APLICACIÓN MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
SOLUCIÓN DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Primer Trabajo del curso de MÉTODOS NUMÉRICOS, del ciclo académico 2021-II
BETETA VILLADOMA, JERSY JORDY
MARCOS PARDO, PERCY ENRIQUE
DOCENTE: Mag. Heli mariano Santiago
UNIVERSIDAD
NACIONAL
HERMILIO
VALDIZAN

CONTENIDO
1. CAPITULO I: INTRODUCCION .............................................................................. 3
1.1. Objetivos ............................................................................................................ 4
1.2. Objetivos generales y específicos ........................................................................ 4
2. CAPITULO II: MARCO TEÓRICO .......................................................................... 5
2.1. Función no lineal................................................................................................. 5
2.2. Ensayo de compactación..................................................................................... 5
2.3. Método de Newton-Raphson ............................................................................... 5
2.4. Algoritmo para el método de Newton-Raphson ..................................................... 6
3. CAPITULO III: MARCO PRÁCTICO ....................................................................... 7
3.1. Planteamiento del problema ................................................................................ 7
3.2. Cálculo de la raíz sin software ............................................................................. 8
3.3. Cálculo de la raíz con software .......................................................................... 10
3.4. Diagrama de flujo…………………………………………………………………………..16
4. CAPITULO IV: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................. 17
4.1. Conclusiones.................................................................................................... 17
4.2. Recomendaciones ............................................................................................ 18
5. CAPITULO V: REFERENCIA BLIOGRAFICA ....................................................... 18
6. CAPITULO VI: ANEXOS...................................................................................... 19

E.A.P Ingeniería Civil
1. CAPITULO I: INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de investigación tiene por finalidad desarrollar y dar a
conocer el método de Newton Raphson aplicada a la ingeniería civil por ello lo
aplicaremos a la Geotecnia concerniente a la mecánica de suelos y
específicamente al ensayo de Compactación de Suelos, es decir compactar el
suelo de un determinado volumen conocido variando la humedad de este para
poder obtener la curva de relación entre la humedad y la densidad seca máxima
a cierta energía de compactación ,el cual ha sido estudiado por los autores de
este informe. Por tanto, cumple con la condición de aplicar el método de Newton
Raphson hallando las raíces de la derivada de la ecuación de la curva “Densidad
seca vs % Humedad”, dicha grafica de curva se obtendrá de los datos
conseguidos en el ensayo mencionado.
El ensayo planteado fue estudiado y desarrollado por alumnos de la Universidad
Nacional Hermilio Valdizan, del curso Geotecnia 1, quienes facilitaron el ensayo
respectivo como apoyo para su posterior análisis planteado como trabajo de
investigación en el curso de Métodos Numéricos- 2021 II.
La aplicación del método de Newton Raphson será de forma manual y mediante
el lenguaje de cálculo técnico de programación en software Matlab (MATrix
LABoratory).

1.1.Objetivos
Se tiene por objetivos general lo siguiente:
- Comprender la necesidad que tiene un ensayo de compactación de suelos
en la carrera de ingeniería civil usando el método de aproximación de
raíces de Newton Raphson.
- Desarrollar de manera correcta el procedimiento del método de
aproximación de raíces Newton Raphson (Newton – Fourier).
Se tiene por objetivos específico lo siguiente:
- Aplicar detalladamente el método de newton Rapson para la
compactación de suelos.
- Determinar soluciones aproximadas al derivar la ecuación de la curva
densidad seca vs %humedad con el método de Newton Raphson.
- Dar a conocer ventajas y desventajas de usar el método Newton Raphson
para un ensayo de compactación de suelos.

2. CAPITULO II: MARCO TEÓRICO
2.1. Funciones no lineales
Las principales características de una función no lineal es que es de grado n
si solo si n ≥ 2 y su representación gráfica es una línea que se dibuja de
distintas formas pudiendo ser cuadrática, cubica, hipérbola, etc. a excepción
de una línea recta.
Sus fórmulas pueden ser: F(x)= a𝑥2
+bx+c, F(x)= 𝑎𝑥
, F(x)=𝒍𝒐𝒈𝑎 𝑥, etc.
2.2. Ensayo de compactación (Densidad seca vs % Humedad)
Cuando se habla de compactación se habla de mejorar las propiedades
mecánicas del suelo, para obtener una compactación optima de suelo se
hallan valores como la densidad máxima seca y contenido óptimo de
humedad.
Los procesos mecánicos involucrados son la excavación de una calicata
obteniendo la muestra principal y una muestra representativa. La aplicación
esta requerido en la construcción de represas terrestres, terraplenes de
canales, autopistas y carreteras de distintas categorías, pistas de aterrizaje
entre otras estructuras.
2.3. Método de Newton Raphson
El método de Newton Raphson es un algoritmo utilizado para encontrar
aproximaciones sucesivas de las raíces o soluciones de una función no lineal
por lo tanto se realiza a conveniencia un determinado número de iteraciones

