Aplicaciones de los determinantes mediante ejercicios

1. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II luns, 28 de outubro de 2013
3. Aplicacións dos determinantes. Páx. 1
TES QUE SER CAPAZ DE:
1. Calcular determinantes de orde 4 ou superior.
1.1. Método de triangulación (aplicando as propiedades dos determinantes).
1.2. Desenvolvendo polos elementos dunha liña.
1.3. Reducindo a orde do determinante.
2. Calcular o rango dunha matriz ata dimensión 4⨯4 a partir dos seus menores.
• Calcular o rango de matrices dependentes dun parámetro ata dimensión 4⨯4.
3. Matriz inversa dunha matriz cadrada.
• Condición necesaria e suficiente para a existencia da matriz inversa.
• Propiedades da matriz inversa.
• Obter a matriz inversa (ata matrices de orde 3⨯3) utilizando determinantes.
CONTIDOS 1:
Método de triangulación (aplicando as propiedades dos determinantes).
• O método de triangulación consta de (n−1) etapas, representando o número de etapa por “i ”, que
tomará como valores 1,2,3,… , n−1. En cada etapa “i ”:
– Tomando como pivote o elemento ai ,i , fanse ceros todos os elementos da súa columna que estean
por debaixo.
Aplícase a propiedade: “Se a unha fila (ou columna) lle sumamos outra (a fila do pivote)
multiplicada por un número (o que anula o elemento), o determinante non varía.”
– Se o elemento ai ,i = 0 , é preciso intercambiar previamente a súa fila por algunha outra inferior,
cambiando o signo do determinante, e se non é posible, por ser os elementos da súa columna por
debaixo do elemento ai ,i , incluído este, cero, o determinante é nulo.
Desenvolvemento por adxuntos.
• O valor dun determinante é igual á suma dos produtos dos elementos dunha liña polos seus
adxuntos correspondentes.
Redución da orde do determinante.
• Trátase de reducir a orde do determinante ata a orde 2 ou 3.
– Anulando todas menos unha das posición dunha liña, aplicando a propiedade de que “se a unha
liña se lle suma outra liña paralela multiplicada por un número entón o seu determinante non varía.”
– A continuación, desenvólvese o determinante por dita liña, quedándonos un número multiplicado
por un determinante dunha matriz con orde unha unidade menor.
• Elíxese unha fila ou columna coa maior cantidade de ceros, e dentro desta, un un ou divisor dos
demais valores (fará o papel de pivote). Se non existira pode multiplicarse as columnas o filas que
non cumpran a condición por un número adecuado para conseguir que se cumpra esa condición.
– Ter en conta que se se multiplica unha liña por un número, o determinante queda multiplicado
por dito número. Polo tanto, multiplicarase polo inverso do número o determinante resultante.
• Se se prefire que o pivote quede na posición (1,1), poden permutarse filas ou columnas, aplicando ao
determinante o cambio de signo correspondente.
• Sempre que se poda debe sacarse factor común dunha fila ou columna para traballar con números
menores.
• É boa práctica (para facer sen calculadora) elixir como pivote aquel que requira multiplicacións por
números menores.

2. Páx. 2 Aplicacións dos determinantes.
EXERCICIOS 1:
1. Calcula os seguintes determinantes, aplicando o método de triangulación:
a) ∣x a a a
x x b b
x x x c
x x x x ∣ b) ∣k 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1
1 1 1 k ∣
2. Calcula os seguintes determinantes, desenvolvendo polos elementos dunha liña:
2 −1 0
3 4 −1∣ b) ∣x y 0 0
a) ∣1 2 1
0 x y 0
0 0 x y
y 0 0 x ∣
3. Calcula os seguintes determinantes, reducindo a orde:
a) ∣2 −1 −1 2
5 3 2 1
1 0 0 3
−2 2 1 −1∣ b) ∣1 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1
1 1 1 k ∣
4. Calcula os seguintes determinantes:
2 −5 3 6
2 0 4 −3
6 2 8 0 ∣ b) ∣1 2 0 3 4
a) ∣4 2 7 1
0 0 1 −1 3
1 0 −1 2 1
3 1 0 0 1
−2 −3 −1 0 2∣ c) ∣0 0 1 2
3 0 1 0
−2 1 0 3
0 −4 2 1∣
5. Resolve as ecuacións seguintes:
a) ∣x 1 0 0
0 x 1 0
0 0 x 1
1 0 0 x ∣= 0 b) ∣−x 1 0 1
1 −x 1 0
0 1 −x 1
1 0 1 −x ∣= 0 c) ∣x −1 −1 0
−x x −1 1
1 −1 x 1
1 −1 0 x ∣= 0
6. Determina o valor de x en función de a, b e c para: ∣a b c
a x c
a b x ∣= 0 .
SOLUCIÓNS 1:
1.
(a) ∣x a a a
1) [ F1
x x b b
x x x c
x x x x ∣=(
F2−F1
F3−F1
F4−F1〉∣x a a a
0 x−a b−a b−a
0 x−a x−a c−a
0 x−a x−a x−a∣=
F3−F2
F4−F2〉 ∣x a a a
(1) [ F2
0 x−a b−a b−a
0 0 x−b c−b
0 0 x−b x−b∣=
(1)
F4−F3〉 =∣x a a a
[ F3
0 x−a b−a b−a
0 0 x−b c−b
0 0 0 x−c ∣=(
2)
x(x−a)(x−b)(x−c) ▒
(1) Se a unha fila lle sumamos outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
(2) O determinante dunha matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

3. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II luns, 28 de outubro de 2013
3. Aplicacións dos determinantes. Páx. 3
(b) ∣k 1 1 1
1 k 1 1
∣=
1 1 k 1
(1)
1 1 1 k [F1+ F2+ F3+ F4〉 ∣k+ 3 k+ 3 k+ 3 k+ 3
1 k 1 1
1 1 k 1
1 1 1 k ∣=
(2)
(k+ 3) ∣1 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1
1 1 1 k ∣=
(1)
F2−F1
F3−F1
F4−F1〉=(k+ 3) ∣1 1 1 1
[ F1
0 k−1 0 0
∣=
0 0 k−1 0
(3)
0 0 0 k−1(k+ 3)(k−1)3 ▒
(1) Se a unha fila lle sumamos outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
(2) Sácase factor común da 1ª fila.
(3) O determinante dunha matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
2. (a) Desenvolverase pola 3ª columna:
∣1 2 1
2 −1 0
∣= 1)4 ·1· ∣2 −1
(−3 4 −13 4 ∣+ 0 + (−1)6 ·(−1)· ∣1 2
2 −1∣= (8 + 3) + 0 −(−1 − 4)=
= 11 + 5= 16 ▒
(b) Desenvolverase pola 1ª fila:
∣x y 0 0
0 x y 0
0 0 x y
y 0 0 x ∣= (−1)2 · x ∣x y 0
0 x y
0 0 x ∣+ (−1)3 · y ∣0 y 0
0 x y
y 0 x ∣= x4 − y4 ▒
3.
(a) ∣2 −1 −1 2
5 3 2 1
1 0 0 3
−2 2 1 −1∣=(
C4−3C1〉 ∣2 −1 −1 −4
1) [ C1
5 3 2 −14
1 0 0 0
−2 2 1 5 ∣=
(2) ∣−1 −1 −4
3 2 −14
2 1 5 ∣=
= (−10 + 28 − 12) −(−16− 15 + 14) = 6 + 17= 23 ▒
(1) Se a unha columna lle sumamos outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
(2) Desenvolvendo pola 3ª fila.
(b) ∣1 1 1 1
(1) [ F1
1 k 1 1
1 1 k 1
1 1 1 k ∣=
F2−F1
F3−F1
F4−F1〉∣1 1 1 1
0 k−1 0 0
0 0 k−1 0
0 0 0 k−1∣=(
2) ∣k−1 0 0
0 k−1 0
0 0 k−1∣= (k−1)3 ▒
(1) Se a unha fila lle sumamos outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
(2) Desenvolvendo pola 3ª columna.
4.
(a) ∣4 2 7 1
2 −5 3 6
2 0 4 −3
6 2 8 0 ∣=
(1)
−∣2 −5 3 6
(2) [ F1
4 2 7 1
2 0 4 −3
6 2 8 0 ∣=
F2−2 F1
F3−F1
F4−3 F1〉−∣2 −5 3 6
0 12 1 −11
∣=
0 5 1 −9
(3)
0 17 −1 −18=−2 ∣12 1 −11
5 1 −9
17 −1 −18∣=
(1)
2 ∣ 1 12 −11
(2) [ F1
1 5 −9
−1 17 −18∣=
F2−F1
F3+ F1〉2 ∣1 12 −11
0 −7 2
∣=
0 29 −29(4)
58 ∣1 12 −11
0 −7 2
0 1 −1 ∣=
(3)

