1. BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
Ngô Mạnh Tưởng
Tháng 02 năm 2011

2. Mục lục
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Tìm miền xác định của các hàm sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Cho hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5. Tính gần đúng: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6. Cho các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.9. Tìm các cực trị của các hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 2. TÍCH PHÂN KÉP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. Tính các tích phân sau trong hệ trục tọa độ đề các: . . . . . . . . . 5
2.2. Tính các tích phân sau trong hệ trục tọa độ cực: . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Thể tích của các vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1. Tính trực tiếp các tích phân đường sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Dùng công thức Green tính các tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân . . . . . 11
Chương 4. LÝ THUYẾT CHUỖI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. Tính tổng của các chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4. Tìm miền hội tụ và tính tổng của các chuỗi hàm số . . . . . . . . . 14
4.5. Khai triển các hàm số f (x) sau thành chuối lũy thừa trong lân cận
của điểm x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i

3. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
4.6. Tìm khai triển Fourier của các hàm f (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ngô Mạnh Tưởng ii

4. Chương 1
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
1.1. Tìm miền xác định của các hàm sau:
1 x
z= ; z = arcsin
a2 − x 2 − y 2 y2
x √
z = ln − ; u= x+y+z
y
1.2. Cho hàm số
x
1. f (x, y) = xy + . Tính fx (2, 1) fy (2, 1).
y
2 + y2
2. z = ex . Tính zx , zy .
x
3. f (x, y) = x + (x − 1) arcsin . Tính fx (1, 1)
y
4. f (x, y) = 3
x3 + y 3 . Tính fx (0, 0) , fy (0, 0)
5. Chứng tỏ rằng hàm số z = y ln(x2 − y 2 ) thỏa mãn phương trình
1 ∂z 1 ∂z z
+ = 2
x ∂x y ∂y y
1.3.
1. Chứng tỏ rằng hàm số f (x, y) = ex sin y thỏa mãn phương trình Laplace
∂ 2f ∂ 2f
+ 2 =0
∂x2 ∂y
2. Chứng tỏ rằng hàm số u(x, t) = sin(x − at) thỏa mãn phương trình sóng
∂ 2u ∂ 2u
= a2 2
∂t2 ∂x
1

5. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
x2
1 −
3. Chứng tỏ rằng hàm số u (t, x) = √ e 4a2 t thỏa mãn phương trình truyền nhiệt
2a πt
∂u ∂ 2u
= a2 2
∂t ∂x
∂x ∂x
4. Cho x = rcosϕ, y = rsinϕ. Tìm ∂r ∂ϕ
∂y ∂y
∂r ∂ϕ
1.4. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:
1) z = ln(x + x2 + y 2 )
2) u = ex (cosy + xsiny)
2z
3) u = xy
1.5. Tính gần đúng:
1,02
1) arctg ; 2) 3
1, 022 + 0, 052 ; 3) sin2 1, 55 + 8e0,015
0,95
1.6. Cho các hàm
1. z = y ln x. Tìm zxx , zxy , zyy
y
2. z = ln tg . Tìm zxy
x
1 u
3. z = ln với u = tg 2 x, v = cot g 2 x. Tìm zx .
2 v
x2 − y dz
4. z = 2+y
với y = 3x + 1. Tìm .
x dx
5. z = ln y + x2 + y 2 . Tính dz 2 (0, 1) =?
6. z = (2x + y) ln x . Tính dz 2 (1, 1) =?
y
z = u3 + sin u
∂2z
7. . Tính ∂x∂y
=?
x
u = 2xy + e
√ 2 √
8. z = y ln (x2 − y 2 ). Tính dz 2, 1 =?, ∂xz
∂
2 2, 1 =?
Ngô Mạnh Tưởng 2

6. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
1.7.
1
1. Cho hàm u = với r = x2 + y 2 + z 2 . Chứng tỏ rằng:
r
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+ + =0
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
1 1 1
2. Cho u = + + . Chứng minh
x−y y−z z−x
uxx + uyy + uzz + 2 uxy + uyz + uxz = 0
3. Cho z = xey + yex . Chứng minh
uxxx + uyyy = xuxyy + yuxxy
1.8.
1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi x = u + v, y = u2 + v 2 , z = u3 + v 3 . Tính
zx , zy
2. Cho x2 + y 2 − z 2 = 2x (y + z). Tính zx , zy
3. Cho yx4 + x2 y 3 = exyz . Tính zx , zy
4. Cho x2 − xy + 2y 2 + x − y − 1 = 0. Tính y , y , y tại (0, 1).
5. Cho xy − x − 2y = e2x+3y . Tính y (x) =?
1.9. Tìm các cực trị của các hàm
1. z = x3 + y 3 − 3xy
2. f (x, y) = 1 − x2 + y 2
50 20
3. f (x, y) = xy + + , x > 0, y > 0
x y
4. f (x, y) = x + y − xey
5. f (x, y) = xy (1 − x2 − y 2 ) (x 0, y 0, x2 + y 2 1)
6. f (x, y) = x4 + 2y 4 − y 2 − 2x2
7. f (x, y) = x2 + 2xy − 4x + 8y
Ngô Mạnh Tưởng 3

7. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
8. f (x, y) = 2y 3 + x2 y + 5y 2 + x2
9. z = x3 y + 12x2 − 8y
10. z = x3 + y 3 + 3x2 − 3xy + 3x − 3y + 1
11. z = x4 + y 4 − x2 − y 2 − 2xy, x = 0
12. z = (x2 + y 2 ) e−(x )
2 +y 2
13. z = x3 y 2 (6 − x − y) ; x > 0, y > 0
√
14. z = x y − x2 − y + 6x + 3
√
15. z = (x2 + y) ey
16. z = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2
1 x y
17. z = xy + (47 − x − y) +
2 3 4
18. z = xy (1 − x − y)
19. z = (x − y) exy
3 9
20. z = xy + + (x >, y > 0)
x y
Ngô Mạnh Tưởng 4

8. Chương 2
TÍCH PHÂN KÉP
2.1. Tính các tích phân sau trong hệ trục tọa độ đề
các:
√
1. arcsin x + ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x + y = 0, x + y =
D
1, y = −1, y = 1
2. (x + y)2 (x − y)2 dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x + y = 1, x +
D
y = 3, x − y = −1, x − y = 1
3. ln (x + y) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = 1, y = 1, y = x+1
D
xy
4. dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 1
D x2 + y2
5. x2 (x − y) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 , x = y 2
D
6. I = (x2 + y 2 ) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y =
D
x + 1, y = 1, y = 3
7. I = (xy + 2y) dxdy trong đó D là tam giác OAB, biết O (0, 0) ; A (1, 1) ; B (2, 0)
D
x
8. I = e y dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y 2 = x, x = 0, y = 1
D
9. I = (y 2 − x) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y 2 = x, x = 3 − 2y 2
D
10. I = x cos ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x2 , x = 1
D
11. I = xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x − 4, y 2 = 2x
D
5

9. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
12. I = (y − x) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x + 1, y =
D
1 7 1
x − 3, y = − x + , y = − x + 5
3 3 3
13. I = xdxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường xy = 6, x + y − 7 = 0
D
14. I = (x + y) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường 0 y π, 0 x
D
sin y
15. I = y 2 xdxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x2 + y 2 = 4, x + y − 2 =
D
0, x ≥ 0
16. I = xdxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = 2 + sin y, x = 0, y =
D
0, y = 2π
17. I = xdxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x3 , x + y = 2, x = 0
D
2.2. Tính các tích phân sau trong hệ trục tọa độ cực:
1. I = (2x − y) dxdy trong đó D là hình tròn tâm O, bán kính bằng 2.
D
1 − x2 − y 2
2. dxdy
x2 +y 2 1 1 + x2 + y 2
√
3. I = x2 ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = 2ax − x2
D
4. (x + 2y + 1) dxdy với D là miền được xác định bởi x2 + y 2 2y ; x2 + y 2 2x
D
5. xydxdy trong đó D là nửa trên hình tròn (x − 2)2 + y 2 1
D
6. (x2 + y 2 ) sin x2 + y 2 + cos x2 + y 2 dxdy
π2 x2 +y 2 4π 2
y x √
7. acrtg dxdy với D = x2 + y 2 1 , x2 + y 2 9, y √ , y 3x
D x 3
2ay − x2 − y 2
8. dxdy với D là mặt tròn x2 + y 2 2ay (a > 0)
D y2
a
9. dxdy với miền D là nửa hình tròn x2 + y 2 = ay nằm trong góc
D a2
− − x2 y2
phần tư thứ nhất của mặt phẳng xOy
2 +y 2
10. I = ex dxdy với D là miền giới hạn bởi x2 + y 2 R2
D
Ngô Mạnh Tưởng 6

10. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
11. I = 1 − x2 − y 2 dxdy với D là miền giới hạn bởi x2 + y 2 x
D
1 − x2 − y 2
12. I = dxdy với D là miền giới hạn bởi x2 + y 2 1, x 0, y 0
D 1 + x2 + y 2
ln (x2 + y 2 )
13. I = dxdy với D là miền giới hạn bởi 1 x2 + y 2 e
D x2 + y 2
14. I = (x2 + y 2 )dxdy với D là miền giới hạn bởi x2 +y 2 +2x−1 = 0, x2 +y 2 +2x = 0
D
15. I = x2 + y 2 dxdy với D = {(x, y) : 1 x2 + y 2 9, y 0}
D
2 −y 2
16. I = e−x dxdy với D là miền giới hạn bởi x = 4 − y 2 và trục Oy
D
1
17. I = dxdy với 2x x2 + y 2 6x, y x
D x2 + y2
√
18. I = (x + y) dxdy với D = (x, y) : x2 + y 2 2x, y x 3, y x
D
19. I = 2dxdy với D = {(x, y) : x2 + y 2 2x, x2 + y 2 2y}
D
20. I = (x + 2) dxdy với D = {(x, y) : x2 + y 2 2x + 4y}
D
21. I = xdxdy với D = {(x, y) : 3x2 + y 2 1, y x, y 0}
D
22. I = (2x + y) dxdy với D = {(x, y) : x2 + y 2 2y, y 1}
D
x2 y 2
23. I = (x + 2y) dxdy với D = (x, y) : + 1, y 0
D 9 4
x2 y 2
24. xydxdy với miền D là miền giới hạn bởi elip 2 + 2 = 1 và nằm trong góc phần
D a b
tư thứ nhất.
25. I = xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường 4x2 + y 2 4
D
√ 2
26. x2 + y 2 − xy dxdy với miền D được giới hạn bởi đường cong (x2 + y 2 ) =
D
xy ; x, y 0
2.3. Thể tích của các vật thể
Tính thể tích của các vật thể giới hạn bởi các mặt, các đường thẳng trong các trường
hợp sau:
Ngô Mạnh Tưởng 7

11. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
1. Mặt Paraboloid z = x2 + y 2 và các mặt y = x2 , y = 1, z = 0
2. x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1
3. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, z = x2 + y 2
4. z = x2 + y 2 , y = x2 , y = 1, z = 0
5. z = 4 − x2 − y 2 , x = ±1, y = ±1
6. 2 − x − y − 2z = 0, y = x2 , y = x
7. z = x2 + y 2 , x2 + y 2 = a2 , z = 0
8. z = x2 + y 2 , x2 + y 2 = a2 , z = 0
9. z = x, x2 + y 2 = a2 , z = 0
Ngô Mạnh Tưởng 8

