + 23abcd 27.
¸n ây, áp döng bê · trên, ta có thº ÷a v· chùng minh
27
256
(4 d)4
473
256
abc(4 d) + d4 + 23abcd 27,
hay là
1
256
(6361d 1892)abc +
27
256
(4 d)4 + d4 27 0.

9. 9
N¸u 6361d 1892 0 thì b§t ¯ng thùc trên là hiºn nhiên vì 27
256 (4 d)4 + d4 27. N¸u
6361d 1892 0 thì ta có
1
256
(6361d 1892)abc +
27
256
(4 d)4 + d4 27
1
256
(6361d 1892)
(4 d)3
27
+
27
256
(4 d)4 + d4 27
=
1
27
(5d2 + 270d 473)(d 1)2 0.
B§t ¯ng thùc cõa ta ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi và ch¿ khi a = b = c =
d = 1 ho°c a = 3, b = 1, c = d = 0 và các hoán và t÷ìng ùng.
BÀI TŠP — NGHÀ
1. Cho các sè thüc không âm a, b, c thäa mãn không có hai sè nào çng thíi b¬ng 0.
Chùng minh r¬ng
a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
+
4abc
a2b + b2c + c2a + abc 2.
(Võ Quèc Bá C©n)
2. Gi£ sû a, b, c là các sè thüc không âm thäa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh các
b§t ¯ng thùc sau
(a) a2b + b2c + c2a 2 + abc;
(b) a3b2 + b3c2 + c3a2 3.
(Vasile Cirtoaje)
3. Chùng minh r¬ng vîi måi sè thüc d÷ìng a, b, c có têng b¬ng 3, b§t ¯ng thùc sau
luôn úng
a
b + c2 +
b
c + a2 +
c
a + b2
3
2
.
(Ph¤m Kim Hùng)
4. Chùng minh r¬ng vîi måi sè thüc d÷ìng a, b, c có têng b¬ng 3, b§t ¯ng thùc sau
luôn úng r
a
b2 + 3
+
r
b
c2 + 3
+
r
c
a2 + 3
3
2
.
(Võ Quèc Bá C©n)

10. 10
5. Gi£ sû a, b, c là ë dài ba c¤nh cõa mët tam giác có chu vi b¬ng 1. Chùng minh r¬ng
p
2a + b3 +
p
2b + c3 +
p
2c + a3
p2 + 1.
(Võ Quèc Bá C©n)
6. Gi£ sû a, b, c là các sè thüc không âm thäa mãn ab + bc + ca = 3. Tìm t§t c£ các sè
thüc không âm k sao cho b§t ¯ng thùc sau luôn úng
(ka + b)(kb + c)(kc + a) (k + 1)3.
(Michael Rozenberg)
7. Cho a, b, c, d là các sè thüc không âm thäa mãn a + b + c + d = 3. Chùng minh r¬ng
ab(b + c) + bc(c + d) + cd(d + a) + da(a + b) 4.
(Ph¤m Kim Hùng)
8. Cho a, b, c, d là các sè thüc không âm thäa mãn a + b + c + d = 3. Chùng minh r¬ng
ab(a + 2b + 3c) + bc(b + 2c + 3d) + cd(c + 2d + 3a) + da(d + 2a + 3b) 6p3.
(Ph¤m Kim Hùng)