Ejemplo de prueba intermedia de matemáticas en 2º de Bacillerato

1. dep. Matemáticas. NOME: ................................................ Proba Intermedia – 1ª avaliación. Mércores, 24 de outubro de 2012
APELIDOS: ..................................................................... Matemáticas II – 2º bach. A
Nota:
1.a
) [0,75] Cal é a condición que ten que verificar unha matriz cadrada para ser simétrica? E para ser
antisimétrica?
b) [0,75] Pon un exemplo de matriz simétrica de orde 3 e outro de matriz antisimétrica de orde 3.
(a) Unha matriz, A, é simétrica se coincide ca súa trasposta, e dicir, At = A.
• Unha matriz, A, é antisimétrica se coincide ca oposta da súa trasposta, e dicir, At =−A . ⦿
(b) Matriz simétrica de orde 3: (2 1 −1
1 0 3
−1 3 4 ). Matriz antisimétrica de orde 3: (0 1 −1
−1 0 3
1 −3 0 ).
⦿
2) [0,75] Que condición cumpren as filas dunha matriz de dimensións (2⨯m) se a matriz ten rango 1.
b) 1 −1
2 −2
[1,50] Determina unha matriz simétrica, X, de rango 1 que verifique: X ·()=().
a
.2 −20 0 (a) As filas son proporcionais, xa que son linealmente dependentes. ⦿
• X =(a b
b c ) por ser unha matriz simétrica.
• Por ter rango 1 ⟹ As filas son proporcionais.
– Se a = 0 ⟹ b 0 ⟹ (0 0
c)·(1 −1
= 0 2 −2)=( 0 0
2c −2c) ⟹ ( 0 0
2c −2c)=(2 −2
0 0 ) o que non
pode ser, xa que 0≠2 .
– Se a ≠ 0 ⟹ (b , c) = t ·(a , b) ⟹ b = at ⟹ c = b t = at 2 ⟹ X =(a at
a t a t2) ⟹
⟹ (a at
a t a t2)·(1 −1
2 −2)=( a+ 2a t −a−2at
at+ 2a t2 −at−2at 2) ⟹ ( a+ 2at −a−2a t
a t+ 2at 2 −at−2at2)=(2 −2
0 0 )⟹
⟹ {a(1+ 2t ) = 2
at (1+ 2t ) = 0
⟹ 1+ 2t ≠ 0 e a ≠ 0 ] ⟹ t = 0 ] ⟹ a = 2 ] ⟹ X =(2 0
0 0) .
⦿
3. Sendo a ecuación matricial X A + At = 2 X , sendo At a matriz trasposta de A =(−1 1 0
0 1 0
0 1 −1).
a) [1,25] Despexa a matriz X na ecuación matricial, ¿que orde ten?
b) [1,25] Calcula a matriz inversa da matriz (A− 2I ) , sendo I a matriz identidade de orde 3.
c) [1,25] Resolve a ecuación matricial obtendo o valor da matriz X.
(a) X
(m⨯n)
A
(3⨯3)
(m⨯3)
+ A
t = 2 X
(3⨯3)
(m⨯n)
⟹ X A
(m⨯3)
+ A
t = 2 X
(3⨯3)
(m⨯3)
⟹ X é unha matriz cadrada de orde 3.
• X A + At = 2 X ⟹ X A −2 X = −At ⟹ X (A −2I ) = −At ⟹ X = −At (A− 2I )−1 . ⦿
(b) A − 2I =(−1 1 0
0 1 0
0 1 −1)−2 (1 0 0
0 1 0
0 0 1)=(−1 1 0
0 1 0
0 1 −1)+ (−2 0 0
0 −2 0
0 0 −2)=(−3 1 0
0 −1 0
0 1 −3)
0 (−1) 0
0 1 −3 ∣1 0 0
• (−3 1 0
F2
F2 + F3〉(−3 0 0
0 1 0
0 0 1)[F1 + F2
0 −1 0
0 0 −3 ∣1 1 0
−F2
−F1 /3〉
0 1 0
0 1 1)[−F1 /3
• (A− 2I )−1 =(−1/3 −1/3 0
0 −1 0
0 −1/3 −1/3)=− 1
3 (1 1 0
0 3 0
0 1 1) .
⦿

2. Páx. 2 Proba intermedia – 1ª avaliación.
(c) X = −At (A− 2I )−1 = −(−1 0 0
1 1 1
0 0 −1)(−1/3 −1/3 0
0 −1 0
0 −1/3 −1/3)= 1
3 (−1 0 0
1 1 1
0 0 −1)(1 1 0
0 3 0
0 1 1)=
= 1
3 (−1 0 0
1 1 1
0 0 −1)(1 1 0
0 3 0
0 1 1)=
1
3 (−1 −1 0
1 5 1
0 −1 −1)= (−1/3 −1/3 0
1/3 5/ 3 1/3
0 −1/3 −1/ 3).
⦿
4. [2,50] Sexan C1 , C2 , C3 as columnas primeira, segunda e terceira, respectivamente, dunha matriz
cadrada M de orde 3 con det (M)= 4 . Calcula, enunciando as propiedades de determinantes que
utilices, o determinante da matriz cuxas columnas primeira, segunda e terceira son, respectivamente,
(−C1) , (2C1 −C 3), (C2 + C3) .
y
z); C3 =(mnp
), entón M =(a x m
• Se C1 =(abc
); C2 =(x
b y n
c z p ).
• Se chamamos N á matriz da que queremos calcular o determinante:
det (N)=∣−a 2a−m x+ m
−b 2b−n y+ n
−c 2c−p z+ p ∣=
(1)
−∣a 2a−m x+ m
b 2b−n y+ n
c 2c−p z+ p ∣=
(2)
−∣a −m x+ m
b −n y+ n
c −p z+ p ∣=
(1)∣a m x+ m
b n y+ n
c p z+ p ∣=(
2)
∣a m x+ m
b n y+ n
c p z+ p ∣=(
2)∣a m x
b n y
c p z ∣=
(3)
−∣a x m
b y n
c z p ∣= − det (M)= −4
⦿
(1) Se multiplicamos unha columna por un número, o determinante queda multiplicado por ese número.
(2) Se a unha columna lle sumamos ou restamos outra multiplicada por un número, o determinante non
varía.
(3) Se permutamos dúas columnas, o determinante cambia de signo.