Ejercicios sobre el temario de matrices

1. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 3 de outubro de 2013
Matrices. Páx. 1
Tes que ser capaz de:
1. Utilizar os conceptos de matriz, elemento, dimensión e diagonal principal, e identificar os distintos
tipos de matrices.
• Igualdade de matrices.
• Matrices: fila, columna, cadrada, rectangular e nula.
• Matrices cadradas: diagonal, triangular (superior ou inferior) e identidade ou unidade.
2. Utilizar as matrices para organizar e representar datos extraídos de diversas situación en casos
sinxelos e operar con elas para resolvelos.
• Expresar en forma matricial un diagrama ou unha táboa.
• Expresar un enunciado mediante unha relación matricial e, nese caso, resólvelo e interpretar a
solución dentro do contexto do enunciado.
3. Calcular a matriz trasposta e a matriz oposta dunha matriz dada.
• Matrices: simétrica e antisimétrica.
4. Nos casos en que se poida, realizar:
• Sumas e restas de matrices.
• Multiplicación dunha matriz por por un escalar (número real).
• Produto de matrices.
• Non conmutatividade do produto de matrices.
• Realiza operacións combinadas con matrices (elementais).
5. Resolver ecuacións e sistemas de ecuacións matriciais (máximo dúas ecuacións).
6. Obter a matriz inversa (ata matrices de orde 3⨯3) polo método de Gauss, e identificar cando unha
matriz non ten inversa.
7. Calcular o rango dunha matriz polo método de Gauss (ata dimensión 4⨯4).
Exercicios:
1. Unha empresa fabrica xoguetes de tres tipos diferentes , e . Os prezos de custo de cada xoguete e os
ingresos que obtén a empresa por cada xoguete vendido veñen dados na seguinte táboa:
T1 T2 T3
Prezo de custo 4 € 6 € 9 €
Ingreso 10 € 16 € 24 €
O número de vendas anuais é de 4.500 xoguetes T1 , 3.500 xoguetes T2 e 1.500 xoguetes T3 .
Sabendo que a matriz de custos (C) e a matriz de ingresos (I) son matrices diagonais e que a matriz
de vendas anuais (V) é unha matriz fila.
a) Determina as matrices C, I e V.
b) Obtén, utilizando as matrices anteriores, a matriz de custos anuais, a matriz de ingresos anuais, e a
matriz de beneficios anuais, correspondentes ós tres tipos de xoguetes.
2. Un industrial fabrica dous tipos de lámpadas: transparentes (T) e opacas (O). De
T O
cada tipo fanse catro modelos: M, M, Me M.
1 2 3 4 M1
M2
M3
M4 (300 200
400 250
250 180
500 300)
A produción de semanal de cada tipo e modelo, ven representada pola táboa da
dereita.
A porcentaxe de lámpadas defectuosas é o 2% no modelo M1 , o 5% no M2 , o 8%
no M3 e o 10% no M4 . Calcula a matriz que expresa o número de lámpadas transparentes e opacas,
boas e defectuosas, que se producen.
3. Xustifica por que non é certa a igualdade: (A + B)⋅(A − B) = A2− B2 , cando A e B son dúas
matrices cadradas calquera.

2. Páx. 2 Matrices.
4. Sexa A unha matriz de dimensión 2⨯3:
a) Existe unha matriz B tal que A⋅B sexa unha matriz dunha soa fila?
b) E para B ⋅ A ?
• Pon un exemplo para cada caso, sendo: A =(1 0 0
) .
2 1 05. Calcula a inversa de cada unha das seguintes matrices ou xustifica que non a ten:
A =(1 −2 3
−2 4 −6
12 −24 36); B =(1 2 3
0 1 2
0 1 1); C =(0 0 1
1 0 0
0 1 0).
