Dokumen ini membahas konsep limit dalam matematika, termasuk definisi intuitif, teorema-teorema limit, dan kondisi kekontinuan fungsi. Terdapat penjelasan mengenai limit kanan dan kiri, serta contoh-contoh penerapan teorema limit dengan berbagai fungsi. Selain itu, dijelaskan juga syarat-syarat agar suatu fungsi dapat dikatakan kontinu di suatu titik.

1. LIMIT
•Definisi
•Teorema-teorema limit
•Kekontinuan fungsi
1
Iyan Andriana

2. Iyan Andriana 2
Definisi Intuitif
Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg
membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
L
x
f
a
x


)
(
lim

3. Definisi
3
Iyan Andriana

4. 4
Iyan Andriana

5. Definisi Limit :
5
Iyan Andriana

6. Definisi Limit kanan :
Definisi Limit kiri :
6
Iyan Andriana

7. Contoh 1 :
• Lim [x] =1
x2-
• Lim [x] = 2
x2+
1 2 3
1
2
3
x
y = [x]
7
Iyan Andriana

8. Contoh 2
ada
tidak
)
(
lim
Maka
.
.
2
)
2
(
lim
)
(
lim
,
0
Untuk
.
.
1
1
lim
)
(
lim
,
0
Untuk
.
0
,
2
0
,
1
)
(
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
























kiri
limit
kanan
limit
8
Iyan Andriana

9. Teorema
Contoh 3 :
9
Iyan Andriana

10. Teorema-teorema Limit
Teorema A
10
Iyan Andriana

11. 11
Iyan Andriana

12. Contoh 4:
12
Iyan Andriana

13. Penyelesaian :
13
Iyan Andriana

14. Teorema B (Teorema penggantian)
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka
Lim f(x) = f(c)
xc
asalkan dalam kasus rasional nilai penyebutnya tidak nol di
c.
14
Iyan Andriana

15. Contoh 5 :
• Lim 2x2 = 8
x2
• Lim { (x3+2x) / (x2-1) }= 4
x2
• Lim { (x2+3x-10) / (x2+x-6) } = …
x2
15
Iyan Andriana

16. Limit Tak Hingga
maka
,
0
)
(
lim
dan
0
)
(
lim
Misal 




x
g
L
x
f
a
x
a
x

 )
(
)
(
lim
x
g
x
f
a
x
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
( 


 x
g
L
i
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
( 


 x
g
L
ii
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
( 


 x
g
L
iii
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
( 


 x
g
L
iv
Ctt : g(x)  0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari
nilai g(x) positif.
g(x)  0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0
dari nilai g(x) negatif.
16
Iyan Andriana

17. Contoh 6
1
1
lim
2
1 


 x
x
x
a.
1
1
lim 2
2
1 



 x
x
x
b. c.
Jawab
a. 0
2
1
lim 2
1





x
x
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah,
karena x  1 dari kiri berarti x lebih kecil
dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
Sehingga





 1
1
lim
2
1 x
x
x
b. 0
2
1
lim 2
1






x
x
akan menuju 0 dari arah
atas, karena x  -1 dari kiri berarti x
lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif
yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan
lebih besar dari 1 sehingga bernilai
positif
1
)
( 2

 x
x
g
1
2

x
Sehingga 





 1
1
lim 2
2
1 x
x
x
4
2
5
2
lim 2
2




 x
x
x
x
17
Iyan Andriana

18. L
x
f
x



)
(
lim
c.
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh Hitung
4
2
5
2
lim 2
2




 x
x
x
x
Jawab
)
2
(
)
1
(
lim
2
2
4
2
5
2
2
x
x
x
x x
x






4
2
5
2
lim 2
2




 x
x
x
x
2
2
4
2
5
2
1
lim
x
x
x
x






= 1/2
18
Iyan Andriana

19. lim
x
x
x
 


3
3
3
lim
x x
  
2
2
3
4
)
1
(
lim x
x
x




lim
x
x
x
 
1 2
1
1
lim
2



 x
x
x
lim
x
x x
x



2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
19
Iyan Andriana

20. Contoh 7
exist.
not
does
)
(
lim
0
,
1
0
,
1
)
(
(4)
exist.
not
does
1
lim
(3)
.
0
|
|
lim
(2)
.
2
1
1
)
1
(
lim
(1)
0
2
0
0
2
2
1
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
