tanto como sean necesarias para lograr una exactitud dentro de la tolerancia
especificada. Esto siempre y cuando se parta inicie de una correcta
estimación inicial.
El método de Newton es un método abierto, pero no está garantizada su
convergencia (unión) y la única manera de alcanzar la convergencia es
seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la solución de la
función buscada e iniciar la iteración con un valor razonablemente3 cercano
al cero. La relativa cercanía del punto inicial a la solución depende de la
naturaleza, característica de la función.
2.4. Algoritmo para el Método de Newton-Raphson
Se tiene tres formas por el cual se obtiene de manera tradicional el algoritmo
de Newton- Raphson.
1. Geométricamente, si por un determinado punto de iteración trazamos la
tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo
punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente
entonces la función f se linealizará implicando que se debe reemplazar
por una recta que contenga el punto (x0, f (x0)) tal que la pendiente
coincide con la derivada de la función no lineal en el punto f’(x0). Dicho de
otro modo, se debe Analizar la función f(x) de la cual se quiere obtener su
raíz y hallar su derivada f(x).
2. Establecer un punto de inicio 𝑥0 para comenzar las interacciones.
3. Finalmente, el método se puede interpretar como un método de iteración
de un punto fijo. Si f(x0) = 0 entonces la raíz es 𝑥0, pero Si no, calcular 𝑥1
mediante la expresión.

3. CAPITULO III: MARCO PRÁCTICO
3.1. Planteamiento del problema
Tenemos que hallar la relación entre la humedad óptima y la densidad seca
máxima aplicando el método de Newton – Raphson.
En la compactación de suelo se busca hallar la relación que existe entre la
densidad máxima seca de un suelo y el contenido óptimo de humedad, que
son la base para lograr la eficiencia en los trabajos de compactación, datos
que ayudarán a aumentar la resistencia y disminuir la comprensibilidad al
momento de compactar un suelo. Según las normas MTC115-2000 y ASTM
(Asociación Americana de Ensayo de Materiales) D1557.
Humedad óptima: El contenido de humedad es importante en la
compactación, ya que depende de la cantidad de agua en la masa del suelo
para que las partículas y grupo de partículas minerales puedan reordenarse
bajo una determinada energía de compactación.
Densidad seca: está considerada como la relación entre la masa de las
partículas sólidas y el volumen total del suelo.
El caso planteado tenemos que la ecuación es:
y= -0.1106𝑿𝟑 +1.1216𝑿𝟐 -3.5922x+5.7199
Donde:
X: humedad (%)
Y: densidad seca (gr/cm3)

3.2. Cálculo de la solución manual sin software
Ecuación inicial: y= -0.1106𝑿𝟑 +1.1216𝑿𝟐-3.5922x+5.7199
Para proceder con la solución aplicando el método de Newton Raphson
primero tenemos que conocer la definición que es la siguiente:
𝒙𝒏+𝟏 =𝒙𝒏-
𝒇(𝒙𝒏)
𝒇´(𝒙𝒏)
𝒙𝒏: Es la primera aproximación
𝒙𝒏+𝟏: Es una mejor aproximación
𝒇 (x): Es una función igualada a cero
𝒇´(𝒙),
: Es la derivada de la función
Pasos:
1. Debemos calcular la derivada de la función antes de usar la fórmula
planteada.
2. Sustituir un valor para x de modo que la función nos dé un resultado
aproximado a cero.
3. El valor obtenido se vuelve a reemplazar en la formula, sucesivamente
hasta llegar a una solución.
4. Restringir valores para la tolerancia de cifras decimales.
Solución:
Tenemos: f (x)= y’= -0.3318𝑋2
+2.2432x-3.5922 = 0
f(x)= y’= -0.3318𝑋2+2.2432x-3.5922 → tiene dos raíces o soluciones
Derivada de la función: f’’(x) = -0.6636x+2.243