12. Chương 3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
3.1. Tính trực tiếp các tích phân đường sau
1. (x2 − 2xy)dx + (2xy + y 2 )dy, AB là cung Parabol y = x2 từ điểm A(1, 1) đến
AB
điểm B(2, 4)
2. (xy − 1)dx + x2 ydy, L từ điểm A(1, 0) đến điểm B(0, 2) trong các trường hợp sau:
L
(a) theo đường thẳng 2x + y = 2
(b) theo cung Parabol 4x + y 2 = 4
(c) theo cung elip x = cost, y = 2sint
3. I = (x2 + y 2 ) dx + (x2 − y 2 ) dy trong đó C là đường y = 1 − |1 − x| , 0 x 2.
C
π π
4. I = |x − y| dy với C là đường x = a cos t, y = a |sin t| , − t (a > 0)
C 4 2
5. I = ydx − xdy trong đó cung AB là nửa đường tròn có phương trình tham số
AB
x = a cos t
và 0 t π, a là hằng số dương.
y = a sin t
6. I = 2xydx − x2 dy trong đó OA là cung Parabol nhận Ox làm trục đối xứng và
OA
O (0; 0) , A (2; 1)
7. I = xdy − ydx với L là đường gấp khúc OAB với O (0; 0) , A (1; 0) , B (1, 2)
L
8. I = cos ydx − sin xdy với L là đoạn thẳng từ điểm (2, −2) đến điểm (−2, 2)
L
9. I = (x3 − y 2 ) dx + xydy với L là đường y = ax từ điểm (0, 1) đến điểm (1, a)
L
9

13. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
3.2. Dùng công thức Green tính các tích phân
1. (x2 + y 2 )dy, L là chu vi của hình tứ giác có các đỉnh là A(0, 0), B(2, 0), C(4, 4) và
L
D(0, 4).
x2 y2
2. (xy + x + y) dx + (xy + x − y) dy trong đó L là elip + 2 = 1 lấy theo chiều
L a2 b
dương.
3. (yexy + 2x cos y − x2 y) dx + (xexy − x2 sin y + xy 2 + xy) dy
x2 +y 2 =2x
4. x2 + y 2 dx + y xy + ln x2 + y 2 + x dy
2 2
(x−1) +(y−1) =1
5. I = (yx3 + ey ) dx + (xy 3 + xey − 3y) dy
x2 +y 2 =2x
6. (xy + ex sin x + x + y) dx + (xy − e−y + x − sin y) dy
x2 +y 2 =2x
7. I = (2xy − x2 ) dx + (x + y 2 ) dy trong đó L là đường kín gồm hai cung parabol
L
y = x2 và x = y 2 .
8. (x2 + y 2 ) dx + (x2 − y 2 ) dy trong đó L là đường gấp khúc OABO, với O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)
L
bằng cách trực tiếp và áp dụng công thức Green.
xy 3 x2 y 2 x2 y 2
9. I = − dx + − xe−2y dy với L là chu vi của tam giác OAB,
L 3 2 2
biết O (0; 0) , A (1; 1) , B (−1; 1)
y y2
10. I = ln xdy − dx với L là chu vi của miền giới hạn bởi các đường x2 + y 2 =
L 2 4x
√
2 2
4x, x + y = 8x, y = x, y = 3x theo chiều dương.
(x+y)dx−(x−y)dy
11. I = x2 +y 2
, với L là đường tròn x2 + y 2 = 4 ngược chiều kim đồng hồ.
L
12. I = (2x + y) dx + (3x + 2y) dy với C là biên của miền phẳng giới hạn bởi y =
C
2
2 − x , y = −x theo chiều kim đồng hồ.
2 +y 2
13. I = e−x (cos 2xydx + sin 2xydy) với L là đường tròn x2 + y 2 = R2
L
1 √
14. I = x2 dy − y 2 dx với L là
của đường tròn x2 +y 2 = 2 đi từ A 2; 0 đến B (1; 1)
L 8
2
và cung Parabol 2y = x + 1 đi từ B đến C (−1; 0)
15. I = exy [y 2 dx + (1 + xy) dy] + xdy với L là nửa cung tròn x = 2y − y 2 đi từ
L
A (0; 0) đến B (0; 2)
Ngô Mạnh Tưởng 10

14. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
16. I = (xe−x − y) dx + x + 4 + y 2 dy với L là cung OBA, trong đó OB là đoạn
L
thẳng nối O (0, 0) với B (0, 2), còn BA là nửa trên của đường tròn x2 +y 2 +4 = 2x+4y
từ B đến A (2, 2).
17. I = (x − y)2 dx + (x + y)2 dy với L là nửa trên của đường tròn x2 + y 2 = 2x cùng
L
chiều kim đồng hồ.
18. I = (x2 y + x − y)dx + (y − x − xy 2 )dy với C là đường tròn x2 + y 2 = 4y, x 0
C
lấy theo chiều kim đồng hồ
19. I = (1 + xy) dx + y 2 dy là phần đường tròn thỏa mãn x2 + y 2 = 2x, y 0
L
x3
20. I = (x2 + y cos xy) dx + + xy 2 − x + x cos xy dy với C là cung tròn x =
C 3
a cos t, y = a sin t lấy theo chiều tăng của tham số t, 0 t π , a > 0
3.3. Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích
phân
1. Tích phân
y2 y y y y
1− 2
cos dx + sin + cos dy
x x x x x
L
có phụ thuộc vào đường lấy tích phân L không? Tính tích phân trong trường hợp
L là cung nối hai điểm A(1, π), B(2, 2π) và không cắt trục Oy.
2. Tìm hằng số a để tích phân
(x2 + 2xy + ay 2 ) dx + (x2 − 2xy + y 2 ) dy
I=
(x + y)3
AB
không phụ thuộc vào đường lấy tích phân đối với các đường không cắt đường y = −x.
Tính tích phân với a tìm được và A(1, 0), B(0, 1)
x y
3. Chứng minh tích phân J = + y dx + + x dy không
x2 + y 2
AB x2 + y 2
phụ thuộc vào đường lấy tích phân và tính tích phân đó, biết A (0; 0) , B (1; 1)
4. Tính I = (x + y) dx + (x − y)dy với C là phần đường cong y = x+sin x từ A(0, 0)
C
đến B(π, π)
(2,3)
x y y 1
5. Tính I = − dx + + dy theo đường cong C
x2 + y 2
(1,1) x2
x2 + y 2 x
không đi qua gốc tọa độ và không cắt trục tung.
Ngô Mạnh Tưởng 11

15. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
6. Tính tích phân:
y xdy − ydx
ln
x x2
AB
biết A(1, 1).B(1, e) và cung AB nằm trong góc phần tư thứ nhất có x = 0 , y = 0
Ngô Mạnh Tưởng 12