4. Páx. 4 Aplicacións dos determinantes.
=58 ∣−7 2
1 −1∣= =58·(7 − 2) = 58· 5= 290 ▒
(1) Se permutamos dúas liñas paralelas, o determinante cambia de signo.
(2) Se a unha fila lle sumamos outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
(3) Desenvolvendo pola 1ª columna.
(4) Sácase factor común na 3ª fila.
(b) ∣1 2 0 3 4
0 0 1 −1 3
1 0 −1 2 1
3 1 0 0 1
−2 −3 −1 0 2∣=
F3+ F2
F5+ F2〉∣1 2 0 3 4
(1) [ F2
0 0 1 −1 3
1 0 0 1 4
3 1 0 0 1
−2 −3 0 −1 5∣=
(2)
(−1)5 ∣1 2 3 4
1 0 1 4
3 1 0 1
−2 −3 −1 5∣=(
1)
F2
F4+ F2 〉=−∣−2 2 0 −8
[F1−3 F2
1 0 1 4
3 1 0 1
−1 −3 0 9 ∣=
(2)
−(−1)5 ∣−2 2 −8
3 1 1
∣=
−1 −3 9 (3)
−2 ∣ 1 −1 4
3 1 1
−1 −3 9∣=(
3)
=−2(−26+ 34) = −2·8 = −16 ▒
(1) Se a unha liña lle sumamos outra paralela multiplicada por un número, o determinante non varía.
(2) Desenvolvendo pola 3ª columna.
(3) Sácase factor común na 1ª fila.
(c) ∣0 0 1 2
3 0 1 0
−2 1 0 3
0 −4 2 1∣=
C4−2C3〉 ∣0 0 1 0
(1) [ C3
3 0 1 −2
−2 1 0 3
0 −4 2 −3∣=(
2)
(−1)4 ∣ 3 0 −2
−2 1 3
0 −4 −3∣=(
F3+ 4 F2〉
1) [ F2
=∣ 3 0 −2
−2 1 3
−8 0 9 ∣=
(3) ∣ 3 −2
−8 9 ∣= 27 −16 = 9 ▒
(1) Se a unha liña lle sumamos outra paralela multiplicada por un número, o determinante non varía.
(2) Desenvolvendo pola 1ª fila.
(3) Desenvolvendo pola 2ª columna.
EXERCICIOS 2:
1. Calcula o rango das seguintes matrices:
3 −1 0 1 1 2
4 1 3 1 0 6
7 0 3 2 1 8) b) B =(4 2 1 5 3
a) A =(1 2 3 0 −1 4
2 3 2 6 5
6 5 3 12 8
12 10 6 23 16)
c) C =(1 0 0 1 −1
1 −1 2 1 0
0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 ) d) D =(2 1 0 −1
5 1 −3 −7
7 2 −3 −8
1 0 2 2 )

5. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II luns, 28 de outubro de 2013
3. Aplicacións dos determinantes. Páx. 5
2. Estuda o rango destas matrices segundo o valor do parámetro a:
a) A =(1 1 1 2
1 2 −3 8
a −1 −1 1
1 −1 1 −2) b) B =(1 2 3 a
2 4 6 8
3 6 9 12)
c) C =(a −1 1
1 −a 2a−1) d) D =(a−2 1−2a −1
a a 2a)
3. Estuda o rango das seguintes matrices segundo o valor do parámetro que aparece nelas:
a) A =(2 1 0
1 1 −2
3 1 a ) b) B =(a 1 0
−1 2a −2
1 −1 2 ) c) C =(2 −1 a
a 3 4
3 −1 2) d) D =(1 1 1
1 −a 1
1 1 a)
4. Estuda, segundo os valores do parámetro, o rango de cada matriz:
a) A =(k 1 −2 0
−2 −4 k 1
1 1 1 k) b) B =(t 2 2
2 t 0
1 t t )
c) C =(1 1 −1 0
2 1 −1 0
−t 6 3−t 9−t) d) D =(m m−1 m(m−1)
m 1 m
m 1 m−1 )
5. Dada a matriz A =(x 1 0
1 0 x) :
a) Calcula os rangos de At · A e de A· At , onde At denota a matriz trasposta de A.
b) Para o valor x = 1 , resolve A At X = B , sendo B =(0 3) .
SOLUCIÓNS 2:
1. (a) ran(A)= 2. ▒
(b) ran(B) = 3 . ▒
(c) ran(C )= 4 . ▒
(d) ran(D)= 3 . ▒
2. (a) Se a = 2 ⟹ ran(A)= 3
• Se a ≠ 2 ⟹ ran(A)= 4 ▒
(b) Se a = 4 ⟹ ran(B) = 1
• Se a ≠ 4 ⟹ ran(B) = 2 ▒
(c) Se a = 1 ⟹ ran(C )= 1
• Se a ≠ 1 ⟹ ran(C )= 2 ▒
(d) Se a = 0 ⟹ ran(D)= 1
• Se a = 3
2
⟹ ran(D)= 1
• Se a ≠ 0 e a =
3
2
⟹ ran(D)= 2 ▒
3. (a) Se a = 2 ⟹ ran(A)= 2
• Se a ≠ 2 ⟹ ran(A)= 3 ▒
(b) Se a = 0 ⟹ ran(B) = 2