La ecuación lo tomaremos con una precisión de 4 cifras por decimales, por
tanto, empezamos sustituyendo algunos valores a X para hallar una solución
aproximada.
Observamos para x=2 y x=3 esta la primera solución y para los valores x=4
y x=5 está la segunda solución.
Hallamos la primera solución:
La primera solución está entre [2,3] para 𝑥1= 2 es la 1ra. aproximación,
reemplazando a la fórmula:
VALORES PARAX
f (0) = - 3.5922
f (1) = - 1.6808
f (2) = - 0.433
f (3) = 0.1512
f (4) = 0.0718
f (5) = -0.6712
f (6) = -2.0778
Aprox. 𝒙𝒏+𝟏 =𝒙𝒏-
𝒇(𝒙𝒏)
𝒇′(𝒙𝒏)
1
𝒙𝟏= 2
2 𝒙𝟐=𝒙𝟏 −
𝒇(𝒙𝟏)
𝒇(𝒙𝟏)`
→ 𝒙𝟐=𝟐 −
𝒇(𝟐)
𝒇(𝟐)`
→ 𝒙𝟐= 𝟐−
−𝟎.𝟒𝟑𝟑
𝟎.𝟗𝟏𝟓𝟖
= 2.4728
3 𝒙𝟑=𝒙𝟐 −
𝒇(𝒙𝟐)
𝒇(𝒙𝟐)`
→ 𝒙𝟑= 2.4728−
𝒇(𝟐.𝟒𝟕𝟐𝟖)
𝒇(𝟐.𝟒𝟕𝟐𝟖)`
→ 𝒙𝟑=𝟐.𝟒𝟕𝟐𝟖 −
−𝟎.𝟎𝟕𝟒𝟎
𝟎.𝟔𝟎𝟐𝟎
= 2.5957
4 𝒙𝟒=𝒙𝟑 −
𝒇(𝒙𝟑)
𝒇(𝒙𝟑)`
→ 𝒙𝟒=2.5957 −
𝒇(𝟐.𝟓𝟗𝟓𝟕)
𝒇(𝟐.𝟓𝟗𝟓𝟕)`
𝒙𝟒=𝟐.𝟓𝟗𝟓𝟕 −
−𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟎
𝟎.𝟓𝟐𝟎𝟒
= 2.6053
5 𝒙𝟓=𝒙𝟒 −
𝒇(𝒙𝟒)
𝒇(𝒙𝟒)`
→ 𝒙𝟓=2.6053−
𝒇(𝟐.𝟔𝟎𝟓𝟑)
𝒇(𝟐.𝟔𝟎𝟓𝟑)`
𝒙𝟓=2.6053−
−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟎.𝟓𝟏𝟒𝟏
= 2.6054
6 𝒙𝟔=𝒙𝟓 −
𝒇(𝒙𝟓)
𝒇(𝒙𝟓)`
→𝒙𝟔=2.6054−
𝒇(𝟐.𝟔𝟎𝟓𝟒)
𝒇(𝟐.𝟔𝟎𝟓𝟒)`
𝒙𝟔=2.6054−
−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟎.𝟓𝟏𝟒𝟎
= 2.6054