6. Estuda o rango das matrices seguintes:
A =( 1 −2 3 4
−1 0 0); C =(1 −2 3
−2 4 −6 8); B =( 1 3 0
−2 4 −6
12 −24 36);
D =(1 2 3
2 4 0
3 6 0); E =(1 0 3 0
0 2 0 3
0 1 0 1); F =(0 0 1
1 0 0
0 1 0).
7. Sexa A unha matriz de dúas filas e dúas columnas cuxo rango é 2.
Pode variar o seu rango se lle engadimos unha fila ou unha columna?
8. Determina a matriz X na seguinte ecuación matricial A2 X = 1
2 (A + B⋅C) ,
sendo A = (2 1
−1 3 1); C = (−1 3
0 1); B = ( 1 1 2
1 1
6 2).
9. Sendo a ecuación matricial X + X⋅A + Bt = 2C , onde as matrices A, B e C veñen dadas por:
(0 −2 0
A = −1 2 1
), B = (−3 5
4 1 1 1
−5
), C = (−0 0 −24 2 2 −1 0); e onde Bt denota a matriz trasposta
de B.
a) Despexa a matriz X na ecuación matricial, ¿que orde ten?
b) Calcula a matriz (2C − Bt ) , e a inversa da matriz (I + A) , sendo I a matriz identidade de orde 3.
c) Resolve a ecuación matricial obtendo o valor da matriz X.
10. Determina a matriz X en cada unha das seguintes ecuacións:
a) A2 X − B = A⋅X , se: A = (1 0 −1
2 1 0
−1 1 −1); B = (2 −1 0
1 3 −1
0 1 −1).
−1 0 1) ; B = (1 −1
b) A⋅B⋅X = C , se: A = (−2 −1 1
2 0
−2 1 ); C = (4 2) .
c) (1 1
3 4)⋅ X ⋅( 4 −2
−1 0 ) = ( 6 4
22 14) .
2 X + 3Y = B 〉 ; onde A =(−20 −5
11. Resolve o seguinte sistema de ecuacións: { X − 3Y = A
−2 −15)
e B =(23 17
−4 15), e as incógnitas X e Y son matrices de orde 2⨯2.

3. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 3 de outubro de 2013
Matrices. Páx. 3
12. Determina dúas matrices A e B tales que:
2 A + 3B = (8 4 7
18 11 –6
8 3 13); e −A + 5B = (9 –2 16
17 1 –10
9 5 13 ).
Solucións:
1.
T1 T2 T3
Prezo de custo 4 € 6 € 9 €
Ingreso 10 € 16 € 24 €
Número de vendas anuais 4.500 3.500 1.500
(a) Matriz de custos: C =(4 0 0
0 6 0
0 0 9); matriz de ingresos: I =(10 0 0
0 16 0
0 0 24);
matriz de vendas anuais: V = (4.500 3.500 1.500) . ▒
(b) Matriz de custos anuais:
V ⋅C = (4.500 3.500 1.500) (4 0 0
0 6 0
0 0 9)= (18.000 21.000 13.500) ;
• Matriz de ingresos anuais:
V ⋅I = (4.500 3.500 1.500) (10 0 0
0 16 0
0 0 24)= (45.000 56.000 36.000) ;
• Matriz de beneficios anuais: V ⋅ I − V ⋅C = (27.000 35.000 22.500) . Terá logo 27.000 € de
beneficios anuais cos xoguetes tipo T1 ; 35.000 € cos do tipo T2 e 22500 € cos do tipo T3 . ▒
2. (a) Matriz da proporcións de lámpadas de cada modelo boas e defectuosas:
M1 M2 M3 M4
B
D (0,98 0,95 0,92 0,90
0,02 0,05 0,08 0,10)
• matriz que expresa o número de lámpadas transparentes e opacas, boas e defectuosas:
(0,98 0,95 0,92 0,90
0,02 0,05 0,08 0,10)(300 200
400 250
250 180
500 300)=
T O
B
D (1.354 869,1
96 60,9 )≃
T O
B
D (1.354 869
96 61 ) . ▒
3. • (A + B)⋅(A − B) = A2− AB + B A − B2
• Para que a igualdade fose certa, tería que ser A B = B A ; e, en xeral, non é certo para dúas
matrices calquera. ▒
4.