6. Páx. 6 Aplicacións dos determinantes.
• Se a =
1
2
⟹ ran(B) = 2
• Se a ≠ 0 e a = 1
2
⟹ ran(B) = 3 ▒
(c) Se a = 1 ⟹ ran(C )= 2
• Se a =−8 ⟹ ran(C )= 2
• Se a ≠ 1 e a =−8 ⟹ ran(C )= 3 ▒
(d) Se a = 1 ⟹ ran(D)= 2
• Se a =−1 ⟹ ran(D)= 2
• Se a ≠ 1 e a =−1 ⟹ ran(D)= 3 ▒
4. (a) Se k =−1 ⟹ ran(A)= 2
• Se k ≠−1 ⟹ ran(A)= 3 ▒
(b) Se t = 0 ⟹ ran(B) = 2
• Se t = √2 ⟹ ran(B) = 2
• Se a =−1 ⟹ ran(B) = 2
• Se t ≠ 0 e t ≠ √2 e t ≠−√2 ⟹ ran(B) = 3 ▒
(c) Se t = 9 ⟹ ran(C )= 2
• Se t ≠ 9 ⟹ ran(C )= 2 ▒
(d) Se m = 0 ⟹ ran(D)= 2
• Se m = 2 ⟹ ran(D)= 2
• Se m ≠ 0 e m = 2 ⟹ ran(D)= 3 ▒
5.
(a) At · A =(x 1
1 0 x)=(x2+ 1 x x
1 0
0 x)·(x 1 0
x 1 0
x 0 x2)
• ∣x2+ 1 x
x 1∣= x2+ 1 − x2 = 1≠ 0 ⟹ ran(At · A) ≥ 2, para tódolos valores de x.
• ∣x2+ 1 x x
x 1 0
x 0 x2 ∣= x2 (x2+ 1) − x2− x4 = x4 + x2− x2− x4 = 0, para tódolos valores de x.
• Polo tanto, ran(At · A) = 2, para tódolos valores de x. ▒
1 0 x)·(x 1
• A· At =(x 1 0
1 0
0 x)=(x2+ 1 x
x x2+ 1)
• ∣x2+ 1 x
x x2+ 1∣= (x2+ 1)2
− x2 = x4 + 2 x2 + 1 − x2 = x4 + x2 + 1 =0 (ecuación bicadrada)
• x2 = −1 ± √1 − 4
2
= −1 ± √−3
2
Non ten solucións reais. ⟹ ∣ A· At ∣ ≠ 0 , para tódolos
valores de x ⟹ ran(A· At) = 2, para tódolos valores de x. ▒
(b) Para o valor x = 1 , A· At =(2 1
).
1 2• A At X = B ⟹ X = (A At )−1 B .

7. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II luns, 28 de outubro de 2013
3. Aplicacións dos determinantes. Páx. 7
1 2 ∣1 0
• (2 1
F1 − 2 F2〉 (2 1
0 1) [ F1
1 −2) [3 F1 + F2
0 −3 ∣1 0
F1 〉 (6 0
1 −2) [F1 /2
0 −3 ∣4 −2
−F2 〉
0 3 ∣ 2 −1
(3 0
) ⟹ (A At )−1 1
= −1 2 3
·( 2 −1
) ⟹ X 1
= −1 2 3
·( 2 −1
−1 2 )(0 3) ⟹
⟹ X = 1
3
·(−3
6 ) ⟹ X = (−1
2 ) ▒