Ejemplo de examen de geometría de 2º de Bachillerato

1. Dep. Matemáticas. NOME: .................................... Recuperación Xeometría. Xoves, 27 de marzo de 2014
APELIDOS: .......................................................... Matemáticas II – 2º bach. B
Nota:
1. Sexan ur e vr dous vectores tales que ur = 3 , vr = 4 , e ur - vr = 5.
a) Calcula o ángulo que forman os vectores ur e vr . [0,75 p]
b) Calcula o produto mixto [ur ´ vr, ur, vr], sendo ur ´ vr o produto vectorial de ur e vr . [0,75 p]
(a) ur = 3 ⟹ ur × ur = 9 ; vr = 4 ⟹ vr × vr = 16 ; ur - vr = 5 ⟹ (ur - vr ) × (ur - vr ) = 25
· Aplicando a propiedade distributiva obtense: ur × ur - 2 ur × vr + vr × vr = 25
⤷ 9 - 2ur × vr + 16 = 25 ⟹ 9 + 16 - 25 = 2ur × vr ⟹ ur × vr = 0 ⟹ ur ^ vr
⤷ ur e vr forman un ángulo de 90°. ⦿
(b) éëa, b, c ùû = a × (b ´ c )
r r r r r r [ u r ´ v, r u, r v r ] = ( u r ´ v r ) × ( u r 2 ⟹ ´ v r ) = u r ´ v r 2 = éë u r × v r × sen (u, ·r v r
) ùû
⤷ ur ^ vr ⟹ sen (u·r, vr ) = 1 ⟹ [ur ´ vr, ur, vr] = (3× 4)2 = 122 = 144. ⦿
2. Dados os planos 1p : x + y + z - 1 = 0 ; 2p : y - z + 2 = 0 ; e a recta
: 1 1
r x y z
+ -
= =
2 1 1
-
a) Calcula o ángulo que forman 1 p e 2 p . [0,75 p]
b) Calcula o ángulo que forman 1 p e r . [0,75 p]
c) Estuda a posición relativa da recta r e a recta intersección dos planos 1 p e 2 p . [1,5 p]
(a) Vector ortogonal a 1p : x + y + z - 1 = 0 : ( ) 1 nr 1, 1, 1
· Vector ortogonal a 2p : y - z + 2 = 0 : ( ) 2 nr 0, 1, -1
· O ángulo que forman 1 p e 2 p , θ , coincide co ángulo menor que forman os seus vectores
r r
r r
ortogonais: ( ) ( ) ( )
1, 1, 1 0, 1, 1 1 1 0 cos 0
( )
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 0 1 1 3 2 6
n n
n n
q
× × - -
= = = = =
× + + × + + - ×
⤷ Polo tanto, o ángulo que forman 1 p e 2 p é q = 90° . ⦿
(b) Vector ortogonal a 1p : x + y + z - 1 = 0 : ( ) 1 nr 1, 1, 1
· Vector director da recta
: 1 1
r x y z
+ -
= =
2 1 1
-
r
: d(-2, 1, 1)
r
.
· O ángulo que forman 1 p e r , φ , é complementario ao ángulo agudo que forman 1 nr e d
r r
r r
⤷ ( ) ( ) ( )
1, 1, 1 2, 1, 1 2 1 1 0 cos 90 0
( )
1
2 2 2 2 2 2
1
1 1 1 2 1 1 3 6 18
n d
n d
j
× × - - + +
° - = = = = =
× + + × - + + ×
⤷ Entón 90° - j = 90° ⟹ o ángulo que forman 1 p e r é j = 0° . ⦿
(c) Un vector director de
1 0
:
+ + - = ìí
î - + =
2 0
x y z
s
y z
é
1 1 1 1 1 1
= æ ö 1 1 1
= ç - ÷
1 1 0 1 0 1
0 1 1
, ,
i j k
v
- -
-
è ø
r r r
r
⤷ vr(-2, 1, 1)
· Vector director da recta
: 1 1
r x y z
+ -
= =
2 1 1
-
r r ⟹ As dúas rectas teñen a
: d(-2, 1, 1) = v
mesma dirección, en consecuencia son paralelas ou coincidentes.
· Pola súa ecuación, sábese que P (0, -1, 1) Î r ; verase se este punto está ou non na recta s .