2 1 0) e B =(12
(a) Non; A⋅B terá 2 filas necesariamente. Por exemplo, tomando A =(1 0 0
−1),
temos que: A⋅B =(1 4) . ▒
(b) Si; se tomamos unha matriz de dimensión 1⨯2 (ha de ter dúas columnas para poder
multiplicar B ⋅ A ), o resultado terá unha soa fila. Por exemplo: Se A =(1 0 0
2 1 0) e B =(1 2) ,

4. Páx. 4 Matrices.
entón B ⋅ A= (1 2) (1 0 0
2 1 0)=(5 2 0) . ▒
5.
−2 4 −6
12 −24 36 ∣1 0 0
(a) ((1) −2 3
2 F1 + F2
12 F1 − F3〉(1 −2 3
0 1 0
0 0 1)[ F1
0 0 0
0 0 0 ∣ 1 0 0
2 1 0
12 0 −1) ⟹ Como a transformada
da matriz A ten dúas filas nulas, entón non ten matriz inversa. ▒
0 (1) 2
0 1 1 ∣1 0 0
(b) (1 2 3
F2
F2− F3 〉(1 0 −1
0 1 0
0 0 1) [F1− 2 F2
0 1 2
0 0 (1) ∣1 −2 0
F2− 2 F3
F3 〉
0 1 0
0 1 −1)[F1 + F3
0 1 0
0 0 1 ∣1 −1 −1
(1 0 0
0 −1 2
0 1 −1) ⟹ B−1=(1 −1 −1
0 −1 2
0 1 −1). ▒
1 0 0
0 1 0 ∣1 0 0
(c) (0 0 1
F3
F1〉(1 0 0
0 1 0
0 0 1)[F2
0 1 0
0 0 1 ∣0 1 0
0 0 1
1 0 0) ⟹ C−1 =(0 1 0
0 0 1
1 0 0). ▒
6.
(a) ((1) −2 3 4
−2 4 −6 8) [ F1
2 F1 + F2〉 (1 −2 3 4
0 0 0 16) ⟹ ran(A)= 2 . ▒
(b) ((1) 3 0
−1 0 0) [ F1
F1 + F2〉 (1 3 0
0 3 0) ⟹ ran(B) = 2 . ▒
−2 4 −6
12 −24 36) [ F1
(c) ((1) −2 3
2 F1 + F2
12 F1 − F3〉(1 −2 3
0 0 0
0 0 0) ⟹ ran(C ) =1 . ▒
2 4 0
3 6 0)[ F1
(d) ((1) 2 3
2 F1− F2
3 F1− F3〉(1 2 3
3 F2− 2 F3〉(1 2 3
0 0 (6)
)[ F1
F2
0 0 9 0 0 6
0 0 0) ⟹ ran(D)= 2 . ▒
0 (2) 0 3
0 1 0 1)[ F1
(e) (1 0 3 0
F2
F2− 2 F3〉(1 0 3 0
0 2 0 3
0 0 0 1) ⟹ ran(E )= 3 . ▒
1 0 0
0 1 0) [F2
(f) (0 0 1
F3
F1〉(1 0 0
0 1 0
0 0 1) ⟹ ran(F ) = 3 . ▒
7. • Non porque o número de filas linealmente independentes coincide co número de columnas
linealmente independentes. Se engadimos unha fila, A seguiría tendo dúas columnas; e se
engadimos unha columna, A seguiría tendo dúas filas. Polo tanto, o rango seguirá sendo 2. ▒
8. • A2 X = 1
2 (A + B⋅C) ⟹ X = 1
2 (A2 )−1
(A + B⋅C )
• A2 = (2 1
0 1)(2 1
0 1) = (4 3
0 1) .
