1. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Mércores, 14 de maio de 2014
Cálculo integral. Páx. 1
◌ Exercicios teóricos:
1. Define primitiva e integral indefinida dunha función.
2. Dunha función derivable f ( x ) sabemos que pasa polo punto (0, 1) que a súa derivada é
f ¢ ( x ) = x e2x . Calcula f ( x ) e a recta tanxente á gráfica de f ( x ) no punto correspondente a
x = 0
3. Define integral indefinida dunha función.
4. Enuncia o teorema fundamental do cálculo integral. Sabendo que ( ) 2 (1 )
x
a
ò f t dt = x + x con f
unha función continua en todos os puntos da recta real, calcula f (2) .
5. Enuncia e interpreta xeometricamente o teorema do valor medio do cálculo integral.
6. Enuncia a regra de Barrow.
◌ Solucións:
1. • A función F (x ) é unha primitiva de f ( x ) se F¢ (x ) = f (x ) .
• Chámase integral indefinida de f ( x ) ao conxunto de todas as primitivas de f ( x ) , que se
diferencian, entre elas, nun valor constante (xa que, a derivada dunha constante é nula).
• Represéntase por ò f ( x ) dx = F ( x ) + C .
• O símbolo ò chámase integral, mentres que f ( x ) dx recibe o nome de integrando, F ( x ) é
unha primitiva de f ( x ) e C é a constante de integración. ⦿
2. • A recta tanxente á gráfica de f ( x ) no punto correspondente a x = 0, pasa polo punto (0, 1) e
ten por pendente m = f ¢ (0) = 0 . Polo tanto, a súa ecuación é: y = 1 . ⦿
u x du dx
dv e dx v e
= Þ = ìïí
• f ¢ ( x ) = x e2x ⟹ ( ) f x = ò x e2x dx + C . Método por partes: 2 1 2
x x
2
= Þ = ïî
f x = x e x dx = x e x - e x dx = x e x - e x + C = e æç x - ö÷ + C
⤷ ( )
2
x
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
ò ò
2 2 2 4 2 è 2
ø • Xa que f ( x ) pasa polo punto (0, 1) , f (0) = 1 ⟹ ( ) 1 1
f = æç - ö÷ + C =
0 1
2 2
è ø
⟹
5
4
C =
e x f x = æç x - ö÷ +
⤷ A función é: ( )
2 1 5
2 2 4
è ø
.
⦿
3. • Chámase integral indefinida de f ( x ) ao conxunto de todas as primitivas de f ( x ) .
⤷ A función F ( x ) é unha primitiva de f ( x ) se F¢ ( x ) = f ( x ) .
⤷ Dúas funcións primitivas de f ( x ) diferéncianse nun valor constante (xa que, a derivada dunha
constante é nula).
• Represéntase por ò f ( x ) dx = F ( x ) + C .
• O símbolo ò chámase integral, mentres que f ( x ) dx recibe o nome de integrando, F ( x ) é
unha primitiva de f ( x ) e C é a constante de integración. ⦿
4. • Teorema fundamental do cálculo integral: Se f ( x ) é unha función continua en [a , b] e
( ) ( ) x
F x = ò f t dt , entón F ( x ) é derivable en (a, b) e ademais F¢ ( x ) = f ( x ) , "x Î (a, b) .
a

2. Páx. 2 Cálculo integral.
x
a
F x = ò f t dt = x + x = x + x ⟹ f ( x ) = F¢ ( x ) = 2x + 3x2⟹ f (2) = 16 ⦿
• ( ) ( ) 2 (1 ) 2 3
5. • Teorema do valor medio do cálculo integral: Se f ( x ) é unha
función continua en [a , b], existe algún c Î (a , b) tal que
( ) ( )( ) b
a
ò f x dx = f c b - a .