2. ⤷
0 1 1 1 1
- + - = - üý
1 1 2 2
- + = þ
⟹ P (0, -1, 1) Ï s ⟹ As rectas son paralelas.
⦿
3. Dado o punto P (0, 1, 1) e as rectas
: 1 1
- +
r x = y =
z
2 1 -
1
e
0
:
0
x
s
= î y
=
ìí
.
a) Determina as coordenadas do punto simétrico de P respecto a r . [1,5 p]
b) Determina a recta que pasa polo punto P , ten dirección perpendicular á recta r e
corta á recta s . [1,5 p]
(a) A recta r pasa polo punto Q (1, -1, 0) , e ten por vector director vr (2, 1, -1) .
· O plano perpendicular a r pasando por P (0, 1, 1) é p : ( x, y -1, z -1) × (2, 1, -1) = 0
⤷ p : 2x + y - z = 0
· As ecuacións paramétricas da recta r son:
1 2
x t
= + ìï
: 1
r y t
= - + íï
î = -
z t
· Punto de corte da recta e do plano: 2 (1 + 2t ) + (-1 + t ) - (-t ) = 0 ⟹ 6t + 1 = 0
⤷ 1
t = - ⟹ Punto de corte: M ( 1 - 1 , -1 - 1 , 1 ) = ( 2 , - 7 ,
1 )
6 3 6 6 3 6 6 · Dado que o punto M é o punto medio entre P (0, 1, 1) e o seu simétrico, P¢ (a , b , c ) :
⤷
0 a 2 a
4
2 3 3
1 b 7 1 b 7 b
10
2 6 3 3
1 c 1 1 c 1 c
2
2 6 3 3
ì + = Û = ïï
ï + = - Û + = - Û = - íï
ï +
= Û + = Û = - ïî
⤷ O punto simétrico de P respecto a r é 4 , 10 , 2
P¢ æç - - ö÷
è ø
3 3 3
.
⦿
(b) A recta pedida, r¢ , está contida no plano perpendicular a a r pasando por P(0, 1, 1) , do que xa
calculouse no apartado anterior a ecuación: p : 2x + y - z = 0
· O punto de corte deste plano ca recta
0
:
0
x
s
= î y
=
ìí
pódese calcular como solución do sistema:
⤷
0
0
x
= ù í úî úï y
= 2 x + y - z
= ìï
0
úû
⟹
0
0
0
x
y
z
= ù ìï
í = úï úî = úû
⟹ O(0, 0, 0) é o punto de corte de r¢ con s .
uuur ⟹ Ecuacións paramétricas:
· A dirección de r¢ ven dada por OP(0, 1, 1)
0
= ¢ :
íï
= î = ìï
⦿
x
r y t
z t
4. Dados os puntos A(1, -1, 2) , B(2, 0, -1) e C(0, 1, 3) .
a) Calcula a ecuación do plano que pasa por A , B e C . [0,75 p]
b) Determina o lugar xeométrico formado por todos os puntos que equidistan de A , B e C . [1 p]
c) Calcula os puntos do lugar xeométrico do apartado anterior que pertencen ao plano
p : 2x + 2y + 2z + 1 = 0 . [0,75 p]

3. Dep. Matemáticas. NOME: .................................... Recuperación Xeometría. Xoves, 27 de marzo de 2014
APELIDOS: .......................................................... Matemáticas II – 2º bach. B
Nota:
uuur
(a) Os vectores AB(1, 1, -3)
uuur
e AC(-1, 2, 1)
determinan ao plano, p ¢ , que pasa por A , B e C .
⤷ Como pasa por A(1, -1, 2) , a ecuación xeral do plano ven dada por
1 1 1
: 1 2 1 0
x
y
z
3 1 2
p
- -
¢ + =
- -
1 2 ( ) 1 - 1 ( ) 1 -
1
⤷ ( ) ¢ - - + + - =
- -
: 1 1 2 0
p x y z
3 1 3 1 1 2
· p ¢: 7 ( x - 1) + 2 ( y + 1) + 3( z - 2) = 0 ⟹ p ¢: 7x + 2y + 3z - 11 = 0 , pasa por A, B e C.
(b) O lugar xeométrico formado polos puntos, X ( x, y, z ) , que equidistan de A , B e C verifica:
dist ( A, X ) = dist (B, X ) = dist (C, X )
( x - 1)2+ ( y + 1)2+ ( z - 2)2 = ( x - 2)2 + y2 + ( z + 1)2 = x2 + ( y - 1)2 + ( z - 3)2
· 1ª ecuación: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z - 2)2 = ( x - 2)2 + y2 + ( z + 1)2
⤷ x2- 2x + 1 + y 2 + 2y + 1 + z 2 - 4z + 4 = x2 - 4x + 4 + y 2 + z 2 + 2z + 1
⤷ -2x + 1 + 2y + 1 - 4z + 4 = -4x + 4 + 2z + 1 ⟺ 2x + 2y - 6z + 1 = 0
· 2ª ecuación: ( x - 2)2 + y2 + ( z + 1)2 = x2 + ( y - 1)2 + ( z - 3)2
⤷ x2 - 4x + 4 + y2 + z2 + 2z + 1 = x2 + y2 - 2y + 1 + z 2 - 6z + 9
⤷ -4x + 4 + 2z + 1 = -2y + 1 - 6z + 9 ⟺ 4x - 2y - 8z + 5 = 0
O lugar xeométrico dos puntos que equidistan de A, B e C é a recta
2 x 2 y 6 z
1 0
:
4 2 8 5 0
r
+ - + = î x - y - z
+ ìí
=
.
(c) Os puntos de corte de
2 x 2 y 6 z
1 0
:
4 2 8 5 0
r
+ - + = î x - y - z
+ ìí
=
con p : 2x + 2y + 2z + 1 = 0 son as solucións
do sistema
2 x 2 y 2 z
1
2 x 2 y 6 z
1
4 x 2 y 8 z
5
+ + = - ìï
+ - = - íï
î - - = -
·
æ 2 2 2 - 1
ö
ç ç 2 2 - 6 - 1
÷ ç è
4 - 2 - 8 - 5
÷÷
ø F
1
F F
F F
1 2
1 3 2
éê
- êê
- êë
2 2 2 1
0 0 8 0
0 6 12 3
æ - ö
ç ÷
ç ÷÷
ç ø è
2 3 éëF « F
2 2 2 1
0 6 12 3
0 0 8 0
æ - ö
ç ÷
ç ÷÷
ç ø è
é -
3F F
1 2
F
2
F
3
êêêêë
6 0 6 6
0 6 12 3
0 0 8 0
æ - - ö
ç ÷
ç ÷÷
ç ø è
1
2
3
6
3
8
F
F
F
éêêêêë
÷÷
æ 1 0 - 1 - 1
ö
ç ç 0 2 4 1
÷
ç è
0 0 1 0
ø é +
ê
F F
F F
1 3
4
2 3
F
3
- êêêë
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 1 0
æ - ö
ç ÷
ç ÷÷
ç ø è
⟹
1
1
2
0
x
y
z
= - ìï
= íï
î =
⤷ O único punto que pertence ao plano p , é o punto P(-1, 1 2 , 0) .
⦿