Mata kuliah matematika tentang Limit dan kekontinuan. Cari lebih banyak materi kuliah semester 3 di: http://muhammadhabibielecture.blogspot.com/2014/12/kuliah-semester-1-thp-ftp-ub.html
Mata kuliah matematika tentang Limit dan kekontinuan. Cari lebih banyak materi kuliah semester 3 di: http://muhammadhabibielecture.blogspot.com/2014/12/kuliah-semester-1-thp-ftp-ub.html
Mata kuliah matematika tentang Limit dan kekontinuan. Cari lebih banyak materi kuliah semester 3 di: http://muhammadhabibielecture.blogspot.com/2014/12/kuliah-semester-1-thp-ftp-ub.html
Mata kuliah matematika tentang Limit dan kekontinuan. Cari lebih banyak materi kuliah semester 3 di: http://muhammadhabibielecture.blogspot.com/2014/12/kuliah-semester-1-thp-ftp-ub.html
Sebuah buku foto yang berjudul Lensa Kampung Ondel-Ondelferrydmn1999
Indonesia, negara kepulauan yang kaya akan keragaman budaya, suku, dan tradisi, memiliki Jakarta sebagai pusat kebudayaan yang dinamis dan unik. Salah satu kesenian tradisional yang ikonik dan identik dengan Jakarta adalah ondel-ondel, boneka raksasa yang biasanya tampil berpasangan, terdiri dari laki-laki dan perempuan. Ondel-ondel awalnya dianggap sebagai simbol budaya sakral dan memainkan peran penting dalam ritual budaya masyarakat Betawi untuk menolak bala atau nasib buruk. Namun, seiring dengan bergulirnya waktu dan perubahan zaman, makna sakral ondel-ondel perlahan memudar dan berubah menjadi sesuatu yang kurang bernilai. Kini, ondel-ondel lebih sering digunakan sebagai hiasan atau sebagai sarana untuk mencari penghasilan. Buku foto Lensa Kampung Ondel-Ondel berfokus pada Keluarga Mulyadi, yang menghadapi tantangan untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel warisan leluhur di tengah keterbatasan ekonomi yang ada. Melalui foto cerita, foto feature dan foto jurnalistik buku ini menggambarkan usaha Keluarga Mulyadi untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel sambil menghadapi dilema dalam mempertahankan makna budaya di tengah perubahan makna dan keterbatasan ekonomi keluarganya. Buku foto ini dapat menggambarkan tentang bagaimana keluarga tersebut berjuang untuk menjaga warisan budaya mereka di tengah arus modernisasi.
2. Iyan Andriana 2
Definisi Intuitif
Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg
membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
L
x
f
a
x
)
(
lim
14. Teorema B (Teorema penggantian)
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka
Lim f(x) = f(c)
xc
asalkan dalam kasus rasional nilai penyebutnya tidak nol di
c.
14
Iyan Andriana
16. Limit Tak Hingga
maka
,
0
)
(
lim
dan
0
)
(
lim
Misal
x
g
L
x
f
a
x
a
x
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
a
x
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
x
g
L
i
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
x
g
L
ii
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
x
g
L
iii
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
x
g
L
iv
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari
nilai g(x) positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0
dari nilai g(x) negatif.
16
Iyan Andriana
17. Contoh 6
1
1
lim
2
1
x
x
x
a.
1
1
lim 2
2
1
x
x
x
b. c.
Jawab
a. 0
2
1
lim 2
1
x
x
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah,
karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil
dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
Sehingga
1
1
lim
2
1 x
x
x
b. 0
2
1
lim 2
1
x
x
akan menuju 0 dari arah
atas, karena x -1 dari kiri berarti x
lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif
yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan
lebih besar dari 1 sehingga bernilai
positif
1
)
( 2
x
x
g
1
2
x
Sehingga
1
1
lim 2
2
1 x
x
x
4
2
5
2
lim 2
2
x
x
x
x
17
Iyan Andriana
18. L
x
f
x
)
(
lim
c.