Vemos que 𝑥5= 𝑥6 con un Error mínimo por tanto el valor de 2.6054 es una
solución más exacta.
Hallamos la segunda solución:
La segunda solución está entre [4,5] para 𝑥1= 4 es la 1ra. aproximación,
reemplazando a la fórmula:
Vemos que 𝑥4= 𝑥5 con un Error mínimo por tanto el valor de 41553 es una
solución más exacta.
Resultados:
Las dos soluciones son 𝑥1= 2.6054 y 𝑥2= 4.1553
3.3. Cálculo de la solución con software
El método de newton Raphson es un método que muchas veces se vuelve
laborioso pero el Matlab facilita este cálculo.
Aprox. 𝒙𝒏+𝟏 =𝒙𝒏-
𝒇(𝒙𝒏)
𝒇′(𝒙𝒏)
1
𝒙𝟏= 4
2 𝒙𝟐=𝒙𝟏 −
𝒇(𝒙𝟏)
𝒇(𝒙𝟏)`
→ 𝒙𝟐=𝟒 −
𝒇(𝟒)
𝒇(𝟒)`
𝒙𝟐=𝟒 −
𝟎.𝟎𝟕𝟏𝟖
−𝟎.𝟒𝟏𝟏𝟒
= 4.1745
3 𝒙𝟑=𝒙𝟐 −
𝒇(𝒙𝟐)
𝒇(𝒙𝟐)`
→ 𝒙𝟑= 𝟒.𝟏𝟕𝟒𝟓 −
𝒇(𝟒.𝟏𝟕𝟒𝟓 )
𝒇(𝟒.𝟏𝟕𝟒𝟓 )`
𝒙𝟑 = 𝟒. 𝟏𝟕𝟒𝟓 −
−𝟎.𝟎𝟏𝟎𝟎
−𝟎.𝟓𝟐𝟕𝟏
= 4.1555
4 𝒙𝟒=𝒙𝟑 −
𝒇(𝒙𝟑)
𝒇(𝒙𝟑)`
→ 𝒙𝟒= 𝟒. 𝟏𝟓𝟓𝟓 −
𝒇(𝟒.𝟏𝟓𝟓𝟓 )
𝒇(𝟒.𝟏𝟓𝟓𝟓 )`
𝒙𝟒= = 𝟒. 𝟏𝟓𝟓𝟓 −
−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏
−𝟎.𝟓𝟏𝟒𝟓
= 4.1553
5 𝒙𝟓=𝒙𝟒 −
𝒇(𝒙𝟒)
𝒇(𝒙𝟒)`
→ 𝒙𝟓=4.1553−
𝒇(𝟒.𝟏𝟓𝟓𝟑 )
𝒇(𝟒.𝟏𝟓𝟓𝟑 )`
𝒙𝟓=4.1553−
−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎
−𝟎.𝟓𝟏𝟒𝟒
= 4.1553

Solución:
Tenemos la función no lineal: y= -0.1106𝑿𝟑 +1.1216𝑿𝟐 -3.5922x+5.7199
Derivando se tiene: y’= -0.3318𝑋2
+2.2432x-3.5922
Para hallar la primera aproximación usamos GEOGEBRA y graficamos:
y’= -0.3318𝑋2+2.2432x-3.5922
Imagen 01.
Gráfica de la función no lineal. Él intervalo de solución según la gráfica es [2,3] y [4,5]
Fuente propia.

Primera raíz intervalo [2,3] cálculo de raíces en Matlab.
Imagen 2: cálculo de raíces en Matlab.
Fuente: propia
n=raíz
inicial f(n) f´(n) raíz final
2 -0.433 0.916 2.47270742
2.472707424 -0.07414148 0.60231135 2.59580236
2.595802357 -0.00502755 0.52062556 2.60545911
2.605459113 -3.0941E-05 0.51421733 2.60551928
2.605519284 -1.2013E-09 0.5141774 2.60551929
REDOND 2.61

Segunda raíz intervalo [4,5] cálculo de raíces en Matlab.
Imagen 3: cálculo de raíces en Matlab.
Fuente: propia
Resultados:
Las dos soluciones son: 𝑥1= 2.6055 y 𝑥2= 4.1554
n=raíz inicial f(n) f´(n) raíz final
4 0.0718 -0.4112 4.17461089
4.174610895 -0.01011624 -0.52707179 4.15541761
4.155417611 -0.00012223 -0.51433513 4.15517997
4.155179966 -1.8738E-08 -0.51417743 4.15517993
REDONDE0 4.16

Interpretación de los resultados:
Luego de realizar los cálculos es importante analizar los datos obtenidos,
para poder interpretar. y= -0.1106𝑋3
+1.1216𝑋2
-3.5922x+5.7199
𝑥1= 2.6054
y’= -0.3318𝑿𝟐+2.2432x-3.5922
𝑥2= 4.1553
X: humedad (%)
Y: densidad seca (gr/cm3)
redondeo: 𝑥1= 2.61 𝑥2= 4.16
Tomamos el valor de 4.16%, ahora tenemos que reemplazar este valor en la
ecuación y obtenemos el valor de 2.22 gr/cm3. Y se determinó que la
humedad optima fue de 4.16%
Suponiendo que la humedad inicial es 1.42%, y de acuerdo a los cálculos se
obtuvo un valor de 4.16%, entonces con estos datos podemos decir que al
momento de compactar el suelo tenemos que agregar 2.74% de agua para
aumentar la resistencia y disminuir la comprensibilidad al momento de
compactar un suelo.
Procedemos a graficar la curva de compactación, la cual es una gráfica del
% de humedad vs densidad seca.