20
Iyan Andriana

21. .
6
3
3
)
3
(
lim
3
9
lim
Jadi
.
3
untuk
,
3
3
)
3
)(
3
(
3
9
)
(
Tetapi
.
erdefinisi
tidak t
)
3
(
3
9
)
(
Disini
;
3
9
lim
(5)
3
x
2
3
x
2
2
2
3
x


























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
f
x
x
x
f
x
x
21
Iyan Andriana

22. Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
ada
)
(
lim x
f
a
x
(ii)
(iii) )
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi
maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a
(i)
º
f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
22
Iyan Andriana

23. a
(ii)
1
L
2
L Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)
maka f(x) tidak mempunyai limit
di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada
)
(
lim x
f
a
x
L
ada
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan
limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
23
Iyan Andriana

24. (iv)
a
f(a)
f(a) ada
)
(
lim x
f
a
x
ada
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x


f(x) kontinu di x=a
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa
dihapus dengan cara endefinisikan
nilai fungsi dititik tersebut = limit
fungsi
a
º
24
Iyan Andriana

25. Contoh 8
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan
alasannya
2
4
)
(
2



x
x
x
f










2
,
3
2
,
2
4
)
(
2
x
x
x
x
x
f
a. b.








2
,
1
2
,
1
)
( 2
x
x
x
x
x
f
c.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu
di x=2
b. f(2) = 3
4
2
lim
)
2
(
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
2
2
2
2












x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x


Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak
kontinu di x=2
25
Iyan Andriana

26. c. 3
1
2
)
2
( 2



f
3
1
lim
)
(
lim
2
2


 



x
x
f
x
x
3
1
lim
)
(
lim 2
2
2


 



x
x
f
x
x
3
)
(
lim
2


x
f
x
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x


Karena semua syarat dipenuhi  f(x) kontinu di x=2
26
Iyan Andriana

27. Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x



Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x



Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan
di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi








2
,
1
2
,
)
( 2
x
ax
x
a
x
x
f
Kontinu di x=2
27
Iyan Andriana

28. Jawab :
Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x



a
a
x
x
f
x
x





 
2
)
(
lim
)
(
lim
2
2
1
4
1
)
2
(
)
2
( 2



 a
a
f
2 + a = 4a – 1
-3a = -3
a = 1
f kontinu kanan di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x



1
4
1
)
2
(
)
2
( 2



 a
a
f
1
4
1
lim
)
(
lim 2
2
2





 
a
ax
x
f
x
x
Selalu
dipenuhi
28
Iyan Andriana

29. Kekontinuan pada interval
• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila
f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
• Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b
] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x  R maka dikatakan
f(x) kontinu ( dimana-mana ).
29
Iyan Andriana

30. Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
• Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
• Misalkan , maka
– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil
– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0
atau x>4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n
x
x
f 
)
(
4
)
( 
 x
x
f
)
4
(
0
4
lim
)
(
lim
4
4
f
x
x
f
x
x



 




30
Iyan Andriana

31. f x
x x
x
( ) 


2
3
3
f x
x
x
( ) 


2
3
4
8
f x
x
x
( )
| |



2
2
9
4
1
)
(
2




x
x
x
f
2
4
)
( x
x
x
f 

A.Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu
Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
2.
31
Iyan Andriana

32. Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
• Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika dan f(x) kontinu di L, maka
• Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a.
Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
L
x
g
a
x


)
(
lim
  )
(
)
(
lim
))
(
(
lim L
f
x
g
f
x
g
f
a
x
a
x




)
)(
( x
g
f 
))
(
(
lim
)
)(
(
lim x
g
f
x
g
f
a
x
a
x 



))
(
lim
( x
g
f
a
x

32
Iyan Andriana

33. 












4
3
1
3
cos
)
( 2
4
x
x
x
x
x
f
)
)(
(
)
( x
h
g
x
f 

4
3
1
3
)
( 2
4





x
x
x
x
x
h dan g(x) = cos x
Contoh 10 Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana
maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
33
Iyan Andriana