• Interpretación xeométrica: A área encerrada pola gráfica de
unha función continua nun intervalo pechado, o eixe OX e as rectas
x = a , x = b é igual á área dun rectángulo de base (b - a) e altura f (c ) , sendo f (c ) o valor
que toma a función nun punto intermedio c Î (a , b) . ⦿
6. • Regra de Barrow: Se f ( x ) é unha función continua nun intervalo [a , b] e F ( x ) é unha
primitiva de f ( x ) en [a , b], entón ( ) ( ) ( ) b
ò f x dx = F b - F a .
a
⦿
◌ Exercicios de cálculo integral:
1. Calcula ò x2 cos x dx
æ - ö ç ÷
è ø ò
2. Calcula ( )
1
1
ln
e
x dx
x
3. Calcula ò x ln(1 + x2 ) dx
ln5
4. Calcula ( )
2
0 1
x
x
e dx
+ e ò
◌ Solucións:
1.
• Utilizando o método de integración por partes:
2 2
ì = Þ =
í
î = Þ =
u x du x dx
dv cos x dx v sen
x
⤷ ò x2 cos x dx = x2 sen x - ò2x sen x dx
• Volvendo a utilizar o método de integración por partes:
u x du dx
= Þ = ìí
î = Þ = -
2 2
sen cos
dv x dx v x
⤷ ò2x sen x dx = -2x cos x + ò2cos x dx = -2x cos x + 2sen x + C
• Polo tanto, ò x2 cos x dx = x2 sen x + 2x cos x - 2sen x + C . ⦿
2.
• ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
ò æ ç - ln x ö ÷
dx = ò dx - ò ln x dx = ln x - ò ln x dx
.
è x ø x
• Utilizando o método de integración por partes:
( ) 1
ì = Þ = ïíï
î = Þ =
u ln x du dx
x
dv dx v x
⤷ ò ln( x ) dx = x ln ( x ) - ò1 dx = x ln (x ) - x + C = x (ln ( x ) - 1) + C
e e
ò æ 1
ö ç - ÷ = é - ù ê ú = - = 0
è ø ë û • Aplicando a regra de Barrow: ( x ) dx ( x ) x ( ( x
) )
ln ln ln 1 1 1
x
1 1
⦿

3. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Mércores, 14 de maio de 2014
Cálculo integral. Páx. 3
3.
• Utilizando o método de integración por partes:
u x du x dx
( 2 )
2
2
2
ln 1
1
x
dv x dx v x
2
ì = + Þ = ïï
+
íï
= Þ = ïî
• ( ) ( ) 2 3
x x dx x x x dx
ò ln 1 + 2 = ln 1
+ 2
-
ò .
2 1
+ x
2 ⤷ Como o grao do polinomio do numerador é maior que o grao do denominador, facemos a
división dos polinomios. 3 2
x x 1
x 3
x x
x
+
- -
-
3
x x x
x x
Þ = -
1 + 2 1 +
2
⤷ ( ) ( ) 2
x x dx x x x dx x dx
ò 2 2
ò ò
+ 2
1 2
ln 1 ln 1
2 2 1
x
+ = + - +
• Polo tanto, ( ) ( ) ( ) 2 2
ò x x 2 dx x x 2 x 1 ln 1 + = ln 1 + - + ln 1
+ x 2
+ C . ⦿
2 2 2
4.
x
x x
+ + ò
e dx C
e e
• Como para g( x ) = 1 + ex , g¢ ( x ) = ex ⟹ ( )2
1
= - +
1 1
ln5 ln5
x
x x
= é- ù = - + = - + = êë + úû + + + + + ò 1
e dx
e e e e
• ( )
1 1 1 1 1
2 ln5 0
1 1 1 1 1 5 1 1
0 0
3
⦿
◌ Exercicios áreas de rexións limitadas:
1. Debuxa e calcula a área da rexión limitada pola parábola y = -x2 + 2x + 3 , a recta tanxente no
punto onde a parábola ten un extremo e a tanxente á parábola no punto no que a tanxente é paralela á
recta y = 4x . (Nota: para o debuxo da gráfica da parábola, indica os puntos de corte cos eixes, o vértice
e a concavidade ou convexidade).
