Bab 2 membahas tentang daya sebagai kuantiti vektor, termasuk definisi daya, penggunaan vektor untuk mewakili daya, operasi vektor seperti penambahan dan penolakan vektor, serta contoh-contoh penyelesaian masalah daya vektor."

1. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
BAB 2
FORCE VECTOR
Daya sebagai Kuantiti Vektor
Daya ditakrifkan sebagai sebab yang mengakibatkan pergerakan satu jasad yang
berkeadaan diam atau perubahan halaju bagi jasad yang berada dalam pergerakan
seragam. Untuk melengkapkan sesuatu daya kita mestilah mengetahui tiga pekara
berikut :
a) Magnitud – saiz daya
b) Arah - garis tindakan daya seperti menegak, mendatar dan sebagainya
c) Titik atau tempat tindakan daya
Cara yang sesuai untuk mempersembahkan sifat-sifat diatas ialah dengan
menggunakan anak panah yang dikenali sebagai vektor daya. Ini adalah kerana daya
merupakan satu kuantiti vektor yang mempunyai mag nitud dan arah. Sebagai contoh
yang ditunjukkan rajah dibawah, dua daya bertindak pada magnitud yang sama tetapi
berlainan arah terhadap zarah.
Daya vektor Positif, 10kN Daya vektor negativ, -10kN
Paduan Daya Vektor
Apabila dua vektor daya bertindak pada satu zarah seperti rajah dibawah, daya-daya ini
boleh digantikan dengan satu vektor daya tunggal yang mempunyai kesan yang sama
dengan kedua-dua daya tadi. Daya tunggal ini dikenali sebagai daya paduan, R.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

2. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Operasi Vektor
Penambahan Vektor
Jika terdapat beberapa daya bertindak pada satu zarah pada arah yang sama, paduan
daya, R yang bertindak keatas zarah itu boleh dinyatakan oleh jumlah algebra vektor
daya-daya yang bertindak keatasnya. Rajah dibawah menunjukkan dua daya P dan Q
bertindak keatas satu zarah. Paduan Vektor daya, R yang bertindak keatas zarah
tersebut adalah R = P + Q
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

3. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Penolakkan Vektor
Jika terdapat beberapa daya yang berlawanan arah , paduan vektor daya,R yang
bertindak keatas zarah itu dinyakan oleh perbezaan diantara vektor daya-daya tersebut
seperti yang ditunjukan rajah dibawah
Kaedah Segiempat Selari Daya
Jika dua daya P dan Q yang bertindak keatas satu zarah di O, mempunyai magnitud
dan arahnya diwakili oleh vektor OA dan OB,maka daya paduan R yang bertindak
keatas zarah tersebut diwakili oleh vektor OC (rajah dibawah)
Jika ialah sudut diantara OB dan OA, maka magnitud bagi paduan daya OC boleh
didapati dengan menggunakan Hukum Kosinus keatas segitiga OAC.
(OC)2 = (OA)2+(AC)2 - 2(OA)(AC)kos(180- )
Tetapi diketahui AC = OB = Q
OA = P
OC = R
dan kos(180- )= - kos
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

4. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
R2 = P2 + Q2 + 2PQ kos
R=
Dengan menggunakan Hukum Sinus keatas segitiga OAC,
Tetapi diketahui AC = Q dan OC = R
Hukum kosinus
Katakan sudut diantara daya F, F1 dan F2 diketahui. Maka
F2 F12 F22 2 F1 F2 kos
F12 F2 F22 2FF2 kos
F22 F2 F12 2FF1kos
Hukum sinus
F F1 F2
sin sin sin
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

5. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 1
The screw eye is subjected to two forces F1 and F2. Determine the magnitude and
direction of the resultant force.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

6. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 2
Resolve the 1000 N ( ≈ 100kg) force acting on the pipe into the components in the
(a) x and y directions,
(b) and (b) x’ and y directions.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

7. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 3
The force F acting on the frame has a magnitude of 500N and is to be resolved into two
components acting along the members AB and AC. Determine the angle θ, measured
below the horizontal, so that components FAC is directed from A towards C and has a
magnitude of 400N.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

8. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 4
The ring is subjected to two forces F1 and F2. If it is required that the resultant force
have a magnitude of 1kN and be directed vertically downward, determine
(a) magnitude of F1 and F2 provided θ = 30°, and
(b) the magnitudes of F1 and F2 if F2 is to be a minimum.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

9. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Penambahan sistem daya coplanar
Apabila sesuatu sistem mempunyai dua atau lebih daya yang bertindak, ia lebih
mudah untuk menentukan setiap komponen daya dengan menggunakan segiempat
daya melalui paksi x dan paksi y. dengan meletakan komponen algebra dan daya
paduan yang terhasil
F Fx Fy
Scalar Notation
paksi x dan paksi y pada gambarajah (a) dan (b) menunjukkan arah positif dan negatif
dimana Komponen pada gambarajah (a) menunjukkan dua skala positif iaitu F x dan Fy
disepanjang paksi x dan paksi y. Manakala gambarajah (b) menunjukkan F x dan -Fy.
didalan kes ini komponen y adalah negatif kerana berada pada paksi y yang negatif.
Cartesian vector Notation
Dua vektor dengan seunit magnitud di pekenalkan pada sub topik ini, yang mana
dua unit vektor ini dipanggil Cartesain unit vektor i dan j. rajah (a) dan (b) menunjukkan
unit vektor
F’ = F’xi + F’y(-j)
F = Fxi + Fyj F’ = F’xi – F’yj
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

10. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Contoh 5
Daya 800N dikenakan pada nat seperti gambarajah dibawah . tentukan daya pada
komponen mendatar dan menegak
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

11. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Contoh 6
Seorang pekerja menarik seutas tali yang di ikat pada banggunan dengan 300N seperti
yang ditunjukkan dibawah, tentukan daya pada komponen mendatar dan menegak
pada titik A
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

12. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Coplanar Force Resultants ( paduan daya coplanar)
Didalam meyelesaikan masalah yang melibatkan beberapa daya coplanar, kita perlulah
mengetahui kedudukan daya pada komponen x dan y, kemudian tambahkan komponen
x dan y menggunakan skala algebra. Daya paduan diperolehi melalui parallelogram
law
F1 = F1xi + F1yj
F2 = - F2xi + F2yj
F3 = F3xi – F3yj
FR = F1 + F2 + F3
= F1xi + F1yj - F2xi + F2yj + F3xi – F3yj
= (F1x - F2x + F3x)i + (F1y + F2y – F3y)j
= (FRx)i + (FRy)j
FRx = (F1x - F2x + F3x)
FRy = (F1y + F2y – F3y)
FR F 2 Rx F 2 Ry
1
FRy
tan
FRx
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

13. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 7
Determine x and y components of F1 and F2 acting on the boom. Express each force as
a Cartesian vector
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

14. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 8
The end of the boom O is subjected to three concurrent and coplanar forces. Determine
the magnitude and orientation of the resultant force.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

15. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
CARTESIAN VEKTOR
Right-Handed Coordinate System A rectangular or Cartesian coordinate system is said
to be right-handed provided:
- Thumb of right hand points in the direction of the positive z axis when the right-hand
fingers are curled about this axis and directed from the positive x towards the positive y
axis
- z-axis for the 2D problem would be perpendicular, directed out of the page.
Cartesian Unit Vectors
- Vektor unit Cartesian, i, j dan k digunakan untuk menunjuk arah paksi x, y dan z
- anak panah vektor ini menunjukkan samaada positif atau negatif
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

16. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Cartesian Vector Representations
- Daripada tiga komponen A positif pada arah i, j and k
A = A x i + A y j + A Zk
Magnitude of a Cartesian Vector
- Dari segi tiga berwarna
A A'2 Az2
- Dari segitiga berlorek,
A' Ax2 2
Ay
- Mengabungkan persamaan diatas memberikan magnitud A
A Ax2 2
Ay Az2
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

17. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Direction of a Cartesian Vector
- Untuk sudut α, (segitiga Untuk sudut β, (segitiga Untuk sudut γ, (segitiga
berlorek), kita boleh berlorek), kita boleh berlorek), kita boleh
menghitung kosinus arah A menghitung kosinus arah A menghitung kosinus arah A
Ax Ay Az
cos cos cos
A A A
Angle α, β dan γ dapat ditentukan oleh kosinus
- diberi A = Axi + Ayj + AZk
, uA = A /A
= (Ax/A)i + (Ay/A)j + (AZ/A)k
2 2
dimana A Ax Ay Az2
- uA juga boleh dinyatakan sebagai
uA = cosαi + cosβj + cosγk
2 2
- Dimana A Ax Ay Az2 dan magnitud uA = 1,
cos 2 cos 2 cos 2 1
- maka
A = AuA
= Acosαi + Acosβj + Acosγk
= Axi + Ayj + AZk
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

18. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Penambahan dan Penolakkan Cartesian Vectors
Contoh
Diberi: A = Axi + Ayj + AZk and B = Bxi + Byj + BZk
Penambahan Vektor
Paduan daya, R = A + B
= (Ax + Bx)i + (Ay + By )j + (AZ + BZ) k
Penolakan Vektor
Paduan daya, R = A - B
= (Ax - Bx)i + (Ay - By )j + (AZ - BZ) k
FR = ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

19. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 9
Express the force F as Cartesian vector
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

20. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 10
Determine the magnitude and coordinate direction angles of resultant force acting on
the ring
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

21. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Position Vectors (vector Kedudukan)
Vektor ini adalah penting untuk mendapatkan komponen daya pada paksi x, y, z
diantara dua titik dalam ruang.
Sebelum mendapat satu rumusan bagi vector kedudukan ini, kita perlulah
takrifkan dahulu koordinat x, y, z bagi satu titik dalam ruang.
Contoh
Untuk titik A, xA = +4m sepanjang paksi x ,
yA = -6m sepanjang paksi y dan
zA = -6m sepanjang paksi z
Maka , A (4, 2, -6)
B (0, 2, 0) and
C (6, -1, 4)
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

22. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
vektor kedudukan r ditakrifkan sebagai satu vector tetap yang menunjukkan kedudukan
satu titik dalam ruang dibandingkan dengan satu titik lain.
contoh: rajah (a) dibawah menunjukkan satu titik P berada dalam ruang
antara paksi x, y, z. Jika r ialah panjang dari titik pemulaan 0 ke
titik P (x,y,z), dimana P boleh dihuraikan dalam bentuk vector sebagai
r = xi + yj + zk
Mula pada titik origin O, satu perjalanan x dalam arah + i, y di + arah j dan z dalam k +
arah, tiba di titik P (x, y, z), lihat rajah dibawah
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

23. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
- vektor kedudukan mungkin diarahkan dari titik A ke titik B
- simbolnya adalah r or rAB
Penambahan vector memberikan
rA + r = rB
selesaikan
r = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k
atau r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

24. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 11
An elastic rubber band is attached to points A and B. Determine its length and its
direction measured from A towards B.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

25. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Vektor Daya Mengarah Disepanjang Satu Garisan
Dalam masalah 3D, arah sesuatu daya biasanya dinyatakan dengan dua titik yang
dilalui oleh garisan tindakan daya.
F = F u = F (r/r)
Diketahui
F = daya (N)
r = meter
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

26. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 12
The man pulls on the cord with a force of 350N. Represent this force acting on the
support A, as a Cartesian vector and determine its direction.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

27. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Example 13
The roof is supported by cables. If the cables exert FAB = 100N and FAC = 120N
on the wall hook at A, determine the magnitude of the resultant force acting at A.
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI

28. MEKANIK KEJURUTERAAN (JJ205)
Dot Product
- Dot product of Cartesian unit vectors
Eg: i·i = (1)(1)cos0° = 1 and
i·j = (1)(1)cos90° = 0
- Similarly
i·i = 1 j·j = 1 k·k = 1
i·j = 0 i·k = 1 j·k = 1
Cartesian Vector Formulation
- Dot product of 2 vectors A and B
A·B = (Axi + Ayj + Azk)· (Bxi + Byj + Bzk)
= AxBx(i·i) + AxBy(i·j) + AxBz(i·k)
+ AyBx(j·i) + AyBy(j·j) + AyBz(j·k)
+ AzBx(k·i) + AzBy(k·j) + AzBz(k·k)
= AxBx + AyBy + AzBz
JKM,POLIMAS
SHAIFUL ZAMRI