16. Chương 4
LÝ THUYẾT CHUỖI
4.1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số
∞ 3.5.7.9...(2n + 1) 3n
∞ √ 2n
1, 12, 3
n+2
n=1 4.9.14.19...(5n − 1) n=1 n−1
∞ 4n (n + 1)! ∞ π
2, 13, n2 sin n
n=1 (3n)! n=1 2
n2
∞ 1 n ∞ 1.4.9...n2
3, 14, .5n+2
n=1 3
n n+1 n=1 1.3.5...(2n − 1)n!
∞ 2.5.8...(3n − 1) n π
∞ n sin n
4, 2
n=1 4.6.8...(2n + 2) 15,
∞ (n!)2 ∞ n!(2n)! n=1 n!
∞ n! 1
5, n2 6, 16, tan n
n=0 2 n=0 (3n)!
2n n=1 (2n)! 5
∞ 3n + 1 ∞
7, n un
5n − 2 17, Xét sự hội tục của chuỗi với
n=1 n=1 vn
∞ 1 n2 n n2
1 1 2
8, n
1+ un = 2 + 2 , vn = 1 +
n=1 2 n n n
∞ 2 2n n
3n − n + 1 ∞ 3n + 2
9, 18, n5
n=1 4n2 + 2n n=1 4n + 3
∞ n2 ∞ n n2
n+2 1 3n n+2
10, 19,
n=1 n+1 2n n=1 n+5 n+3
∞ n−1
n(n+2) ∞ 2.4.6...(2n).nn
11, 20,
n=2 n+2 n=1 4.7.10...(3n + 1).n!
4.2. Tính tổng của các chuỗi số
n+1 +∞ 1
1, 3 − 6n2 + 11n − 6 4,
n n=4 n (n + 1) (n + 2)
∞ 9 ∞
2, n−1
2 + 3n − 20 5,
n=1 9n 2
n=2 (2n − 3) (2n − 1)
2
∞ 4
3,
n=3 n (n − 1) (n − 2)
1 1 1
6, + + + ...
2.4.6 4.6.8 6.8.10
13

17. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
∞ 1
7, ...
n2
+ 3n + 2 ∞ 4−n
n=1
1 1 1 9,
8, + +...+ + n=1 n (n + 1) (n + 2)
∞
1.3.5 3.5.7 (2n − 1) (2n + 1) (2n + 3) 3n − 5
10, 2
n=2 n (n − 1)
4.3. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số
∞ n!(x − 4)n ∞ (x + 3)n
1, 6, √
n=1 nn n=0 4
n+2 4 n3 + 1
∞ (−1)n 3n+1 ∞ (x + 5)2n−1
2, √
n+2 3 n + 1
(x − 1)n 7,
n=0 4 n=1 n2 4n
∞ (n + 2) (x + 1)n ∞ (x − 4)n
3, √ 8, √
n+2 n6 + 1
n=0 5 n=1 n n + 2
∞ (−1)n (x − 2)n ∞ x2n
4, √
n+1 3 n4 + n2 + 1
9, (−1)n−1 n
n=1 3 n=1 4 (2n − 1)
∞ xn ∞
(−1)n−1 x2n
5, (−1)n 10, 4n (3n−1)
n=1 2n + 1 n=1
4.4. Tìm miền hội tụ và tính tổng của các chuỗi hàm
số
∞ x2n+5 ∞ x4n−3
1, 2n
6,
n=0 3 (2n + 1) n=1 4n − 3
∞ ∞
2, n (n + 1)xn−2 7, (4n2 + 9n + 5) xn+1
n=2 n=0
∞ ∞
n−1 1 + 2n n
3, (−1) x 8, nxn
n=1 n + n2 n=1
∞
n−1 1 ∞ x2n+2
4, (−1) 1+ xn−1 9,
n=1 n n=1 (2n + 1) (2n + 2)
∞ ∞ xn
5, (2n − 1) xn+2 10,
n=1 n=1 n
4.5. Khai triển các hàm số f (x) sau thành chuối lũy
thừa trong lân cận của điểm x0
1, f (x) = ln(6x2 + 5x + 1) với x0 = 0
2, f (x) = cos2 x với x0 = 0
3, f (x) = sin3 x với x0 = 0
1
4, y = f (x) = với x0 = 0
(1 − x)2
1
5, y = f (x) = với x0 = 3
x
Ngô Mạnh Tưởng 14

18. Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2
4.6. Tìm khai triển Fourier của các hàm f (x)
1, f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng π − x với x ∈ [−π, π].
1
2, f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng x + với x ∈ [−π, π]
2
3, f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng π − 2x với x ∈ [−π, π]
4, f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng 3x2 với x ∈ [−π, π]
5, f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng 2x + 1 với −π x π.
Ngô Mạnh Tưởng 15