• (4 3
0 1) [F1 −3 F2
0 (1) ∣1 0
F2 〉 (4 0
0 1 ∣1 −3
0 1 ) ⟹ (A2)−1
4 (1 −3
= 1
0 4 ) .
−1 3 1)(−1 3
• B ⋅C = ( 1 1 2
1 1
6 2)= (12 8
10 2) ; A + B⋅C = (2 1
0 1)+ (12 8
10 2) = (14 9
10 3).

5. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 3 de outubro de 2013
Matrices. Páx. 5
2 ⋅ 1
4 (1 −3
• X = 1
0 4 )(14 9
10 3)= 1
8 (−16 0
40 12)= (−2 0
5 3/2) . ▒
9. (a) X + X⋅A + Bt = 2C ⟹ X + X⋅A = 2C − Bt ⟹ X⋅(I + A) = 2C − Bt ⟹
⟹ X = (2C − Bt )⋅(I + A)−1 . ▒
• 2C − Bt é de orde 2⨯3; I + A é de orde 3 ⟹ X é de orde 2⨯3. ▒
(b) 2C − Bt =(−2 2 2
)−(−3 4 4
)= ( 1 −2 −2
) .
4 −2 05 −5 2−1 3 −2• I + A =(1 0 0
0 1 0
0 0 1)+ (0 −2 0
−1 2 1
0 0 −2)=(1 −2 0
−1 3 1
0 0 −1).
−1 3 1
0 0 −1 ∣1 0 0
• ((1) −2 0
F1 + F2
F3 〉 (1 −2 0
0 1 0
0 0 1)[ F1
0 (1) 1
0 0 −1 ∣1 0 0
F2
F3 〉
1 1 0
0 0 1)[F1 + 2 F2
0 1 1
0 0 (−1) ∣3 2 0
(1 0 2
F2 + F3
F3 〉(1 0 0
1 1 0
0 0 1) [F1 + 2 F3
0 1 0
0 0 −1 ∣3 2 2
1 1 1
0 0 1) ⟹ (I + A)−1 =(3 2 2
1 1 1
0 0 −1)
−1 3 −2)⋅(3 2 2
(c) X = ( 1 −2 −2
1 1 1
0 0 −1)= (1 0 2
0 1 3) . ▒
10.(a) A2 X − B = A⋅X ⟹ A2 X − A⋅X = B ⟹ (A2− A) X = B ⟹ X = (A2 − A)−1 B .
• A2= (1 0 −1
2 1 0
−1 1 −1)(1 0 −1
2 1 0
−1 1 −1)= (2 −1 0
4 1 −2
2 0 2 ).
• A2− A =(2 −1 0
4 1 −2
2 0 2 )−(1 0 −1
2 1 0
−1 1 −1)=(1 −1 1
2 0 −2
3 −1 3 ).
2 0 −2
3 −1 3 ∣1 0 0
• ((1) −1 1
2 F1− F2
3 F1− F3〉(1 −1 1
0 1 0
0 0 1)[ F1
0 (−2) 4
0 −2 0 ∣1 0 0
F2
F2− F3 〉
2 −1 0
3 0 −1)[2 F1− F2
0 −2 4
0 0 (4) ∣ 0 1 0
(2 0 −2
F2− F3
F3 〉(4 0 0
2 −1 0
−1 −1 1)[2 F1 + F3
0 −2 0
0 0 4 ∣−1 1 1
3 0 −1
−1 −1 1 ) ⟹
⟹ (A2− A)−1
= 1
4 (−1 1 1
6 0 −2
−1 −1 1 ).
4 (−1 1 1
• X = 1
−6 0 2
−1 −1 1)(2 −1 0
1 3 −1
0 1 −1)= 1
4 (−1 5 −2
−12 8 −2
−3 −1 0 )=(−1/4 5/4 −1/2
−3 2 −1/2
−3/4 −1/4 0 ). ▒
(b) A⋅B⋅X = C ⟹ X =(A⋅B)−1 C
−1 0 1)(1 −1
• A⋅B = (−2 −1 1
2 0
−2 1 )= (−6 3
−3 2).