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh Hitung
4
2
5
2
lim 2
2
x
x
x
x
Jawab
)
2
(
)
1
(
lim
2
2
4
2
5
2
2
x
x
x
x x
x
4
2
5
2
lim 2
2
x
x
x
x
2
2
4
2
5
2
1
lim
x
x
x
x
= 1/2
18
Iyan Andriana
19. lim
x
x
x
3
3
3
lim
x x
2
2
3
4
)
1
(
lim x
x
x
lim
x
x
x
1 2
1
1
lim
2
x
x
x
lim
x
x x
x
2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
19
Iyan Andriana
22. Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
ada
)
(
lim x
f
a
x
(ii)
(iii) )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi
maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a
(i)
º
f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
22
Iyan Andriana
23. a
(ii)
1
L
2
L Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)
maka f(x) tidak mempunyai limit
di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada
)
(
lim x
f
a
x
L
ada
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan
limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
23
Iyan Andriana
24. (iv)
a
f(a)
f(a) ada
)
(
lim x
f
a
x
ada
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x
f(x) kontinu di x=a
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa
dihapus dengan cara endefinisikan
nilai fungsi dititik tersebut = limit
fungsi
a
º
24
Iyan Andriana
25. Contoh 8
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan
alasannya
2
4
)
(
2
x
x
x
f
2
,
3
2
,
2
4
)
(
2
x
x
x
x
x
f
a. b.
2
,
1
2
,
1
)
( 2
x
x
x
x
x
f
c.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu
di x=2
b. f(2) = 3
4
2
lim
)
2
(
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak
kontinu di x=2
25
Iyan Andriana
26. c. 3
1
2
)
2
( 2
f
3
1
lim
)
(
lim
2
2
x
x
f
x
x
3
1
lim
)
(
lim 2
2
2
x
x
f
x
x
3
)
(
lim
2
x
f
x
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
26
Iyan Andriana
27. Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan
di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2
,
1
2
,
)
( 2
x
ax
x
a
x
x
f
Kontinu di x=2
27
Iyan Andriana
28. Jawab :
Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
a
a
x
x
f
x
x
2
)
(
lim
)
(
lim
2
2
1
4
1
)
2
(
)
2
( 2
a
a
f
2 + a = 4a – 1
-3a = -3
a = 1
f kontinu kanan di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
1
4
1
)
2
(
)
2
( 2
a
a
f
1
4
1
lim
)
(
lim 2
2
2
a
ax
x
f
x
x
Selalu
dipenuhi
28
Iyan Andriana
29. Kekontinuan pada interval
• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila
f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
• Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b
] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan
f(x) kontinu ( dimana-mana ).
29
Iyan Andriana
30. Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
• Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
• Misalkan , maka
– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil
– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0
atau x>4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n
x
x
f
)
(
4
)
(
x
x
f
)
4
(
0
4
lim
)
(
lim
4
4
f
x
x
f
x
x
30
Iyan Andriana
31. f x
x x
x
( )
2
3
3
f x
x
x
( )
2
3
4
8
f x
x
x
( )
| |
2
2
9
4
1
)
(
2
x
x
x
f
2
4
)
( x
x
x
f
A.Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu
Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
2.
31
Iyan Andriana
32. Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
• Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika dan f(x) kontinu di L, maka
• Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a.
Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
L
x
g
a
x
)
(
lim
)
(
)
(
lim
))
(
(
lim L
f
x
g
f
x
g
f
a
x
a
x
)
)(
( x
g
f
))
(
(
lim
)
)(
(
lim x
g
f
x
g
f
a
x
a
x
))
(
lim
( x
g
f
a
x
32
Iyan Andriana
33.
4
3
1
3
cos
)
( 2
4
x
x
x
x
x
f
)
)(
(
)
( x
h
g
x
f
4
3
1
3
)
( 2
4
x
x
x
x
x
h dan g(x) = cos x
Contoh 10 Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana
maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
33
Iyan Andriana