2. Debuxa e calcula a área da rexión limitada pola gráfica da parábola f ( x ) = x2 - 2x + 1 , a súa
recta tanxente no punto (3,4) e o eixe OX. (Nota: para o debuxo da gráfica da parábola, indica os
puntos de corte cos eixes, o vértice e a concavidade ou convexidade).
3. Calcula a área do recinto limitado polo eixe OX e a parábola
2
4
y = x - x .
4. Calcula a área do recinto limitado pola gráfica de g( x ) = 2x3 - 3x2 e a recta y = 2x .

4. Páx. 4 Cálculo integral.
◌ Solucións:
1. • y = -x2 + 2x + 3 . Corte co eixe OY: (0, f (0)) = (0, 3) .
• Cortes co eixe OX: x2 - 2x - 3 = 0; D = 4 + 12 = 16
⤷
( )
( )
2 4
1 1,0
2 16 2 4 2
2 2 2 4
3 3, 0
2
x
-
= - Þ -
± ±
= = =
+
= Þ
• Vértice:
x b
= - ⟹
2
a
2
x = = 1
⟹ (1, f (1)) = (1, 4)
2
(punto onde a parábola ten un extremo).
• O coeficiente a = -1 < 0 ⟹ A parábola é cóncava.
• Pendente da recta y = 4x : m = 4. Derivada da parábola: y¢ = -2x + 2
⤷ -2x + 2 = 4 ⟺ -2x = 2 ⟺ x = -1 ⟹ (-1, f (-1)) = (-1,0) é o punto de tanxencia.
• Ecuación da recta tanxente á parábola con pendente m = 4: y = 4( x + 1) ⟺ y = 4x + 4
• Punto de corte das dúas rectas:
y
y x
ì = 4
ù
í úî = 4 + 4
û
⟺ ( x , y) = (0, 4)
• ( ) ( ) 0 2 1 2
= ò + + - - + ò + - - =
( ) ( )
Área 4x 4 x 2x 3 dx 4 x 2x 3 dx
-
1 0
0 2 1 2 é x 3 2 ù 0 é 3 ù
1 x x dx x x dx x x x x 2
x
1 0
= + + + - + = ê + + ú + ê - + ú =
ë û ë û
1 0
2 1 2 1
3 3
-
-
ò ò
æ - 1 ö æ 1
= 0 - ç + 1 - 1 ÷ + ç - 1 + 1 ö ÷ - 0
=
3 3
è ø è ø
2
3
u2 .
⦿
2. • f ( x ) = x2 - 2x + 1 . Corte co eixe OY: (0, f (0)) = (0, 1) .
• Cortes co eixe OX: x2 - 2x + 1 = 0 ; D = 4 - 4 = 0
2
⤷
x = = 1
⟹ (1, 0) é o punto de corte.
2
• Vértice:
x b
= - ⟹
2
a
2
x = = 1
⟹ (1, f (1)) = (1, 0) .
2
• O coeficiente a = 1 > 0 ⟹ A parábola é convexa.
• f ( x ) = x2 - 2x + 1 ⟹ f ¢ ( x ) = 2x - 2 ⟹ f ¢ (3) = 4
⤷ Ecuación da recta tanxente no punto (3,4) : y = 4( x - 3) + 4 ⟺ y = 4x - 8
• ( ) ( ) 2 2 3 2
Área = ò x - 2x + 1 dx + ò x - 2x + 1 - 4x + 8 dx =
1 2
2 2 3 2 é x 3 2 ù 2 é 3 ù
3 x x dx x x dx x x x x 2
x
1 2
⤷ ( ) ( )
= - 2 + 1 + - 6 + 9 = ê - + ú + ê - 3 + 9
ú =
3 3
ë û ë û
1 2
ò ò
⤷ ( ) 8 1 8 1 1
= æ - 4 + 2 ö - æ ö æ ö ç 3 ÷ ç - 1 + 1 ÷ + 9 - 27 + 27 - ç - 12 + 18
÷
= + = è ø è 3 ø è 3 ø
3 3
2
3
u2 .