6. Páx. 6 Matrices.
• ((−6) 3
0 1) [ F1
−3 2 ∣1 0
F1 − 2 F2〉 (−6 3
1 −2) [F1 + 3 F2
0 (−1) ∣1 0
F2 〉 (−6 0
0 −1 ∣4 −6
1 −2) ⟹
⟹ ( A⋅B )−1 =(−2/3 1
−1 2) .
• X =(−2/3 1
−1 2)(42
) = (−2/3
0 ). ▒
(c) (1 1
3 4)⋅ X ⋅( 4 −2
−1 0 ) = ( 6 4
22 14) ⟹ X = (1 1
3 4)−1 (6 4
22 14)( 4 −2
−1 0 )−1
• ((1) 1
0 1) [ F1
3 4 ∣1 0
3 F1− F2〉 (1 1
3 −1) [F1 + F2
0 −1 ∣1 0
F2 〉 (1 0
0 −1 ∣4 −1
3 −1) ⟹
⟹ (1 1
3 4)−1
= ( 4 −1
−3 1 ).
• ((4) −2
0 1) [ F1
−1 0 ∣1 0
F1 + 4 F2〉 (4 −2
1 4) [F1 − F2
0 (−2) ∣1 0
−F2 〉 (4 0
0 2 ∣ 0 −4
−1 −4) ⟹
⟹ ( 4 −2
−1 0 )−1
= ( 0 −1
−1/2 −2) .
• X = ( 4 −1
−3 1 )( 6 4
22 14)( 0 −1
−1/2 −2)= (2 2
4 2)( 0 −1
−1/2 −2) = (−1 −6
−1 −8) . ▒
11. • Aplico o método de redución: E1 + E2 (para reducir a Y )
{ X − 3Y = A
2 X + 3Y = B
3 X = A + B
3 (A + B) ⟹ X = 1
⟹ X = 1
3 [(−20 −5
−4 15)]= 1
−2 −15)+ (23 17
3 ( 3 12
−6 0 )
• −2 E1 + E2 (para reducir a X )
{−2 X + 6Y =−2 A
2 X + 3Y = B
9Y = B − 2 A
9 (B − 2 A) ⟹ Y = 1
⟹ Y = 1
9 [(23 17
4 30)]= 1
−4 15)+ (40 10
9 (63 27
0 45)
• O sistema ten unha solución formada polas matrices: X =( 1 4
−2 0) e Y =(7 3
0 5) . ▒
12.
• Chamo C = (8 4 7
18 11 – 6
8 3 13) e D = (9 –2 16
17 1 –10
9 5 13 ); polo tanto, o sistema é {2 A + 3B =C
−A + 5B = D
• Aplico o método de redución: E1 + 2 E2 (para reducir a A )
{ 2 A + 3B =C
−2 A + 10B = 2D
13B =C + 2D
13 (C + 2D) = 1
⟹ B = 1
13 [(8 4 7
34 2 –20
18 10 26 )]=
18 11 –6
8 3 13)+ (18 – 4 32
= 1
13 (26 0 39
52 13 –26
26 13 39 )= (2 0 3
4 1 –2
2 1 3 ). Despexo na 2ª ecuación: −A + 5B = D ⟹
⟹ −D + 5B = A ⟹ A = 5B − D ⟹ A =(10 0 15
20 5 –10
10 5 15 )−(9 –2 16
17 1 – 10
9 5 13 )=(1 2 −1
3 4 0
1 0 2 ).

7. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 3 de outubro de 2013
Matrices. Páx. 7
• O sistema ten unha solución formada polas matrices: A =(1 2 −1
3 4 0
1 0 2 ) e B =(2 0 3
4 1 –2
2 1 3 ). ▒