Imagen 4: Modelo de gráfica, ensayo de compactación de suelo.
Imagen 5: curva de compactación
Fuente: trabajo n° 04: informe de compactación de suelos- facultad de ingeniería civil
y arquitectura.

3.4. Diagrama de flujo NEWTHON-RHAPSON:
INICIO
Leer Xo
F(xo)=0
0=0
Imprimir: Una raíz
es X1
Imprimir: Una raíz
es X1
X1=Xo – (f(xo)/f’(xo))
Abs (f(x1)) ~ 0
Xo =X1
NO
SI
SI
NO
FIN

4. CAPITULO IV: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
4.1. Conclusiones:
- Se concluye que los datos de humedad óptima y densidad máxima seca,
cuyos cálculos son importantes para el ensayo de Compactación de Suelos,
pueden ser obtenidos por el método de Newton Raphson verificando su
efectividad y uso.
- Al entender que una función matemática relaciona dos variables una
dependiente de la otra y al asignarle valores estamos iterando para hallar los
posibles resultados por ello usamos dos métodos uno manual y otro con
software para poder determinar dicho resultado.
- El método de newton Raphson solo requiere un valor inicial, cercano a la
raíz, para obtener un valor más aproximado a la raíz de la ecuación f(x) = 0.
- El método de newton Raphson es el que presenta mejores características
debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número
reducido de iteraciones.
- Al evaluar la derivada en un determinado punto el cual tendrá una gráfica
recta y se intersectará con la gráfica de la función, logramos trazar una
tangente al punto intersectado y usando newton Raphson logramos dar un
nuevo valor que se aproxime a la raíz de la función si seguimos el mismo
procedimiento logramos con este método una mayor proximidad a la raíz o
solución de la función analizada.

4.2. Recomendaciones:
- Escoger un tema donde se pueda aplicar y verificar la efectividad del
método de newton Raphson para eso se deberá analizar y comprender dicho
tema.
- La desventaja de usar el método de Newton Raphson radicará en la hallar
su derivada de la función siendo la función sencilla no hay mayor dificultad,
pero si se trata de funciones más complicadas también se complicará el
método.
- En este método se debe usar un programa o un software que ayuda a la
rápida ubicación de las raíces ya que resulta muy engorroso resolverlo
manualmente.
- Es recomendable ayudarse de un graficador de funciones como
GEOGEBRA para poder facilitar el cálculo con el método de Newton -
Raphson.

5. CAPITULO V: REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- Juan Manuel Rodríguez López Y Higinio Ramos Calle. (2017). métodos
numéricos para la aproximación de raíces múltiples de funciones no lineales.
https://gredos.usal.es/bitstream/handle/10366/137629/TG_RORIGUEZ%20
LOPEZ%2C%20Juan%20Manuel_Metodos%20numericos.pdf?sequence=1
&isAllowed=y
- Rosa H, Llique Mondragón. Y Ana M, Guerrero Padilla. (2014). Influencia de
la humedad de compactación en el comportamiento volumétrico de los
suelos arcillosos.
https://revistas.unitru.edu.pe/index.php/PGM/article/viewFile/795/722
- Sergio Plaza Salinas Y José Manuel Gutiérrez Jiménez. (2013). Dinámica
del método de newton. https://dialnet.unirioja.es/descarga/libro/529750.pdf
- TRABAJO N° 04: INFORME DE COMPACTACIÓN DE SUELOS-
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN FACULTAD DE
INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA - Pillco Marca, Perú 2019- Clinton
Ramón Silva Misael Olivares Quispe Raywen Anthony Cisneros Ambrosio
Jhon Sixto Herrera Santiesteban Olmer Jara Elguera Eliseo Rojas Muñoz
Cristian David Ponce Valerio Anthony López Bernardo Briayan Ricapa C.

6. CAPITULO VI: ANEXO
Adjuntamos video de la solución de la raíz de la función no lineal
utilizando Matlab.
Imagen 6: Video de elaboración en Matlab
Fuente propia.

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