⦿
3.
•
2
4
y = x - x . Corte co eixe OY: (0, f (0)) = (0, 0) .

5. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Mércores, 14 de maio de 2014
Cálculo integral. Páx. 5
• Cortes co eixe OX: x2 - 4x = 0 ⟺ x ( x - 4)= 0
⤷
( )
( )
0 0, 0
4 0 4, 0
x
x
= Þ ùú
- = Þ û
son os dous puntos de corte co eixe OX.
• Vértice:
x b
= - ⟹ x = 2 ⟹ (2, f (2)) = (2, -1)
2
a
• O coeficiente a = 1 4 > 0 ⟹ A parábola é convexa.
•
4 2 3 2 4 3 2
æ ö é ù æ ö
= - çç - ÷÷ = - ê - ú = - çç - ÷÷ + = - + = è ø ë û è ø ò
Área x x dx x x
0 0
4 4 16
0 8
4 12 2 12 2 3
8
3
u2 .
⦿
4. • g( x ) = 2x3 - 3x2 . Corte co eixe OY: (0, g(0)) = (0, 0) .
• Cortes co eixe OX: 2x3 - 3x2 = 0 ⟺ x2 (2x - 3)= 0
⤷
( )
( )
úû
ùú
= 0 Þ 0, 0
- = Þ x
x
2 3 0 3 , 0 2
son os puntos de corte co eixe OX.
• Extremos relativos: Primeiro determínanse os puntos críticos.
⤷ ( ) ( ) g¢ x = 6x2 - 6x = 6x x - 1 . ( ) ( ) 0
= ¢ = 0 Û 6 - 1
Û ì í î
= 1
x
g x x x
x
.
⤷ Para saber se son máximo ou mínimo vese o signo da segunda derivada nos puntos singulares.
⤷ g¢¢ ( x ) = 12x - 6 = 6(2x - 1) ⟹ g¢¢ (0) = -6 < 0; g¢¢ (1) = 12 - 6 > 0.
⤷ Polo tanto: g( x ) ten un máximo relativo en (0 , 0) e un mínimo relativo en (1 , -1)
• Puntos de inflexión: g¢¢ ( x ) = 0 Û 6(2x - 1) = 0 Û x = 1 2
⤷ g¢¢¢ ( x ) = 12 ⟹ g¢¢¢ (1 2) = 12 ¹ 0 ⟹ g( x ) ten un punto de inflexión en
1 1
,
2 2
æ - ö ç ÷
è ø
• Puntos de corte da gráfica de g(x ) = 2x3 - 3x2 e a recta y = 2x :
2x = 2x3 - 3x2 ⟺ 0 = 2x3 - 3x2 - 2x
⤷ ( ) 0 = x 2x2 - 3x - 2 ⟹
( )
x
x x
= Þ
0 0 , 0
2 2
- 3 - 2 =
0
⤷ D = 9 + 16 = 25 ⟹
3 5 1 1
, 1
3 25 3 5 4 2 2
( )
4 4 3 5
2 2, 4
4
x
- æ ö = - Þ ç - - ÷ ± ± è ø = = =
+
= Þ
• ( ) ( ) 0 3 2 2 3 2
= ò - - + ò - + =
Área 2x 3x 2x dx 2x 2x 3x dx
-
1 2 0
é ù é ù = ê - - ú + ê - + ú = - æ ö ç + - ÷ + ( - + )
=
ë û ë û è ø
4 0 4 2
x x x x x x
3 2 2 3
1 2 0
1 1 1
0 4 8 8
2 2 32 8 4
-
3 131
= 4 + = = 4,09375
u2 .
32 32
⦿